PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA

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Luz Luna Cáceres
hace 6 años
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1 PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA 1 UNIDAD II. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA TEMA: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO (PERMUTACIONES Y COMBINACIONES). MTRO. YONATAN ERIC CRUZ HERNÁNDEZ

2 2 TABLA DE CONTENIDO

3 3 QUÉ SON LOS MÉTODOS DE CONTEO? Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Por Ejemplo: Al lanzar un dado veremos cuantas posibilidades hay de que salga un número a favor, si tienen 6 caras los dados cual seria la probabilidad de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número de casos favorables o posibles y así podemos ver cuantas combinaciones diferentes se pueden tener. Entre los métodos de conteo encontraremos los mas conocidos: Permutación Combinación Ordenamiento

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5 5 PERMUTACIONES Consiste en multiplicar en todo momento cada dato que te pueda dar y sirve para hallar fórmulas generales que permitan calcular el número de permutaciones con y sin repetición. Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Hay dos tipos de permutaciones: No se repite Se repite

6 PERMUTACIÓN (ORDEN (1) ES IMPORTANTE) Es todo arreglo en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

6 6 PERMUTACIÓN (ORDEN (1) ES IMPORTANTE) Es todo arreglo en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Si se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos distintos, cualquier arreglo (orden) de estos objetos se conoce como permutación. Su fórmula se denota por: Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

7 7 PERMUTACIÓN (ORDEN (2) ES IMPORTANTE) Entonces, Qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces: Como 0! = 1, por definición, entonces:

8 8 PERMUTACIÓN (ORDEN ES IMPORTANTE) (3) Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. Notación: Pn Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene: Por tanto: npn = n! / (n -n)! = n! / 0! = n! / 1 = n! npn = n!

9 9 EJEMPLO PERMUTACIÓN (1) Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, si esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa?

10 EJEMPLO PERMUTACIÓN (2) Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula 1?

10 10 EJEMPLO PERMUTACIÓN (2) Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula 1?. Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar. Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula 1?

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12 12 EJEMPLO DE PERMUTACIÓN (1) Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física. a) De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero? b) De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos? De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero? P = 15! = 1,307,674,368,000 maneras. Se calcula multiplicando el valor dado por el que le antecede y así sucesivamente hasta llegar a la unidad; es decir: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

13 13 EJEMPLO DE PERMUTACIÓN (2) De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos? El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: El primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras en que se pueden permutar estos 3 objetos es: P3 = 3! = 6 Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar de: P6 = 6! = 720 maneras Los 4 libros de química se pueden permutar de P4 = 4! = 24 maneras y Los 5 libros de física se pueden permutar de P5 = 5! = 120 maneras.

14 14 EJEMPLO DE PERMUTACIÓN (3) Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se pueden colocar los 15 libros en el librero, haciendo que los de cada materia queden juntos es:

15 15 EJERCICIO EN LA LIBRETA (1) Suponga que un salón de clase está constituido por 20 alumnos. a) El maestro desea conformar una comisión de tres alumnos, representantes del grupo. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). Utilizando cálculo de permutaciones, menciona: Cuántas maneras diferentes posibles existen de elegir a los representantes? Considerando que se ha seleccionado a Hugo, Paco y Luis, De cuántas maneras diferentes podrían combinarse los posibles cambios de cargo?

16 16 EJERCICIO EN LA LIBRETA (2) De cuántas maneras se puede formar un comité integrado por un presidente, un secretario y un tesorero, si hay cuatro candidatos a presidente, tres candidatos a secretario y dos candidatos a tesorero?

17 17 EJERCICIO EN LA LIBRETA (3) Obtener el número de permutaciones de las cinco letras a, b, c, d y e, tomadas de 3 en 3.

18 18 EJERCICIO EN LA LIBRETA (4) De cuántas maneras pueden sentarse cinco alumnos en un salón de clase que tiene 8 bancos individuales?

19 19 EJERCICIO EN LA LIBRETA (5) Un examen consta de 8 preguntas de falso y verdadero, De cuántas maneras diferentes puede contestarse el examen completo?

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21 21 COMBINACIÓN (1) Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de objetos si el orden de los objetos no es importante. Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno delos elementos que constituyen dicho arreglo.

22 22 COMBINACIÓN (2) Cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo: Si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A, B y C) ; si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, CA, BC Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

23 23 COMBINACIÓN (3) Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de "n" elementos seleccionados, "r" a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de "n" elementos tomados "r" a la vez dividido por "r" factorial. Esto sería: Ejemplo: P(n,r) r! en notación matemática. Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, Cuántas combinaciones de cinco cartas habría? La cantidad de combinaciones sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5) (5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

24 25 EJERCICIO EN LA LIBRETA (1) Cuántos comités de 3 se pueden formar con 8 personas? Cada comité es esencialmente una combinación de las 8 personas tomadas 3 a la vez.

25 26 EJERCICIO EN LA LIBRETA (2) Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

26 27 EJERCICIO EN LA LIBRETA (3) En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. Cuántos comités diferentes se pueden formar?

27 28 EJERCICIO EN LA LIBRETA (4) De cuantas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

28 29 EJERCICIO EN LA LIBRETA (5) Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. a) De cuántas maneras el profesor puede escoger un comité de 4? b) Cuántos comités contarán con una niña por lo menos? c) Cuántos tendrán una niña exactamente?

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