SGUICES040MT22-A17V1. Bloque 21 Guía: Técnicas combinatorias y regla de Laplace

Transcripción

1 SGUICES040MT-A17V1 Bloque 1 Guía: Técnicas combinatorias y regla de Laplace

2 TABLA DE CORRECCIÓN TÉCNICAS COMBINATORIAS Y REGLA DE LAPLACE N Clave Dificultad estimada 1 E Comprensión Media A Comprensión Fácil 3 A Media 4 B Media 5 E Media B Media 7 C Media 8 C Media 9 B Media 10 A Difícil 11 E Difícil 1 C Media 13 D Media 14 A Comprensión Media 15 B Comprensión Fácil 1 C Media 17 E Media 18 A Media 19 C Fácil 0 D Fácil 1 E Fácil B Media 3 E Media 4 D Difícil 5 B Media

3 1. La alternativa correcta es E. Comprensión El joven tiene siete caramelos, de los cuales desea regalar solo tres, lo que corresponde a un subconjunto del total de los elementos disponibles. Además, el orden en que se regalen no es importante (es lo mismo regalar un caramelo de piña, uno de frutilla y uno de naranja que regalar un caramelo de frutilla, uno de naranja y uno de piña, por ejemplo). Considerando que no hay caramelos idénticos, pues tienen distintos sabores entre sí, se trata de una combinación sin repetición de tres elementos de un total de siete. Entonces, 7 7! 3 3! 7! 7 3! 3! 4!.. La alternativa correcta es A. Comprensión Se dispone de cuatro colores distintos y cada cuadrado puede ser pintado con cualquiera de ellos, pudiendo repetirse el color en uno o más de ellos. Entonces, existe repetición de elementos. Este caso corresponde a una variación con repetición, donde cada cuadrado tiene cuatro opciones diferentes de color, siendo nueve de ellos en total. Por lo tanto, puede ser pintado de maneras distintas La alternativa correcta es A. En la primera posición hay 3 opciones; en la segunda, ; y en la tercera, 1. Luego, por principio multiplicativo: 3 1 = Por lo tanto, se pueden escribir números distintos con los dígitos 4, 5 y.

4 4. La alternativa correcta es B. El planteamiento presenta una selección, sin orden y sin repetición, de 3 elementos entre 7, lo cual corresponde a una combinación sin repetición. Luego, se calcula: 7! 7! 3! (7 3)! 3! 4! Por lo tanto, la selección se puede realizar de 35 formas distintas. 5. La alternativa correcta es E. Como se deben ordenar en un círculo, 1 persona queda fija. Entonces: 4! = = 4 Por lo tanto, 5 personas en un círculo se pueden ordenar de 4 maneras distintas.. La alternativa correcta es B. El planteamiento presenta una selección, sin orden y con repetición, de elementos entre 5, lo cual corresponde a una combinación con repetición. (5 1)!! Luego, se calcula como 15.! (5 1)!! 4! Por lo tanto, la selección se puede realizar de 15 maneras distintas.

5 7. La alternativa correcta es C. El planteamiento presenta una selección, con orden y con repetición, de 3 elementos entre 8, lo cual corresponde a una variación con repetición. Por lo tanto, hay 8³ = = 51 números distintos que podrían ser la clave de la caja fuerte. 8. La alternativa correcta es C. En este caso solo hay un ordenamiento, sin selección, por lo cual se trata de una permutación de nueve elementos con un elemento que aparece dos veces (la letra C). n! Una permutación con repetición se calcula como, siendo n el total de datos y a, b, c, la a! b! c!... cantidad de veces que aparecen los datos repetidos. 9! Por lo tanto, la cantidad de formas distintas en que se pueden ordenar las letras es.! 9. La alternativa correcta es B. Según el problema, la cantidad de elementos a ordenar coincide con la cantidad total, es decir, se utilizan todos los elementos. Además, como son secuencias de colores, sí importa el orden. Entonces, n! este caso se plantea una permutación con repetición de la forma, donde n corresponde a la a! b! cantidad total de elementos, con a y b correspondientes a la cantidad de elementos repetidos. Luego, n = 7, con a = 4 por las cuatro tarjetas de color blanco y b = 3 por las tres tarjetas de color azul. n! 7! 7 5 4! Por lo tanto: a! b! 4! 3! 4! 31

6 10. La alternativa correcta es A. Una opción para resolver este ejercicio es agregar ficticiamente una Q y convertir el problema en una selección con orden de tres elementos de dos tipos. Es decir, como lanzar una moneda tres veces, considerando el orden de lanzamiento. En este caso, la cantidad de combinaciones distintas es ³ = 8. Sin embargo, se debe eliminar el caso QQQ, ya que la tercera Q se agregó artificialmente. Por lo tanto, la cantidad de series distintas de letras se pueden obtener son 7. (QQR, QRQ, QRR, RQQ, RQR, RRQ y RRR) 11. La alternativa correcta es E. La cantidad de selecciones de k elementos que se pueden hacer de un total de n elementos, sin importar n! el orden, está dada por la expresión. k!( n k)! En este caso, a principio de año se debían escoger 3 alumnos de un total de n, por lo cual las n! n ( n 1) ( n ) ( n 3)! n ( n 1) ( n ) combinaciones eran. 3!( n 3)! 3 1 ( n 3)! En cambio, a final de año se debían escoger 3 alumnos de un total de (n + 1), por lo cual las ( n 1)! ( n 1)! ( n 1) n ( n 1) ( n )! ( n 1) n ( n 1) combinaciones eran. 3!( n 1 3)! 3!( n )! 3 1 ( n )! Por lo tanto, la cantidad de posibles selecciones aumentó en ( n 1) n ( n 1) n ( n 1) ( n ) = n ( n 1) ( n 1 n ) n n n n 3

7 1. La alternativa correcta es C. La bandera de la figura tiene siete franjas y cada una ellas debe ser pintada con uno de los siete lápices disponibles, por lo tanto, se ocupan todos los elementos del conjunto. Además, el orden en el que se pinta la bandera es importante, ya que visualmente será una bandera diferente, aunque se haya pintado con los mismos siete lápices. Considerando que hay un color repetido, se trata de una permutación con repetición de x elementos, por 7! 7! 7 5 4! lo que puede plantearse 10 x! x! x! 4! x 4. x! Por lo tanto, en total hay 4 lápices con color repetido. 13. La alternativa correcta es D. (1) Al escoger dos de ellos para formar una comisión, se puede hacer de 45 formas distintas. Con esta información, sí se puede determinar la cantidad de estudiantes de un curso, ya que corresponde a una combinación de elementos de un total de x, conociéndose la cantidad total de estas x x! x x 1 x! x x 1 combinaciones, por lo que ! x! x! x x 1 Resolviendo la ecuación: 45 x x 90 x x 90 0x 10x 9 0 De esta última expresión, se tiene que el valor de x puede ser 10 o 9, pero x no puede tener un valor negativo, por lo que x = 10. Luego, la cantidad de estudiantes del curso es 10. () Al escoger tres de ellos para los cargos de presidente, secretario y tesorero, se puede hacer de 70 formas distintas. Con esta información, sí se puede determinar la cantidad de estudiantes de un curso, ya que corresponde a una variación de 3 elementos de un total de x, además de que se conoce el número total de estas variaciones, por lo que se puede plantear la ecuación x! 70 x 3! x x 1 x x x 3! 3! 70 x x 1 x 70

8 La expresión anterior resulta en una ecuación de tercer grado, sin embargo, puede resolverse notando que se trata de tres números enteros consecutivos cuyo producto es 70. Luego, estos números son 8, 9 y 10, siendo este último el valor de x. Entonces, la cantidad de estudiantes del curso es 10. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (). 14. La alternativa correcta es A. Comprensión Como el evento sucede en q casos y no sucede en r casos, existen (q + r) casos totales. Si se define el evento A como que el evento suceda y aplicando la regla de Laplace, se tiene: Número decasos favorables q P(A) = = Número de casos posibles q r 15. La alternativa correcta es B. Comprensión Se tiene que el total de bolitas es m, de las cuales n son de color verde, y como solamente hay bolitas de dos colores dentro del sombrero del mago, entonces hay m n bolitas amarillas. Luego, si se define el suceso A como extraer una bolita de color amarillo, se tiene que la probabilidad de que la asistente extraiga una bolita amarilla es de P( A) Casos favorables Casos posibles Número de bolitasamarillas Número total de bolitas m n m 1. La alternativa correcta es C. Los múltiplos de tres que se consideran en la ruleta son 3,, 9, 1, 15 y 18, siendo casos favorables dentro de los 0 posibles. Luego, aplicando la regla de Laplace, se tiene que: P(múltiplo de tres) = Casos favorables Casos totales =

9 17. La alternativa correcta es E. P(defectuoso) = Número de clavos defectuosos Luego, los clavos defectuosos son 4. 0 Por lo tanto, los clavos en perfecto estado son (80 4) = La alternativa correcta es A. Si se define el suceso A como encontrar una manzana en mal estado, según la información dada en el enunciado, la probabilidad de que ocurra A es: Casos favorables Número de manzanas en mal estado P ( A) Casos posibles Número total de manzanas 7 Como el primer día se cosecharon manzanas, este número correspondería al total de manzanas, por lo que se debe amplificar la probabilidad de encontrar una manzana en mal estado de manera que el denominador sea De esta forma, el numerador corresponderá al número de manzanas en mal estado encontradas ese día: P ( A) Por lo tanto, el primer día se cosecharon manzanas en mal estado.

10 19. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que si se define el suceso A como extraer una consonante y el suceso B como Casos favorables 8 Casos favorables 5 extraer una vocal, entonces P ( A) y P ( B), Casos posibles 13 Casos posibles 13 siendo P(A) > P(B). II) Verdadera, ya que si se define el suceso C como extraer la letra P, entonces Casos favorables Númerode tarjetasque tienenescritalaletrap P( C). Casos posibles Número totalde tarjetas 13 III) Falsa, ya que si se define el suceso D como extraer la letra I, entonces Casos favorables Númerode tarjetasque tienenescritalaletrai P( D) Casos posibles Número totalde tarjetas Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 0. La alternativa correcta es D. Se define el suceso A como escoger un estudiante que sea de 1 B y que quiera estudiar turismo, Casos favorables Númerode estudiantes de1bque quierenestudiar turismo entonces P ( A) Casos posibles Númerototalde estudiantes Luego, como el número total de estudiantes es de 130 (lo cual se obtiene sumando todos los datos entregados por la segunda y tercera columna de la tabla) y considerando que los alumnos de 1 B que 0 quieren estudiar turismo son 0, se tiene que: P ( A)

11 1. La alternativa correcta es E. Se define el suceso A como extraer un dulce de fresa. Entonces, la probabilidad de que ocurra A esta Casos favorables Número de dulces de fresa dada por: P ( A) Casos posibles Número totalde dulces Luego, como Marco compró 5 dulces de fresa y Marina 10, el número total de dulces de fresa es 15. A su vez, Marco ha comprado 15 dulces y Marina ha comprado 0, por ende, el número total de dulces es Por lo tanto, la probabilidad de ocurrencia de A es P ( A) La alternativa correcta es B. I) Falsa, ya que P(3) = P(5) = 1, es decir, son eventos equiprobables. II) Verdadera, ya que P(impar) = P(par) = 3, pues hay tres números impares (1, 3 y 5) y tres números pares (, 4 y ). III) Falsa, ya que P(múltiplo de ) = 3 1, pues hay tres números que son múltiplo de (, 4 y ). Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

12 3. La alternativa correcta es E. I) Verdadera, ya que P(primo) = 3 = P(no primo), pues hay tres números primos (, 3 y 5) y tres números que no son primos (1, 4 y ). II) Verdadera, ya que P(cara) = 1 = P(sello). III) Verdadera, ya que P(divisor de 4) = 3 = P(no sea divisor de 4), pues hay tres divisores de 4 (1, y 4) y tres números que no son divisores de 4 (3, 5 y ). Por lo tanto, en las afirmaciones I, II y III se cumple que la probabilidad de ocurrencia del suceso es igual a la probabilidad de NO ocurrencia del mismo. 4. La alternativa correcta es D. Si inicialmente hay b tarjetas blancas y n tarjetas negras, y la probabilidad de escoger al azar una tarjeta b 40 blanca es del 40%, entonces se puede plantear. b n 100 Luego de agregar diez tarjetas blancas a la caja, la probabilidad de escoger al azar una tarjeta blanca ( b 10) 0 sube al 0%. Entonces, puede plantearse. ( b 10) n 100 Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, resulta: b b n b b n 5 5b = b + n 3b = n n = 1,5b ( b 10) ( b 10) n b 10 b 10 n 3 5 5b + 50 = 3b n 3n b = 0 3 1,5b b = 0 4,5b b = 0,5b = 0 b = 8 Por lo tanto, después de que se agregaron las tarjetas blancas hay (8 + 10) = 18 tarjetas blancas.

13 5. La alternativa correcta es B. (1) Diez bolitas tienen escrita la letra S. Con esta información, no se puede determinar la probabilidad de extraer una bolita que tenga escrita la letra S, ya que solo se conoce el número de casos posibles y se desconoce el número de casos totales, es decir, la cantidad total de bolitas. () Dos de cada tres bolitas tiene escrita la letra U o P. Con esta información, sí se puede determinar la probabilidad de extraer una bolita que tenga escrita la letra S, ya que esto implica que 1 de cada 3 bolitas tiene escrita la letra S. Luego, la probabilidad de extraer una bolita que tenga escrita la letra S es 3 1. Por lo tanto, la respuesta correcta es: () por sí sola.