UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES II

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1 u r s o : Matemática º Medio Material Nº MT - 5 UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES II OMBINATORIA FATORIALES La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial. Definición: Sea n un número natural. n! = n (n 1) (n )... 1 ó bien n! = 1... (n ) (n 1) n Las siguientes identidades expresan el significado de factorial n: 1! = 1,! = 1 =,! = 1 = 6, 4! = 1 4 = 4 Nota 1 0! = 1 (por convención) (-5)! (no existe)! Nota 5! 0,! PROPIEDADES 1) n! = n(n 1)! ) ) x! = n! x = n 4) n! = (n 1)! n n! = n (n 1)! EJEMPLOS 1. Si (n + )! (n + 1)! A) 5 B) 10 ) 0 D) 0 E) 40 = 156, entonces n =. uál es el valor de 10! + 9!? 10! 9! A) 11 B) 9 ) 11 D) 10 E) 11 9

2 Variaciones o arreglos simples: Son los diferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos. La variación de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula: n n! V r = (n r)! Regla práctica: n V r = n (n 1) (n )... r factores Permutaciones simples: Son los grupos o conjuntos que se pueden formar con n elementos, de modo que cada uno tenga n elementos. El número de permutaciones de n elementos está dado por P(n) = n! Permutaciones circulares: El número de maneras en que se pueden colocar n elementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por la fórmula: P circul = (n 1)! OBSERVAIÓN: Tanto en permutaciones como en variaciones interesa el orden de los elementos. EJEMPLOS 1. De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila? A) 4 B) 16 ) 4 D) 64 E) 16. uál es el valor de 5 V? A) B).50 ) 1.60 D) 5 E) Ninguna de las anteriores

3 ombinaciones: Son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de estos. El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula n n! r = (n r)! r! r factores Regla práctica: n r = n (n - 1) (n - ) r EJEMPLOS 1. uál es el valor de 9? A) 16 B) 6 ) 6 D) E) Ninguna de las anteriores. uántos saludos se pueden intercambiar entre sí 1 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras? A) 11 B) 1 ) 4 D) 66 E) 144. Si en una caja hay 8 corbatas, de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? A) 1 B) 40 ) 56 D) 168 E) 6

4 EJERIIOS 1. Usando las letras de la palabra ORTINA y llamando a cada permutación palabra, cuántas palabras distintas se pueden formar? A) 49 B) 18 ) 1.60 D).50 E) Si se usan las letras de la palabra MOLDURA y llamando a cada variación palabra cuántas palabras distintas de letras se pueden formar? A) 1 B) 18 ) 10 D) 4 E) De cuántas maneras distintas pueden ubicarse 5 personas alrededor de una mesa circular? A) 5 B) 10 ) 15 D) 4 E) 5 4. De cuántas maneras se pueden ordenar 4 niños en una fila? A) 4 B) 8 ) 1 D) 16 E) 4 4

5 5. En un curso se forma un comité formado por alumnos. De cuántas maneras se pueden llenar los puestos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero en dicho comité? A) 8 B) 840 ) D) E) De cuántas maneras se pueden colocar 5 cartas en buzones? A) B) 0 ) 10 D) 5 E). Si se forman palabras de 5 letras (sin importar que carezcan de significado), con las letras de la palabra PROTEGIDA, entonces cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) 10 palabras sólo contienen consonantes. II) 0 palabras comienzan con dos vocales consecutivas. III) 10 palabras comienzan con R y terminan en E. A) Sólo I B) Sólo I y II ) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 8. En una canasta hay una docena de manzanas. De cuántas maneras diferentes se puede escoger manzanas? A) 6 B) 110 ) 0 D) 440 E) 0.6 5

6 9. Si el número de combinaciones de n objetos tomados de dos en dos es igual a 6, cuál es el valor de n? A) B) 6 ) 9 D) 1 E) Se tienen que repartir premios entre 10 alumnos. Si ambos premios no pueden ser concedidos a un mismo alumno, de cuántas maneras se pueden repartir? A) 0 B) 0 ) 45 D) 90 E) En una pared se deben colocar cuadros de distinto tamaño en línea, de modo que el más grande debe ubicarse en el centro. De cuántas maneras se puede hacer esto? A) 60 B) 0 ) D).50 E) Siete libros (todos con tapas de distintos colores) se deben ubicar uno al lado del otro en un estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos, y el libro de tapa verde en el otro extremo, de cuántas maneras se pueden ubicar los libros? A) 5 B) 10 ) 40 D) 0 E)

7 1. González pertenece a un curso que tiene 15 alumnos. Si se debe escoger representantes de este curso, pero uno de los elegidos debe ser González, de cuántas maneras se pueden escoger los representantes? A) 91 B) 18 ) 10 D) 64 E) De una baraja inglesa (5 cartas), se sacan cartas. uál es la probabilidad que todas ellas sean tréboles sabiendo que hay sólo 1 tréboles? A) B) ) D) E) Para cubrir plazas de profesor acuden 1 profesionales, 6 hombres y mujeres. uál es la probabilidad de que en la elección se escoja, al menos, una mujer? A) B) ) D) 1 E)

8 RESPUESTAS Pág. Ejemplo 1 1 A E B B D LAVES PÁG E 6. A 11. B.. E 1.. D A 4. E A 5. B 10. D 15. E DOMT-5 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 8