Capítulo. Técnicas de conteo Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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Carmen Mora Castro
hace 6 años
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1 Capítulo 35 Técnicas de conteo

2 La regla de multiplicación y conteo Si una tarea consiste de una secuencia de opciones en las cuales hay p posibilidades para la primera opción, q posibilidades para la segunda opción, r posibilidades para la tercera opción, y así sucesivamente, entonces la tarea se puede realizar de p q r formas diferentes. 5-2

3 EJEMPLO Contar las posibles opciones Para cada una de las dos opciones para el entremés, un restaurante tiene 4 opciones para el plato principal y dos opciones para el postre. Cuántas comidas diferentes se pueden formar? 5-3

4 n! (ene-factorial) Si n 0 es un entero, n! se define como sigue n! = n(n-1) ! = 1 0! = 1 5-4

5 Permutaciones Una permutación es un arreglo ordenado en el cual se eligen r objetos se seleccionan de n objetos distintas y no se permite repetición (objetos no pueden ser seleccionados más de una vez). El símbolo n P r representa el número de permutaciones de r objetos seleccionados de n objetos. 5-5

6 Número de permutaciones El número de formas que se pueden elegir r objetos distintos de un total de n objetos en los cuales los n objetos son distintos se permite la repetición de objetos (objetos no pueden ser seleccionados más de una vez). el orden importa está dado por n P r = n! n r! 5-6

7 EJEMPLO Apuestas En cuántas formas pueden los caballos en una carrera de 10 caballos terminar primero, segundo y tercero. Los 10 caballos son distintos. Si un caballo cruza la línea de llegada, no vuelve a cruzar. En una carrera, orden es importante. En este caso tenemos una permutación de 10 objetos que se toman 3 a la vez. Las diferentes formas en que los primeros 3 caballos se pueden ordenar es 5-7

8 EJEMPLO Apuestas (cont.) 5-8

9 Combinaciones Una combinación es a colección, sin tomar en cuenta orden, de n objetos distintos sin repetición (objetos no pueden ser seleccionados más de una vez). El símbolo n C r representa el número de combinaciones de n objetos distintos tomados r a la vez. 5-9

10 Número de combinaciones El número de formas diferentes de ordenar n objetos distintos tomando r n para los cuales los n objetos son distintos so se permite la repetición de objetos (objetos no pueden ser seleccionados más de una vez). el orden no importa está dado por n C r = n! r! n r! 5-10

11 EJEMPLO Muestras aleatorias simples Cuantas muestras aleatorias simples de 4 objetos se pueden obtener de una población de tamaño 20? Los 20 individuos son diferentes. El orden no importa. Por lo que, el número de muestras aleatorias simples de 20 objetos, tomados 4 a la vez, es una combinación de 20 objetos. En la fórmula con n = 20 y r = 4: 5-11

12 Permutaciones de n objetos donde los objetos NO son todos iguales El número de permutaciones de n objetos en los cuales que n 1 de ellos son de una clase, n 2 de ellos son de otra clase, y donde n k de ellos son de otra clase n! n 1! n 2! n k!

13 EJEMPLO Arreglos de Banderas De cuántas formas diferentes se pueden arreglar verticalmente 10 banderas si 5 son de color blanco, 3 son de color azul, y 2 son de color rojo? 5-13

14 EJEMPLO Ganar la lotería En la Lotería de Illinois, una urna contiene bolas enumeradas del 1 a 52. De esta urna, seis bolas se eligen al azar sin reemplazo. Para una apuesta de $1, un jugador elige dos grupos de seis números. Para ganar, los seis números deben coincidir con los seleccionados de la urna. El orden en que se seleccionan las bolas no importa. Cuál es la probabilidad de ganar la lotería? 5-14

15 EJEMPLO Ganar la lotería (cont.) La probabilidad de ganar está dada por el número de maneras en que un boleto podría ganar dividido por el tamaño del espacio muestral. Cada boleto tiene dos grupos de seis números, por lo que hay dos posibilidades de ganar por cada boleto. El espacio muestral, S, es el número de maneras en que 6 objetos de los 52 objetos se pueden seleccionar, sin reemplazo, y sin tener en cuenta el orden Así que N (S) = 52 C

16 Arboles de decisión Tenemos dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas azules, 3 rojas y 3 verdes y en la urna B hay 5 bolas azules, 2 rojas y 3 verdes. Lanzamos una moneda. Si sale cara acudimos a la urna A y si sale cruz acudimos a la urna B. Calcula la probabilidad de obtener: a) cara y bola roja b) bola azul c) bola no-azul Un árbol de decisiones es una herramienta para determinar la probabilidad de tomar una serie de decisiones cuando cada decisión es independiente de la otra. 5-16

17 Arboles de decisión (cont.) Use el árbol de decisiones para calcular la probabilidad de obtener: a) cara y bola roja b) bola azul c) bola no-azul P(bola no-azul) = 5-17

EJEMPLO Cuál regla aplica? En el juego De Acuerdo o No?, le presentan a un concursante 26 maletas que contienen cantidades que van desde $ 0.01 a $ 1,000,000.

18 EJEMPLO Cuál regla aplica? En el juego De Acuerdo o No?, le presentan a un concursante 26 maletas que contienen cantidades que van desde $ 0.01 a $ 1,000,000. Las cantidades se distribuyen en las maletas al azar antes de comenzar. El concursante deberá escoger una maleta inicial que se separa a un lado en lo que el juego progresa. Cuál es la probabilidad de que el concursante elija una maleta con un valor de al menos 100,000 dólares si los premios se desglosan como sigue: 5-18

19 EJEMPLO 2 Cuál regla aplica? De acuerdo con una encuesta de enero de 2008, el 14% de los adultos estadounidenses tienen uno o más tatuajes, el 50% han perforado sus orejas, y el 65% de los que tienen uno o más tatuajes también han perforado sus orejas. Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense seleccionado aleatoriamente tenga uno o más tatuajes y las orejas agujeradas? Este es un evento compuesto ( es un y ). E = "uno o más tatuajes" y F = "orejas perforadas," Como P (F) = 0.50 y P (F E) = 0.65, P (F) P (F E) Los dos eventos no son independientes. Hallar P(E y F) con la Regla General de Multiplicación 5-19

20 5-20

21 EJEMPLO Cuál técnica de conteo usar? El consejo de la ciudad Hazelwood consta de 5 hombres y 4 mujeres. Cuántos subcomités diferentes se pueden formar que contengan de 3 hombres y 2 mujeres? 5-21

22 EJEMPLO 2 Cuál técnica de conteo usar? El 17 de febrero de 2008, el Daytona International Speedway fue sede de la 50 ª edición de la Daytona 500. Considerado, por muchos, el evento más esperado en la historia de las carreras, la carrera llevaba un bolso récord de casi $18.7 millones. Con 43 pilotos en la carrera, en cuántas maneras diferentes pueden ocurrir los cuatro primeros clasificados (primero, segundo, tercero y cuarto lugar)? 5-22

23 EJEMPLO 2 Cuál técnica de conteo usar? (cont.) En este caso las posiciones representan premios, Por lo tanto, el orden importa. Queremos hallar las formas diferentes de elegir un grupo de 4 pilotos de los 43. Podemos usar la fórmula de permutación. 5-23

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