ANÁLISIS COMBINATORIO

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1 ANÁLISIS COMBINATORIO MARCO TEÓRICO DEL ANÁLISIS COMBINATORIO FUNCIONES DE EXCEL PARA EL ANÁLISIS COMBINATORIO

2 INTRODUCCIÓN ANÁLISIS COMBINATORIO Una de las dificultades en el estudio de la Matemática Finita es la cuantificación de eventos, estos eventos pueden ser: El número de arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. El número de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto. Para determinar el número de estos eventos, sean arreglos u ordenaciones de los elementos de un conjunto o el número de eventos que suceden en un experimento de carácter aleatorio, se han establecido una serie de métodos de conteo denominado Análisis Combinatorio. LA NOTACIÓN FACTORIAL Sea n un número de elementos, como n factorial se define a: Donde n Z + ; es decir n > 0 Como ejemplos podemos decir: 5! = = 120 4! = = 24 PROPIEDADES DEL FACTORIAL = n (n 1) (n 2) 2 1 = n (n 1) (n 2) (n k)! 0! = 1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO Si un evento puede realizarse de m maneras y otro evento puede realizarse de n maneras, entonces los dos eventos en forma simultánea se pueden realizar de m n maneras. VARIACIONES Se tiene un conjunto de n elementos con los cuales se quiere hacer Arreglos u Ordenaciones de r elementos, al número de Arreglos u Ordenaciones de tamaño r elementos que se pueden hacer con los n elementos de este conjunto se denomina una variación de n elementos tomados de r en r. Ejemplo: Sean los elementos A, B y C; con estos tres elementos se pueden hacer los siguientes arreglos y ordenaciones de dos elementos: AB, AC, BA, BC, CA, CB e d i c a p e d. c o m Página 1

3 Es decir 6 arreglos o 6 ordenaciones, entonces la Variación de los 3 elementos en grupos de 2 es igual a 6. Matemáticamente, la Variación de los n elementos en grupos de r elementos está dada por: V(n, r) = Aplicando esta expresión al ejemplo anterior se tiene: (n r)! PERMUTACIONES V(3,2) = 3! (3 2)! = = 6 1! 1 = 6 Si se trata establecer el número de Arreglos u Ordenaciones que se pueden hacer con todos los elementos de un conjunto, es decir, arreglos de n elementos con los n elementos de un conjunto, entonces se tiene una permutación; aplicando la expresión para las variaciones se tiene: P(n) = V(n, n) = (n n)! = 0! = 1 = Lo que permite afirmar que una Permutación es un caso particular de las variaciones, entonces: PERMUTACIONES REPETIDAS P n Si entre los elementos de un conjunto, existen elementos que se repiten, entonces el número de arreglos u ordenaciones que se puede hacer con los n elementos es una permutación con elementos repetidos, entonces: P r (n) = n 1! n 2! Donde n es el número de elementos del conjunto y n 1, n 2 el número de elementos que se repiten. PERMUTACIONES CIRCULARES Cuando se trata de calcular el número de arreglos u ordenaciones de los n elementos de un conjunto en forma circular, ejemplo ubicar a n personas alrededor de una mesa circular, el número de permutaciones está dado por: P o (n) = (n 1)! e d i c a p e d. c o m Página 2

4 COMBINACIONES El número de subconjuntos de tamaño r elementos que se pueden formar con los n elementos de un conjunto se denomina una combinación de los r elementos de un grupo de n elementos. Tomando como ejemplo: Sea el conjunto: A = {a, b, c} Se trata de establecer cuantos subconjuntos de dos elementos se pueden formar con los tres elementos del conjunto A: {a, b}; {a, c}; {b, c} Se pueden formar 3 subconjuntos de 2 elementos; entonces el número de combinaciones de los tres elementos en grupos de dos es igual a 3. El número de combinaciones de los n elementos tomados de r en r es el número de variaciones de los n elementos tomados de r en r dividida para el número de permutaciones de los r elementos, es decir: Desarrollando la última expresión, se tiene: C(n, r) = C(n, r) = V(n, r) P(r) (n r)! = r! r! (n r)! Aplicando esta expresión al ejemplo anterior, se tiene: C(3,2) = 3! 2! (3 2)! = = Una propiedad muy importante en el cálculo del número de combinaciones es: C(n, r) = C(n, n r) Lo que quiere decir que el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r es igual al número de combinaciones de los n elementos tomados en grupos de n r elementos. e d i c a p e d. c o m Página 3

5 ANALISIS COMBINATORIO UTILIZANDO EXCEL Dentro de las funciones electrónicas del Programa Excel existen dos funciones que permiten determinar, permutaciones, variaciones y combinaciones; estas funciones devuelven como resultado el número de arreglos u ordenaciones (Permutaciones) y el número de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto. A continuación se hará una descripción de las funciones mencionadas: FACTORIAL DE UN NÚMERO Para calcular el factorial de un número se puede utilizar la función FACT que se encuentra en la Categoría Matemáticas y Trigonométricas, al activar esta función se despliega la siguiente ventana: En el campo Número el usuario deberá ingresar la referencia de la celda cuyo factorial se desea obtener; al dar un clic sobre el botón Aceptar, el programa devolverá el valor del factorial buscado. PERMUTACIONES Y VARIACIONES La función PERMUTACIONES se encuentra en la categoría Estadísticas; para esto el usuario deberá previamente colocar el cursor en la celda donde se desee obtener el resultado y luego activar el Asistente de funciones y en la categoría Estadísticas buscar la función PERMUTACIONES; tal como se indica en la siguiente ventana: e d i c a p e d. c o m Página 4

6 Esta función requiere de dos argumentos: los campos Número y Tamaño; en Número se deberá registrar la celda referenciada donde se encuentra alojado el tamaño de la muestra (n); en el campo Tamaño se deberá registrar la celda referenciada donde se encuentra alojada el tamaño del grupo (r). Si se trata de una Permutación: el tamaño del grupo es igual al tamaño de la muestra, por lo tanto deberá ingresar en este campo la misma referencia que la del campo Número. Si se trata de una Variación: el tamaño del grupo es menor que el tamaño de la muestra; entonces en el campo Tamaño deberá ingresar la referencia a la celda donde se encuentra registrado el tamaño del grupo. COMBINACIONES La función COMBINAT se encuentra en la categoría Matemáticas y Trigonométricas; para utilizar esta función esto el usuario deberá previamente colocar el cursor en la celda donde se desee obtener el resultado y luego activar el Asistente de funciones y en la categoría indicada buscar la función COMBINAT, tal como se indica en la siguiente ventana: Al presionar el botón Aceptar se despliega la siguiente Ventana: En esta ventana se deberán ingresar las referencias de las celdas que contenga la información correspondiente al número de elementos de que se quiere combinar y en el campo Tamaño el número de elementos de cada uno de los grupos a formarse mediante la combinación. e d i c a p e d. c o m Página 5