GUÍA TÉCNICAS DE CONTEO

Transcripción

1 GUÍA TÉCNICAS DE CONTEO Básicamente utilizamos las técnicas de conteo cuando el hecho de representar el espacio muestral es demasiado engorroso debido a que sus resultados son demasiados para poder contabilizarlos. De manera que se hace imposible calcular cualquier probabilidad de un evento resultante de este. Por ejemplo: el espacio muestral resultante del experimento, escoger tres personas entre 10 para trabajar como operadores de línea de producción o escoger cuatro candidatos entre 15 para ocupar el cargo de presidente, vicepresidente y secretarios. 1. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN 1.1. REGLA DEL PRODUCTO PARA PARES ORDENADOS Lo primero que debemos hacer es diferenciar entre los individuos (cosas, personas o animales) que se desea contar y el orden que estos pares llevan en un espacio muestral, un ejemplo práctico que ilustra lo anterior es comparar las dos siguientes situaciones: 1 Se desea realizar un trámite donde primero se tiene que hacer una fila para pedir una cita, luego se debe hacer una fila para pagar el trámite y finalmente una fila para reclamar el documento, 2 Hacer una fila para pagar los servicios públicos, hacer una fila en otro lugar para pagar la tarjeta de crédito, hacer una fila en otro lugar para pagar la matrícula de la universidad. Proposición: Si el primer elemento de un par ordenado se puede seleccionar de n 1 maneras distintas y para estas n 1 se puede seleccionar un segundo elemento del par en n 2 formas, entonces el número de pares es n 1 x n 2. Un estudiante puede elegir entre dos cursos para matricular, como primera opción tiene 12 cursos diferentes de estadística y probabilidad y 7 cursos de Cálculo III, entonces las diferentes formas en las que el estudiante puede elegir los dos cursos serán: 12 x 7 = DIAGRAMAS DE ÁRBOL Es sencillamente la forma gráfica de representación para la regla del producto en pares ordenados EN TODAS sus posibilidades. En donde la primera rama del árbol es el número de eventos n 1 y se les conoce como ramas de primera generación y la segunda rama del árbol son el número de resultados dados por n 2 o ramas de segunda generación. De cuantas maneras se puede escoger entre cuatro pares de zapatos y tres tipos de correas:

2 Como se puede observar en el diagrama anterior, en este se encuentran todas las posibles combinaciones en las que se pueden seleccionar los zapatos y las correas dadas en el ejercicio anterior como se puede observar en la última parte se encuentra la representación del espacio muestral conteniendo todos los posibles resultados y el número de pares ordenados que componen el espacio muestral es n 1 x n 2 = 4 x 3 = 12, que es igual al número de ramas finales o de segunda generación con las que cuenta el árbol REGLA DEL PRODUCTO MÁS GENERAL Considere el caso en el que además de combinar los cuatro pares de zapatos y las tres correas además se tienen siete colores de pantalón distintos y seis tipos de camisa diferentes, en este caso no se tiene únicamente un par ordenado, también se debe tener en cuenta en la construcción del espacio muestral: número de combinaciones para vestirse los resultados con las camisas y los pantalones. En este caso se podría construir un diagrama de árbol con ramas de tercera y cuarta generación pero en realidad se haría un poco engorroso. NOTA: Siempre tenga presenta algunos posibles resultados del espacio muestral cuando el hecho de construirlo sea demasiado largo. Así que extendiendo los resultados en la regla de la multiplicación el número de elementos en el espacio muestral estaría dado por: n 1 x n 2 x n 3 x n 4 x x n k. Para el ejemplo en anterior el número de resultados del espacio muestral vendría dado por: 4 x 3 x 7 x 6 = 504 maneras de vestirse diferentes. 2. PERMUTACIONES La regla de la multiplicación se utiliza básicamente cuando los elementos que componen el experimento son extraídos de conjuntos totalmente excluyentes. En este caso se deberá extraer los elementos que componen el experimento de un mismo conjunto. DEFINICIÓN: Cualquier secuencia ordenada de k elementos tomada de un conjunto de n elementos distintos se denomina permutación, de tamaño r de los objetos, y se indica de la siguiente manera n P r. En otras palabras se utiliza para encontrar el número de arreglos cuando en el espacio muestral importa el orden en el que van los elementos, se asume que el número total de objetos es n y r el número de elementos que se escogen para conformar un elemento del espacio muestral. Los elementos se pueden arreglar de dos maneras diferentes: SIN SUSTITUCIÓN (calculadora directamente) El número de permutaciones de tamaño r que se pueden obtener se logra directamente aplicando la regla de la multiplicación, como los elementos salen del mismo conjunto de datos entonces n P r que daría expresado de la siguiente manera: np r = n x (n 1) x (n 2) x x (n r+2) x (n r+1) Note que si n = r entonces n P r = n x (n 1) x (n 2) x x (2) x (1) = n! En general n P r =!!

3 CON SUSTITUCIÓN El experimento estaría planteado de la misma manera solo que el elemento que se saca para conformar el resultado en el espacio muestral se puede volver a sacar ya que puede volver hacer parte del conjunto total de los n elementos, la expresión quedará expresada de la siguiente forma: n P r = n r. Tres ejemplos que ilustra lo anterior se observa en lo siguiente: De cuantas maneras se pueden seleccionar de un grupo de 10 asistentes para calificar 6 preguntas de un examen. Como cambia el ejercicio si las preguntas del parcial son 10. Como cambia el ejercicio si un asistente puede calificar más de una pregunta. 3. COMBINACIONES Al igual que en el caso anterior los elementos son extraídos de un único conjunto. DEFINICIÓN: Dado un conjunto de n objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño r de los objetos se le denomina combinación, se indica de la siguiente forma n C r = En este caso se trata de encontrar el número de r arreglos en un conjunto de n elementos, cuando en el espacio muestral el orden no importa el orden. Generalmente cuando se habla de una combinación no se aplica el hecho de que pueda ocurrir con sustitución debido a la poca practicidad de esta aplicación. Debido a esto solo se tomará el caso en donde la combinación de hace con sustitución (calculadora directamente) y esto se verá mucho más claro en los ejemplos. La expresión para calcular una combinación es la siguiente: n C r =!!! Un ejemplo para la situación anterior es: En un juego de cartas se desea saber el número de combinaciones posibles que se puede obtener si se juega al bridge donde a cada jugador se le asigna un total de 13 cartas. Escoger dos personas entre un grupo de seis para un cargo con las mismas funciones. PROPIEDADES: NOTAS: Nunca cuando esté realizando los ejercicios pierda de vista el concepto de evento. Nunca cuando esté realizando los ejercicios pierda de vista el concepto de probabilidad.

4 COMBINACIONES CON SUSTITUCIÓN: Las combinaciones con repetición n C r de n elementos tomados de r en r admiten varias definiciones. Se usan todas porque es un concepto más difícil que los anteriores y para abrir aplicaciones diversas de este tipo de arreglos. 1. Son los distintos arreglos que se pueden formar en un conjunto de n elementos de forma que en cada uno se elijan r elementos que pueden ser repetidos y se diferencien unos arreglos de otros sólo en los elementos que los forman y no por el orden elegido. 2. Son aplicaciones del conjunto (1,2,3...r) en el conjunto dado que sean crecientes en sentido amplio. 3. Las n C r equivalen a un reparto de n objetos en r cajas. 4. Las n C r equivalen al conjunto de todas las soluciones enteras positivas de la ecuación x 1 + x x r = n La fórmula para calcular n C r se pued e expresar de varias formas: !!!

5 TALLER TÉCNICAS DE CONTEO 1. Determinar el valor de las siguientes expresiones: a) 10! b) (18 12)! c) ( )! d)!!!! e)!!!!!! f)!! g)!! h)!!!! 2. Cómo se clasifican las ordenaciones y qué diferencias hay entre ellas? 3. Qué es una permutación, cómo se calcula? 4. Cuándo los elementos de un conjunto se pueden agrupar en subconjuntos, cómo se calcula la permutación? 5. Calcular el número de permutaciones que se pueden formar con las letras de cada una de las siguientes palabras: a) Contaduría b) Administración c) Sistemas d) Tecnología 6. Qué es una variación? Cómo se calcula el número de variaciones posibles? 7. Cuántos números de cinco (5) cifras diferentes, pueden formarse con los dígitos : a) 2, 3, 4, 9, 0, 8 b) 6, 2, 4, 1, 8, 9 c) 1, 2, 3,.4, 5, 6, 7, 8, 9 8. Qué es una combinación? Cómo se calcula, el número de combinaciones posibles? 9. Si se tiene en cuenta, los equipos de fútbol de Colombia, Uruguay, Ecuador, Brasil, Argentina y Paraguay. Cuántas delegaciones de cuatro equipos se pueden formar? Si: a) En la delegación debe estar obligatoriamente Colombia b) No se impone ninguna restricción 10. De cuántas maneras puede formarse equipos de estudio, de 5 estudiantes, si se tiene un grupo de 20? 11. De Cuántas formas se pueden ordenar 6 impresoras en un estante, si: a) Dos impresoras determinadas, deben estar juntas. b) No se impone ninguna restricción c) Una impresora determinada, debe estar en el extremo izquierdo 12. Se presentan a un concurso 12 hombres y 10 mujeres. Cuántos grupos de 3 hombres y cinco mujeres podrían ganar? 13. Con los dígitos se desea formar números de doce cifras utilizándolos a todos ellos. Cuántos números distintos pueden formarse? 14. De un salón de 30 estudiantes, cuántos grupos de 5 estudiantes se pueden formar, si un estudiante determinado está en todos los grupos. 15. Cuántos números tiene una lotería de 4 cifras sin series, sí aparece el 1 en la primera cifra 16. Cuántos números tiene una lotería de 4 cifras sin series,, si todas las cifras son diferentes. 17. Cuántos son los posibles menús que se pueden formar para una cena, si se dispone de 4 platos de entrada, 2 platos fuertes y 10 tipos de postres. 18. De cuántas formas pueden caer 5 dados, sí caen por caras diferentes.

6 19. Cuántas son las formas como pueden caer 5 dados, si el primer dado cae por 1 ó por Cuántas son las formas como pueden caer 5 dados. 21. De cuántas formas pueden caer 5 dados, si ninguno cae por la cara En un lote de 10 bombillas hay 3 defectuosas, cuántas muestras de tamaño 5 se hallan, si deben haber en la muestra exactamente 3 buenas. 23. De cuántas formas posible se puede definir la clasificación de los primeros 5 equipos en un campeonato de 15 equipos, si el equipo 15 ocupa siempre el segundo lugar. 24. De cuántas formas pueden caer 10 monedas. 25. De cuántas formas pueden caer 10 monedas, si por lo menos 8 caen por cara. 26. En un grupo de votantes se realiza una encuesta sobre si están a favor de un proyecto de ley, entrevistando al azar 50 personas, cuyos nombres se registran en una lista a medida que van votando. Si la respuesta es si ó no. De cuántas formas posibles se contestará la encuesta. 27. De cuantas maneras pueden caer 3 monedas y 2 dados simultáneamente. 28. En un lote de 60 tornillos producidos por una máquina, hay 12 defectuosos, cuantas muestras diferentes de 10 tornillos hay, si deben haber exactamente 2 buenos. 29. De cuantas maneras podrán escogerse 4 personas de un grupo de 5 matrimonios, de suerte que 2 sean hombres y 2 mujeres. 30. Una operación de montaje en una empresa manufacturera requiere tres pasos que se realizan dependiendo de un orden específico, De cuantas maneras se puede hacer el montaje. 31. Una aerolínea tiene 6 vuelos diarios de New York a California y 7 vuelos de California a Hawai todos en horas diferentes. Si los vuelos se hacen en días separados, cuantos diferentes arreglos de vuelos se pueden ofrecer. 32. De cuántas formas se pueden llenar dos vacantes de administradores y tres vacantes de economistas, de un total de ocho economistas, tres administradores y cinco ingenieros industriales. 33. Una caja de 12 baterías recargables contiene una defectuosa. De cuántas formas puede un inspector seleccionar tres de las baterías y obtener la defectuosa. No obtener la defectuosa. 34. Un equipo de trabajo formado por dos estudiantes de Administración, dos de Mercadeo y cuatro de Economía debe constituirse para una representación externa de la Universidad. Si se dispone de una lista de inscripciones con cuatro estudiantes de Administración, cinco de Mercadeo y seis de Economía a. Cuántas son las distintas formas posibles de obtener el equipo de trabajo?. b. El hermano de uno de los aspirantes de Mercadeo está en la lista de inscritos de Economía. De cuántas formas se puede formar el equipo donde los dos hermanos sean escogidos?. c. De cuántas formas se puede formar el equipo, donde ninguno de los dos hermanos sea escogido?. 35. Si los códigos en un catalogo comienzan con tres letras distintas (alfabeto 27 letras) seguidas por tres dígitos distintos de cero, encuentre cuántos códigos tienen como primera letra una vocal y que el último dígito sea par. 36. Tres parejas de casados han comprado boletos para el teatro y se sientan en una fila formada por solo seis asientos. Si se toman los asientos de un modo totalmente aleatorio (al azar), a. De cuantas formas José y María (marido y mujer) se pueden sentar en los dos asientos de la extrema izquierda y sus compañeros en los otros?. b. De cuantas formas José y María pueden terminar sentados uno junto al otro y sus compañeros?.