TEÓRICO-PRÁCTICO Nº 2 Combinatoria

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1 TEÓRICO-PRÁCTICO Nº 2 Combinatoria EJERCICIOS INTRODUCTORIOS: 1. Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2 y 3? Y si se repiten los dígitos? 2. Cuantos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, si el lugar de las centenas esta ocupado por el tres y la unidad de mil por el 4? 3. Cuántos partidos de básquet se jugarán en una liga de 10 equipos si cada uno debe jugar dos veces contra cada uno de los demás? 4. Con las letras de la palabra libro, cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? PERMUTACIONES: Ana, Beatriz y Carla ocupan tres asientos en el teatro. Tienen varias maneras de hacerlo. Ana Beatriz Carla Ana tiene tres posibilidades de elegir su lugar. Cuando Ana está sentada, Beatriz solo puede elegir entre los dos lugares que quedan vacíos. En cualquiera de los casos, Carla se debe sentar en el único lugar vacío. 1

2 Finalmente las chicas se puede sentar de 3.2.1=3! maneras distintas. Como éstas son las posibilidades, no importa quien elija primero. Definición: una permutación de un número de objetos es una disposición de esos objetos en un cierto orden. Se llama al número de permutaciones de n elementos. Es decir, se llama permutación de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos n elementos de forma que: Si entran todos los elementos. Si importa el orden. No se repiten los elementos. Atención: IMPORTANTE PARA JUSTIFICAR! Propiedades: ! = (0+1)! = (0+1).0! = 1.0! 1! = 1.0! 0! = 1 Observación: la función factorial de n asigna a cada número natural el producto de todos los números naturales menores e iguales que él. es una función creciente. Ejercitación: 1. En el salón hay tres floreros distintos y se tienen: un ramo de rosas, uno de claveles y uno de jazmines. De cuántas maneras se pueden ubicar los ramos sin desarmarlos ni dejar floreros vacíos? 2. En un auto pueden viajar 5 personas. De cuántas maneras distintas pueden sentarse si solo tres saben manejar? Decidan la opción correcta: a. 72 b. 120 c. 360 d Los 5 últimos pasajeros del micro escolar son siempre los mismos, y como viven bastante cerca uno del otro, el chofer se entretiene dejándolos en la casa en un orden distinto cada día. Si los chicos van a la escuela de lunes a viernes, al cabo de cuántas semanas comienza a repetir los recorridos? 4. De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el arquero no puede ocupar otra posición distinta? PERMUTACIONES CON CONDICIÓN: Ejemplo: 2

3 Una mesa presidencial está formada por cuatro personas, de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Llamemos a los otros dos integrantes A y B; y al presidente y secretario P y S. Entonces las posibles formas de sentarse son: P S A B P S B A A P S B B P S A A B P S B A P S S P A B S P B A A S P B B S P A A B S P B A S P 12 formas posibles. Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 3 personas, en los dos se cumple que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Como el presidente y el secretario se sientan juntos, debemos considerarlos como una sola persona: PS 5. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. b. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. 6. En una reunión cumbre entre los presidentes de 10 países de América del Sur, el día final de sesiones deciden retratarse para la posteridad. De cuántas maneras pueden disponerse los 10 mandatarios, si los presidentes de Perú y Ecuador por voluntad propia no desean posar juntos? a. 9! b. 8! c. 9.8! d. 10! e. 8.9! PERMUTACIONES CON REPETICION: Ejemplo: Cuántos anagramas distintos pueden formarse con la palabra canasta? 3

4 Como en la palabra canasta la letra A aparece repetida 3 veces, coloquemos subíndices a cada una de ellas, para distinguirlas: Observemos que el hecho de diferenciar las letras repetidas colocándoles subíndices nos permite tratarlas como si fuesen letras distintas del abecedario, y en este caso podemos entonces considerar a la palabra formada por 7 letras distintas. Como el número de permutaciones de 7 elementos distintos es, se tiene entonces permutaciones de: Tomemos una cualquiera de esas permutaciones, por ejemplo: (1); y calculemos cuántas de las permutaciones tienen las letras T, C, N y S ubicadas en el mismo lugar en que aparecen en (1). Para esto debemos permutar dejando fijas las otras letras y obtendremos: Como se han permutado tres letras, el número de permutaciones es. Observemos que si quitamos los subíndices de las permutaciones leemos siempre la misma palabra. Vemos entonces que en el conjunto total de las quedan formados grupos de que dan origen a la misma palabra. Por lo tanto, si cada se origina una palabra, cada permutaciones se originarán palabras distintas. Es decir, Luego la cantidad de anagramas es: = se lee: permutaciones de 7 elementos donde 3 de ellos son repetidos. Definición: permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que: Si entran todos los elementos. Si importa el orden. Si se repiten los elementos. Atención: IMPORTANTE PARA JUSTIFICAR! = 4

5 7. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. Cuántos números de nueve cifras se pueden formar? 8. En un palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, cinco azules y dos verdes. Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? 9. Calculen el número de formas distintas en que se pueden colocar 15 pelotas en una fila, si cuatro son rojas, tres son amarillas, seis son negras y dos son azules. 10. Cuántos anagramas pueden formarse con cada una de las siguientes palabras? a. Elefante b. Cerradura c. Inteligencia VARIACIONES: Si Ana, Beatriz y Carla (del ejemplo original de la página 1) encuentran cinco asientos vacíos tienen muchas más maneras de sentarse. Ahora Ana puede elegir entre 5 asientos: Para cada elección de Ana, Beatriz tendrá posibilidades. Una vez que Ana y Beatriz eligen sus lugares, a Carla le quedan posibilidades. En total se pueden sentar de 5.4.3=60 maneras distintas. Definición: una variación de k elementos de un grupo de n es una disposición de los k elementos seleccionados en un cierto orden. Es decir, se llama variaciones ordinarias de n elementos tomadas de k en k (n k) a los distintos grupos formados por k elementos de forma que: No entran todos los elementos. Si importa el orden. No se repiten los elementos. Atención: IMPORTANTE PARA JUSTIFICAR! Algunas calculadoras científicas incluyen la tecla {npr} que sirve para obtener variaciones. 5

6 Ejercitación: 11. Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5? 12. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. Cuántos cuadros de honor se pueden formar? 13. El Centro de Estudiantes de la escuela eligió autoridades para su comisión directiva. En total son 7 miembros. Entre ellos deben elegir presidente, vicepresidente y secretario. De cuántas formas distintas puede hacerse esta selección? 14. Con las cifras de 2735: a. Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? b. Cuántos números pares de tres cifras distintas? c. Cuántos números pares de tres cifras? VARIACIONES CON REPETICIÓN Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con 1, 2, 4, 5, 8 y 9? Representemos con 3 casilleros el número de 3 cifras y ubiquemos el número de opciones para cada una de ellas Luego, la cantidad total de números que pueden formarse es: Esta cantidad representa el número de variaciones con repetición de 6 elementos tomados de a 3, que indicaremos con el símbolo Definición: se llaman variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k a los distintos grupos formados por k elementos de manera que: No entran todos los elementos si n > k. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. Atención: IMPORTANTE PARA JUSTIFICAR! Ejercitación: 15. Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? 16. Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? 17. Cuántos números de 5 dígitos y capicúas pueden formarse con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? 18. Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6; cuántos números menores que 700 se pueden formar? COMBINACIONES: En la florería hay una rosa de cada una de diez variedades distintas. Cómo se pueden combinar las rosas para armar un ramo de tres? 6

7 Para elegir la primera rosa hay diez opciones, para la segunda hay nueve y para la tercera hay ocho. Sin embargo, cuando se arma un ramo, no importa en qué orden se eligieron las flores; así que la sucesión Roja-Amarilla-Blanca y todas sus permutaciones dan el mismo ramo. R-A-B R-B-A Las 6 sucesiones: A-R-B A-B-R producen el mismo ramo. B-R-A B-A-R Lo mismo ocurre con cualquier otra sucesión de tres rosas. Las sucesiones producen ramos distintos. Se puede escribir: Este número de combinaciones de 10 elementos tomados de a 3 se llama número combinatorio. Cada ramo es un subconjunto de 3 elementos del conjunto de las 10 rosas. Solo interesa qué rosas lo forman y no el orden en que aparecen. De la misma manera se pueden armar ramos de 2 rosas. Sólo se puede armar un ramo de 10 rosas disponibles. Si hacemos el cálculo: Hay un sólo subconjunto del conjunto de las 10 rosas que no contiene ninguna rosa, es el conjunto vacío. Si hacemos el cálculo: Definición: las combinaciones de n elementos tomados de a m son los subconjuntos de m elementos elegidos entre los n dados. El número de estas sucesiones es: 7

8 Es decir, se llama combinaciones de n elementos tomados de m en m (n m) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. Atención: IMPORTANTE PARA JUSTIFICAR! Algunas calculadoras científicas incluyen la tecla {ncr} que sirve para obtener el número combinatorio Ejercitación: 19. El menú ofrece: lechuga, tomates, cebollas, zanahorias, remolachas, chauchas, rúcula. Cuántas ensaladas distintas de 4 vegetales se pueden armar? 20. Con los 12 miembros de la comision directiva del club se quiere armar una subcomisión de 3 miembros para organizar lso festejos del 9 de Julio. De cuántas maneras se puede hacer? Propiedades de los números combinatorios: 1. Calculemos algunos números combinatorios y los comparamos: Calculen, ocurre lo mismo? 2. En los números combinatorios hay cierta simetría. Calculen, ocurre lo mismo? 3. 8

9 Calculen, ocurre lo mismo? Finalmente, completen las propiedades: si n m: Ejercitación: 21. Si se elige entre los 25 chicos de un grupo, a. cuántos equipos de 12 se pueden formar? b. cuántos de 13? 22. En el equipo de futbol del colegio hay 25 alumnos de los cuales sólo 2 son arqueros. Se organiza un torneo regional al que se pueden llevar 15 jugadores. El DT decide llevar a los dos arqueros y 13 jugadores más. Cuántas comitivas distintas se pueden formar? 23. Se nombran 10 puntos en una circunferencia. a. Cuántas rectas se pueden trazar que pasen por pares de esos puntos? b. Cuántos triángulos se pueden dibujar que tengan sus vértices entre los puntos nombrados? 24. En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, de cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan? a. 100 b. 120 c. 200 d. 240 e Con un mazo de cartas de truco, cuántas flores distintas se pueden formar? 26. En una granja experimental se tienen ratas de la misma edad, 6 de la raza A y 7 de la raza B. Si se desea formar parejas para realizar un experimento. Cuántas parejas se pueden formar, si deben ser una de la raza A y una de la raza B? 27. En un colegio hay 15 profesores de los cuales 10 son varones y 5 mujeres, se necesitan 4 profesores para llevar a cabo un proyecto especial que fomente la cultura De cuántas maneras se puede elegir 2 varones y 2 mujeres? COMBINACIONES CON REPETICIÓN: Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos. 9

10 Ejemplo: En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elige 4. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. Fecha de entrega:. Alumno:. TRABAJO PRÁCTICO 1. Elige la opción correcta y justifica tus respuestas: Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5? a b c d Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse, tengan o no sentido, usando las letras de la palabra CUADERNO? a. 120 b. 336 c d Se dispone de siete colores para diseñar una bandera que tiene tres franjas horizontales de igual ancho pero de distinto color. Cuántas banderas se pueden diseñar que no tenga ningún color repetido? a. 6 b. 240 c. 840 d.210 e De cuántas maneras se pueden colocar 11 alumnos en una fila, de manera que dos de ellos, Benjamín y Clemente, no queden juntos? a. 10! b. 11! c. 9x10! d. 10x11! e. 9x11! 2. Cuántos anagramas distintos se pueden formar con las letras de la palabra CALABAZA? Revisión 1. Resuelve los siguientes problemas y justifica tus respuestas: A. De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 6 libros en un estante (alineados)? B. Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de la palabra IMAGEN? C. De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco, si una de ellas debe ubicarse siempre en el extremo derecho? D. De cuántas maneras se pueden ordenar las 24 letras del alfabeto griego? 2. Elige la opción correcta y justifica tus respuestas: 10

11 I. Cuántas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra FERMAT de tal manera que comiencen y terminen en consonantes? a. 240 b. 720 c. 288 d. 420 II. De cuántas maneras se pueden colocar 12 alumnos en una fila, de manera que dos de ellos, Ema y Juana, no queden juntos? a. 10! b. 11! c. 9x10! d. 10x11! e. 9x11! III. En una fiesta, se encuentran 3 hombres y 3 mujeres. De cuántas maneras pueden sentarse en forma lineal si se desea que queden alternados (es decir, un hombre y una mujer o una mujer y un hombre)? a. 36 b. 24 c. 72 d. 108 e. 64 IV. En una reunión de 11 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse. De cuántas maneras pueden ordenarse? a. 2x9! b. 11! c. 10! d. 2x10! e. Ninguna de las anteriores. V. Con los números 1, 2, 3, 4, 5, cuántos números de 5 cifras, sin repetición, son múltiplo de 5? a. 24 b. 120 c. 6 d. Ninguna de las anteriores 3. Cuántos anagramas distintos se pueden formar con las letras de la palabra COCODRILO? Y con las letras de la palabra MADRASTRA? 4. Cuántos grupos de 2 varones y 3 mujeres se pueden formar con 5 varones y 7 mujeres? 5. Se tienen 9 libros y sólo 4 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 4 libros elegidos; entre los nueve dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. De cuántas formas distintas se podrán elegir los libros? 6. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. De cuántas formas podrá hacerse si: a. todos son elegibles; b. un físico particular ha de estar en esa comisión Clave de Respuestas (a) semanas a b ! (e) a b c

12 14. a. 24 b. 6 c a. 300 b a. 45 b (c)