PRIMER PLATO SEGUNDO PLATO POSTRE

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1 1 EJERCICIOS 1. (página 254) Una chica tiene 3 faldas y 5 blusas. Cuántas combinaciones distintas de falda y blusa puede ponerse? Por le principio de multiplicación N = 3 5 = 15 combinaciones. 3. (página 254) Utiliza los siguientes dígitos y contesta: 2, 4, 6 y 8. a) Cuántos números distintos de tres cifras pueden formarse? 4 posib. 4 posib. 4 posib. Por le principio de multiplicación, N = = 64 números de tres cifras. b) Cuántos números, de tres cifras, que no tengan ninguna cifra repetida? 4 posib. 3 posib. 2 posib. Por le principio de multiplicación, N = = 24 números con ninguna cifra repetida. c) Cuántos números de tres cifras, que tengan un solo dígito repetido? Nos piden que dos de los tres dígitos sean iguales. Con números de tres cifras hay tres posibilidades: todos los dígitos distintos, dos dígitos iguales o los tres dígitos iguales. Con los cuatro dígitos que nos proporcionaron, hay un total 64 números distintos. 4 de ellos tienen los tres dígitos iguales, es decir, tenemos el 222, 444, 666, 888. Por último, 24 no tienen ningún dígito repetido. Por lo tanto, tendremos que = 36 números tienen un dígito repetido. 5. (página 255) Cuántos menús puede elaborar Juan con estos platos? Realiza el recuento con la ayuda de un diagrama de árbol. PRIMER PLATO SEGUNDO PLATO POSTRE Menestra de verduras Pollo en salsa Fruta Frijoles con arroz Salmón a la plancha Natillas Ensalada templada Albóndigas Tarta de queso Tallarines al pesto Cuajada con miel Por el Principio de multiplicación, N = = 48 menús diferentes puede elaborar Juan.

2 2 8. (página 255) Cuántas banderas distintas se pueden formar con 3 franjas horizontales de color azul, blanco o verde? Realiza un diagrama de árbol para ver todas las posibilidades teniendo en cuenta que dos franjas del mismo color no pueden estar juntas. 10. (página 257) En una liga de baloncesto escolar participan 12 equipos. Cada equipo juega contra todos los demás, a doble vuelta. Cuántos partidos se disputan en total? Paso 1 Los partidos son de 2 equipos, habiendo un total de 12. Paso 2 Importa el orden? Si, al ser de doble vuelta, el partido A - B B - A, siendo A y B dos equipos. Como importa el orden, pueden ser variaciones o permutaciones. Paso 3 Variación o permutación? Sea m = 12 los equipos de balonces, y n = 2 ya que buscamos agrupar a los equipos de dos en dos, para formar partidos. Por lo tanto, m n, entonces serán variaciones. Paso 4 Con o sin repetición? Ya que no puede haber un partido que sea jugado solo por un equipo (ejemplo: Obradoiro contra Obradoiro), tiene que ser sin repetición. Por lo tanto, serán VARIACIONES SIN REPETICIÓN. V 12,2 = = 132 partidos se disputan en total. 11. (página 257) Con las letras de la palabra BURGOS: a) Cuántas palabras de 4 letras, con significado o sin él, se pueden formar? Paso 1 Tenemos 6 elementos que son {B, U, R, G, O, S} y queremos agruparlos en 4 para formar palabras con cuatro letas. Paso 2 Importa el orden? Si, ya que no es lo mismo la palabra BURG UBRG. Será por lo tanto, variación o permutación. Paso 3 Variación o permutación? Sea m = 6 y n = 4, como ya vimos. Como m n, entonces serán variaciones.

3 3 Paso 4 Con o sin repetición? Ya que no nos especifican nada, puede ser con repetición: VARIACIO- NES CON REPETICIÓN. V R 6,4 = 6 4 = 1296 palabras distintas. b) Cuántas de ellas tienen alguna letra repetida? Primero, vamos a calcular aquellas palabras que no tienen letras repetidas. Es decir, los pasos 1, 2 y 3 del apartado anterior serán los mismos. Pero escogemos, en el Paso 4, VARIACIONES SIN REPETICIÓN. V 6,4 = = 360 palabras sin letras repetidas. Por lo tanto, el número de palabras que tienen alguna letra repetida es = (página 258) De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en un coche si... a)... todos tienen carnet de conducir? Paso 1 Tenemos m = 5 elementos, las cinco personas del coche. Queremos distribuírlas entre los 5 asientos de un coche ya que todos tienen carnet de conducir, entonces n = 5. Paso 2 Importa el orden? Si que importa el orden, por lo que serán permutaciones o variaciones. Paso 3 Variaciones o permutaciones? Como ya vimos m = 5 = n, entonces serán permutaciones. Paso 4 Con o sin repetición? Deben de ser sin repetición ya que una persona no puede estar sentada en dos sitios. Tenemos entonces, PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN. P 5 = 5! = = 120 maneras distintas de sentarse. b)... solo una de ellas tienen carnet de conducir? Paso 1 Tenemos m = 4 elementos, las cuatro personas del coche que no conducen (ya que la persona que conduce solo podrá sentarse en el sitio del conductor). Queremos distribuírlas entre los 4 asientos restantes, entonces n = 4. Paso 2 Importa el orden? Si que importa el orden, por lo que serán permutaciones o variaciones. Paso 3 Variaciones o permutaciones? Como ya vimos m = 4 = n, entonces serán permutaciones. Paso 4 Con o sin repetición? Deben de ser sin repetición ya que una persona no puede estar sentada en dos sitios. Tenemos entonces, PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN. P 4 = 4! = = 24 maneras distintas de sentarse. c)... hay dos que tienen carnet de conducir? Hay dos personas que saben conducir y suponemos que una de ellas se sienta en el sitio del conductor. Ahora tendríamos el mismo problema que en el apartado anterior. n = 4 = m. Por lo tanto, serían 24 maneras de sentarse. Ahora nos fijamos en las dos personas que se pueden sentar en el asiento del conductor. Se pueden sentar de dos formas, P 2 = 2! = 2. Aplicando el principio de multiplicación, N = 24 2 = 48 maneras de sentarse.

4 4 18. (página 259) En el código morse, los caracteres están formados por dos símbolos: punto y raya. Por ejemplo, los dígitos del 0 al 9 se representan mediante grupos de 5 símbolos: Cuántos caracteres distintos se pueden formar con grupos de 3 rayas y 2 puntos, como el número 2 o el número 8? Paso 1 Tenemos m = 5 elementos (3 rayas y 2 puntos). Queremos ordenarlos en distintas posiciones _, por lo que n = 5. Entonces n = 5 = m. Además, sabemos que las rallas se repiten 3 veces, n 1 = 3, y los puntos 2 veces, n 2 = 2. Paso 2 Importa el orden? Si que importa el orden, por lo que serán permutaciones o variaciones. Paso 3 Variaciones o permutaciones? Como ya vimos m = 5 = n, entonces serán permutaciones. Paso 4 Con o sin repetición? Como sabemos el número de veces que se repiten las rallas n 1 = 3 y los puntos n 2 = 2, tenemos entonces, PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. P R 3,2 5 = 5! = 10 caracteres distintos. 3! 2! 24. (página 260) Para aprobar un examen de 5 preguntas es necesario contestar bien a tres de ellas. De cuántas formas se pueden elegir las tres preguntas? Paso 1 Tenemos m = 5 preguntas. Y debemos contestar bien a tres de ellas, entonces n = 3 Paso 2 Importa el orden? No, no importa el orden con que contestes las preguntas. Por lo tanto serán combinaciones. Paso 3 Con o sin repetición? Sin repetición, ya que no podemos hacer una pregunta dos veces, hay que hacer tres distintas. C 5,3 = 5! = 10 formas distintas de escoger las ppreguntas. 3! (5 3)! 25. (página 260) Ocho equipos llegan a cuartos de final en un campeonato. Cuántos partidos diferentes se pueden dar? Paso 1 Tenemos m = 8 equipos. Un partido está formado por 2 equipos, por lo tanto n = 2. Paso 2 Importa el orden? No, no importa el orden (los partidos no son de ida y vuelta) Paso 3 Con o sin repetición? Sin repetición, ya que no se puede jugar un partido con el mismo equipo. C 8,2 = 8! = 28 combinaciones de partidos. 2! (8 2)!

5 5 Ejercicio En una heladería tienen 12 sabores distintos. a) Cuántos cucuruchos de 2 sabores distintos se pueden elegir? Paso 1 Tenemos m = 12 sabores. Un helado está formado por 2 sabores distintos, por lo tanto n = 2. Paso 2 Importa el orden? No, no importa el orden. Paso 3 Con o sin repetición? Sin repetición, ya que no me dice que se pueden repetir dos sabores. C 12,2 = b) Y si se pueden repetir los sabores? 12! 2! (12 2)! = 132 = 66 combinaciones de helados. 2 Paso 1 Tenemos m = 12 sabores. Un helado está formado por 2 sabores distintos, por lo tanto n = 2. Paso 2 Importa el orden? No, no importa el orden. Paso 3 Con o sin repetición? Con repetición, ya que se pueden coger sabores repetidos. CR 12,2 = CR 13,2 = 13! = 78 combinaciones de helados. 2! (13 2)!

6 6 ENUNCIADOS 1. En un restaurante el menú se pueden elegir entre tres primeros platos, tres segundos y cuatro postres. Cuántos menús diferentes se pueden pedir? 2. Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Describe cuántas son las posibilidades del experimento. 3. Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con las cifras impares? 4. Cuántos números de 2 cifras diferentes se pueden formar con las cifras impares? 5. Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con las cifras 1,2,3? 6. Dados seis puntos, cuantas rectas distintas se pueden determinar? 7. Cuantos partidos distintos se podían formar en el sorteo para los cuartos de final de la Champions? (los partidos son de ida y vuelta) Los equipos fueron: Bayern, Manchester City F.C., Roma, Sevilla, F.C. Barcelona, Juventus, Real Madrid, Liverpool. 8. Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 1,2 de forma que el 2 se repita dos veces? 9. Los 7 alumnos de un grupo de 2 o de Bachillerato desean que les hagan una foto a todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no deben aparecer ni dos chicas ni dos chicos juntos. Sabiendo que hay 4 chicas, de cuántas formas distintas pueden colocarse? SOLUCIONES 1. En un restaurante el menú se pueden elegir entre tres primeros platos, tres segundos y cuatro postres. Cuántos menús diferentes se pueden pedir? Tenemos que escoger 3 primeros y 3 segundos y 4 postres. Por lo tanto, por el principio de multiplicación: N = = 36 menús diferentes. 2. Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Describe cuántas son las posibilidades del experimento. Una moneda tiene 2 caras. Un dado tiene 6 caras. Por lo tanto, tendremos 2 posibilidades para la moneda y 6 para el dado. Por el principio de multiplicación: N = 6 2 = 12 posibilidades. 3. Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con las cifras impares? Paso 1:tenemos que cubrir estos huecos,, con cifras impares. Las cifras impares son {1, 3, 5, 7, 9}. Paso 2: Importa el orden? 13 31, por lo tanto si importa el orden. Vamos a la tabla y vemos que pueden ser variaciones o permutaciones.

7 7 Paso 3: Variaciones o permutaciones? m = 5 ya que los elementos son {1, 3, 5, 7, 9} y cogemos dos elementos, n = 2, entonces n m. Por lo tanto, serán variaciones. Paso 4: Con repetición? Si, ya que 11 es un número de 2 cifras con estas impares. Por lo tanto, tenemos VARIACIONES CON REPETICIÓN: V R 5,2 = 5 2 = 25 números de dos cifras, con estas impares. 4. Cuántos números de 2 cifras diferentes se pueden formar con las cifras impares? Paso 1: tenemos que cubrir estos huecos,, con cifras impares. Las cifras impares son {1, 3, 5, 7, 9}. Paso 2: Importa el orden? 13 31, por lo tanto si importa el orden. Vamos a la tabla y vemos que pueden ser variaciones o permutaciones. Paso 3: Variaciones o permutaciones? m = 5 ya que los elementos son {1, 3, 5, 7, 9} y cogemos dos elementos, n = 2, entonces n m. Por lo tanto, serán variaciones. Paso 4: Con repetición? No, tienen que ser distintas. Por lo tanto, tenemos VARIACIONES SIN REPETICIÓN: V 5,2 = 5 4 = 20 números de dos cifras, con estas impares y distintas. 5. Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con las cifras 1,2,3? Paso 1: tenemos que cubrir estos huecos,, con las cifras {1, 2, 3}. Paso 2: Importa el orden? , por lo tanto si importa el orden. Vamos a la tabla y vemos que pueden ser variaciones o permutaciones. Paso 3: Variaciones o permutaciones? m = 3 ya que {1, 2, 3} son los elementos y n = 3, entonces n = m. Por lo tanto, serán permutaciones. Paso 4: Con repetición? No, tienen que ser distintas. Por lo tanto, tenemos PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN: P 3 = 3! = = 6 números con las cifras {1, 2, 3}sin repetir. 6. Cuantos partidos distintos se podían formar en el sorteo para los cuartos de final de la Champions? (los partidos son de ida y vuelta) Los equipos fueron: Bayern, Manchester City F.C., Roma, Sevilla, F.C. Barcelona, Juventus, Real Madrid, Liverpool. Paso 1 En los cuartos de final juegan m = 8 equipos. Además, para un partido necesitamos dos equipos, n = 2. Paso 2 Importa el orden? Si, importa el orden ya que son de ida y vuelta. Serán Variaciones o repeticiones. Paso 3 Como m = 8 y n = 2, m n, son variaciones. Paso 4 Con repetición? No, no se puede jugar un partido en el que se repita el mismo equipo, es decir, no puede jugarse un RomavsRoma. Por lo tanto, tenemos VARIACIONES SIN REPETICIÓN: V 2 8 = V 8,2 = 8 7 = 56

8 8 7. Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 1,2 de forma que el 2 se repita dos veces? Paso 1: tenemos que cubrir estos huecos,, con las cifras {1, 2, 2}. Paso 2: Importa el orden? , por lo tanto si importa el orden. Vamos a la tabla y vemos que pueden ser variaciones o permutaciones. Paso 3: Variaciones o permutaciones? m = 3 ya que {1, 2, 2} son los elementos y n = 3, entonces n = m. Por lo tanto, serán permutaciones. Paso 4: Con repetición? Si, sabemos que el 1 se repite una sola vez y el 2 se repite 2 veces, entonces n 1 = 1yn 2 = 2. Por lo tanto, tenemos PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: P R 1,2 3 = 3! = 3 números con las cifras {1, 2, 2} 1! 2! 8. Dados seis puntos, cuantas rectas distintas se pueden determinar? Paso 1: una recta se determina con DOS puntos. Nos proporcionan 6 puntos, llamémosles {A, B, C, D, E, F }. Paso 2: Importa el orden? La recta que pasa por los puntos A y B es la misma que la que pasa por los puntos B A, por lo tanto no importa el orden. Vamos a la tabla y vemos que pueden ser combinaciones. Paso 4: Con repetición? No, ya que una recta no se puede determinar por un punto solo, es decir no podemos determinar una recta que pase por el punto A (dos veces). Por lo tanto, tenemos COMBINACIONES SIN REPETICIÓN: ( ) 6 Cm n = C 6,2 = = 6! 2 2!4! = = = 30 = 15 rectas distintas Los 7 alumnos de un grupo de 2 o de Bachillerato desean que les hagan una foto a todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no deben aparecer ni dos chicas ni dos chicos juntos. Sabiendo que hay 4 chicas, de cuántas formas distintas pueden colocarse? Si hay 4 chicas, el total de chicos es 3. Como hay más chicas que chicos, para que no estén juntos, deben estar las chicas en las esquinas. (chica- chico- chica- chico- chica- chico- chica- chico- chica- chicochica- chicochica). Por lo tanto, vamos a ver como ordenamos a las chicas y a los chicos por separado. Comenzamos con las chicas: Paso 1 m = 4 chicas, y queremos situarlas en n = 4 asientos. Paso 2 Importa el orden? Si que importa el orden. Por lo tanto, serán permutaciones o variaciones. Paso 3 Son permutaciones ya que m = 4 = n. Paso 4 Con repetición? No, no podemos sentar a una misma chica en dos sitios. Tenemos entonces PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN. P 4 = 4! = = 24 formas de sentar a las chicas. Hacemos lo mismo para los chicos, pero con n = m = 3. Por lo tanto, P 3 = 3! = = 6 formas de organizar a los chicos. Por el principio de multiplicación, tenemos N = 24 6 = 144 formas de ordenar a los chicos y chicas.

9 9 EJERCICIOS LIBRO 33. (página 264) Para volar de Madrid a Wellington (Nueva Zelanda) hay que hacer dos escalas: en Dubái y en Melbourne. Hay tres compañías que vuelan de Madrid a Dubái, dos que vuelan de Dubái a Melbourne y tres que enlazan Melbourne y Wellington. De cuántas maneras se puede organizar el viaje? N = = 18 formas diferentes de viajar. 36. (págin 264) De cuántas maneras pueden aparcar 4 coches en 7 plazas de garaje diferentes? Paso 1 m = 7 (hay que escoger entre las 7 plazas de garaje), n = 4 (solo se van a ocupar 4). Paso 2 Importa el orden? Si que importa, ya que no es lo mismo aparcar en las 4 primeras plazas, que en las 4 últimas. Por lo tanto, son variaciones o permutaciones. Paso 3 m = 7 y n = 4, como 7 4 son variaciones. Paso 4 Con o sin repetición? No podemos aparcar un coche en dos plazas, entonces sin repetición. Tenemos VARIACIONES SIN REPETICIÓN: V 7,4 = = (página 264) En la lotería de Navidad hay números, desde el hasta el Cuántos números distintos hay que tengan 3 veces la cifra 3 y 2 veces la cifra 2? Paso 1 m = 5, con n 1 = 3 y n 2 = 2. Paso 2 Importa el orden? Si que importa el orden. Por lo tanto, son permutaciones o variaciones. Paso 3 Como vemos que m = 5 y n = = 5, m = n son permutaciones. Paso 4 con repetición? Si, ya que nos dicen que n 1 = 3 y n 2 = 2. Tenemos PERMUTACIONES CON REPETICIÓN P R 3,2 5 = 5! = 10 números que contengan 3 veces la cifra 3 y 2 veces la cifra 2. 3! 2!