ANÁLISIS COMBINATORIO

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1 ANÁLISIS COMBINATORIO Métodos combinatorios Técnicas básicas Sea S un conjunto finito no vacío. Se designar por S al cardinal de S, es decir, el número de elementos de S. En particular CV = 0 (CV es el conjunto vacío). Principio de Adición Sean A1, A2,..., An conjuntos finitos tales que Ai INT Aj = CV (INT es la intersección) para cada i # j, donde i, j pertenecen a {1, 2,..., n}, entonces: A1 U A2 U... U An = A1 + A An En el lanzamiento de dos dados De cuántas formas se pueden obtener un siete o un ocho? Obtener un siete = A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } Obtener un ocho = B = { (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) } A U B = A + B = = 11 El experimento de lanzar una moneda al aire tres veces De cuántas formas se puede obtener una, dos o tres caras? Una cara = A = { (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C) } Dos caras = B = { (+, C, C), (C, +, C), (C, C, +) } Tres caras = C = { (C, C, C) } A U B U C = A + B + C = = 7 Principio de Multiplicación Sea A1, A2,..., An una colección de conjuntos finitos no vacíos, entonces: A1 x A2 x... x An = A1 A2... An Formación de placas de matrícula Cuántas placas de matrícula pueden formarse con cuatro letras (en un alfabeto de 26 letras) seguidas de tres números? Cuatro letras = A = B = C = D = 26 Tres dígitos = E = F = G = 10 A x B x C x D x E x F x G = A B C D E F G = = Se dispone de una baraja de 40 cartas Se extraen 4 cartas por dos procedimientos: a) sin devolución de la carta extraída b) con devolución en cada extracción.

2 1ª carta = A, 2ª carta = B, 3ª carta = C, 4ª carta = D a) A x B x C x D = A B C D = = b) A x B x C x D = A B C D = = Formación de números Cuántos números naturales distintos existen entre 5000 y y tienen todas sus cifras diferentes? 1º dígito (5...9) = A, 2º dígito (0...9) = B, 3º dígito (0...9) = C, 4º dígito (0...9) = D A x B x C x D = A B C D = = 2520 Principio de Distribución Sean m, n y p números naturales. Si se distribuyen np + m objetos en n cajas entonces alguna caja deberá contener al menos p + 1 objetos. ELEMENTOS COMBINATORIOS Permutaciones Cualquier arreglo de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos al mismo tiempo). Se designa por: P( n ) = n! = n (n - 1) (n - 2) Formaciones con personas De cuántas maneras puede organizarse un grupo de 7 personas: a) en una fila de 7 asientos? b) alrededor de una mesa redonda? a) P( 7 ) = 7! = = 5040 b) P( 7-1 ) = 6! = = 720 Permutaciones con repetición Con frecuencia deseamos encontrar el número de permutaciones de objetos, algunos de los cuales son iguales. La fórmula general es (r es el número de elementos repetidos): PR( n ) = n! / n1! n2!... nr! Permutaciones con letras Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra "radar"? Repeticiones: r = 2, a = 2 PR( 5 ) = 5! / 2! 2! = / = 120 / 4 = 30 Permutaciones con banderas

3 Cuántas señales de 6 banderas pueden formarse con 4 banderas rojas y 2 azules? Repeticiones: rojas = 4, azules = 2 PR( 6 ) = 6! / 4! 2! = / = 720 / 48 = 15 Variaciones variación de orden r es una lista ordenada de n elementos distintos tomados de r en r. Su fórmula es: V( n, r ) = n! / (n - r)! Variaciones con bolas Una urna contiene 8 bolas. Encontrar el número de muestras ordenadas de magnitud 3. V( 8, 3 ) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = / = / 120 = 496 Variaciones con números Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con las cifras 2, 3, 5, 6, 7 y 9? V( 6, 3 ) = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = / = 720 / 6 = 120 Variaciones con repetición variación con repeticiones de orden r es una lista ordenada de n elementos tomados de r en r. Su fórmula es: VR( n, r ) = n^r Los catorce en las quinielas En el juego de las quinielas, cuál es el número mínimo de columnas que han de rellenarse para acertar con seguridad los catorce signos? VR( 3, 14 ) = 3^14 = Formaciones de palabras En un alfabeto formado por las letras (a, b, c, d), cuántas palabras distintas de diez letras pueden formarse? VR( 4, 10) = 4^10 = Combinaciones combinación de orden r es una lista de elementos distintos, donde el orden no se tiene en cuenta. Se formula: C( n, r ) = n! / r!. (n - r)! El juego del póker

4 Cuántas manos de póker distintas (5 cartas) pueden formarse con una baraja de 52 cartas? C( 52, 5 ) = 52! / 5! 47! = / = / 120 = Comité de personas De cuántas maneras puede formarse un comité que consta de 3 hombres y 2 mujeres, a partir de 7 hombres y 5 mujeres? A = Hombres = C( 7, 3 ) = 7! / 4! 3! = 210 / 6 = 35 B = Mujeres = C( 5, 2 ) = 5! / 3! 2! = 20 / 2 = 10 A x B = A ú B = = 350 Combinaciones con repetición Sea un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural. Una combinación con repetición de orden r es una lista ordenada de n elementos en donde los elementos pueden ser iguales. Su fórmula es: CR( n, r ) = C( n + r - 1, r ) Distribución de objetos De cuántas formas se pueden distribuir 10 canicas azules en 5 bolsas distintas? CR( 5, 10 ) = C( , 10 ) = C( 14, 10 ) = / = 1001 Suma de dígitos Cuántos números hay en el conjunto {1, 2,..., 1000 } que tengan la propiedad de que la suma de sus dígitos sea 5? CR( 3, 5 ) = C( , 5 ) = C( 7, 5 ) = 5040 / 240 = 21 Resumen del empleo de elementos combinatorios Se eligen r objetos de un Número de selecciones Número de selecciones conjunto de n ordenadas no ordenadas ========================================================= No están permitidas las repeticiones V(n,r) = n!/(n-r)! C(n,r) = n!/(n-r)! r! Están permitidas las repeticiones VR(n,r) = n^r CR(n,r) = C(n+r-1,r) Se considera la expresión (x + y)^n. Su desarrollo puede obtenerse mediante la fórmula: (x + y)^n = Sumatorio de r ( 0... n ) en C( n, r ) x^n-r y^r Desarrollo de un binomio

5 Calcúlese el coeficiente de x^6 en el desarrollo de (x - 3)^11. C( 11, 6 ) x^6 (-3)^5 = 462 x^6 (-243) = x^6 Fórmula de Pascal Si n y r son enteros tales que 1 <= r <= n - 1, entonces: C( n, r ) = C( n - 1, r ) + C( n - 1, r - 1 ) La fórmula de Pascal da un método para el cálculo de los coeficientes binómicos, dado el valor inicial C( n, 0 ) = C( n, n ) = 1, para todo n >= 0. Los coeficientes de sucesivas potencias (x + y)^n se pueden distribuir en una figura que se conoce como triángulo de Pascal, en el cual se tiene: El primer y el último elemento de cada fila es 1. Cualquier otro número del tri ngulo se puede obtener sumando los dos números que aparecen encima de él. Fórmula de Leibnitz Se aplica a los coeficientes del tipo multinómicos: (x1 + x xk)^n = n! / n1! n2!... nk! Cálculo de un coeficiente Calcúlese el coeficiente del término a^3b^2c^4 del desarrollo de (a + b + c + d)^9. 9! / 3! 2! 4! 0! = / = / 12 = 1260