ESTADISTICA 1 CONTEO

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1 ESTADISTICA 1 CONTEO PRINCIPIO DE ENUMERACION PERMUTACIONES Y COMBINACIONES PRINCIPIO DE ENUMERACION Si un suceso puede ocurrir de m maneras diferentes y, después de que ha sucedido, un segundo suceso puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el número total de las maneras en las cuales ambos sucesos pueden ocurrir es el producto de mn (maneras diferentes). Ejemplo: Un estudiante universitario tiene 5 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos. Cuántos conjuntos diferentes de una camisa, un pantalón y un par de zapatos puede usar? Solución : Según el principio fundamental de enumeración, el número de conjuntos diferentes es el producto 5 * 3 * 2 = 30 Diferentes pintas Camisas Pantalones Zapatos 1

2 PRINCIPIO DE ENUMERACION Ejemplo: La placa de un Carro esta formada por 3 letras y tres dígitos Cuántas placas se pueden generar con esta regla? Solución : Según el principio fundamental de enumeración, el número de placas es 26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 = 17,576,000 1ª Letra Total de Placas 2ª Letra 3ª Letra 2 digito 3 digito 1 digito Permutación Es un arreglo ordenado que se hace usando algunos o todos los elementos de un conjunto, sin repetirlos. Esto significa que ningún elementos del conjunto aparece más de una vez en el arreglo. Por ejemplo, 312 es una permutación de los dígitos del conjunto {1,2,3}, pero 112 no lo es. Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las tres letras de la palabra sol usando dos letras al tiempo? SO, SL, OS, OL, LS, LO Seis posibles arreglos 2

3 Permutación Definición: Un arreglo ordenado de r elementos seleccionados de un conjunto de n distintos elementos se llama permutación de n elementos tomados r a la vez ( n r). Notación: Usaremos el símbolo P(n,r) para denotar el número de permutaciones de n objetos diferentes, tomados r a la vez. Así escribimos el número de permutaciones de 5 objetos, tomados 3 a la vez como P(5,3). P(n,r) = n(n-1)(n-2)... (n-r+1) El 1 se puede escoge de n formas El 2 se puede escoge de (n-1) formas El 3 se puede escoge de (n-2) formas El r se puede escoge de (n-(r-1)) formas Permutación Definición de : = n(n-1)(n-2)(n-3)..(3)(2)(1) 0! = 1 Podemos reescribir P(n,r) como: P(n,r) = n(n-1)(n-2)... (n-r+1) P( n, r) = ( n r)! 3

4 Permutación Ejemplo: En una pista se encuentran 6 atletas y entran en el carril de los 100 metros. De cuantas maneras se pueden organizar para ganar medallas de oro, de plata y de bronce? Solución Deseamos contar el número de maneras de organizar a 3 de los 6 atletas en la posición ganadora. La solución está dada por: Este problema también se puede resolver usando el principio fundamental de enumeración, puesto que se deben hacer 3 elecciones, con 6 atletas disponibles para la medalla de oro, 5 para la de plata y 4 para la de bronce, encontramos que: 6 * 5 * 4 = 120 Permutación Ejemplo: Quince personas participan en una elección para ocupar 4 cargos importantes en su organización: Presidente, Vicepresidente, Tesorero y secretario. De cuantas maneras diferentes pueden ocuparse los puestos? Solución Deseamos contar el número de maneras de organizar a quince candidatos en las cuatro posiciones: Presidente, Vicepresidente, Tesorero y secretario. La solución está dada por: 15! 15! P( 15,4) = = = 32,760 (15 4)! 11! 4

5 PERMUTACIÓN N CON REPETICIÓN El numero de r-permutaciones con repetición de un conjunto de n elementos es: r n Cuantas cadenas de longitud k se pueden formar con las 27 letras del alfabeto español 27 k Cuantos números telefónicos se pueden generar con 9 dígitos, ejemplo : Combinación En el análisis anterior estábamos interesados en el número de "n" elementos, donde se consideraba el orden en el que se debían arreglar o escoger, sin embargo, en ciertas aplicaciones el orden de los elementos no es importante. Por ejemplo, si se debe escoger un comité de 2 personas entre 4 estudiantes Angie, Brandon, Cecilia y David, el comité formado al escoger a Brandon y a Angie, es el mismo que el formado al escoger a Angie y Brandon. Una selección de objetos en los cuales el orden no establece ninguna diferencia se llama "combinación". 5

6 Combinación Definición Un subconjunto de "r" elementos de un conjunto de "n" elementos se llama combinación de "n" elementos tomando "r" a la vez (n > r). Notación: Usamos el símbolo C(n,r) para denotar el número de combinaciones de n objetos distintos tomando r a la vez. (Otras notaciones que se usan comúnmente son ncr, C n r, y Cn,r). Deseamos obtener una fórmula para C(n,r). Combinación Aplicando la permutación, ya estudiada, al conjunto {a,b,c,d} tomando 3 a la vez, se tienen P(4,3) = 24 arreglos, que son: abc abd bcd acd acb adb bdc adc bac bad cbd cad bca bda cdb cda cab dab dbc dac cba dba dcb dca Si descartamos el orden en el que las letras están enumeradas tenemos 4 combinaciones: abc abd bcd acd Así, C(4,3) = 4. Vemos que cada una de estas combinaciones se puede arreglar de 6 (3!) modos, para dar la lista de permutaciones. Por tanto, P(4,3) = 24 = 3!C(4,3) 6

7 Combinación En general, para 0< r < n, cada una de las combinaciones C(n,r) se puede arreglar nuevamente en r! maneras diferentes, así queda: P(n,r) = r!*c(n,r), Despejando C(n,r), obtenemos C ( n, r) = P( n, r) r! C( n, r) = ( n r)! r! Combinación Se desea que cada uno de nuestros 4 productos sean identificados por nuestros clientes por un color en su empaque. Si hay 9 colores que fueron seleccionados por nuestros clientes potenciales como sus favoritos. de cuantas maneras diferentes pueden escogerse los colores que representaran a nuestros 4 productos? 9! C( 9,4) = = 126 (9 4)!4! De cuantas maneras se pueden escoger 5 marcas diferentes entre 10 disponibles para conformar una exposición 10! C( 10,5) = = 252 (10 5)!5! 7

8 Combinación n con repetición En un conjunto de n elementos el numero de r combinaciones con repetición es: C( n + r 1, r) = ( n + r ) 1! ( n 1)! r! De cuantas formas se pueden seleccionar cuatro frutas de un mostrador de la 14 que contiene manzanas, naranjas y peras 6! C ( , 4) = = 15 2!4! PERMUTACIÓN N CON OBJETOS INDISTIGUIBLES El numero de permutaciones diferentes de n objetos, donde hay n1 objetos indistinguibles del tipo 1, n2 objetos indistinguibles del tipo 2,, nk objetos indistinguibles del tipo k es: n! n! n!... n! k Cuantas cadenas distintas se pueden formar reordenando la palabra PAPAYA? 6! 3!2!1! = 60 8

9 Qué pasa cuando son DISTIGUIBLES? No pasa Nada El numero de formar de distribuir n objetos distinguibles, en K cajas distinguibles de forma que la caja i-ésima haya ni objetos, con i=1,2,.,k es n! n! n!... n! k De cuantas formas se pueden distribuir a cuatro jugadores manos de 5 cartas utilizando una baraja de 52 cartas? 52! 5!5!5!5!*32! Permutaciones y Combinaciones OBSERVACIÓN: Al decidir si usamos la fórmula para P(n,r) o C(n,r), consideramos lo siguiente: Se trabaja con permutaciones si se están considerando arreglos en los cuales los diferentes órdenes de los mismos objetos se deben contar. Se trabaja con Combinaciones si se están considerando maneras de escoger objetos en los cuales el orden de los objetos escogidos no establece ninguna diferencia. Es importante el Orden No es Importante el Ordn Permutaciones X Combinaciones X 9

10 Permutaciones y Combinaciones Ejemplo Un almacén de quesos tiene 10 variedades de queso nacional y 8 variedades de queso importado, De cuántas maneras se puede colocar en una vitrina una selección de 6 quesos, que tenga 2 variedades de queso nacional y 4 de queso importado? Solución: Las variedades nacionales se pueden escoger de C (10,2) maneras y las variedades de quesos importados de C (8,4) formas. Hasta este momento de la solución, el orden no ha sido importante para hacer la selección de los quesos. Ahora observamos que cada selección de 6 quesos se puede colocar o arreglar en la vitrina de P(6,6) maneras. Así, el número total de maneras es: 10! 8! 6! C( 10,2)* C(8,4)* P(6,6) = * * = 2'268,000 8!2! 4!4! (6 6)! Combinaciones y Permutaciones con o sin repetición Tipo r-permutaciones r-permutaciones r-combinaciones r-combinaciones Con Repetición? No Si No Si Formula n Pr = ( n r)! r n nc r = ( n r)! r! ( n + r ) 1! ( n + r 1) C r = ( n 1)! r! 10