Problema nº2 Halla el número de capicúas de 8 cifras. Cuántos capicúas hay de 9 cifras?

Transcripción

1 Problema nº1 Las matrículas de los coches de un país están formadas por dos letras diferentes seguidas de tres números repetidos o no. Cuántos coches se podrán matricular sin cambiar el sistema? Se supone que el alfabeto del idioma del citado país tiene 6 letras. Número de ordenaciones con las letras: V, Ordenaciones con los números: VR 10, Número de coches que se pueden matricular: Problema nº Halla el número de capicúas de 8 cifras. Cuántos capicúas hay de 9 cifras? Capicúas de ocho cifras: Son de la forma: abcddcba. Hay tantos como ordenaciones se pueden formar tomando cuatro dígitos (repetidos o no) de entre los diez que hay en nuestro sistema decimal, por tanto: 4 VR10, De estos 10000, la décima parte empiezan por 0, y hay que descontarlos, por lo tanto: Capicúas de ocho cifras hay tantos como: capicúas. Capicúas de nueve cifras: Son de la forma: abcdedcba. Hay tantos como ordenaciones se pueden formar tomando cinco dígitos (repetidos o no) de entre los diez que hay en nuestro sistema decimal, por tanto: VR , De estos , la décima parte empiezan por 0, y hay que descontarlos, por lo tanto: Capicúas de nueve cifras hay tantos como: capicúas.

2 Problema nº Luis no recuerda el teléfono de Ana. Sabe que empieza por, tiene un 1, dos y tres 9. Cuántas llamadas tendría que hacer como máimo para localizar a Ana? El teléfono de Ana será de la forma: Como el es fijo, tendrá que permutar las posiciones de los restantes números entre sí. Por tanto el número máimo de llamadas será: PR, 6!!! 6 llamadas. 60 Problema nº4 Colocadas en orden alfabético todas las permutaciones de las letras A, E, I, J y M, se desea saber qué lugar ocuparía la palabra JAIME? Y la palabra MEJIA?

3 Con las cinco letras, se pueden formar P 5 5! 10 palabras de cinco letras distintas. - Lugar de la palabra JAIME: Empiezan por A: P 4 4! 4 palabras Empiezan por E: P 4 4! 4 palabras Empiezan por I: P 4 4! 4 palabras De las P! 6 que empiezan por JA, su orden es JAEIM, JAEMI, JAIEM y JAIME Por tanto JAIME ocupa el lugar Lugar de la palabra MEJIA: Empiezan por A: P 4 4! 4 palabras Empiezan por E: P 4 4! 4 palabras Empiezan por I: P 4 4! 4 palabras Empiezan por J: P 4 4! 4 palabras Empiezan por MA: P! 6 palabras Empiezan por MEI: P! palabras. De las que empiezan por MEJ, hay dos: MEJAI (1) y la siguiente es MEJIA Por tanto MEJIA, ocupa el lugar Προβλεµα ν 5 Para hacer una apuesta en la lotería primitiva hay que marcar con cruces seis números del primer bloque (donde figuran números del 1 al ) De cuántas formas diferentes una persona puede marcar 6, 5, 4 y números? Para marcar 6 números: C, 6! !4! 6!

4 Para marcar 5 números: C, 5! ! 44! 5! Para marcar 4 números: C, 4! !45! 4! Para marcar números: C,! 48 47!46!! Problema nº6 En una unidad militar hay 6 capitanes, 10 tenientes, 5 sargentos y 50 cabos. De cuántas se puede seleccionar un grupo de capitanes, 7 tenientes, 15 sargentos y 6 cabos? 6! - Posibilidades de elegir capitanes: C 6, 0 distintas!! 10! - Posibilidades de elegir 7 tenientes: C 10, 7 10 distintas 7!! 5! - Posibilidades de elegir 15 sargentos: C 5, distintas 15! 10! 50! - Posibilidades de elegir 6 cabos: C 50, distintas 6! 14! El total de posibilidades es: C 6, C10,7 C 5,15 C50, 6 Προβλεµα ν 7 Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente:

5 y y y 1 y - El sistema a resolver es: y y y 1 y - Cuyas dos ecuaciones se pueden escribir así: y + 1+ y 1 y!! 10 1 y!( y)! (y )!( y + )! Simplificando la segunda ecuación, se tiene: 10! 1! y(y 1)(y )!( y)! (y )!( y + )( y + 1)( y)! 10 y(y 1) 1 ( y + )( y + 1) Substituyendo en esta ecuación y, se tiene: (y + )(y + 1) 1y(y 1) 0 11y + 51y y y(y 1) (y + )(y + 1) 4 11 ; y 5 Tomando la solución entera, se tiene: 10; y 5. Problema nº8 Resuelve la ecuación: Desarrollando los números combinatorios, se tiene:

6 !!!! !( 5)! 4!( 4)!!( )!!( )! Simplificando por (!) se tiene: ( 5)! ( 4)! ( )! ( )! Desarrollando factoriales, hasta llegar a ( - 5)! se tiene: ( 5)! ( 4)( 5)! ( )( 4)( 5)! ( )( )( 4)( 5)! Simplificando por (-5)! se tiene: ( 4) ( )( 4) ( )( )( 4) Operando y trasponiendo al primer miembro, se tiene: ( 8 ) 0 ; ; 5 ( 5) 4( )( )( 4) La solución es 5. Ejercicio nº9 Contesta, razonando las respuestas, a las siguientes cuestiones: a) En las variaciones con repetición de las letras a, b y c, tomadas de dos a dos, pueden aparecer dos vocales juntas? Y tres vocales? b) Qué es mayor: el número de variaciones de ocho elementos tomados de cinco en cinco, o el número de variaciones con repetición de ocho elementos tomados de dos en dos? a) En las variaciones con repetición de orden dos "aa" es la única variación con dos vocales juntas. La respuesta es sí. Una variación de orden dos, tiene dos elementos, por tanto la respuesta es no. b) Para comparar, calculamos esas variaciones: V > 8, y VR 8, 8 64 V8,5 VR 8, Son mayores las primeras que las segundas.

7 Ejercicio nº10 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) VR, + VR 1, 7 b) VR, 15V5, a) VR, + VR 1, 7 + ( 1) La solución es 5 b) VR, 15V5, ; La solución es 0. ( 5) 0