Apuntes de Probabilidad
|
|
- José María Robles Cordero
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Apuntes de Probabilidad Existen fenómenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si una moneda cae al suelo, no es posible conocer por anticipado el punto exacto donde irá a parar; cuando se colocan bolas idénticas numeradas en una bolsa y se extrae una bola a ciegas, no es posible determinar con total certeza qué bola será elegida; etc. Estos experimentos son llamados aleatorios, puesto que el resultado del fenómeno en estudio es consecuencia del azar. Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas. En estas situaciones el carácter impredecible del azar hace inútil cualquier intento de hallar reglas deterministas que rijan la aparición de los resultados individuales. Sin embargo, es falso decir que el azar no está sometido a leyes, lo que ocurre es que no son leyes necesarias, que determinen unívocamente el resultado de cada experimento, sino que atañen a la frecuencia de los resultados que se obtienen cuando el fenómeno se repite un gran número de veces. El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios; es decir, situaciones que, repetidas bajo condiciones idénticas, pueden dar lugar a diversos resultados de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuál de ellos ocurrirá. Ante fenómenos de azar, la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos; es decir, un valor numérico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada uno, después de numerosas observaciones del fenómeno. En concreto, la probabilidad de cada acontecimiento posible es un número de [0, 1], que expresa la frecuencia teórica con que dicho acontecimiento se presentará en una serie indefinidamente larga de repeticiones del experimento realizadas en condiciones idénticas. En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales: Los posibles acontecimientos que pueden producirse; es decir, el espacio muestral y sus correspondientes sucesos. La valoración de la probabilidad de los acontecimientos posibles. Ejercicio 1. Describe un experimento aleatorio y uno determinista. Ejercicio 2. Indica si son experimentos aleatorios o deterministas. a) Anotar el color de una bola extraída de una urna que contiene 9 bolas azules. b) Anotar el color de una bola extraída de una urna que contiene 9 bolas azules y 3 rojas. c) Extraer una carta de una baraja española. d) Suma de las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados. e) Anotar el tiempo que tarda un coche en recorrer 200 km circulando a 100 km/h. 1. Espacio muestral y sucesos aleatorios En un experimento aleatorio, el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los resultados posibles que constituyen un fenómeno aleatorio y se denota por E. Es habitual decir que el espacio muestral E es: discreto si tiene un número finito de elementos. continuo en caso contrario. 1
2 Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de E. Podemos distinguir dos tipos: Sucesos elementales: cada uno de los resultados posibles del espacio muestral. Sucesos compuestos: formados por la unión de varios sucesos elementales. Ejemplo 1 Se considera el lanzamiento de un dado. El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 5, 6} El suceso "obtener un 2", {2} es elemental y el suceso "obtener par", {2, 4, 6} es compuesto. Ejemplo 2 Se considera el lanzamiento de dos monedas. El espacio muestral es: E = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} donde C = "cara" y X = "cruz". El suceso "obtener dos caras" (C, C) es elemental (análogo para el suceso "obtener dos cruces") y el suceso "obtener una cara" {(C, X), (X, C)} es compuesto. Ejercicio 3 Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Anotar el color de una bola extraída de una urna que tiene 2 bolas rojas, 3 negras y 1 blanca. b) Anotar el número de cruces obtenidas al lanzar simultáneamente 4 monedas idénticas. c) Apuntar los resultados posibles obtenidos al lanzar 2 dados. d) Extraer una carta de una baraja española. e) Lanzar tres dados y sumar las puntuaciones obtenidas La identificación de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados. Por este motivo, introducimos los tipos de sucesos y las operaciones entre ellos: 2. Tipos de sucesos Suceso seguro: es aquel que siempre se verifica. Se representa E. Suceso imposible: es aquel que nunca puede ocurrir. Se escribe. Sucesos incompatibles: son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. Sucesos compatibles: son aquellos que sí pueden ocurrir simultáneamente. Sucesos equiprobables: son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Ejercicio 4. Razona si los sucesos del ejercicio 3 son equiprobables. 3. Operaciones elementales entre sucesos Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, se definen las siguientes operaciones: Unión de sucesos: si A y B son dos sucesos de E, entonces A B se describe como "ocurre A u ocurre B"; es decir, el resultado pertenece o bien a A, o bien a B o bien a ambos simultáneamente. Intersección de sucesos: si A y B son sucesos de E, entonces A B se describe como "ocurren A y B simultáneamente". Si A B =, se dice que A y B son sucesos incompatibles. Contrario o complementario de un suceso: si A es un suceso de E, entonces A c o A es el suceso formado por todos los sucesos elementales que no están en A. Es importante observar que: A A = E y A A = 2
3 Diferencia de sucesos: si A y B son sucesos de E, entonces A B es la intersección del primer suceso con el contrario del segundo, A B = A B. Ejercicio 5. Un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado equilibrado. Describe los siguientes sucesos: a) Obtener un número impar. b) Obtener impar y par. c) Obtener un múltiplo de tres. d) Obtener par y número primo. e) Obtener al menos un cuatro. f) Obtener menos de siete. g) Suceso contrario del suceso del apartado d) h) Unión de los sucesos de los apartados a) y c) i) Intersección de los sucesos de los apartados a) y c) j) Son incompatibles los sucesos e) y f)? k) Son equiprobables los sucesos c) y d)? 4. Técnicas de recuento. Diagramas en árbol En el Cálculo de Probabilidades, a menudo se presentan conjuntos demasiado grandes como para poder enumerar exhaustivamente sus elementos, aunque, por otra parte, obedecen a unas reglas de formación fijas que permiten construir procedimientos para conocer su cardinal, sin necesidad de elaborar una lista de elementos. La Combinatoria agrupa los procedimientos orientados a contabilizar el número de elementos de conjuntos de este tipo, sin necesidad de enumeraciones. 4.1 Diagrama en árbol: se trata de un método gráfico de conteo que consiste en ir señalando todos los posibles resultados simulando las ramas de un árbol. Ejemplo 3 En un restaurante ofrecen un menú compuesto por un primero, un segundo y un postre. De primer plato hay sopa o verduras; de segundo plato carne, pescado o pasta y de postre fruta o helado. cuántas posibilidades de elección diferentes hay? En primer lugar, distinguimos las distintas opciones que hay para el primero, el segundo y el postre simulando las ramas de un árbol. Posteriormente, si contabilizamos todas las ramas, se puede observar que hay un total de 12 posibilidades diferentes. 3
4 Ejercicio 6 Determina, a partir de un diagrama de árbol, todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas equilibradas. 5. Aproximación a la noción de probabilidad La teoría de la probabilidad tuvo sus inicios en el análisis de los juegos de azar de siglo XVII, sin embargo, el Cálculo de probabilidades no se estableció como ciencia hasta finales del siglo XX. En esta época el desarrollo de las Ciencias Naturales implicó fuertes demandas sobre esta disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos básicos de la Teoría de la Probabilidad. 5.1 Aproximación frecuentista La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que se aproximan las frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado número de veces. (Ley de los grandes números) Ejemplo 4 Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas idénticas, 2 rojas y 1 blanca. Entonces si se repite el experimento un número determinado de veces, podemos conocer la frecuencia exacta: 1. Si se repite 10 veces, se obtienen 6 rojas y 4 blancas. Es decir: roja 6 10 = 0 6 ; blanca 4 10 = Si se repite 12 veces, se obtienen 7 rojas y 5 blancas. Es decir: roja 7 12 = ; blanca 5 12 = Si se repite 120 veces, se obtienen 69 rojas y 51 blancas; es decir roja = ; blanca = = Análogamente, el experimento podría repetirse 10000, , concluyendo que en una sucesión ilimitada de repeticiones, en idénticas condiciones, las frecuencias tras cada repetición tienden a aproximarse hacia ciertos valores límites, que son las probabilidades. En nuestro caso, p(obtener bola roja) = 2 = 0,66666 p(obtener bola blanca) = 1 = 0, Ejercicio 7 Una máquina fabrica tornillos. Cómo harías para calcular la probabilidad de que, escogido un tornillo al azar, sea defectuoso? 5.2 Regla de Laplace Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con espacio muestral finito, existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad. Esta regla se conoce como Ley de Laplace y fue propuesta por P.S. Laplace ( ) y representa el primer antecedente explícito del concepto de probabilidad. 4
5 La aplicación de la regla de Laplace puede presentar dificultades a la hora de comprobar la equiprobabilidad de los sucesos elementales. No obstante, en situaciones sencillas, la simetría de los resultados del experimento permite garantizar su equiprobabilidad: Consecuencias: p(a) = o Para cualquier suceso A: 0 p(a) 1 nº de casos favorables al suceso A nº de casos posibles del espacio muestral E o La probabilidad del suceso imposible es p( ) = 0 o La probabilidad del suceso seguro es: p(e) = 1 o La probabilidad del suceso contrario es: p(a ) = 1 p(a) 5
Tema 12: Probabilidad
Tema 12: Probabilidad En el Cálculo de Probabilidades, a menudo se presentan conjuntos demasiado grandes como para poder enumerar exhaustivamente sus elementos aunque, por otra parte, obedecen a unas reglas
Más detallesPROBABILIDAD. Profesor: Rafael Núñez Nogales CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Experimentos y sucesos
PROBABILIDAD CÁLCULO DE PROBABILIDADES Experimentos y sucesos Experimento aleatorio Es aquel cuyo resultado depende del azar, es decir no se puede predecir de antemano qué resultado se va a obtener aunque
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Experimento determinista. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso elemental.
Probabilidad INTRODUCCIÓN El estudio matemático de la probabilidad surge históricamente vinculado a los juegos de azar. Actualmente la probabilidad se utiliza en muchas disciplinas unidas a la Estadística:
Más detallesProbabilidad 2º curso de Bachillerato Ciencias Sociales
PROBABILIDAD Índice: 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral----------------------------------------------------- 2 2. Suceso aleatorio ------------------------------------------------------------------------------------
Más detallesProbabilidad E x p e r i m e n t o s d e t e r m i n i s t a s E j e m p l o E x p e r i m e n t o s a l e a t o r i o s a z a r E j e m p l o s
Probabilidad Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a
Más detallesPROBABILIDAD. Experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar.
PROBABILIDAD. 1 EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS. Experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar. Espacio
Más detallesProbabilidad PROBABILIDAD
PROBABILIDAD La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados
Más detallesAl conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S. Algunos tipos de sucesos:
1.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Un experimento aleatorio es aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización
Más detallesConceptos. Experimento Aleatorio: Es un fenómeno en el que interviene el azar, es decir no se puede predecir el resultado.
Teresa Pérez P DíazD Profesora de matemática tica Conceptos Experimento Aleatorio: Es un fenómeno en el que interviene el azar, es decir no se puede predecir el resultado. Ejemplos: E : Lanzar un dado,
Más detallesAxiomática de la Teoría de Probabilidades
Axiomática de la Teoría de Probabilidades Modelos matemáticos Según el experimento Cada ejecución del experimento se denomina prueba o ensayo Determinísticos Aleatorios Conjunto de resultados posibles
Más detallesMATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS. UNIDAD DIDÁCTICA 13: Nociones elementales de probabilidad
UNIDAD DIDÁCTICA 3: Nociones elementales de probabilidad. ÍNDICE. ÍNDICE 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 4. CONTENIDOS Sucesos equiprobables
Más detallesSon los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Probabilidad Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a
Más detallesTema 6 Probabilidad. 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y
Tema 6 Probabilidad 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Más detallesSon los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
PROBABILIDAD Definición de probabilidad La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Más detallesProbabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades
Experimentos deterministas Probabilidad Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas,
Más detallesel blog de mate de aida PROBABILIDAD 4º ESO PROBABILIDAD
Pág.1 PROBABILIDAD EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS. Experimento determinista es aquel en que se puede predecir el resultado, siempre que se realice en las mismas condiciones. (Ejemplo: medir el tiempo
Más detallesSon los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Experimentos deterministas
Más detallesFICHA DE TRABAJO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES
FICHA DE TRABAJO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIMENTO ALEATORIO: ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 1) Se considera el experimento que consiste en la extracción de tres tornillos de una caja que contiene tornillos
Más detallesEJERCICIOS DE PROBABILIDAD
Ejercicio nº 1.- Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias, cuáles son aleatorias? a) En una caja hay cinco bolas amarillas, sacamos una bola y anotamos su color. b) Lanzamos una
Más detalles(DOCUMENTO DE TRABAJO ELABORADO A PARTIR DE RECURSOS ENCONTRADOS EN LA WEB: AULAFACIL 1 Y VADENUMEROS 2 )
PROBABILIDAD (DOCUMENTO DE TRABAJO ELABORADO A PARTIR DE RECURSOS ENCONTRADOS EN LA WEB: AULAFACIL 1 Y VADENUMEROS 2 ) La probabilidad mide la frecuencia relativa (proporción) de un resultado determinado
Más detallesTema 11 Cálculo de Probabilidades.
Tema 11 Cálculo de Probabilidades. 11.1 Experimentos aleatorios. Espacio muestral PÁGINA 248 EJERCICIOS 1. Decide si los siguientes experimentos son aleatorios o deteministas. a) Medir apotemas de un pentágono
Más detalles2. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas. Si se define el suceso A = al menos una sea cara, de cuántos sucesos elementales
2. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas. Si se define el suceso A = al menos una sea cara, de cuántos sucesos elementales consta A? Cuál es el suceso contrario de A? 3. Si consideramos
Más detallesTEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINATORIA Y PROBABILIDAD. Notas teóricas
MATEMÁTICAS º ESO TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINATORIA Y PROBABILIDAD Juan J. Pascual COMBINATORIA Y PROBABILIDAD Notas teóricas - Variaciones: Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos
Más detallesU D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN PROBABILIDAD
PROBABILIDAD 0. DEFINICIONES PREVIAS 1. DISTINTAS CONCEPCIONES DE PROBABILIDAD a. Definición Clásica b. Definición Frecuentista 2. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD a. Espacio Muestral b. Suceso Aleatorio
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 14: Nociones elementales de probabilidad
accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años UNIDAD DIDÁCTICA 14: Nociones elementales de probabilidad ÍNDICE: CONTENIDOS 1 Sucesos equiprobables 2 La
Más detallesTEMA 1: PROBABILIDAD
TEMA 1: PROBABILIDAD Ejercicios 1- alcular el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos: a) Lanzar una moneda b) Tirar un dado c) Lanzar un dado de quinielas d) Extraer una bola de una caja
Más detallesEspacio muestral. Operaciones con sucesos
Matemáticas CCSS. 1º Bachiller Tema 12. Probabilidad Espacio muestral. Operaciones con sucesos 1. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos a) Lanzar una moneda y anotar el resultado
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página PRACTICA Muy probable, poco probable Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y azul (A), y una gran caja vacía. Echamos en la caja R, 0 V
Más detallesTEMA 17: PROBABILIDAD
TEMA 17: PROBABILIDAD Probabilidad de un suceso aleatorio es un numero entre 0 y 1 (más cerca del 0, mas difícil que ocurra. Más cerca del 1 más fácil que ocurra). Suceso seguro: Su probabilidad es 1.
Más detallesTEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO
TEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO 2016-2017 1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Probabilidad condicionada. 1.3.- Independencia de sucesos. 1.4.- Teoremas
Más detallesColegio Sagrada Familia Matemáticas 4º ESO
ÁLULO OMBINATORIO La combinatoria tiene por fin estudiar las distintas agrupaciones de los objetos, prescindiendo de la naturaleza de los mismos pero no del orden. Estudiaremos como se combinan los objetos,
Más detallesFactorial de un número Se define como la multiplicación sucesiva de los primeros números naturales.
Combinatoria Principio multiplicativo Un elemento se puede elegir de formas diferentes, un elemento se puede elegir de formas diferentes hasta un elemento enésimo que puede ser elegido de formas diferentes.
Más detallesProbabilidad del suceso imposible
2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 4.- PROBABILIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Más detallesUnidad Temática 2 Probabilidad
Unidad Temática 2 Probabilidad Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. El experimento que consiste
Más detalles3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)
Más detallesGuía Matemática NM 4: Probabilidades
Centro Educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Guía Matemática NM : Probabilidades Nombre: Curso: Aprendizaje Esperado: Determinar la probabilidad de ocurrencia de
Más detalles1. Combinatoria Sucesos aleatorios...
PROBABILIDAD Índice: Página. Combinatoria..... Sucesos aleatorios...... Experimento aleatorio...... Tipos de sucesos....3. Operaciones con sucesos..... Sistema completo de sucesos....5. Experimentos compuestos...
Más detallesESTADISTICA Y PROBABILIDAD ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA La estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comprobaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta
Más detalles3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)
Más detallesUNIDAD XI Eventos probabilísticos
UNIDAD XI Eventos probabilísticos UNIDAD 11 EVENTOS PROBABILÍSTICOS Muchas veces ocurre que al efectuar observaciones en situaciones análogas y siguiendo procesos idénticos se logaran resultados diferentes;
Más detallesIntroducción a la Probabilidad
Introducción a la Probabilidad Tema 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Objetivos Entender el concepto de experimento
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES I. Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.
C u r s o : Matemática º Medio Material Nº MT - UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES I NOCIONES ELEMENTALES Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido
Más detallesUNIDAD II Eventos probabilísticos
UNIDAD II Eventos probabilísticos UNIDAD 2 EVENTOS PROBABILÍSTICOS Muchas veces ocurre que al efectuar observaciones en situaciones análogas y siguiendo procesos idénticos se logaran resultados diferentes;
Más detallesEJERCICIOS DEL BLOQUE DE PROBABILIDAD.
EJERCICIOS DEL BLOQUE DE PROBABILIDAD. 1.- Cuál es la probabilidad de sacar los dos ases al lanzar dos dados? 2.- Cuál es la probabilidad de obtener tres caras, lanzando al aire una moneda tres veces?.
Más detallesProbabilidad. Generalidades
robabilidad Generalidades a probabilidad estudia experimentos en los que se pueden esperar varios resultados y no solamente uno. os experimentos se pueden clasificar como aleatorios o determinísticos.
Más detallesINTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS ORIENTACIONES (TEMA 5)
TEMA 5 NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Conocer los conceptos de experimento aleatorio y espacio muestral. Distinguir los distintos tipos de sucesos que forman parte del espacio
Más detallesEnsayo o prueba: es la realización concreta de un experimento aleatorio.
Tema 4. Probabilidad Resumen del tema 4.1. Introducción a la Probabilidad Experimento: cualquier proceso que permite asociar a cada individuo de una población un símbolo (numérico o no) entre los símbolos
Más detallesHoja 2 Probabilidad. 1.- Sean Ω un espacio muestral y A P(Ω) una σ-álgebra. Para A A fijado, Además, resolver el ejercicio 3 desde (5.a) y (5.b).
Hoja 2 Probabilidad 1.- Sean Ω un espacio muestral y A P(Ω) una σ-álgebra. Para A A fijado, se define A A = {B Ω : B = A C con C A}. Demostrar que A A P(A) es σ-álgebra. 2.- Sea {A n : n 1} A una sucesión
Más detallesLanzamos 1 dado y comprobamos cuál es el resultado que aparece en la cara superior.
Curso ON LINE Tema 01 SÓLO ENUNCIADOS. PROBABILIDADES I Lanzamos 1 dado y comprobamos cuál es el resultado que aparece en la cara superior. 001 002 003 004 005 Lanzamos 1 dado y comprobamos cuál es el
Más detallesIdeas básicas de probabilidad. objetivo Inferencia estadística.
40 Ideas básicas de probabilidad. objetivo Inferencia estadística. Experimento aleatorio (ε) Diremos que un fenómeno es un experimento aleatorio, cuando el resultado de una repetición es incierto pero
Más detalles4. CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
4. CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD 4.1 Introducción La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad
Más detallesIntroducción. 1. Sucesos aleatorios. Tema 3: Fundamentos de Probabilidad. M. Iniesta Universidad de Murcia
Tema 3: Fundamentos de Probabilidad Introducción En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce
Más detalles2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD
2. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD Un diagrama de Venn Objetivos Introducir los conceptos básicos de experimentos y sucesos, y la definición axiomática y propiedades de la probabilidad. Para leer
Más detallesFundamentos de Estadística y Simulación Básica
Fundamentos de Estadística y Simulación Básica TEMA 3 PROBABILIDADES Definiciones Algunas definiciones en Probabilidades Teoría de conjuntos Espacio muestral (E) Evento o suceso Eventos mutuamente excluyentes
Más detallesTEMA 11. PROBABILIDAD
TEMA 11. PROBABILIDAD 11.1. Experimentos aleatorios. - Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. - Sucesos. Operaciones con sucesos. 11.2. Probabilidad. - Regla de Laplace 11.3. Experiencias
Más detallesPROBLEMAS DE PROBABILIDAD. 3. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma de sus puntos sea: a) igual a 5 b) mayor que 10
1. Se lanza un dado. Halla la probabilidad: a) de salir el 3 b) de salir un número par c) de salir un número mayor que 2 PROBLEMAS DE PROBABILIDAD 2. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos monedas:
Más detallesEl caballero Mere escribe a Pascal en 1654 y le propone el siguiente problema:
Introducción Los fundamentos del cálculo de probabilidades surgen alrededor del año 1650, cuando sugerido por los juegos de dados, de cartas, del lanzamiento de una moneda, se planteó el debate de determinar
Más detallesEXPERIMENTO ALEATORIO
EXPERIMENTO ALEATORIO En concepto de la probabilidad, un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, en otras palabras,
Más detallesTema 4. Probabilidad Condicionada
Tema 4. Probabilidad Condicionada Presentación y Objetivos. En este tema se dan reglas para actualizar una probabilidad determinada en situaciones en las que se dispone de información adicional. Para ello
Más detallesTema 9: Probabilidad: Definiciones
Tema 9: Probabilidad: Definiciones 1. CONCEPTOS Experimento aleatorio Suceso Espacio muestral 2. DEFINICIÓN DE PROBBILIDD Enfoque clásico Enfoque frecuencialista 3. PROBBILIDD CONDICIONL 4. TEOREMS BÁSICOS
Más detallesEJERCICIOS PROBABILIDAD
EJERCICIOS PROBABILIDAD 0. Razona y di si los siguientes experimentos son aleatorios o deterministas: Dejar caer una moneda desde una altura determinada y medir el tiempo que tarda en llegar al suelo.
Más detallesTema III. Definición Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Tema III Cálculo de probabilidades y variables aleatorias 3.1. Introducción La teoría de probabilidad es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial en el análisis de la variabilidad.
Más detallesTEMA 13: PROBABILIDAD
TEMA 13: PROBABILIDAD Índice de contenidos: 0.- INTRODUCCIÓN... 1 1.- EXPERIMENTOS... 1 2.- ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS. ESPACIO DE SUCESOS... 2 3.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD SEGÚN LAPLACE: DEFINICIÓN CLÁSICA...
Más detallesTema 3: Probabilidad. Bioestadística
Tema 3: Probabilidad Bioestadística SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo.
Más detallesTEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
TEMA 2 EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIMENTOS: EJEMPLOS Deterministas Calentar agua a 100ºC vapor Soltar objeto cae Aleatorios Lanzar un dado puntos Resultado fútbol quiniela
Más detalles2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p( 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p (E) = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
Más detallesAprender el concepto de la probabilidad y las reglas básicas de probabilidades para sucesos. Entender la probabilidad condicionada.
5. PROBABILIDAD Objetivo Aprender el concepto de la probabilidad y las reglas básicas de probabilidades para sucesos. Entender la probabilidad condicionada. Bibliografia recomendada Peña y Romo (1997),
Más detallesc) Extraer una bola de una urna que contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20 y mirar el número que tiene la bola extraída.
TEMA 11: AZAR Y PROBABILIDAD SUCESOS ALEATORIOS Se llaman sucesos aleatorios a todos aquellos acontecimientos en cuya realización influye el azar. Para estudiar el azar y sus propiedades, se realizan experiencias
Más detallesBloque 4. Estadística y Probabilidad
Bloque 4. Estadística y Probabilidad 2. Probabilidad 1. Definición de probabilidad La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse
Más detallesProbabilidad. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías. 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística
Probabilidad Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Probabilidad Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado
Más detallesEstadís3ca y Métodos Numéricos Tema 2. Probabilidad
Estadís3ca y Métodos Numéricos Tema 2. Probabilidad Ángel Barón Caldera Ángel Cobo Ortega María Dolores Frías Domínguez Jesús Fernández Fernández Francisco Javier González Or@z Carmen María Sordo García
Más detallesIdeas básicas de probabilidad. objetivo Inferencia estadística.
40 Ideas básicas de probabilidad. objetivo Inferencia estadística. Teoría de probabilidades: Descripción matemática de los fenómenos aleatorios que surgen al realizar experimentos aleatorizados o al tomar
Más detallesIntroducción. 1. De acuerdo con lo visto en la animación de la introducción La probabilidad del súper clásico, contesta las siguientes preguntas.
RECOLECTO, ANALIZO MI DATOS Y OBTENGO MIS PROPIAS CONCLUSIONES Resolución de situaciones aleatorias mediante la regla de Laplace Introducción 1. De acuerdo con lo visto en la animación de la introducción
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 2 Espacios de probabilidad Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo
Más detallesMOOC UJI: La Probabilidad en las PAU
4. Probabilidad Condicionada: Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes 4.1. Probabilidad Condicionada Vamos a estudiar como cambia la probabilidad de un suceso A cuando sabemos que ha ocurrido otro
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Parte I, Opción A Junio, Ejercicio 3, Parte I, Opción B Reserva 1,
Más detalles6 resultados posibles en total. Llamaremos suceso elemental de un experimento aleatorio a cada uno de los resultados posibles
TEMA Probabilidad * Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado es impredecible. Ej. Lanzar un dado, lanzar una moneda. Una reacción química, realizada siempre en las mismas condiciones, no sería un
Más detallesTema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto
Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Octubre 2010 Contenidos...............................................................
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. Regla de Laplace. Ejercicio 1. (2005) Ejercicio 2. (2004) María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura;
Más detallesConcepto de Probabilidad
Concepto de Probabilidad Prof. Miguel Hesiquio Garduño. Est. Mirla Benavides Rojas Depto. De Ingeniería Química Petrolera ESIQIE-IPN hesiquiogm@yahoo.com.mx mbenavidesr5@gmail.com PROBABILIDAD En cualquier
Más detallesFundamentos de la Teoría de la Probabilidad. Ing. Eduardo Cruz Romero
Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad Ing. Eduardo Cruz Romero www.tics-tlapa.com Teoría elemental de la probabilidad (1/3) El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos
Más detallesMÁS EJERCICIOS SOBRE SUCESOS Y PROBABILIDAD SUCESOS
MÁS EJERCICIOS SOBRE SUCESOS Y PROBABILIDAD SUCESOS Ejercicio 1-1: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. Lanzar tres monedas. b. Lanzar tres dados
Más detallesEJERCICIOS DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS DE ROBABILIDAD Ejercicio nº 1.- Lanzamos dos dados sobre la mesa y anotamos los dos números obtenidos. a) Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) Describe los sucesos: A "Obtener al
Más detallesCalcular probabilidad clásica mediante regla de Laplace. Reconocer elementos básicos en las probabilidades.
Guía N 16 Nombre: Fecha: Contenidos: Probabilidad Clásica Objetivos: Calcular probabilidad clásica mediante regla de Laplace. Reconocer elementos básicos en las probabilidades. NOCIONES ELEMENTALES Experimento:
Más detallesÁmbito Científico-Tecnológico Módulo IV Bloque 6 Unidad 6 Cara o cruz
Ámbito Científico-Tecnológico Módulo IV Bloque 6 Unidad 6 Cara o cruz Me tocará? No me tocará? Si jugamos al parchís, sacaré un cinco para salir de casa? No lo sabemos, todo depende de la suerte o el azar.
Más detallesESTADÍSTICA. Kilómetros recorridos: x i Número de bicicletas: f i
ESTADÍSTICA 1.- Un equipo ciclista quiere estudiar el estado de las bicicletas a lo largo de cuatro años. Toma una muestra de 20 bicicletas y mira los Kilómetros que han recorrido: Kilómetros recorridos:
Más detallesÁlgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 1. Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace.
Álgebra lineal. Curso 2007-2008. Tema 5. Hoja 1 Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace. 1. Un dado se lanza dos veces. Se pide: (a) Construir el espacio muestral.
Más detallesEjemplo: Los miembros del Colegio de Ingenieros del Estado Cojedes.
Qué es la Estadística? En el lenguaje común, la palabra se emplea para denotar un conjunto de calificaciones o de números, por ejemplo: una persona puede preguntar has visto las últimas estadísticas acerca
Más detallesdeterministas, que son aquellos cuyos resultados se pueden predecir de antemano, y
CÁLCULO DE PROBBILIDDES : Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Álgebra de sucesos. Frecuencias. Propiedades. Probabilidad. Resumen de Combinatoria. Probabilidad condicionada. Teoremas. PROBBILIDD
Más detallesTema 11: Probabilidad.
Tema 11: Probabilidad. Como comentamos al final del tema anterior, comenzamos el tema de probabilidad definiendo formalmente el concepto y los principales elementos que la forman. Continuaremos estudiando
Más detalles2. Probabilidad y. variable aleatoria. Curso 2011-2012 Estadística. 2. 1 Probabilidad. Probabilidad y variable aleatoria
2. Probabilidad y variable aleatoria Curso 2011-2012 Estadística 2. 1 Probabilidad 2 Experimento Aleatorio EL término experimento aleatorio se utiliza en la teoría de la probabilidad para referirse a un
Más detalles1º ESO TEMA 9 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
1º ESO TEMA 9 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1 1.- FRECUENCIAS Para organizar y analizar una serie de datos estadísticos se utiliza una tabla de frecuencias Tabla de frecuencias Valores (xi) 0 1 2 Frecuencia
Más detallesTipos de sucesos. Suceso elemental
Definición de probabilidad Experimentos deterministas Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar
Más detallesEjercicios de Cálculo de Probabilidades
Ejercicios de Cálculo de Probabilidades Ejercicio nº 1.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a Cuál es el espacio muestral? b Describe los sucesos: A "Mayor
Más detallesPROBABILIDAD. 3.-Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B:
Ejercicios y problemas 2º Bachillerato C.C.S.S. PROBABILIDAD 1.- Justifica gráficamente las siguientes igualdades: 2.- Tenemos dos urnas la urna I con 1 bola negra, 2 rojas y 3 verdes, y la urna II con
Más detallesMETODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD
METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. Aleatorio: dadas unas condiciones
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES Los juegos de azar fueron el origen de la teoría de probabilidades; pero aunque la mayoría de los juegos de azar son tan antiguos como la humanidad misma, el cálculo de probabilidades
Más detallesProbabilidad. 1. Conceptos previos. Teoría de conjuntos. Conceptos básicos
. Conceptos previos Teoría de conjuntos. Conceptos básicos Dado un conjunto M, se llama conjunto de partes de M, y se denota por P(M), al conjunto de todos los subconjuntos de M (incluido el conjunto vacio,,
Más detallesESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 2 Nombre: Probabilidad Contextualización En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o probabilístico posee un
Más detallesNº Hermanos 30 Alumnos X i f i P(X i ) 0 8 0, , , , , ,00
U.D.3: Distribuciones Discretas. La Distribución Binomial 3.1 Variable Aleatoria Discreta. Función o Distribución de Probabilidad. Variable Aleatoria: - En un experimento aleatorio, se llama variable aleatoria
Más detalles