Probabilidad. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías. 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística
|
|
- Alfonso Olivares Salazar
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Probabilidad Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012
2 Probabilidad Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certeza es basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómeno estudiado. Hay una probabilidad del 50 % de obtener un número par al lanzar un dado Es probable que apruebe el parcial de fundamentos de estadística Es poco probable que me gane el baloto
3 Probabilidad Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso en un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certeza es basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómeno estudiado. Cuanto mayor es el grado de certeza de que ocurrirá el suceso, mayor será la probabilidad. La probabilidad se determina como un valor entre 0 y 1, donde 0 indica que el suceso no ocurre y 1 que el suceso ocurre con certeza. En el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común expresado con números. Laplace
4 Importancia en la estadística La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada. Sin una adecuada compresión de las leyes básicas de la probabilidad, es difícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva (Canavos, 1988). Cómo es posible que la media obtenida de una muestra de unos pocos hogares de todos los del país, pueda ser una estimación precisa de la media de la población?... Si diferentes muestras darían valores distintos de la media muestral ( x) La variabilidad muestral no es fatal (Azar no significa ausencia de regularidad)
5 Aleatoriedad Llamamos a un fenómeno aleatorio si los resultados individuales son inciertos y, sin embargo, existe una distribución regular de los resultados después de un gran número de repeticiones. Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas Proporción de caras Lanzamientos
6 Aleatoriedad Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas Proporción de caras Lanzamientos El comportamiento del azar es impredecible con pocas repeticiones pero presenta un comportamiento regula y predecible con muchas repeticiones
7 Importancia en la estadística El nexo que une la teoría de la probabilidad y la estadística es la noción de variable aleatoria, mostrando de esta manera cómo puede emplearse la teoría de la probabilidad para extraer conclusiones precisas acerca de una población sobre la base de una muestra extraída de ella. Extraer pautas donde hay (aparentemente) azar. Cuando se decide que la hay, se hace con una cierta seguridad. Lo que significa que se deja un margen para el posible error. Error, que aunque indicativo de nuestra ignorancia, está al menos acotado dentro de unos ciertos límites.
8 Definición de probabilidad Probabilidad Clásica (Laplace) Si un experimento que está sujeto al azar, puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente verosímiles (probables) y si n A de estas poseen un atributo A, la probabilidad de A es la fracción n A /n Al lanzar un dado Cuál es la probabilidad de que el resultado sea par? Al lanzar dos monedas Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
9 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son: No es válida cuando los posibles resultados no son equiprobables A veces no es posible contar los posibles resultados
10 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son: No es válida cuando los posibles resultados no son equiprobables A veces no es posible contar los posibles resultados Probabilidad Frecuentista (Bernouilli) Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones y n B de los resultados son favorables a un atributo B, el límite de n B /n conforme n se vuelva grande, se define como la probabilidad del atributo B
11 Definiciones de probabilidad Fig: Distribución muestral de la probabilidad de obtener una cara en lanzamiento de una moneda 10 lanzamientos 50 lanzamientos Densidad Proporción 100 lanzamientos Densidad Densidad Proporción 1000 lanzamientos Densidad Proporción Proporción
12 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir así la probabilidad son los siguientes: En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones del experimento. Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento pueden variar a lo largo del tiempo.
13 Definición de probabilidad Los inconvenientes de definir así la probabilidad son los siguientes: En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones del experimento. Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimento pueden variar a lo largo del tiempo. Probabilidad Subjetiva o Personal El grado de creencia o convicción con respecto a la ocurrencia de una afirmación. Representa un juicio personal acerca de un fenómeno impredecible. la probabilidad de un suceso puede, y debe, variar en función de la nueva información recibida respecto del suceso Estos grados de creencia tiene como única restricción el que pertenezcan a una persona racional y coherente
14 Conceptos de probabilidad Espacio Muestral (S) El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Estos pueden ser finitos, infinitos numerables o continuos Evento Cualquier resultado o conjunto de resultados de un fenómeno aleatorio, es decir que A es un suceso si A S. Complemento (A ) El complemento de un evento A con respecto a S es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A.
15 Conceptos de probabilidad Unión (A B) La unión de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos. Intersección (A B) La intersección de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todos los elementos comunes de A y B. Eventos mutuamente excluyentes (A B = ) Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos eventos no tienen ningún elemento en común.
16 Conceptos de probabilidad Representación gráfica de la relación entre eventos y el espacio muestral (Diagrama de Venn) Fig: Diagrama de Venn A B = A B C = A B = A (B C) = A B =
17 Conceptos de probabilidad Representación gráfica de la relación entre eventos y el espacio muestral (Diagrama de Venn) Fig: Diagrama de Venn A B = 1,2 A B C = 1 A B = 1,2,3,4,6,7 A (B C) = 1,2,3,4,7 A B = 4
18 Conceptos de probabilidad Se tienen los sucesos A, B y C, exprese en lenguaje de la teoría de conjuntos las siguientes operaciones: 1 Ocurren A y al menos uno de los otros dos. 2 Ocurre A y uno sólo de los otros dos. 3 Ocurre uno de los tres, pero no dos a la vez. 4 Ocurre C, pero no lo hacen ni A ni B 5 Ocurren al menos dos de los tres 6 No ocurre ninguno de los tres.
19 Reglas de la probabilidad 1 La probabilidad de cualquier suceso A (P (A)) cumple que: 0 P (A) 1 2 Si S es el espacio muestral de un modelo de probabilidad, entonces: P (S) = 1 3 Para cualquier suceso A, P (A ) = 1 P (A) 4 Si A y B son dos suceso cualesquiera se verifica que: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5 Si A B entonces P (A) P (B)
20 Reglas de la probabilidad 1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces: P (A B) = P (A) + P (B) 2 Si A, B y C son eventos cualesquiera, entonces: P (A B C) =P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) 3 Si A 1, A 2,..., A k son eventos mutuamente excluyentes, entonces: (1) P (A 1 A 2... A k ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A k )
21 Ejemplo Al lanzar dos dados y se tiene los siguientes eventos: A: La suma de los dos dados es igual a 7 B: El resultado de los dados sean menores que 5 Cuál es la probabilidad de A B? Un sistema que contiene dos componentes A y B, y se conecta de manera que este funciona si cualquier componente funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione es P (A) = 0,9 y la de B es P (B) = 0,8 y la probabilidad de ambos es P (A B) = 0,72 Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?
22 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona y se desea saber: Cuál es la probabilidad de que no hable francés? Cuál es la probabilidad de que hable castellano? Cuál es la probabilidad de que entienda sólo en castellano? Cuál es la probabilidad de que sólo hable un idioma? Cuál es la probabilidad de que hable los tres idiomas?
23 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también?
24 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también? La probabilidad condicionada establece la probabilidad de un suceso (la persona habla inglés) bajo la condición de que se conoce otro suceso (la persona habla español)
25 Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos que se encuentran en un espacio muestral S de manera tal que P (B) > 0. La probabilidad condicional de A al ocurrir el evento B, se puede calcular como: P (A B) = De aquí se puede observar que: P (A B), P (B) > 0 P (B) P (A B) = P (A)P (B A) La probabilidad condicional permite una alteración de la probabilidad de un evento a la luz de mayor información.
26 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también?
27 Ejemplo De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar una persona: Si se selecciona una persona que habla castellano Cuál es la probabilidad de que hable ingles también? A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el número de lectores de El País y El Tiempo. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 40 % de los habitantes leen El País, el 36 % lee El Tiempo y un 18 % lee ambos periódicos. Si se selecciona al azar a un lector de El Tiempo, Cuál es la probabilidad de que también lea El País?
28 Probabilidad Condicional Dos eventos A y B son independientes, si y solo si: P (B A) = P (B) y P (A B) = P (A) De este resultado se tiene que: P (A B) = P (A)P (B)
29 Probabilidad Condicional Dos eventos A y B son independientes, si y solo si: P (B A) = P (B) y P (A B) = P (A) De este resultado se tiene que: P (A B) = P (A)P (B) Ejemplo Se lanza un dado 2 veces. Si el primer lanzamiento es seis, Cuál es la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea también seis?
30 Probabilidad Condicional Regla multiplicativa Si, en un experimento, los eventos A 1, A 2,..., A k pueden ocurrir, entonces: P (A 1 A 2... A k ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A k A 1 A 2... A k 1 ) Si los eventos son independientes, entonces P (A 1 A 2... A k ) = P (A 1 )P (A 2 )... P (A k )
31 Ejemplo Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectados entre sí como lo muestra la siguiente figura, donde las probabilidades indican la seguridad de que el componente funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de un componente en particular es independiente del de las demás, Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?
32 Ejemplo Se sacan tres cartas de una baraja ordinaria, si se definen los siguientes eventos: La primera carta es un as de diamantes (A), la segunda es de diamantes (cualquiera) (B), la tercer carta es negra y mayor que 3 pero menor que 7 (C). Cuál es la probabilidad de que se den los tres eventos? En un juego de tiro al blanco, la probabilidad de que el jugador 1 de en el blanco es 1/6, la del jugador 2 es de 1/4 y la del jugador 3 es de 1/3. Si cada uno dispara una sola vez al blanco. Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez? Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 verdes, y una segunda caja contiene 7 bolas rojas y 3 verdes. Se escoge al azar una bola de la primera caja y se pasa a la segunda. Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola de la segunda urna, esta sea roja?
33 Teorema de Probabilidad Total Si los eventos B 1, B 2,..., B k constituyen una división del espacio muestral S, de tal forma que P (B k ) 0 para i = 1, 2,..., k entones para cualquier evento A de S P (A) = k P (B i A) = i=1 k P (B i )P (A B i )) i=1
34 Ejemplo La policía para reforzar el respeto a los limites de velocidad coloca dos radares diferentes puntos de la ciudad (A y B), donde en cada sitio el radar funciona, respectivamente, el 40 % y el 20 % del tiempo. Si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente, 0.2 y 0.8 de probabilidad de pasar por alguno de estos sitios. Cuál es la probabilidad de que esta persona resulte multada?
35 Ejemplo La policía para reforzar el respeto a los limites de velocidad coloca dos radares diferentes puntos de la ciudad (A y B), donde en cada sitio el radar funciona, respectivamente, el 40 % y el 20 % del tiempo. Si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente, 0.2 y 0.8 de probabilidad de pasar por alguno de estos sitios. Cuál es la probabilidad de que esta persona resulte multada? Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50 % del total se compra a B1 mientras que a B2 y B3 se les compra un 20 % y 30 % respectivamente. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12 % respectivamente. Si todos los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor. Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso
36 Regla de Bayes Si los eventos B 1, B 2,..., B k constituyen una división del espacio muestral S, de tal forma que P (B k ) 0 para i = 1, 2,..., k, entonces para cualquier evento A en S, tal que P (A) 0 P (B k A) = P (B r A) k i=1 P (B i A) = P (B r)p (A B r )) k i=1 P (B i)p (A B i )
37 Ejemplo Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso es 90 % fiable cuando la persona es culpable y 99 % cuando es inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el crimen?
38 Ejemplo Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso es 90 % fiable cuando la persona es culpable y 99 % cuando es inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el crimen? Si el polígrafo indica que es inocente Cuál es la probabilidad de que este individuo sea inocente?
39 Ejemplo Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechoso es 90 % fiable cuando la persona es culpable y 99 % cuando es inocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellos el culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió el crimen? Si el polígrafo indica que es inocente Cuál es la probabilidad de que este individuo sea inocente? Cuál es la probabilidad de que el polígrafo acierte?
40 Ejemplo Un taxi se vio implicado en un accidente nocturno con choque y huida posterior. Hay dos compañías de taxis en la ciudad, la Verde y la Azul. El 85 % de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15 % Azules. Un testigo del accidente identificó el taxi como Azul. El tribunal comprobó la fiabilidad del testigo bajo las mismas circunstancias que había la noche del accidente y llegó a la conclusión de que el testigo identificaba correctamente cada uno de los colores en el 80 % de las ocasiones. Luego de las declaraciones del testigo Cuál es la probabilidad de que el taxi implicado en el accidente fuera en efecto azul?
41 Bibliografía Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition. Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition. Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.
6. PROBABILIDAD I. Eugenio Hernández. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso Universidad Autónoma de Madrid
6. PROBABILIDAD I Universidad Autónoma de Madrid COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2017-2018 6.1. Frecuencia y probabilidad. Modelos de probabilidad FENÓMENO ALEATORIO Un
Más detallesConceptos. Experimento Aleatorio: Es un fenómeno en el que interviene el azar, es decir no se puede predecir el resultado.
Teresa Pérez P DíazD Profesora de matemática tica Conceptos Experimento Aleatorio: Es un fenómeno en el que interviene el azar, es decir no se puede predecir el resultado. Ejemplos: E : Lanzar un dado,
Más detallesESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD GUIA 2: CÁLCULO BÁSICO DE PROBABILIDADES Y REGLAS DE PROBABILIDAD DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO DUARTE
ESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD GUIA 2: CÁLCULO BÁSICO DE PROBABILIDADES Y REGLAS DE PROBABILIDAD DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO DUARTE En la anterior sesión vimos los conceptos básicos de probabilidad y
Más detallesTema 4. Probabilidad Condicionada
Tema 4. Probabilidad Condicionada Presentación y Objetivos. En este tema se dan reglas para actualizar una probabilidad determinada en situaciones en las que se dispone de información adicional. Para ello
Más detallesIntroducción. 1. Sucesos aleatorios. Tema 3: Fundamentos de Probabilidad. M. Iniesta Universidad de Murcia
Tema 3: Fundamentos de Probabilidad Introducción En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce
Más detallesApuntes de Probabilidad
Apuntes de Probabilidad Existen fenómenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si una moneda cae al suelo, no es posible conocer
Más detallesPRINCIPIOS DE PROBABILIDAD GERMÁN E. RINCÓN
PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD GERMÁN E. RINCÓN CONCEPTOS BÁSICOS Tipos de fenómenos: Fenómenos determinísticos Una acción un solo resultado posible Se puede pronosticar con precisión lo que va a ocurrir Qué
Más detallesApuntes de Probabilidad
Apuntes de Probabilidad Existen fenómenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si una moneda cae al suelo, no es posible conocer
Más detallesEstadística. Tema 7: Teoría de Probabilidad.. Estadística. UNITEC Tema 7: Teoría de Probabilidad Prof. L. Lugo
Estadística Teoría de onjuntos ONJUNTO: colección de objetos de cualquier clase, definida de forma tal que no queden dudas acerca de la pertenencia de un elemento o no. Formas de definir conjuntos: i.-
Más detallesEjemplo: Si lanzamos un dado 7 veces y 3 de ellas nos sale par, la frecuencia
Probabilidad La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles,
Más detallesPROBLEMAS DE PROBABILIDAD. BOLETIN II..1 Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dado.
PROBLEMAS DE PROBABILIDAD. BOLETIN II.1 Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dado. 2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados. 3.
Más detallesProbabilidad. 1. -Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral, entonces:..
1 -Si A y son dos sucesos de un espacio muestral, entonces: a) P (A ) = P(A) + P() X b) P(A ) = P(A) + P() P(A ) c) P (A ) = P(A)P() Se cumple P(A ) = P(A) + P() P(A ) Siendo P(A ) = P(A) + P() cuando
Más detallesGuía Matemática NM 4: Probabilidades
Centro Educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Guía Matemática NM : Probabilidades Nombre: Curso: Aprendizaje Esperado: Determinar la probabilidad de ocurrencia de
Más detallesExperimento Aleatorio o ensayo
Clase 5 1 Experimento Aleatorio o ensayo Es un proceso o acción cuyo resultado es incierto, es decir no es predecible. Es factible de ser repetido infinitas veces, sin modificar las condiciones. Repetición
Más detallesPráctica 2: Probabilidades A (a) Suponiendo que todos los resultados son igualmente probables. Encuentre P (A), P (B), P (A
1 Mediante diagramas de Venn probar que: (a) A = (b) A = A (c) A A = (d) A A = S (e) S = (f) = S (g) ( A ) = A (h) (A B) = A B (i) (A B) = A B : Probabilidades 2 El siguiente diagrama de Venn describe
Más detallesU D PROBABILIDAD 2º BACHILLERATO Col. LA PRESENTACIÓN PROBABILIDAD
PROBABILIDAD 0. DEFINICIONES PREVIAS 1. DISTINTAS CONCEPCIONES DE PROBABILIDAD a. Definición Clásica b. Definición Frecuentista 2. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD a. Espacio Muestral b. Suceso Aleatorio
Más detallesESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. a) Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio muestral es:
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. ESPACIO MUESTRAL a) Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio muestral es: b) Si se lanza un dado y una moneda el espacio muestral es: c) Si
Más detallesNombre del estudiante: Sección: á
Nombre del estudiante: Sección: á A. En una caja hay 7 bolas azules enumeradas del 1 al 7, 9 bolas amarillas enumeradas del 3 al 11, y 10 bolas verdes enumeradas del 4 al 13. Si se saca una bola al azar,
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. Regla de Laplace. Ejercicio 1. (2005) Ejercicio 2. (2004) María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura;
Más detallesREGLAS DE PROBABILIDAD
Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD 4.1-1 Evento Compuesto Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples. Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, cuál es la
Más detallesREGLAS DE PROBABILIDAD
Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD 4.1-1 Evento Compuesto Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples. Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, cuál es la
Más detallesPROBABILIDAD. Propiedades de la probabilidad
PROBABILIDAD Definición axiomática: Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica: ) Cualquiera que sea el suceso A, 0 A). 2) Si dos
Más detallesDistribución de Probabilidad
Distribución de Probabilidad Variables discretas Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Modelos probabilísticos Un modelo es una
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES I. Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.
C u r s o : Matemática º Medio Material Nº MT - UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES I NOCIONES ELEMENTALES Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido
Más detallesNOMBRE: a) Sacar par al tirar un dado a) Sacar impar al tirar un dado b) Al lanzar el dado dos veces, se obtenga una suma de puntos igual a 7.
(espacios muestrales, sucesos compatibles e incompatibles) 1 1. Consideremos el experimento que consiste en la extracción de tres bombillas de una caja que contiene bombillas buenas y defectuosas. Se pide
Más detallesCalcúlense: a) b) c) b)
Probabilidad 1º) Lanzamos dos dados y sumamos las puntuaciones obtenidas. Describe el espacio muestral. 2º) Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones obtenidas y hallamos el resto de dividir por cinco
Más detallesApuntes de Probabilidad 4ESO
Apuntes de Probabilidad 4ESO Existen fenómenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si una moneda cae al suelo, no es posible
Más detallesBloque I: Estadística y Probabilidad
Bloque I: Estadística y Probabilidad 1. Probabilidad 1. Teoría de la probabilidad 2. Probabilidad condicionada 3. Dependencia e independencia de sucesos 4. Técnicas de recuento: diagramas de árbol, tablas
Más detallesPROBABILIDAD. Profesor: Rafael Núñez Nogales CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Experimentos y sucesos
PROBABILIDAD CÁLCULO DE PROBABILIDADES Experimentos y sucesos Experimento aleatorio Es aquel cuyo resultado depende del azar, es decir no se puede predecir de antemano qué resultado se va a obtener aunque
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL GUIA DE ACTIVIDADES. UNIDAD I Introducción a la Teoría de Probabilidad. Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de
Más detallesREGLAS DE PROBABILIDAD
Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD 4.1-1 Evento Compuesto Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples. Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, cuál es la
Más detallesDISTINGUIR ENTRE EXPERIMENTO ALEATORIO Y DETERMINISTA
OBJETIVO 1 DISTINGUIR ENTRE EXPERIMENTO ALEATORIO Y DETERMINISTA EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS Experimento determinista es aquel que, una vez estudiado, podemos predecir, es decir, que sabemos
Más detallesTEMA 1.- PROBABILIDAD.-CURSO 2016/2017
TEMA 1.- PROBABILIDAD.-CURSO 2016/2017 1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Probabilidad condicionada. 1.3.- Independencia de sucesos. 1.4.- Teoremas
Más detallesEstadística aplicada al Periodismo
Estadística aplicada al Periodismo Temario de la asignatura Introducción. Análisis de datos univariantes. Análisis de datos bivariantes. Series temporales y números índice. Probabilidad y Modelos probabilísticos.
Más detalles4º ESO D MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMA 13.- PROBABILIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS Cuando lanzamos un dado no podemos saber de antemano qué resultado nos va a salir. Sabemos que nos puede salir cualquier número del 1 al 6, pero no cuál. Decimos que lanzar
Más detallesColegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Aprendizajes Esperados: Calcular probabilidades condicionales en situaciones problemáticas
Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: PROBABILIDAD Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto,
Más detallesÁlgebra lineal. Curso Tema 5. Hoja 1. Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace.
Álgebra lineal. Curso 2007-2008. Tema 5. Hoja 1 Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace. 1. Un dado se lanza dos veces. Se pide: (a) Construir el espacio muestral.
Más detallesFICHA DE TRABAJO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES
FICHA DE TRABAJO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIMENTO ALEATORIO: ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 1) Se considera el experimento que consiste en la extracción de tres tornillos de una caja que contiene tornillos
Más detallesRELACIÓN DE EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
RELACIÓN DE EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. A una reunión llegan Carmen, Lola, Mercedes, Juan, Fernando y Luis. Se eligen dos personas al azar sin importar el orden: a) Obtén el espacio muestral de este
Más detallesTEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO
TEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO 2016-2017 1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Probabilidad condicionada. 1.3.- Independencia de sucesos. 1.4.- Teoremas
Más detallesUNIDAD II: EXRIMENTOS ALEOTORIOS
UNIDAD II: EXRIMENTOS ALEOTORIOS Un experimento aleatorio es aquél en el que si lo repetimos con las mismas condiciones iniciales no garantiza los mismos resultados. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda
Más detallesProbabilidad y Estadística
y Estadística Unidad 2 Tipos de probabilidad Prof. Héctor Ulises Cobián L. ulises.cobian@itcolima.edu.mx February 29, 2016 1 Definition (Experimento aleatorio) Es el que no podemos predecir su resultado,
Más detallesE.U.I.T.I. Bilbao. Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA
E.U.I.T.I. Bilbao Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA E.U.I.T.I. Bilbao Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA TEMA 3: ROBABILIDAD La estadística en comic L. Gocking, W. Smith
Más detallesFactorial de un número Se define como la multiplicación sucesiva de los primeros números naturales.
Combinatoria Principio multiplicativo Un elemento se puede elegir de formas diferentes, un elemento se puede elegir de formas diferentes hasta un elemento enésimo que puede ser elegido de formas diferentes.
Más detallesTEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO
TEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO 2017-2018 1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Combinatoria. Regla del producto 1.2.- Probabilidad condicionada.
Más detallesUnidad Temática 2 Probabilidad
Unidad Temática 2 Probabilidad Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. El experimento que consiste
Más detallesPendientes 1ºMACS y CyT. Probabilidad PROBABILIDAD
PROBABILIDAD 1. Lanzamos dos monedas al aire (primero una y luego la otra). Calcular la probabilidad de obtener: a) Una sola cara b) Al menos una cara c) Dos caras Sol: a) 1/2; b) 3/4; c) 1/4 2. Un lote
Más detallesEJERCICIOS DE PROBABILIDAD
Ejercicio nº 1.- Qué es una experiencia aleatoria? De las siguientes experiencias, cuáles son aleatorias? a) En una caja hay cinco bolas amarillas, sacamos una bola y anotamos su color. b) Lanzamos una
Más detallesTEMA: AZAR Y PROBABILIDAD.
TEMA: AZAR Y PROBABILIDAD. 1. EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS. Una experiencia aleatoria es toda aquella cuyo resultado depende del azar. (Extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, lanzar unos
Más detallesESTADISTICA GENERAL. PROBABILIDADES Profesor: Celso Celso Gonzales
ESTADISTICA GENERAL PROBABILIDADES Profesor: Celso Celso Gonzales OBJETIVOS Desarrollar la comprensión de los conceptos básicos de probabilidad. Definir que es probabilidad Definir los enfoques clasico,
Más detallesMÓDULO I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES EZEQUIEL ZAMORA VICE-RECTORADO DE PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO SOCIAL PROGRAMA CIENCIAS SOCIALES Y JURIDICAS SUBPROGRAMA ADMINISTRACIÓN SUBPROYECTO:
Más detallesExperimento determinista. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso elemental. Suceso seguro. Suceso imposible.
86464 _ 04-047.qxd //07 09:4 Página 4 Probabilidad INTRODUCCIÓN El estudio matemático de la probabilidad surge históricamente vinculado a los juegos de azar. Actualmente la probabilidad se utiliza en muchas
Más detalles2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p( 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p (E) = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
Más detallesEstadística I Tema 4: Probabilidad
Estadística I Tema 4: Probabilidad Tema 4. Probabilidad Contenidos Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Definición de probabilidad. Propiedades. Probabilidad condicionada
Más detallesTEMA 6. PROBABILIDAD
TEMA 6. PROBABILIDAD ACCESO CICLO SUPERIOR En este tema vamos a estudiar el comportamiento del azar. A pesar de que entendemos la palabra azar como sinónimo de imprevisible, vamos a ver cómo, en realidad,
Más detallesTEMA 1: PROBABILIDAD
TEMA 1: PROBABILIDAD Ejercicios 1- alcular el espacio muestral asociado a los siguientes experimentos: a) Lanzar una moneda b) Tirar un dado c) Lanzar un dado de quinielas d) Extraer una bola de una caja
Más detallesCapítulo. Reglas de Probabilidad Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Capítulo 35 Reglas de Probabilidad Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común. Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no
Más detallesEspacio muestral. Operaciones con sucesos
Matemáticas CCSS. 1º Bachiller Tema 12. Probabilidad Espacio muestral. Operaciones con sucesos 1. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos a) Lanzar una moneda y anotar el resultado
Más detallesMATEMÁTICA MÓDULO 2 Eje temático: Estadística y probabilidades
MATEMÁTICA MÓDULO 2 Eje temático: Estadística y probabilidades 1. REGLA DE LAPLACE Cuando un suceso va a ocurrir, en ciertos casos es posible que se pueda predecir su resultado. Si se puede predecir diremos
Más detallesEn el resultado de los experimentos aleatorios interviene el azar, cuando ésto no ocurre así, hablaríamos de sucesos deterministas.
1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y SUCESOS Un experimento aleatorio es aquel que cumple las siguientes condiciones: Se conocen todos sus posibles resultados No se puede conocer el resultado que se obtendrá
Más detallesPROBABILIDAD Relación de problemas 1: Fundamentos de Probabilidad
PROBABILIDAD Relación de problemas 1: Fundamentos de Probabilidad 1. Una urna contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Calcular la probabilidad de que al sacar dos bolas la suma de los números sea impar
Más detallesPROBABILIDAD. 8. En una bolsa hay 7 bolas blancas y 3 negras. Cuál es la probabilidad de que al extraer
PROBABILIDAD 1. Lanzamos dos monedas al aire (primero una y luego la otra). Calcular la probabilidad de obtener: a) Una sola cara b) Al menos una cara c) Dos caras Sol: a) 1/2; b) 3/4; c) 1/4 2. Un lote
Más detallesTema 6: Introducción a la Probabilidad
Tema 6: Introducción a la Probabilidad 1. Introducción 2. La regularidad estadística 3. Concepto de probabilidad i. Definición clásica ii. Concepto frecuencialista de la probabilidad iii. Definición axiomática
Más detallesProbabilidad. 1º) Lanzamos dos dados y sumamos las puntuaciones obtenidas. Describe el espacio muestral.
Probabilidad 1º) Lanzamos dos dados y sumamos las puntuaciones obtenidas. Describe el espacio muestral. 2º) Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones obtenidas y hallamos el resto de dividir por cinco
Más detallesTema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto
Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 1: Introducción y Concepto Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Octubre 2010 Contenidos...............................................................
Más detallesApuntes de Probabilidad para 2º E.S.O
Apuntes de Probabilidad para 2º E.S.O 1. Experimentos aleatorios Existen fenómenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si
Más detallesTEMA 6. PROBABILIDAD
TEMA 6. PROBABILIDAD En este tema vamos a estudiar el comportamiento del azar. A pesar de que entendemos la palabra azar como sinónimo de imprevisible, vamos a ver cómo, en realidad, el azar tiene ciertas
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción
Más detallesFundamentos de Estadística y Simulación Básica
Fundamentos de Estadística y Simulación Básica TEMA 3 PROBABILIDADES Definiciones Algunas definiciones en Probabilidades Teoría de conjuntos Espacio muestral (E) Evento o suceso Eventos mutuamente excluyentes
Más detallesM. Wiper Estadística 1 / 15. Probabilidad. Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid
M. Wiper Estadística 1 / 15 Probabilidad Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid M. Wiper Estadística 2 / 15 Objetivo Introducir el concepto y las leyes de la probabilidad
Más detalles4. CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
4. CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD 4.1 Introducción La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad
Más detallesProbabilidad 2º curso de Bachillerato Ciencias Sociales
PROBABILIDAD Índice: 1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral----------------------------------------------------- 2 2. Suceso aleatorio ------------------------------------------------------------------------------------
Más detallesUNIDAD 4: ESTUDIEMOS LA PROBABILIDAD. 7. Probabilidad 1
UNIDAD 4: ESTUDIEMOS LA PROBABILIDAD. 7. Probabilidad 1 Objetivos conceptuales. Comprender lo que es probabilidad. Objetivos procedimentales. Efectuar cálculos de probabilidad. Objetivos actitudinales.
Más detallesEjercicios elementales de Probabilidad
Ejercicios elementales de Probabilidad 1. Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Halla la probabilidad de que sea: (a) Un rey. (b) Una carta roja. (c) El 7 de tréboles. (d) Una figura de diamantes.
Más detallesIntroducción a la probabilidad. Introducción a la probabilidad. Introducción a la probabilidad. Introducción. Objetivos del tema:
Introducción a la probabilidad Introducción a la probabilidad Introducción Objetivos del tema: l final del tema el alumno será capaz de: Comprender y describir los sucesos de un experimento mediante gráficos,
Más detallesTeoría elemental de la probabilidad
La es el medio por el cual a partir de la información muestral tomamos decisiones o hacemos afirmaciones que se refieren a toda una población, mediante el proceso llamado inferencia estadística La nos
Más detalles- Determinísticos. - Aleatorios. Un experimento determinístico es aquel en que se conoce su resultado antes de realizarlo.
Probabilidad - Determinísticos Experimentos - leatorios Un experimento determinístico es aquel en que se conoce su resultado antes de realizarlo. Un experimento aleatorio, también llamado ensayo o acción
Más detallesAprender el concepto de la probabilidad y las reglas básicas de probabilidades para sucesos. Entender la probabilidad condicionada.
5. PROBABILIDAD Objetivo Aprender el concepto de la probabilidad y las reglas básicas de probabilidades para sucesos. Entender la probabilidad condicionada. Bibliografia recomendada Peña y Romo (1997),
Más detallesTeoría de conjuntos y probabilidad
Teoría de conjuntos y probabilidad M.Sc. Cindy Calderón Arce Lic. Rebeca Soĺıs Ortega Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Junio, 2016 Jornada de capacitación 1 / 21 Contenidos 1 2 3 2 / 21 Colección
Más detallesTEMA 13: PROBABILIDAD
TEMA 13: PROBABILIDAD Índice de contenidos: 0.- INTRODUCCIÓN... 1 1.- EXPERIMENTOS... 1 2.- ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS. ESPACIO DE SUCESOS... 2 3.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD SEGÚN LAPLACE: DEFINICIÓN CLÁSICA...
Más detallesTema 7: Introducción a la probabilidad
Tema 7: Introducción a la probabilidad A veces, la probabilidad es poco intuitiva. (1) El problema de Monty Hall (El problema de las tres puertas) (2) El problema del cumpleaños. Hay n personas en una
Más detallesCurs MAT CFGS-17
Curs 2015-16 MAT CFGS-17 Sigue la PROBABILIDAD Resumen de Probabilidad Teoría de probabilidades: La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir
Más detallesTécnicas de conteo. Permutaciones y combinaciones. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías
Técnicas de conteo Permutaciones y combinaciones Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Técnicas de conteo En el enfoque clásico,
Más detallesUnidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad
Unidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad 2.1 Teoría elemental de probabilidad El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica
Más detallesIntroducción. 1. De acuerdo con lo visto en la animación de la introducción La probabilidad del súper clásico, contesta las siguientes preguntas.
RECOLECTO, ANALIZO MI DATOS Y OBTENGO MIS PROPIAS CONCLUSIONES Resolución de situaciones aleatorias mediante la regla de Laplace Introducción 1. De acuerdo con lo visto en la animación de la introducción
Más detallesProbabilidad. Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.
Probabilidad Definiciones Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces. Experimento aleatorio: Es aquel experimento cuyo resultado no
Más detallesEstadística I Tema 4: Probabilidad
Estadística I Tema 4: Probabilidad Tema 4. Probabilidad Contenidos Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Definición de probabilidad. Propiedades. Probabilidad condicionada
Más detallesProbabilidades. Gerardo Arroyo Brenes
Probabilidades Gerardo Arroyo Brenes Teoría de las Probabilidades Experimento: Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos. Ejemplos: Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o
Más detallesTipos de Probabilidades
Pre-universitario Manuel Guerrero Ceballos Clase N 03 MODULO COMPLEMENTARIO Tipos de Probabilidades Resumen de la clase anterior Probabilidad Combinatoria Probabilidades Con y sin repetición Regla de Laplace
Más detallesUna rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?
Guía N 17 Nombre: Fecha: Contenidos: Probabilidad Clásica Objetivos: Calcular probabilidad clásica mediante regla de Laplace. Reconocer elementos básicos en las probabilidades. Calcular números factoriales
Más detallesEstadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 1. Introducción a la probabilidad
Estadística y sus aplicaciones en Ciencias Sociales 1. Introducción a la probabilidad Facultad de Ciencias Sociales Universidad de la República Curso 2016 Índice 1.1. Aleatoriedad e incertidumbre 1.2 Probabilidad
Más detallesTEMA 6: CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 6.1 Concepto de suceso aleatorio. Terminología y definiciones.
I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / TEMA : CÁLCULO DE PROBABILIDADES.. Concepto de suceso aleatorio. Terminología y definiciones. La probabilidad se centra en los
Más detallesUNIDAD IV PROBABILIDAD
UNIDAD IV PROBABILIDAD Probabilidad de un evento M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez EXPERIMENTOS, RESULTADOS Y CONJUNTOS La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La probabilidad
Más detalles