M. Wiper Estadística 1 / 15. Probabilidad. Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

Transcripción

1 M. Wiper Estadística 1 / 15 Probabilidad Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

2 M. Wiper Estadística 2 / 15 Objetivo Introducir el concepto y las leyes de la probabilidad y sus interpretaciones.

3 M. Wiper Estadística 3 / 15 Idea de la probabilidad La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendios forestales...

4 M. Wiper Estadística 3 / 15 Idea de la probabilidad La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendios forestales... Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto.

5 M. Wiper Estadística 3 / 15 Idea de la probabilidad La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendios forestales... Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto. No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado de incertidumbre inherente en un suceso.

6 M. Wiper Estadística 3 / 15 Idea de la probabilidad La vida cotidiana está llena de sucesos aleatorios: accidentes de tráco, incendios forestales... Utilizamos palabras que reejan incertidumbre como posible, probable, casi cierto. No obstante, palabras son muy imprecisas y es importante cuanticar el grado de incertidumbre inherente en un suceso. Luego buscamos una medida numérica de incertidumbre: la probabilidad.

7 M. Wiper Estadística 4 / 15 Conceptos fundamentales Supongamos que vamos a realizar un experimento aleatorio y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra un determinado suceso. Experimento: preguntar a un ciudadano español adulto su opinión sobre la GC. Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles respuestas a la pregunta Ω = {muy negativa, negativa, indiferente, positiva, muy positiva, NS, NC} Suceso elemental: es un resultado básico del experimento, {positiva}. Suceso compuesto: expresar una opinión favorable sobre la GC F = {positiva, muy positiva}

8 M. Wiper Estadística 5 / 15 Axiomas de la probabilidad En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en las que se basan toda la teoría de la probabilidad. Axioma 1: Para cualquier suceso S, la probabilidad de S es P(S) 0.

9 M. Wiper Estadística 5 / 15 Axiomas de la probabilidad En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en las que se basan toda la teoría de la probabilidad. Axioma 1: Para cualquier suceso S, la probabilidad de S es P(S) 0. Probabilidades son no-negativas. Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1.

10 M. Wiper Estadística 5 / 15 Axiomas de la probabilidad En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en las que se basan toda la teoría de la probabilidad. Axioma 1: Para cualquier suceso S, la probabilidad de S es P(S) 0. Probabilidades son no-negativas. Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1. La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1. Axioma 3: Si S 1, S 2,... son sucesos mutuamente incompatibles entonces P(S 1 S 2 ) = i P(S i ).

11 M. Wiper Estadística 5 / 15 Axiomas de la probabilidad En principios del siglo pasado, Kolmogorov derivó tres axiomas mátematicas en las que se basan toda la teoría de la probabilidad. Axioma 1: Para cualquier suceso S, la probabilidad de S es P(S) 0. Probabilidades son no-negativas. Axioma 2: Para el suceso seguro, Ω, se tiene P(Ω) = 1. La probabilidad de que uno de los posibles resultados ocurra es 1. Axioma 3: Si S 1, S 2,... son sucesos mutuamente incompatibles entonces P(S 1 S 2 ) = i P(S i ). Si cualquier dos de los sucesos S 1, S 2,... no pueden ocurrir a la vez entonces la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos es la suma de sus probabilidades individuales.

12 M. Wiper Estadística 6 / 15 Probabilidad y diagramas de Venn Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn. Areas en el diagrama equivalen a probabilidades.

13 M. Wiper Estadística 6 / 15 Probabilidad y diagramas de Venn Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn. Areas en el diagrama equivalen a probabilidades. Supongamos que el área del rectangulo es 1.

14 M. Wiper Estadística 6 / 15 Probabilidad y diagramas de Venn Se puede ilustrar las reglas básicas de la probabilidad con un diagrama de Venn. Areas en el diagrama equivalen a probabilidades. Supongamos que el área del rectangulo es 1. Para cualquier suceso S tenemos 0 P(S) 1.

15 M. Wiper Estadística 7 / 15 Probabilidad y diagramas de Venn La probabilidad de que no ocurra S es P( S) = 1 P(S).

16 M. Wiper Estadística 8 / 15 Probabilidad y diagramas de Venn Si S 1, S 2, S 3 son incompatibles P(S 1 S 2 S 3 ) = P(S 1 ) + P(S 2 ) + P(S 3 ) En lengua cotidiana es o: S 1 S 2 implica por lo menos uno de los dos sucesos ocurren.

17 M. Wiper Estadística 9 / 15 Probabilidad y diagramas de Venn Si S 1, S 2 no son incompatibles P(S 1 S 2 ) = P(S 1 ) + P(S 2 ) P(S 1 S 2 ) En lengua cotidiana es y: S 1 S 2 implica que los dos sucesos ocurren.

18 M. Wiper Estadística 10 / 15 Ejemplo La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para una pregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS. Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije que había mucho fraude scal?

19 M. Wiper Estadística 10 / 15 Ejemplo La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para una pregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS. Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije que había mucho fraude scal? ¾Y la probabilidad de que dije bastante?

20 M. Wiper Estadística 10 / 15 Ejemplo La siguiente tabla representa las respuestas y porcentaje de encuestados para una pregunta sobre fraude scal en el último barómetro del CIS. Si se elige uno de los encuestados al azar, ¾cuál es la probabilidad de que dije que había mucho fraude scal? ¾Y la probabilidad de que dije bastante? ¾Y la probabilidad de que no dije bastante?

21 M. Wiper Estadística 11 / 15 Interpretaciones de la probabilidad La formulación de Kolmogorov es puramente matemática pero necesitamos relacionar la probabilidad a la vida real. Hay tres interpretaciones típicas: Probabilidad clásica. Probabilidad frecuentista. Probabilidad subjetiva.

22 M. Wiper Estadística 12 / 15 Probabilidad clásica Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales son equiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de un suceso S es P(S) = 1 K el número de sucesos elementales en S ¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada se saquen una cara y una cruz?

23 M. Wiper Estadística 12 / 15 Probabilidad clásica Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales son equiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de un suceso S es P(S) = 1 K el número de sucesos elementales en S ¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada se saquen una cara y una cruz? Ω = {(cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)} S = {(cruz, cara), (cara, cruz} P(S) = 2 4 = 1 2

24 M. Wiper Estadística 12 / 15 Probabilidad clásica Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales son equiprobables. Si tenemos K sucesos elementales, entonces la probabilidad de un suceso S es P(S) = 1 K el número de sucesos elementales en S ¾Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda equilibrada se saquen una cara y una cruz? Ω = {(cruz, cruz), (cruz, cara), (cara, cruz), (cruz, cruz)} S = {(cruz, cara), (cara, cruz} P(S) = 2 4 = 1 2 En el ejemplo sobre la opinión sobre la GC, ¾es razonable suponer que todas las posibles respuestas son equiprobables?

25 M. Wiper Estadística 13 / 15 Probabilidad frecuentista Si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia (relativa) con que ocurre el suceso sería una aproximación a la probabilidad Probabilidad = el valor límite de la frecuencia

26 M. Wiper Estadística 13 / 15 Probabilidad frecuentista Si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia (relativa) con que ocurre el suceso sería una aproximación a la probabilidad Probabilidad = el valor límite de la frecuencia ¾Es fácil pensar en innitas repeticiones de situaciones como escenarios de crimenes?

27 M. Wiper Estadística 14 / 15 Probabilidad subjetiva ¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo?

28 M. Wiper Estadística 14 / 15 Probabilidad subjetiva ¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo? Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos, experiencia,... Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes.

29 M. Wiper Estadística 14 / 15 Probabilidad subjetiva ¾Cuál es la probabilidad de que el sospechoso de cometer un crimen lo hizo? Cada persona puede tener su propia probabilidad que reeja sus conocimientos, experiencia,... Lo único que importa es que las probabilidades subjetivas son coherentes. ¾Este tipo de probabilidad es fácil de aplicar en los tribunales?

30 M. Wiper Estadística 15 / 15 Resumen y siguiente sesión En esta sesión hemos introducido las leyes básicas de la probabilidad y sus interpretaciones más usuales. En la siguiente sesión ilustramos como cambiar la probabilidad en luz de nueva información.