E.U.I.T.I. Bilbao. Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

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1 E.U.I.T.I. Bilbao Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

2 E.U.I.T.I. Bilbao Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA TEMA 3: ROBABILIDAD

3 La estadística en comic L. Gocking, W. Smith (2002)

4 Vemos que la teoría de la probabilidad, en el fondo, es sentido común reducido a cálculo; nos hace apreciar con exactitud lo que las mentes razonables toman por un tipo de instinto, incluso sin ser capaces de darse cuenta [ ] Es sorprendente que esta ciencia, que surgió del análisis de los juegos de azar, llegara a ser el objeto más importante del conocimiento humano [ ] Las principales cuestiones de la vida son, en gran medida, meros problemas de probabilidad. ierre Simon Laplace Marqués de Laplace

5 1. RESUMEN Tratamiento de experimentos, cuyos resultados no se pueden predecir con certeza, a través del concepto de probabilidad. alabras clave: experimento aleatorio y experimento determinístico espacio muestral suceso probabilidad probabilidad condicionada independencia de sucesos

6 2. ÍNDICE DEL TEMA 3.1. Introducción 3.2. robabilidad y Estadística 3.3. Experimentos aleatorios 3.4. Espacio muestral 3.5. Álgebra de conjuntos 3.6. Función de probabilidad 3.7. Interpretación de la probabilidad Frecuentista Subjetiva o bayesiana

7 2. ÍNDICE DEL TEMA 3.8. Espacio muestral con resultados equiprobables Regla de Laplace 3.9. robabilidad condicionada Independencia de sucesos robabilidad de la intersección de sucesos Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes Reglas útiles para calcular probabilidades

8 2. INTRODUCCIÓN Ch. du Meré ascal y Fermat Teoría cálculo de robabilidades robabilidad s.xvii se asocia con Nº piezas al día en una cadena de montaje (grado certeza) osición de un objeto mediante GS (estimación) Creencia de que un suceso va a ocurrir Juego Ingeniería Ciencia..... Administración probable AZAR

9 2. INTRODUCCIÓN Experimento aleatorio: aquél del que se conocen todos sus posibles resultados y que, repetido en las mismas condiciones, no siempre proporciona los mismos resultados irregularidad en cada experiencia aislada (no es predecible el resultado exacto ) regularidad en los resultados medios cuando se repiten muchas veces la experiencias ejemplo: lanzamiento de un dado Experimento determinístico: aquél en el que las mismas condiciones aseguran la obtención de los mismos resultados

10 2. INTRODUCCIÓN Objetivo del Cálculo de robabilidades: encontrar una medida de la incertidumbre o la certidumbre que se tiene de todos los posibles resultados ya que jamás (o muy difícilmente) se puede conocer, a priori, el resultado de un experimento donde aparezca el azar. esa medida de la incertidumbre es lo que se llama probabilidad la Teoría de la robabilidad es una herramienta útil e importante en diversas ramas del conocimiento ingeniería, ciencia, administración, en general, en cualquier fenómeno o actividad en la que intervenga el azar

11 2. INTRODUCCIÓN EJEMLO. Qué número de unidades se producen en una cadena de montaje a diario? no es un número conocido a priori hay un conjunto de valores que pueden darse AZAR averías bajas accidentes cada uno de ellos tiene un determinado grado de certeza

12 3. ROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA robabilidad: rama de las Matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios y las cuestiones relacionadas con la incertidumbre y el azar mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio con la Estadística se pretende realizar inferencias de una población, a partir de una muestra la muestra no proporciona información exacta de la población de la que se extrajo (hay un margen de error) el proceso inductivo está sujeto a dudas e incertidumbre, su medida es la probabilidad

13 4.EXERIMENTOS ALEATORIOS Experimento aleatorio: aquél del que se conocen todos sus posibles resultados y que, repetido en las mismas condiciones, no siempre proporciona los mismos resultados irregularidad en cada experiencia aislada (no es predecible el resultado exacto ) regularidad en los resultados medios cuando se repiten muchas veces la experiencias ejemplo: lanzamiento de un dado

14 4.EXERIMENTOS ALEATORIOS Espacio muestral: conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio notación: Ω puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable ejemplo: lanzamiento de un dado Ω={1,2,3,4,5,6} ejemplo: lanzamiento de dos dados y obtención de la suma de las dos caras que salen Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

15 4.EXERIMENTOS ALEATORIOS Suceso (ó evento): cualquier subconjunto de un espacio muestral ejemplo: en el lanzamiento de una dado, obtener un número par un número impar 1, 2 ó 3 ejemplo: en el lanzamiento de dos dados sumando los números que aparecen en las dos caras, obtener un valor par un valor impar 10, 11 ó 12

16 4.EXERIMENTOS ALEATORIOS Suceso elemental (ó ensayo): cada uno de los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio no puede descomponerse en elementos más simples ejemplo: en el lanzamiento de una dado, obtener 4 ejemplo: en el lanzamiento de dos dados sumando las dos caras, obtener 11

17 5.ESACIO MUESTRAL Espacio muestral: conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio no tiene por qué ser único, depende de lo que se quiera observar en el experimento aleatorio Clasificación discreto: está formado por un conjunto finito o infinito numerable de sucesos elementales continuo: está formado por un conjunto no numerable de sucesos elementales

18 5.ESACIO MUESTRAL Ejemplo experimento: lanzamiento de un dado espacio muestral: Ω={1,2,3,4,5,6} DISCRETO sucesos elementales: {x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5,x6=6} sucesos: {1, 2} {par} {mayor que 3} otro espacio muestral: Ω={par,impar}

19 5.ESACIO MUESTRAL Ejemplo experimento en Biología: extraer peces de un río hasta sacar un pez de la especie que se quiere estudiar espacio muestral: número de peces que hay que extraer hasta conseguir el ejemplar deseado Ω={1, 2, 3, } DISCRETO (numerable) posibles sucesos de interés: {1, 2, 3} {mayor o igual que 3} otro espacio muestral: si sólo se está interesado en saber si hacen falta más de cinco extracciones hasta obtener la especie deseada Ω={>5, 5 }

20 5.ESACIO MUESTRAL Ejemplo experimento: elegir, absolutamente al azar, un número entre 0 y 1 espacio muestral: Ω=[0, 1] CONTINUO ( no numerable) sucesos : {menor que 0.3} {mayor o igual que 0.5} otro espacio muestral: observar el valor decimal mayor más cercano Ω={0.1, 0.2, 0.3, 1 }

21 6.ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Álgebra: rama de las Matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades Álgebra de conjuntos: define las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos Un espacio muestral, Ω, puede caracterizarse como un conjunto Los sucesos elementales son sus elementos Un suceso, S, constituye un subconjunto de Ω S Ω

22 6.ÁLGEBRA DE CONJUNTOS A B Unión de dos conjuntos A y B ( ): es el conjunto cuyos elementos pertenecen a A ó a B Notación: A B { x / x A x B } = Ω Representación gráfica (diagramas de Venn): Ω A B A B La unión de dos sucesos A y B,, se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos, A ó B, ó ambos simultáneamente

23 6.ÁLGEBRA DE CONJUNTOS A B Intersección de dos conjuntos A y B ( ): es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B Notación: A B { x / x A x B } = Ω Representación gráfica: Ω A B Conjuntos disjuntos, mutuamente excluyentes o incompatibles: A B = La intersección de dos sucesos A y B, A B, es el suceso que se verifica cuando ocurren los sucesos A y B simultáneamente

24 6.ÁLGEBRA DE CONJUNTOS A c = Complementario del conjunto A ( ): es el conjunto formado por todos los elementos de Ω (universo) que no pertenecen a A A Notación: A c { x / x A } = A = Ω Representación gráfica: Ω A A c = A El suceso,, se verifica cuando no ocurre el suceso A

25 6.ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Leyes de Morgan Ley 1: A B = A B Representación gráfica: Ω A B Ley 2: A B = A B Representación gráfica: Ω A B

26 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD Función de probabilidad: dado un espacio muestral, Ω, es la operación que hace corresponder a todos los sucesos de Ω uno y sólo un valor real perteneciente al intervalo [0,1] : Ω 0, 1 [ ] R Otras denominaciones: distribución de probabilidad, medida de probabilidad Axiomas que satisface la función: 0 ( A) 1 A Ω ( Ω ) = 1 A i Ω regla de la suma para sucesos incompatibles: ( i = 1, 2,, n ) tales que A i A j = roposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración i j i = n i = 1 A i = i = n i = 1 [ A ] i

27 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD uede definirse más de una función de probabilidad asociada al mismo espacio muestral Ejemplo experimento: lanzamiento de una moneda espacio muestral: Ω={cara, cruz} número infinito no numerable de medidas de probabilidad, asociadas a cada elección: [ cara ] = p p [ 0, 1] [ cruz ] = 1 p si la moneda no está trucada se considera: p = 1 2

28 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD Ejemplo experimento: lanzamiento de un dado espacio muestral: Ω={1,2,3,4,5,6} si el dado no está trucado se define la función de probabilidad: 1 = 6 [ i ] = i ( i 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) cálculo de la probabilidad de un suceso: [{ par } ] = [{ 2, 4, 6 } ] = [ 2 ] [ 4 ] [ 6 ] = + + = [{ par } ] = [ ] + [ 4 ] + [ 6 ] 1 2

29 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD ROIEDADES de la definición de función de probabilidad se deducen las siguientes propiedades c regla de la resta: [ A ] = 1 [ A ] demostración c c ( Ω ) = ( A A ) = ( A ) ( A ) 1= + útil cuando la probabilidad que se calcula es complicada ( c A ) = 1 ( A ) A, A c : c A A = excluyentes

30 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD ROIEDADES de la definición de función de probabilidad se deducen las siguientes propiedades propiedad del suceso imposible: ( ) = 0 c ( A B ) = ( A ) ( A B ) regla general de la suma: ( A B ) = ( A ) + ( B ) ( A B ) dibujar diagramas de Venn puede resultar muy útil

31 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD EJERCICIO El espacio muestral de un experimento es: Ω={1,2,3,4,5,6} Ai: suceso consistente en la obtención del resultado individual i Además, se suponen las siguientes probabilidades: (A1)=0.1 (A4)=0.15 (A2)=0.2 (A5)=0.1 (A3)=0.15 (A6)=0.3 Sean los sucesos: E={1,3,5} F={2,4,6} G={1,4,6}

32 7.FUNCIÓN DE ROBABILIDAD Calcular: 1.La probabilidad de los sucesos E, F y G 2. ( E F ) 3. ( E G ) 4. ( F G ) 5. ( E F G ) 6. ( E F ) 7. ( F G ) 8. ( E G ) 9. ( E F G )

33 8.INTERRETACIÓNDEROBABILIDAD la más común Interpretación frecuentista tiene que ver con los promedios de ocurrencia de los sucesos del experimento considerado EJEMLO: lanzamiento de una moneda se supone que (cara)=0.5 se entiende que si se lanza la moneda un gran número de veces, el número de caras será más o menos la mitad

34 8.INTERRETACIÓNDEROBABILIDAD Interpretación frecuentista generalizando el proceso, se puede determinar la probabilidad de un suceso A como: ( A ) = lim n n n A na: nº de ocurrencias de A en n ensayos del experimento interpretación eminentemente práctica ya que permite una aproximación física al concepto de probabilidad inconvenientes complicada definición como límite en el infinito un experimento no puede repetirse un gran número de veces

35 8.INTERRETACIÓNDEROBABILIDAD Interpretación frecuentista esta interpretación permite estimar o inferir lo que se puede llamar frecuencia esperada siendo (A) la probabilidad de un suceso A, si se repite el experimento aleatorio n veces lo más esperable es que el número de veces que suceda el suceso sea: n ( A) EJEMLO: lanzamiento de una moneda si se lanza 620 veces, el número esperable de caras es: =310 matizar con más rigor

36 8.INTERRETACIÓNDEROBABILIDAD Interpretación subjetiva ó bayesiana vinculación del concepto de probabilidad con el grado de incertidumbre que se tiene sobre las cosas EJEMLO. robabilidad de que llueva mañana: 45% en términos frecuentistas no tiene sentido pensar en que se puede repetir el experimento día de mañana muchas veces y contar cuántos días llueve como el día de mañana es único, tampoco se puede pensar que si hubiera muchos días como mañana aproximadamente llovería el 45% de ellos

37 8.INTERRETACIÓNDEROBABILIDAD Interpretación subjetiva ó bayesiana el resultado de un experimento aleatorio es incierto la probabilidad de un resultado del experimento la indica la creencia que yo tengo en la ocurrencia de ese resultado el grado de creencia es personal y, por tanto, subjetivo pero debe estar acorde con la información que se tiene sobre el experimento

38 9. RESULTADOS EQUIROBABLES se considera el espacio muestral discreto finito: Ω = { ω, ω, ω,, ω } n con independencia de las probabilidades asociadas a los distintos sucesos elementales del espacio Ω, dichas probabilidades deben verificar los axiomas: ( ω i ) 0 i i ( ) = 1 ω i otro punto de vista para tratar la asignación de probabilidad a sucesos de un experimento es considerar que no hay motivos para pensar que uno de ellos sea más probable que otro y asignarles la misma probabilidad (ej.: 50% cara y 50% cruz)

39 9. RESULTADOS EQUIROBABLES Regla de Laplace se considera el espacio muestral discreto finito: Ω = { ω, ω, ω,, ω } n n resultados posibles se supone que los n sucesos elementales tienen la misma probabilidad (equiprobables) 1 ( ω ) = i ( i = 1, 2, 3,, n ) i n

40 9. RESULTADOS EQUIROBABLES Regla de Laplace en este caso, la regla de Laplace permite calcular las probabilidades de los sucesos elementales que están asociados al experimento aleatorio La combinatoria es útil para el recuento de los casos posibles y favorables ( A ) = n n A na: nº de casos favorables a la ocurrencia del suceso A casos favorables ( A ) = regla sólo aplicable casos posibles cuando los sucesos elementales son equiprobables

41 9. RESULTADOS EQUIROBABLES Regla de Laplace la fórmula ó regla de Laplace es eminentemente práctica por ejemplo, permite deducir la probabilidad de que salga cara en el lanzamiento de una moneda sin tener que lanzar la moneda un gran número de veces ( cara ) = casos favorables casos posibles = 1 2 inconvenientes el espacio muestral debe ser finito todos los sucesos elementales deben ser equiprobables

42 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA introducción intuitiva: pensar en la probabilidad como medida de la creencia en la ocurrencia de los sucesos en un experimento aleatorio, (A) es la creencia que se tiene del grado de ocurrencia de un suceso A en el experimento ocurre el suceso B que modifica el grado de creencia en el suceso A el nuevo grado de creencia del suceso A, (A B), se conoce como probabilidad de A condicionada a B ó probabilidad de A conocido B

43 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA EJEMLO suceso A: hoy va a llover (previsión meteorológica) suceso B: hoy está nublado suceso C: hoy hace sol el hecho de que esté nublado aumenta la creencia de que hoy va a llover; por tanto, (A)<(A B) si hace sol se piensa que es menos probable que hoy llueva; entonces, (A)>(A C)

44 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA EJEMLO. Diferentes probabilidades con la definición clásica experimento aleatorio: extraer una carta de una baraja española suceso A: obtener un rey suceso B1: obtener una figura suceso B2: obtener una carta de oros probabilidad de obtener un rey 4 reyes 1 = 40 cartas 10 ( A ) = = 0. 1

45 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA EJEMLO. Diferentes probabilidades con la definición clásica experimento aleatorio: extraer una carta de una baraja española suceso A: obtener un rey suceso B1: obtener una figura suceso B2: obtener una carta de oros probabilidad de obtener un rey si la carta extraída es una figura (condicionada) 4 reyes 1 ( A B ) = = = 12 figuras 3

46 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA EJEMLO. Diferentes probabilidades con la definición clásica experimento aleatorio: extraer una carta de una baraja española suceso A: obtener un rey suceso B1: obtener una figura suceso B2: obtener una carta de oros probabilidad de obtener un rey si la carta extraída es de oros (condicionada) 1rey de oros 1 ( A B ) = = 0 1 = 10 oros 10 2.

47 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA EJEMLO. Diferentes probabilidades con la definición clásica comparación de los resultados 4 reyes 1 = 40 cartas 10 ( A ) = = reyes 1 ( A B ) = = = 12 figuras 3 B1 modifica la probabilidad a priori (sabiendo que la carta extraída es una figura aumenta la probabilidad de obtener un rey) 1rey de oros 1 ( A B ) = = 0 1 = 10 oros B2 no modifica la probabilidad a priori (sabiendo que la carta extraída es de oros la probabilidad de obtener un rey es la misma) A y B2 son independientes

48 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA La probabilidad condicionada representa cómo la probabilidad de un suceso puede cambiar si se sabe de la ocurrencia de otro suceso diferente notación de la probabilidad de un suceso A condicionada por el suceso B: A B ( ) cálculo de (A B): es el cociente de la probabilidad de A y B (intersección) entre la probabilidad de B ( ) ( A B ) A B = ( B ) 0 ( B ) NOTA. Una función de probabilidad condicionada es una función de probabilidad por lo que cumple todas sus propiedades

49 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA la idea de probabilidad condicionada es utilizar la información que da un suceso conocido sobre la ocurrencia de otro suceso diferente cuando un suceso no aporta información sobre la ocurrencia de otro se dice que son independientes Dos sucesos, A y B, se dicen independientes si: ( A B ) = ( A) ( B A ) = ( B ) ó regla de la multiplicación para dos sucesos, A y B, independientes: la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades ( A B ) = ( A) ( B )

50 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA Sucesos independientes Nota. No deben confundirse sucesos independientes y sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes) incompatibles: A B = ( A B ) = 0 independientes: ( A B ) = ( A) ( B ) las diferencias son evidentes aunque si no se conoce si dos sucesos son independientes debe suponerse que no lo son (se supone que son dependientes) hasta que se demuestre lo contrario

51 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA Sucesos independientes Ejemplo. Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado suceso A: obtener cara suceso B: obtener un 6 ( A B ) = ( A ) ( B ) = = 1 12 Ejemplo. Se lanza un dado dos veces consecutivas suceso A: en la primera tirada sale impar suceso B: en la segunda tirada sale impar ( A B ) = ( A ) ( B ) = = 1 4

52 10. ROBABILIDAD CONDICIONADA Ejemplo Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados. Calcular la probabilidad de obtener al menos un 5 sabiendo que la suma de ambos dados es mayor que 6. Solución A: obtener, al menos, un 5 ( ) B: la suma de ambos dados es mayor que 6 ( ) ( A B ) = ( A B ) ( B ) dado dado 1

53 11. ROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN Caso general (sucesos no necesariamente independientes) De la definición de probabilidad condicionada: ( A B ) = ( A B ) ( B ) ( A B ) = ( B A ) ( A ) La probabilidad de que ocurran simultáneamente tres sucesos A, B y C ó ( A B C ) = ( A) ( B A ) ( C A B )

54 11. ROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN Caso general (sucesos no necesariamente independientes) Fórmula producto (por inducción): si A1, A2,, An son sucesos no necesariamente independientes de un espacio muestral, se verifica: ( A 1 A 2 A n ) = ( A 1 ) ( A 2 A 1 ) ( A 3 A 1 A 2 ) ( A A A A ) n 1 2 n 1

55 11. ROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN Ejemplo: ejercicio 2 En una urna hay 20 bolas blancas y 10 bolas negras. Se realizan tres extracciones sin devolución a la urna. Cuál es la probabilidad de que las tres bolas sean blancas? Solución Bi: la bola i-ésima es blanca Bifurcaciones: uniones disjuntas B Ni: la bola i-ésima es negra N2 B ( B B B ) N3 B Caminos entre nodos: intersecciones Nodos: sucesos

56 12. TEOREMA de larobabilidad TOTAL artición de un espacio muestral. Una colección de sucesos A1, A2,, An es una partición del espacio muestral Ω si: son incompatibles dos a dos su unión es el suceso seguro A i i = n i = 1 A A i j = = Ω i j A1 A3 Ω A2 A4 An

57 12. TEOREMA de larobabilidad TOTAL Teorema. Sea una función de probabilidad definida en un espacio muestral Ωy sea {A1, A2,, An} una partición de Ω. Si B es un suceso cualquiera de Ωentonces se verifica: i = n ( B ) = ( Ai ) ( B A i ) i = 1 A1 A3 Ω B An A2 A4

58 12. TEOREMA de larobabilidad TOTAL A1 B = ( ) A i Demostración ( B A ) ( B A ) ( B A ) i = n B A i = 1 2 i = 1 B y ( ) A3 B son sucesos incompatibles dos a dos A j ( B A i ) ( B A j ) = ( B A i ) + ( B A i ) ( B A ) ( B ) = n i A j B An A2 A4

59 12. TEOREMA de larobabilidad TOTAL Demostración ( ) ( ) ( ) n n i i i A B A B A B A B B = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) A n B A B A B B = 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n A n B A A B A A B A B =

60 13. TEOREMA DE BAYES Teorema. Sea una función de probabilidad definida en un espacio muestral Ωy sea {A1, A2,, An} una partición de Ω. Si B es un suceso cualquiera de Ωentonces se verifica: ( A B ) j = i = n i = 1 ( A ) ( B A ) j ( A ) ( B A ) i j i

61 13. TEOREMA DE BAYES Demostración de la definición de probabilidad condicionada ( A B ) = ( A ) ( B A ) = ( B ) ( A B ) i ( A B ) i i = i ( A ) ( B A ) i ( B ) del teorema de la probabilidad total: ( A B ) j = i = n i = 1 i ( A ) ( B A ) j ( A ) ( B A ) i j i = i = 1 i i n ( B ) = ( A ) ( B ) i A i

62 13. TEOREMA DE BAYES Ejemplo. Se dispone de tres urnas: U1 con tres bolas rojas y cinco negras, U2 con dos bolas rojas y una negra y U3 con dos bolas rojas y tres negras. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola. Si la bola resulta ser roja, cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la urna U1? Solución Ui: suceso escoger urna i ( U i ) = ( i = 1, 2, 3 ) R: suceso sacar bola roja 1 = i = 3 i = 1 ( U 1 ) ( R U 1 ) ( U ) ( R ) ( U R ) = = = i U i ~26%

63 13. TEOREMA DE BAYES Ejemplo: ejercicio 6 Las plantas de una especie pueden tener flores rojas homocigóticas (RR), flores rojas heterocigóticas (Rr) ó blancas (rr). Aproximadamente, el 70 % de las plantas con flores rojas son heterocigóticas. Se quiere diagnosticar si una planta con flores rojas es homocigótica o no; para ello, se cruza con una planta de flores blancas. Del cruce se obtienen cinco plantas, todas con flores rojas. Cuál es la probabilidad de que sea homocigótica? Nota. Consulténse los conceptos básicos de genética

64 13. TEOREMA DE BAYES Ejemplo: ejercicio 6 Solución una célula es homocigótica para un gen en particular cuando alelos idénticos del gen están presentes en ambos cromosomas homólogos un individuo homocigótico dominante para una característica particular posee dos copias del alelo que codifica para la característica dominante el alelo dominante, se representa con una letra mayúscula (R); cuando un organismo es homocigótico dominante para una característica particular, el genotipo está representado por una duplicación del símbolo de ese rasgo (RR) el alelo recesivo, se representa generalmente por la forma minúscula de la letra utilizada para el rasgo dominante (r)

65 13. TEOREMA DE BAYES Ejemplo: ejercicio 6 Solución RR: planta con flores rojas homocigóticas Rr: planta con flores rojas heterocigóticas si la planta tiene flores rojas ( RR ) ( Rr ) = = Es lógico suponer que la planta sea heterocigótica 5 plantas con flores rojas cruce flores rojas: R x flores blancas: r r xr: flores? Rr: flores rojas x=r: flores rojas x=r: flores blancas

66 13. TEOREMA DE BAYES Ejemplo: ejercicio 6 Solución RR: planta con flores rojas homocigóticas Rr: planta con flores rojas heterocigóticas De forma intuitiva, el hecho de que las plantas resultantes del cruce sean todas de flores rojas hace cambiar la percepción de inicio; aunque no es seguro, parece que la planta debe ser RR B: todas las plantas resultantes del cruce tienen flores rojas ( RR B ) = ( RR ) ( B RR ) ( RR ) ( B RR ) + ( Rr ) ( B Rr ) ( B RR ) = 1 ( B Rr ) ( 0.5 ) 5 =

67 14. REGLAS ÚTILES el teorema de la probabilidad total resulta útil cuando es fácil calcular (Ai) y (B Ai) y se quiere calcular (B) el teorema Bayes sirve para invertir las probabilidades condicionadas muy útil y muy simple en el cálculo del denominador, (B), se usa la regla de la probabilidad total la regla de la multiplicación es muy útil en los experimentos aleatorios que pueden separarse en varias etapas

68 14. EJEMLO LÚDICO Ejemplo Si en una habitación hay 4 personas, cuál es la probabilidad de que dos de ellas no hayan nacido el mismo día del año? Solución Suceso N: no hay dos personas que hayan nacido el mismo día del año Cada persona puede haber nacido en cualquiera de los 365 días del año (se omite el 29 de febrero), del principio generalizado se deduce que existen el siguiente número de resultados posibles 4 10 ( 365 ) = =.

69 14. EJEMLO LÚDICO Ejemplo Si en una habitación hay 4 personas, cuál es la probabilidad de que dos de ellas no hayan nacido el mismo día del año? Solución ara determinar el número de resultados en los que no existen dos personas que hayan nacido el mismo día del año se considera que la primera persona ha nacido un día cualquiera de los 365 días del año, la segunda ha nacido un día cualquiera de los 364 restantes, la tercera un día de los 363 restantes y la última ha nacido cualquier día de los restantes 362. or el principio de recuento generalizado existe el siguiente número de resultados posibles: =

70 14. EJEMLO LÚDICO Ejemplo Si en una habitación hay 4 personas, cuál es la probabilidad de que dos de ellas no hayan nacido el mismo día del año? Solución Si todos los resultados posibles son equiprobables la probabilidad de que ningún par de personas haya nacido el mismo día es: = ( N ) = =

71 14. EJEMLO LÚDICO Ejemplo Si en una habitación hay 4 personas, cuál es la probabilidad de que dos de ellas no hayan nacido el mismo día del año? Solución Suceso S: sí hay dos personas, al menos, que hayan nacido el mismo día del año 100 ( S ) = 1 ( N ) = = % 6

72 14. EJEMLO LÚDICO Ejemplo A tenor de los resultados anteriores, en un aula, qué probabilidad hay de que dos personas hayan nacido el mismo día del año? HAGAN SUS AUESTAS