PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD GERMÁN E. RINCÓN
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- Óscar Salas Vargas
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1 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD GERMÁN E. RINCÓN
2 CONCEPTOS BÁSICOS Tipos de fenómenos: Fenómenos determinísticos Una acción un solo resultado posible Se puede pronosticar con precisión lo que va a ocurrir Qué distancia recorre un cuerpo en caída libre en un tiempo determinado? A qué temperatura se evapora el agua al nivel del mar? Qué le ocurre a un material ferroso en un ambiente húmedo?
3 Tipos de fenómenos: CONCEPTOS BÁSICOS Fenómenos aleatorios Una acción varios resultados posibles de los cuales ocurre solo uno Los resultados ocurren AL AZAR En qué numero caerá la lotería? Qué resultado tendrá una nueva empresa? Cuántos productos saldrán defectuosos de un lote de producción? Qué numero saldrá al lanzar un dado?
4 CONCEPTOS BÁSICOS Fenómenos determinísticos Certidumbre Siempre se sabe que va a ocurrir, sí se realiza una actividad en unas condiciones determinadas Fenómenos aleatorios Incertidumbre Cuando se realiza una actividad no se sabe cuál de los posibles resultados va a ocurrir
5 CONCEPTOS BÁSICOS Concepto de Experimento Aleatorio: Cualquier acción que tenga varios resultados posibles conocidos de los cuales ocurre solo uno Lanzar una moneda Iniciar una empresa Medir alguna característica de las piezas que salen de producción Cuántas veces se avería una máquina en el mes Qué va a responder una persona sobre un tema que se le pregunte
6 CONCEPTOS BÁSICOS Definiciones de probabilidad: Medida numérica de la posibilidad de que ocurra un resultado determinado en un experimento aleatorio Medida numérica de la incertidumbre Incertidumbre por falta de información Necesidad de la probabilidad: Medir la posibilidad o el riesgo de que algo ocurra o no ocurra Cuantificar la incertidumbre
7 CONCEPTOS BÁSICOS EL ESPACIO MUESTRAL Concepto: Lista de TODOS los posibles resultados de un experimento aleatorio Símbolo S Ejemplos de espacio muestral Lanzar una moneda Lanzar un dado El peso de estudiantes de un salón de clase
8 EJEMPLOS DE ESPACIO MUESTRAL Lanzar un par de dados Sacar, al azar, una ficha de una caja que tiene varias fichas de colores Ingreso de profesionales recién egresados
9 CONCEPTOS BÁSICOS Formas de describir el espacio muestral Con palabras espacio cualitativo Con números enteros espacio discreto Intervalos de valores espacio continuo Resultado o punto muestral Concepto Ejemplos Evento o suceso Concepto ejemplos
10 CONCEPTOS BÁSICOS Simbología de las probabilidades : Propiedades fundamentales de las probabilidades si x = cualquier suceso suma de las probabilidades de todos los resultados de s
11 ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES Asignación de probabilidades Método clásico (a priori) Método empírico o de la frecuencia relativa (a posteriori) Método subjetivo
12 ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES MÉTODO CLÁSICO Supuesto: resultados equiprobables Momento del cálculo: a priori (probabilidades teóricas) Para un suceso E cualquiera:
13 ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES Ejemplos : Calcular la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda Calcular la probabilidad de que salga un 4 al lanzar un dado Calcular la probabilidad de que la suma de los puntos al lanzar un par de dados sea mayor que 7 Calcular la probabilidad de sacar una ficha verde de una caja que contiene 2 fichas verdes, una roja y 3 blancas
14 ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES MÉTODO EMPÍRICO O DE LA FRECUENCIA RELATIVA Método de cálculo: a posteriori (probabilidades empíricas) La probabilidad de que ocurra un suceso E cualquiera es igual a su frecuencia relativa Principio
15 Ejemplos: ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES Se lanza una moneda 500 veces con los siguientes resultados: No. de RESULTADO veces FR Cara 240 0,48 Sello 260 0,52 Suma 500 1,00
16 ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES Tiempo que demora una capa de pintura en secarse Horas por No. de muestra muestras FR 0-0,5 10 0,14 0,5-1,0 22 0,30 1,0-1,5 15 0,21 1,5-2,0 10 0,14 2,0-2,5 7 0,10 2,5-3,0 5 0,07 Mas de 3,0 3 0,04 Suma 72 1,00 Sí x = tiempo de secado en horas??????
17 PRÁCTICA EN CLASE De una caja que tiene unas tarjetas marcadas con las letras A, B, C. D, E, F, O, H y M, se escoge una tarjeta al azar. Cuál es la probabilidad de que la tarjeta seleccionada corresponda a una consonante? De una caja que contiene 10 fichas numeradas del cero al nueve se extrae una ficha al azar. Cuál e s la probabilidad de que la ficha seleccionada sea un número mayor que 6?
18 PRÁCTICA EN CLASE El número de accidentes, por día, que ocurrieron el año pasado, en una fábrica, se presenta en la siguiente tabla: Accidentes No. de por día días mas de 5 3 TOTAL 308 Cuál es la probabilidad de qué en un día cualquiera se presenten 2 accidentes?
19 ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES MÉTODO SUBJETIVO Sucesos que no han ocurrido antes Sucesos que han ocurrido muy pocas veces Sucesos que ocurren siempre en diferentes condiciones P ( E ) = subjetivamente con base en toda la información disponible Ejemplo
20 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Se lanzó 1000 veces una moneda y se registró el numero de No. de No. de lanz. No. de No. de caras caras lanzamientos acumulado caras acumulado FR , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4810
21 FRECUENCIA RELATIVA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Probabilidad empírica 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,1000 0, NÚMERO DE LANZAMIENTOS
22 PRÁCTICA EN CLASE Al lanzar un par de dados: A qué número se debe apostar sí se quiere ganar? Qué condición tiene esta afirmación?
23 MUESTREO Concepto de muestra (repaso) Muestreo: Acción de tomar muestras, métodos y técnicas para seleccionar a los elementos de una muestra (Inferencia estadística) Muestreo experimento aleatorio Muestreo de caja (concepto) Muestreo de caja con reemplazamiento Muestreo de caja sin reeplazamiento
24 ENSAYOS Concepto: cada uno de los intentos o pruebas con los que se realiza un experimento aleatorio Ejemplos Lanzar una moneda No. de ensayos =??? Lanzar 3 monedas al tiempo No. de ensayos =? Lanzar simultáneamente un par de dados =??? Extraer, al azar, una ficha de una caja =??? Extraer, al azar, simultáneamente, 5 fichas de una caja =???
25 DIAGRAMA DE ÁRBOL Espacio muestral de lanzar 2 monedas Espacio muestral de lanzar 3 monedas Diagrama de árbol: sucesos simultáneos en sucesión Diagrama de árbol y espacio muestral para el lanzamiento de 3 monedas Ejemplo: De una caja que tiene 3 fichas marcadas con las letras A, B y C se sacan 2 fichas al azar Establecer el espacio muestral sí el muestreo es con reemplazamiento Establecer el espacio muestral sí el muestreo es sin reemplazamiento
26 PRÁCTICA EN CLASE Al lanzar 3 monedas simultáneamente establecer las probabilidades de: Salga solamente una cara Salga como máximo una cara Salgan al menos 2 caras (como mínimo 2 caras) De una caja que contiene 2 fichas verdes, una negra y una blanca, se extraen 2 fichas al azar sin reemplazamiento Establecer el espacio muestral Establecer la probabilidad de que la primera ficha sea verde y la segunda blanca Establecer la probabilidad de que ambas fichas sean verdes
27 PRÁCTICA EN CLASE De una caja que tiene 3 fichas marcadas con los números 1, 2 y 3, se extraen al azar 2 fichas sin reemplazamiento: Establecer el espacio muestral Establecer la probabilidad de que el primer número sea mayor que el segundo Establecer la probabilidad de que el número que se forma sea par Conclusión de la utilidad del diagrama de árbol en el cálculo de probabilidades teóricas
28 TÉCNICAS DE CONTEO Limitaciones del diagrama de árbol: Muestreo de mas de 3 ensayos Caja con muchos elementos diferentes Técnicas de conteo Espacios muestrales grandes Se usan en cálculos de probabilidades teóricas para establecer el tamaño del espacio muestral y el tamaño de cualquier suceso
29 Técnicas de conteo: TÉCNICAS DE CONTEO Principio Fundamental del conteo (PFC) Permutaciones Combinaciones Concepto de muestreo ordenado y muestreo desordenado Repaso: muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento
30 TÉCNICAS DE CONTEO PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO (PFC) Condiciones: Muestreo ordenado (orden en que ocurren los sucesos) Con reemplazamiento o sin reemplazamiento Concepto: Ensayo No. de No. Posibilidades k
31 Ejemplo: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Sí se lanzan simultáneamente 3 monedas: Cuántos resultados tiene el espacio muestral? Lanzamiento No. No. de Posibilidades
32 PRÁCTICA EN CLASE 1. De una caja que contiene 2 fichas negras, una roja y una verde, se extraen, al azar 2 fichas con reemplazamiento: Aplicando el PFC calcule el tamaño (No. de resultados) del espacio muestral Aplicando el PFC calcule el tamaño del suceso: las 2 fichas extraídas son de color negro Aplicando el PFC calcule el tamaño del suceso: la primera ficha extraída es de color negro y la segunda de color rojo Calcule las probabilidades de los dos últimos sucesos Verifique los resultados elaborando el diagrama de árbol
33 PRÁCTICA EN CLASE 2. Repita el ejercicio No.1 sí el muestreo es ahora sin reemplazamiento 3. De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas azules, se extraen, al azar, 3 fichas con reemplazamiento. Calcule el tamaño del espacio muestral Calcule la probabilidad de que las 3 fichas sean rojas Calcule la probabilidad de que las 2 primeras fichas sean rojas y la tercera sea verde 4. Repita el ejercicio No.3 sí el muestreo es sin reemplazamiento
34 PERMUTACIONES Condiciones: Muestreo ordenado y sin reemplazamiento Concepto de permutación: Resultados con los mismos elementos en diferente orden Ejemplo: de una caja que tiene 4 fichas marcadas con las letras A, B, C y D se extraen 3 fichas sin reemplazamiento A B C B A C C A B D A B A B D B A D C A D D A C A C B B C A C B A D B A A C D B C D C B D D B C A D B B D A C D A D C A A D C B D C C D B D C B
35 PERMUTACIONES Cálculo del tamaño del espacio muestral o del tamaño de un suceso: Ejemplo: Para el caso anterior n = 4 y r = 3 Cálculo con las funciones de la calculadora
36 CÁLCULOS CON PERMUTACIONES La combinación de una cerradura está compuesta de 3 dígitos del cero al nueve que no se pueden repetir. Cuál es el número de claves posibles? Resuelva el caso anterior aplicando el PFC Resuelva el caso por permutaciones Resuelva el caso anterior sí los dígitos se pueden repetir Sí los dígitos no se pueden repetir Cuál es la probabilidad de que los 2 primeros números sean pares y el tercero impar? Se tienen 5 tiras de los colores: rojo, negro, verde, azul y naranja, para diseñar banderas tricolores. Cuántas banderas diferentes se pueden diseñar?
37 PRÁCTICA EN CLASE De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 verdes y 2 negras extraen, al azar, 2 fichas sin reemplazamiento. Sí el orden en que se extraen las fichas es importante Cuántos resultados tiene este experimento aleatorio? Cuántos resultados tiene el suceso: Las dos fichas extraídas son de color rojo? Verifique esta respuesta con el diagrama de árbol Cuál es la probabilidad de que las dos fichas extraídas sean de color rojo? Cuál es la probabilidad de que la primera ficha extraída sea verde y la segunda negra? Sí se extraen 3 fichas Cuál es la probabilidad de que la 2 primeras sean rojas y la tercera verde?
38 PRÁCTICA EN CLASE De una caja que tiene 7 fichas numeradas del 3 al 9 se extraen, al azar, 3 fichas sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras fichas sean impares y la tercera sea par?
39 COMBINACIONES Condición: El orden en que se extraen los elementos de una caja no es importante Condición: muestreo sin reemplazamiento A B C B A C C A B D A B A B D B A D C A D D A C A C B B C A C B A D B A A C D B C D C B D D B C A D B B D A C D A D C A A D C B D C C D B D C B COMBINACIONES A B C A B D A C D B C D Calculo de combinaciones:
40 CÁLCULOS CON COMBINACIONES Cálculo con las funciones de la calculadora Ejemplo : En un grupo compuesto por 6 estudiantes de administración, 5 estudiantes de ingeniería y 4 estudiantes de derecho, se van a rifar 3 tabletas idénticas: De cuántas maneras se pueden ganar todos los estudiantes las 3 tabletas? De cuántas maneras se pueden ganar las 3 tabletas los estudiantes de administración? Cuál es la probabilidad de que las 3 tabletas se las ganen los estudiantes de administración? Cuál es la probabilidad de que las 3 tabletas se las ganen 2 estudiantes de ingeniería y uno de derecho?
41 PRÁCTICA EN CLASE Para diseñar un examen de 5 preguntas un profesor dispone de una batería de 20 preguntas, de las cuales, 10 son de dificultad baja, 6 son de dificultad media y 4 son de dificultad alta. Sí el profesor escoge las preguntas al azar: Cuántos exámenes diferentes puede diseñar? Cuántos exámenes diferentes puede diseñar con las preguntas de dificultad baja? Qué probabilidad existe de que diseñe un examen sólo con preguntas de dificultad baja? Cuál es la probabilidad de que el examen diseñado tenga 3 preguntas de dificultad baja y 2 de dificultad alta?
42 MAPA CONCEPTUAL DE TÉCNICAS DE CONTEO Uso de las técnicas: MUESTREO CON REEMPLAZAMIENTO SIN REEMPLAZAMIENTO DESORDENADO ORDENADO ORDENADO DESORDENADO?
43 CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS Un solo ensayo: Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos compatibles Ejemplos Mas de un ensayo: Sucesos independientes Sucesos dependientes Ejemplos
44 OPERACIONES CON PROBABILIDADES Suma Complemento Multiplicación o probabilidad conjunta División o probabilidad condicional
45 SUMA DE PROBABILIDADES La probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B: SUCESOS COMPATIBLES SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
46 SUMA DE PROBABILIDADES Ejemplo: Sacar una ficha de una caja que tiene 10 fichas numeradas de 0 al 9 clasif de suc
47 SUMA DE PROBABILIDADES Ejemplo: En una caja se tienen fichas cuadradas, redondas y ovaladas. De estas algunas son negras y otras son verdes como se muestra en la siguiente tabla: Cuadradas Redondas Ovaladas Total Negras Verdes Total complemento Sí se extrae una ficha al azar: a) Cuál es la probabilidad de que sea cuadrada u ovalada b) Cuál es la probabilidad de que sea redonda o verde
48 PRÁCTICA EN CLASE En un curso de estadística de 28 estudiantes de las facultades de administración, sicología e ingeniería hay 15 hombres, 9 estudiantes de administración y 12 estudiantes de sicología. De los hombres 6 estudian administración y 5 estudian ingeniería a) Sí se escoge un estudiante al azar: Cuál es la probabilidad de que estudie administración o sicología? b) Sí se escoge un estudiante al azar: Cuál es la probabilidad de que sea mujer o estudie ingeniería?
49 COMPLEMENTO Concepto: Sí se tiene un suceso A cuya probabilidad de ocurrencia se conoce, la probabilidad de que NO OCURRA EL SUCESO A, es:
50 COMPLEMENTO Ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un par de dados, la suma de las caras sea un número mayor que 8 es: A = Suma de las caras > 8 (verificar) suma de las caras 8
51 PRÁCTICA EN CLASE De una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 verdes y 2 negras extraen, al azar, 2 fichas sin reemplazamiento. sea A = las 2 fichas extraídas son rojas (Verificar) Calcular la probabilidad de que las fichas extraídas no sean ambas de color rojo
52 PRÁCTICA EN CLASE Del ejercicio se extrae una ficha al azar: a) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea cuadrada b) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída no sea cuadrada c) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída sea redonda o verde d) Calcular la probabilidad de que la ficha extraída no sea redonda o verde
53 CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS Mas de un ensayo Sucesos independientes Sucesos dependientes Sucesos independientes: Se extraen 2 fichas con reemplazamiento R V V Primer ensayo R R Segundo ensayo Sucesos dependientes: Se extraen 2 fichas sin reeplazamiento Primer ensayo Segundo ensayo P V R = 1 2 Clasif de suc Suc. dep.
54 PROBABILIDAD CONJUNTA SUCESOS INDEPENDIENTES Para 2 sucesos A y B independientes: Probabilidad de que ocurran el suceso A y el suceso B, simultáneamente o en sucesión
55 Ejemplo No.1 PROBABILIDAD CONJUNTA Experimento: Lanzar un par de dados (un dado 2 veces) Resultado : Que salga primero un 5 y después un 6 Condición: los sucesos son independientes
56 PROBABILIDAD CONJUNTA Ejemplo No.2 Experimento: Se lanzan 3 monedas (una moneda 3 veces) Resultado : Que salgan en su orden cara, cara, sello Condición : los sucesos son independientes
57 PRÁCTICA EN CLASE Experimento: Se extraen con reemplazamiento 3 fichas de una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas blancas Resultado : Que las fichas salgan en su orden de color: rojo, rojo y blanco
58 PROBABILIDAD CONJUNTA Sucesos dependientes Para 2 sucesos A y B dependientes: Probabilidad de que ocurran el suceso A y el suceso B, simultáneamente o en sucesión
59 Ejemplo: PROBABILIDAD CONJUNTA En el ejercicio calcule la probabilidad de que la primera ficha sea verde y la segunda sea roja
60 PRÁCTICA EN CLASE Experimento: Se extraen sin reemplazamiento 3 fichas de una caja que contiene 3 fichas rojas, 2 fichas verdes y 2 fichas blancas Resultado : Que las fichas salgan en su orden de color: rojo, rojo y blanco
61 PRÁCTICA EN CLASE Operaciones combinadas Al lanzar u par de dados Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras de 8?
62 PRÁCTICA EN CLASE Operaciones combinadas Las piezas que salen de una línea de producción se empacan en cajas de 20 unidades. De registros anteriores se sabe que el 60% de estas unidades salen de buena calidad, el 30% se pueden reprocesar y el 10% salen desechables. Sí se abre una caja y se escogen al azar 3 piezas: a) Cuál es la probabilidad de que las 3 piezas sean de buena calidad? b) Cuál es la probabilidad de que 2 de las piezas salgan de buena calidad y una reprocesable?
63 ÁRBOL DE DECISIÓN Para muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento. Diferencia entre diagrama de árbol y árbol de decisión: De una caja que tiene 3 fichas rojas y 2 verdes se sacan 2 fichas sin reemplazamiento. Cuál e s la probabilidad de que salga una roja y una verde?
64 PRÁCTICA EN CLASE Un estudiante que está presentando una prueba de 3 preguntas. Cada pregunta se presenta con 4 posibles respuestas de las cuales sólo una es verdadera. Sí el estudiante escoge al azar la respuesta de cada pregunta: a) cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las 3 preguntas? b) Cuál es la probabilidad de que acierte 2 de las 3 preguntas?
65 PRÁCTICA EN CLASE Se escoge una caja al azar y de esa caja, también al azar, se sacan 2 fichas sin reemplazamiento: Cuál es la probabilidad de que las 2 fichas extraídas sean, ambas, del mismo color?
66 PROBABILIDAD CONDICIONAL Condición: un solo ensayo Significado: Para dos sucesos A y B cualquiera La probabilidad de que ocurra el suceso A sí el suceso B ya ocurrió
67 PROBABILIDAD CONDICIONAL Ejemplo Una fábrica tiene en existencia, repuestos comprados a 3 proveedores, con la calidad y cantidad que se muestran en la siguiente tabla: PROVEEDOR CALIDAD A B C TOTAL Primera Segunda TOTAL Sí se escoge un repuesto al azar y sale de segunda Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor C?
68 PROBABILIDAD CONDICIONAL Método intuitivo??????
69 PRÁCTICA EN CLASE En una caja hay 10 fichas rojas y 6 fichas verdes que están numeradas. 9 de las fichas tienen números pares y 4 de las fichas rojas tienen números impares. Sí se escoge una ficha al azar y tiene número impar Cuál es la probabilidad de que sea verde?
70 TEOREMA DE BAYES Se escoge una caja al azar y de esa caja, también al azar, se sacan 1 ficha: Sí la ficha que se extrajo es de color rojo: Cuál es la probabilidad de se haya tomado de la caja A 1?
71 TEOREMA DE BAYES X R A 1 V R A 2 V A 3 R V
72 Ejemplo: TEOREMA DE BAYES R A 1 V R A 2 V A 3 R V
73 PRÁCTICA EN CLASE El 70% de los motores que salen de una línea de producción son ensamblados automáticamente, el 20% son ensamblados en un proceso mixto (automático y manual) y el 10% son ensamblados manualmente. De los registros de garantía se sabe que el 1% de los motores de ensamblado automático fallan antes de completar 1500 horas de uso, lo mismo que el 6% de los motores de ensamblado mixto y el 20% de los motores de ensamblado manual. Sí un motor falló antes de completar las 1500 horas de uso: Cuál es la probabilidad de que se haya ensamblado manualmente?
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