Probabilidad. Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces.

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1 Probabilidad Definiciones Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces. Experimento aleatorio: Es aquel experimento cuyo resultado no se puede predecir, es decir, conociendo el conjunto de resultados posibles, no es posible predecir cual será el resultado particular del experimento. Experimento determinístico: Es aquel experimento cuyo resultado se puede predecir. Espacio muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por E. Evento o suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral. Tipos de eventos Evento o suceso cierto: Es el propio espacio muestral, es decir, es un evento que siempre ocurrirá. Evento o suceso imposible: Es aquel subconjunto del espacio muestral que no tiene elementos, es decir, es el conjunto vacío y está asociado a algun evento que nunca puede ocurrir. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes. Eventos Complementarios: Son aquellos eventos que no tienen elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa. Probabilidad clásica La probabilidad de ocurrencia de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles (cardinalidad del espacio muestral). La probabilidad de A se denotará por P(A). Número de casos faborables para A P(A)= número total de casos posibles Observación: La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = P(A ); A = A no ocurre. 0 P(A) o bien 0% P(A) 00%.

2 Probabilidades de eventos Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A)+P(B) Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido. P(A/B) = P(A B) P(B) Probabilidad y triángulo de Pascal (Caras y sellos) En el triángulo de Pascal se aprecia cuántas combinaciones de caras y sellos pueden salir al lanzar monedas. Así se puede averiguar la probabilidad de cualquier combinación. Por ejemplo, si se lanza una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). En resuen la secuencia numérica en el triángulo de pascal será:

3 Ejemplo: Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras en el experimento de lanzar 4 monedas? Hay = 6 (o 4 4 = 6) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6 6, o 3,5% Triángulo de Pascal Diagrama de arbol: Representa de manera gráfica todos los resultados posibles del experimento de lanzar una moneda reiteras veces. Por ejemplo, calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda. Resultados favorables: 8 (CCC - CCS - CSC - CSS - SCC - SCS - SSC - SSS) Casos favorables: 3 (CCS - CSC - SCC) Probabilidad = 3 8

4 La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso. Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso salir cara al lanzar una moneda. Lanzamientos f i h i 0,56 0,45 0,54 0,44 0,52 0,5 Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0,5. probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda. Ésa es la La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces. Ejercicios. La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es. Cuál es la probabilidad de sacar 3 una bola que no sea roja? 3 b) e) Falta información 2. Se lanzan dos dados de distinto color. Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4? 6 b) e) 2 36

5 3. Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del al 8. Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3? 8 b) e) Setienen0fichasconlosnúmeros44,44,45,46,46,46,4,48,48,49. Cuáleslaprobabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46? 0,4 b) 0,4 0,42 0,5 e) Ninguna de las anteriores 5. En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 2 son rojas, 20 son cafés y 8 son amarillas. Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición? b) e) Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es: b) e) 2 3

6 . La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo NIVEL EDUCACIONAL Sexo Universitaria Media Básica Masculino Femenino Si de este grupo se elige una persona al azar, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad que sea varón es de II) La probabilidad que sea mujer es de III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de Solo I b) Solo II Solo III Solo I y III e) Solo II y III 8. En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número es de /2 II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de /4 III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de 2/3 Sólo I b) Sólo II Sólo III Sólo I y II e) I, II y III 9. En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, cuál es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja? 4 b) e) 24

7 0. En la caja de la figura hay fichas negras(n) y blancas (B) de igual tamaño y peso. Cuántas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una ficha negra sea? N y 0B b) N y 3B N y 4B N y B e) 0N y B. Se lanza una vez un dado común, cuál es la probabilidad de obtener un número par menor que 5? 6 b) e) Ninguna de las anteriores 2. Si se elige al azar un número natural del al 30, cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4? 3 30 b) e) Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera? Todos tienen probabilidad /2 de ganar. b) Todos tienen probabilidad /3 de ganar. El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos. Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto. e) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.

8 4. Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y sea sello? 3 8 b) e) Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados? 3 26 b) e) Ninguno de los valores anteriores 6. En una tómbola hay pelotitas de igual tamaño y peso numeradas del al. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es: 2 b) e) 4. En un pueblo hay.200 habitantes. Si la probabilidad de que un habitante sea una mujer es, cuántas mujeres hay en el pueblo? b) e) 800

9 8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra? 0,45 b) 0,55 0,65-0,45 e) -0,55 9. Al lanzar un dado común de 6 caras, cuál es la probabilidad de obtener un número impar o un número menor que 4? 6 b) e) En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a? Nacer en un año bisiesto b) Que al tirar una moneda salga cara Que al sacar 0 cartas de un naipe, ninguna sea trébol Que un mes tenga 30 días e) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6 2. Un dado se lanza 00 veces y se obtienen los siguientes resultados Cara Frecuencia Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de obtener par es de un 50% II) La probabilidad de obtener las caras ó 3 es de 30% III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20% Sólo II b) Sólo III Sólo I y II Sólo II y III e) I, II y III

10 22. Al lanzar un dado común, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6. II) La probabilidad de obtener un número impar es 2. III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es 6. Sólo I b) Sólo II Sólo I y II Sólo II y III e) I, II y III 23. En la lista de un curso de 40 alumnos hay niñas. Si se escoge un número al azar del al 40, cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al de una niña en la lista del curso? 40 b) e) Una caja tiene 2 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de sacar una M es 2. II) La probabilidad de no sacar una vocal es 2. III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T Sólo I b) Sólo III Sólo I y II Sólo I y III e) I, II y III

11 25. Se lanza una vez un dado común, cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 4? 6 b) e) En un liceo hay 80 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma: PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO Niños Niñas Si se elige un estudiante al azar cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que sea un niño es II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es Sólo I b) Sólo II Sólo I y II Sólo II y III e) I, II y III 2. Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. A cuál(es) de los puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor? P b) Q R S e) T

12 28. En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea 3 4? blanca y 0 negra b) 0 blanca y negra 0 blanca y 5 negras 3 blancas y 5 negras e) 2 blancas y 2 negras 29. Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del al 9. Si se eligen al azar dos fichas, cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas sea diferente de 0? 8 9 b) e) Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4? 3 b) e) Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es, cuál es la probabilidad de sacar una ficha de 3 cualquier otro color? 2 b) e) No se puede determinar

13 32. Un club de golf tiene.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 80 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, cuál es la probabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A? b) e) Si Se lanzan dos dados comunes, cuál es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad de salir en los dos dados? 2 b) 0 9 e) Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es: 50 b) e) Se lanzan 5 monedas simultáneamente. Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? b) e) 3 32

14 36. En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entre sí, donde la flecha no puede caer en los límites. La probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número mayor que 3 es de: 2 b) e) Al lanzar dos dados comunes, cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o 4? 5 36 b) e) En un automóvil viajan 5 personas, dos adelante y tres atrás. Si solo uno de ellos sabe manejar. De cuántas formas se pueden ordenar? 5 b) e) En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si se extraen dos cartas sin reposición. Cuál es la probabilidad de sacar dos reyes? b) e) 5

15 40. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas del al 9. Cuál es la probabilidad de sacar una bolita gris con un número par? 4 9 b) e) Al lanzar un dado dos veces. Cuál es la probabilidad de que salga un 5 en la primera y un 2 en la segunda? 6 b) e) En un juego de azar hay 30 resultados posibles y equiprobables. José tiene 0 resultados probables, Paula tiene 8 y Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. Cuál(es) es(son) verdadera(s)? I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar. II) La probabilidad de que Paula No gane es 4 5. III) José tiene 3 de probabilidad de ganar. Solo I b) Solo II Solo III I y III e) I, II y III

16 43. En cuál de los siguientes colegios existe mayor probabilidad de que al elegir un alumno al azar este sea extranjero? F b) J H I e) G Colegio Total de alumnos Extranjeros F G H I J En cual(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad de ocurrencia el suceso mencionado, es siempre igual a la probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso? I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda. II) Que salga un número impar, al lanzar un dado común. III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna que contiene solo fichas rojas y verdes, todas del mismo tipo. Solo en I b) Solo en III Solo en I y en II Solo en I y en III e) En I, en II y en III 45. Al lanzar cuatro dados comunes, cuál es la probabilidad de que en todos los dados salga un 4? b) e) Ninguno de los valores anteriores

17 46. Del triángulo de Pascal de la figura se puede inferir el número total de los posibles resultados que se obtienen al lanzar una moneda hasta seis veces, en forma aleatoria. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s). I) De la fila 2 se deduce que, si la moneda se lanza dos veces, teóricamente solo en dos de los posibles resultados se obtiene una cara y un sello. II) De la fila 3 3 se deduce que, si la moneda se lanza tres veces, teóricamente solo se pueden obtener ocho posibles resultados distintos III) De la fila se deduce que, si la moneda se lanza seis veces, teóricamente, en quince de los resultados posibles se obtiene cuatro caras y dos sellos Solo I b) Solo II Solo I y II Solo I y III e) I, II y III