Probabilidades. Gerardo Arroyo Brenes

Transcripción

1 Probabilidades Gerardo Arroyo Brenes

2 Teoría de las Probabilidades Experimento: Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos. Ejemplos: Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o Escudo; Seleccionar una parte para inspeccionar la Defectuosa o no defectuosa; Lanzar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6; Jugar un partido de fútbol Ganar, perder, empatar Experimentos aleatorios: Son aquellos experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idénticas. Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: - Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. - Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento. - Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. - Se genera una función que indica el comportamiento de la variable en el experimento.

3 Espacio muestral: Es aquel conjunto que contiene a todos los resultados de un experimento aleatorio. Se denota por la letra E o la letra griega Ω. De acuerdo a la cantidad de elementos que posee el espacio muestral, se puede clasificar en: finito o infinito: Finito o Infinito: Numerable (discreto) y No Numerable (continuo). Punto muestral: Es cada uno de los elementos del espacio muestral (S). Suceso o evento: Es cualquier subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral. Ejemplo: Si se lanza una moneda al aire 2 veces, el hecho de que sólo resulte cara es un suceso del espacio muestral.

4 Tipos de sucesos: Suceso cierto o seguro: es aquel que siempre ocurre. Suceso imposible: es aquel que no puede ocurrir. Sucesos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente, por lo que no tienen elementos comunes. Ejemplo: lanzar una moneda al aire, el obtener cara o Escudo es un suceso mutuamente excluyente. Sucesos independientes: son aquellos donde la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

5 Sucesos complementarios: dos sucesos son complementarios si la no aparición de uno de ellos obliga a que ocurra el otro. Ejemplo: Si A es el suceso de sacar un número par con un dado, el complemento es sacar un número impar. Evento elemental o simple: es un evento formado por un solo punto del espacio muestral.

6 Teoría de conjuntos Unión: se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B, al conjunto C formado por los elementos que pertenezcan a A o a B. Notación simbólica: AυB = {x x є A o x є B} Intersección: se llama intersección de dos conjuntos A y B, al conjunto C formado por los elementos comunes a A y a B. Notación simbólica: A B = {x x є A y x є B} Diferencia: se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en este orden, al conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Notación simbólica: A - B = {x x є A y x B}

7 Complemento de un conjunto: el complemento de un conjunto A, se denota por A C o A y es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal pero que no pertenecen a A. Nota: se supone que todos los conjuntos bajo investigación en cualquier aplicación de una teoría de conjuntos están contenidos en algún conjunto grande fijo denominado conjunto universal. Notación simbólica: A c = {x x e U y x э A} NOTA: Un evento no es otra cosa que un CONJUNTO. Por lo tanto, los conceptos de teoría de conjuntos se emplearán construir nuevos eventos a partir de eventos dados.

8 Ejemplo Suponga que en el curso de Estadística Inferencial de la Ingeniería de Procesos y Calidad, actualmente se encuentran matriculados 150 personas de un total de 180 estudiantes del 9 nivel, 60 de los 180 no han llevado Calculo Diferencial e Integral y el 60% se encuentran matriculados en ambos cursos. Determine: a. El número de estudiantes que se encuentra matriculado en ambas asignaturas. b. El número de estudiantes que se encuentra cursando el curso de Cálculo Diferencial e integral. c. El número de estudiantes que no se encuentra en alguno de los cursos. d. El número de estudiantes que se encuentra cursando Estadística Inferencial.

9 Solución A: Estadística Inferencia B: Cálculo Diferencial e Integral

10 Probabilidades Supongamos que un E de un total de n posibilidades igualmente probables y se puede representar en A de los casos, entonces la probabilidad del suceso llamado como Éxito (x) viene dada por: P A x n

11 Propiedades de la Probabilidad: P 0 c P A 1 P A, A P E 3. Si A es un subconjunto de B entonces P A PB

12 Regla de la Adición Esta regla afirma que el valor de la unión de un número finito arbitrario de sucesos se puede obtener de la siguiente forma: Para elementos Mutuamente excluyentes: Para elementos Mutuamente Excluyentes: P A B P(A) P(B) P A B P(A) P(B) P A B

13 Probabilidad condicional Si A y B son Cualesquiera eventos en E y P B 0, la probabilidad de A dado B es de: P A B Si A y B son dos sucesos cualesquiera tales que P(B)>0. P A B PB

14 Eventos independientes Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de un suceso no afecta la ocurrencia del otro suceso. Si A y B son sucesos independientes es natural pensar que la probabilidad de que A y B sucedan es igual al producto de sus probabilidades individuales. A y B son independientes, si sólo si PA B PA y PB A PB De otra forma A y B son dependientes.

15 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN En un experimento que involucra dos sucesos A y B que no son independientes, a menudo es conveniente calcular la probabilidad de que ambos sucesos ocurran utilizando una de las dos ecuaciones siguientes: P P AB PA B PBPA B AB PA B PAPB A Si A y B son independientes: P AB P A B P A P B

16 P(E1 E2) = P(E1) P(E2/E1) Es útil cuando necesitamos encontrar la probabilidad conjunta pero no tenemos las frecuencias relativas. La probabilidad conjunta de dos eventos E1 E2, es el producto de la probabilidad individual de E1 por la probabilidad condicional de E2 dado que ha ocurrido E1. Cuál será la probabilidad de escoger dos ases corridas (sin reemplazo) de un paquete de 52 cartas? P(E1) es la probabilidad de escoger el primer as = 4/52 P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo as = 3/51 El resultado será 4/52 * 3/51 = 12/2652 =

17 P(E1 E2) = P(E1) P(E2) La probabilidad conjunta de dos eventos E1 y E2 es el producto de la probabilidad de E1 por la probabilidad de E2. Cuál será la probabilidad de escoger dos Ases corridas (con reemplazo) de un paquete de 52 cartas? P(E1) es la probabilidad de escoger el primer As = 4/52 P(E2) es la probabilidad de escoger el segundo As = 4/52 El resultado sería 4/52 * 4/52 = 16/2704 = 0.006

18 Ejercicio Se la tabla de contingencia donde se clasifica una población de 417 personas según el nivel socioeconómico y el nivel de estudio, Nivel Socioeconómico Nivel de Estudio Bajo Medio Alto Total Absoluto % Absoluto % Absoluto % Pobres No pobres Total Revista X, 1990

19 La probabilidad de tener un nivel de estudio bajo. La probabilidad de ser pobre dado que tiene un nivel de estudio bajo. La probabilidad de ser no pobre y tener un nivel de estudio alto. La probabilidad de tener un nivel de estudio alto dado que es pobre. La probabilidad de ser no pobre dado que no tiene un nivel de estudio alto.

20 TEOREMA DE BAYES Si los eventos B 1,B 2,,B k constituyen una partición del espacio muestral Ω tal que para i = 1,2,,k, entonces para cualquier evento A en Ω tal que, k i i P A P P A B P B A i i1 P ip A Bi k P ip A Bi i1

21 Ejemplo Una empresa consultora renta automóviles de tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de la agencia F. Si 10% de los autos de D, 12% de autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado Cuál es la probabilidad de que la empresa reciba un auto con neumáticos en mal estado?

22 Ejemplo Cuatro técnicos se encargan de regularmente de las reparaciones de una línea de producción automatizada en caso de descomposturas. Josefina, quien ocupa el 20% de las descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 20; Tomás, quién atiende el 60% de las descomposturas realiza una reparación incompleta 1 vez de 10; Griselda, quien atiende el 15% de las descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 10 y Pedro se ocupa del 5% de las descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 20. Para este problema con línea de producción, atribuido en el diagnóstico a una reparación inicial incompleta Cuál es la probabilidad de tal reparación inicial haya sido hecha por Josefina?

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