PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PROBABILIDAD

Transcripción

1 Y ESTADISTICA ROBABILIDAD rofesor: Victor Hugo Gil Avendaño UNICATOLICA 24/08/2017

2 El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación: Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el chance? Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico? Qué posibilidad hay de que hoy llueva? para llevar mi paraguas o no. Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial?,

3 Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla interpretar la probabilidad. En este curso lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.

4 El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.

5 Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Determinísticos. Fenómeno Aleatorio.- Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad. Fenómeno Determinista.- Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.

6 La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios. Experimento aleatorio.- Una acción que se realiza con el propósito de analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados. Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes. uede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.

7 Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; 3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

8 Ejemplos: Tirar dardos en un blanco determinado Lanzar un par de dados Obtener una carta de una baraja Lanzar una moneda

9 Otros ejemplos de eventos: A: que al nacer un bebe, éste sea niña B: que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más C: que la presión arterial de un adulto se incremente ante un disgusto

10 robabilidad e Inferencia. Se presentan dos candidatos al cargo de representante del consejo de estudiantes, y se desea determinar si el candidato X puede ganar. oblación de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones. Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.

11 Supóngase que todos los estudiantes de la UNICATOLICA van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes. Si los 20 estudiantes apoyan al candidato Qué concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones?

12 1.- EL CANDIDATO X GANARA 2.- EL CANDIDATO Y GANARA 3.- NO SE UEDE CONCLUIR NADA

13 1.- EL CANDIDATO X GANARA GANAR IMLICA OBTENER MAS DEL 50% Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN LA OBLACION SERA IGUAL. ES CORRECTA ESTA INFERENCIA?.

14 1.- EL CANDIDATO X GANARA SERIA IMOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO AOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ENSARIA VOTAR OR EL. ES CORRECTA ESTA INFERENCIA?.

15 NO. SI BIEN NO ES IMOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES ROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY OCO ROBABLE.

16 TOME UNA MONEDA JUSTA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS. LLAME X = CAE CARA Y = CAE SELLO. CUAL ES LA FRACCION DE CARAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SELLOS?.

17 Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S. Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sello o que caiga cara. Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento. S = { s, a }

18 2.- Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

19 Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C,... Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C, S Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento. Al número de puntos muestrales de S se le representa por NS

20 Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades: Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral. E = S y NE = NS Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío. S, y N = 0

21 Evento Elemental.- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, NE = 1. Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral. Si s1, s2 S entonces s1, s2 son eventos elementales.

22 Ejemplos 1 y 2: En el experimento 1, S = { s, c}, s y c son sucesos elementales NS = 2 A = Que caiga sello = { s }, NA = 1 B = Que caiga cara = { c }, NB = 1

23 En el experimento 2, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y NS =6 A = Que caiga un uno = { 1 } B = Que caiga un dos = { 2 } : : : F = Que caiga un seis = { 6 }

24 Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto NE > 1 Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo A c o bien Ā, y se define como: c A s tal que s A

25 Ejemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces. Espacio Muestral: Ω = { S,S,S, S,S,C, S,C,S, C,S,S, C,C,S, C,S,C, S,C,C, C,C,C }, NΩ = 8, S es el evento seguro. Evento simple: B:Que salgan tres sellos; B ={ S,S,S }, NB = 1 Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos sellos; E = { S,S,S, S,S,C, S,C,S, C,S,S }, NE = 4 Evento imposible: conjunto vacio. N = 0

26 Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2 n subconjuntos o eventos se le conoce como conjunto potencia. ara el caso del experimento: se tira una moneda, el espacio muestral es de 2 puntos muestrales S = {C, S}, por lo que se tienen 2 2 = 4 subconjuntos y el conjunto potencia es: A,S, C, S, conjunto vacio.

27 Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

28 OERACIÓN EXRESION DESCRICION UNION A B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden INTERSECCION A B Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

29 Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn. Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B Ω gráficamente se puede expresar como: S A B Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

30 S A B Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

31 De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos que no tienen elementos en común y cuando entre los eventos hay elementos comunes. Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A B =, lo que ocurre en la fig. 1.

32 Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1,2,3,4,5,6 }, NS = 6 Sean A, B, C los eventos: A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 }, NA = 3 B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = { 3, 4 }, NB = 2 C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 }, NC = 3

33 S A B 4 C 6 A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, NA B = 4 A C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, NA C = NS = 6 B C = { 3, 4 } { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, NB C = 4 A B C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S, NA B C = 6

34 A 3 B 4 C S A B={ 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {3}, NAB = 1 A C={ 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {}, NA C = N{ = 0 B C={ 3, 4 } { 2, 4, 6 } = {4}, NB C = 1 A B C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={}, NA B C = N{ = 0 A B C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= { 1, 3, 5 } { 4 }={}, NA B C = N{ = 0

35 S A 1 3 B 5 C A B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, NA B = 2 A C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N A C = NA = 3 B C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, NB-C = 1

36 S A B 4 C 2 6 A c = { 2, 4, 6} = C NA c = N C = 3 B c = {1, 2, 5, 6 } NB c = 4 C c = {1, 3, 5 } = A NC c = NA = 3

37 robabilidad Clásica y Frecuencial. robabilidad frecuencial y regularidad estadística Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor. Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga Sello {s }, se tiende a estabilizar aproximadamente en 0.5= 1/2.

38 robabilidad frecuencial y regularidad estadística La probabilidad de un evento A, denotada por A, es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.

39 Esto es: Donde N A A 2 N NA = número de elementos del evento A NΩ = número de elementos del espacio muestral Ω.

40 robabilidad clásica.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad del evento A, como: A NCF NCT donde NCF - número de casos favorables NCT - número de casos totales 1

41 Ejemplo: Experimento.- Se lanza una moneda Evento A.- que al lanzar una moneda caiga cara. Calcular la probabilidad de A: S = { C, S}, NΩ = 2 A = { C }, NA = 1 N A 1 A.5 N 2

42 Leyes De La robabilidad Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad Leyes de robabilidad. Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración. Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.

43 Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A S, entonces se cumple que 0 A 1 3 esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. A

44 Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno Ω = 1 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces. N A N S A 1 N N

45 Teorema 1.- Si es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de es igual a 0 N 0 N Ejemplos: Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. Que aparezca un siete al lanzar un dado Que una persona viva 250 años En estos casos los eventos son vacíos

46 Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A Ω, B Ω y A B =, es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces A B = A + B. A B A B

47 Ejemplo: Experimento: Se lanzan dos monedas Ω = { ss, cc, sc, cs} NΩ = 4 Sean: A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamente B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente. Los elementos de A y B son A = { ss } B = {sc, cs} Se puede ver que A B =, no hay elementos en común, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto A B = A + B

48 N A 1 A N 4 NB 2 B N A B A B 4 4 4

49 Axioma 4.- Sean A1, A2, A3, A4,..., An eventos mutuamente exclusivos: A1 A2 A3 A4,... An = A1 + A2 + A3 + A An Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos que no tienen elementos en común, es igual a la suma de sus probabilidades.

50 Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria: A A... A A A... A n 1 2 n 1 2 n A A A A A... A A... A i j i j k 1 2 k i j i jk n

51 Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado Sean Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4 Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4 Evento C: que salga el 1 o 3 Los elementos de A, B y C son A = {2, 4}, NA = 2 B = {5, 6}, NB = 2 C = {1, 3}, NC = 2

52 Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A B = {}, A C = {}, B C = {}, or axioma 4 A B C = A + B + C N A 2 A N 6 NB 2 B N 6 NC 2 C N A B C A B C

53 Teorema 2.-Ley Aditiva de la robabilildad. Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B, entonces A B = A + B - A B A B

54 Diferencia Sean A y B dos eventos: A-B = { x x A y x B } A B A - B

55 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } NΩ = 12 A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sello. B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sello. A = { 2s, 3s }, NA = 2 B = { 2s, 4s, 6s } NB = 3 A B = { 2s } NA B = 1 A B = A + B - A B = 2/12 + 3/12 1/12 = 4/12 = 1/3

56 Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un espacio muestral, tal que AS, si A c es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de A c es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir A c = 1 A

57 Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } NΩ = 12 A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sello. B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sello. A = { 2s, 3s }, NA = 2 B = { 2s, 4s, 6s } NB = 3 A c = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } A c = 1 A = 1 2/12 = 10/12 B c = { 1s, 3s, 5s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } B c = 1 B = 1 3/12 = 9/12

58 robabilidad Condicional. Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral Ω, con E > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como: A/ E A E E

59 Eventos Independientes: Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen: Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes. / / B A B A E A E A E A

60 robabilidad Condicional. Ley Multiplicativa de la robabilidad. Ya que AE = EA y despejamos a AE, se tiene que la probabilidad de la intersección es: A E/A / / / E E A E A A A E A E E E A E A

61 robabilidad Condicional. Si A y B son independientes: EA A E/A / E A E E A E A / / E A A E A A E A E A E E A E E A E A

62 Ejemplo: Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3 E: que al lanzar un dado salga un impar Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar. Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {3}, E = { 1,3,5}, AE = {3}, A = 1/6 A/E = AE/ E = 1/6 / 3/6 = 16/63 = 6/18 = 1/3

63 Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que A A C = Ω B B C = Ω es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

64 Se tienen los eventos A y B y sus complementos A c, B c B B c Total A AB AB c A A c A c B A c B c A c Total B B c Ω

65 Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos A c, B c B B c Total A NAB NAB c NA A c NA c B NA c B c NA c Total NB NB c NΩ

66 Tabla de probabilidades de A, B, A c, B c y sus intersecciones B B c Total A AB AB c A A c A c B A c B c A c Total B B c Ω

67 robabilidades condicionales: A/B = A B/B B/A = A B/A A/B c = A B c /B c B/A c = A c B/A c A c /B = A c B/B B c /A = A B c /A

68 Ejemplo.- En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas, Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea?:

69 a.- Mujer b.- Hombre c.- Mujer dado que está empleado d.- Desempleado dado que es hombre e.- Empleado dado que es mujer Sean los eventos: M: Que sea Mujer H: Que sea Hombre D: Que sea Desempleado E: Que sea Empleado

70 Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S Desempleados D Empleados E Total Mujeres M Hombres H Total

71 Tabla de robabilidades D E Total M 800/8000 = /8000= /8000=.5 H 200/8000= /8000= /8000=.5 Total 1000/8000= /8000= /8000= 1

72 M =.50 H =.50 E =.875 D =.125 M/E = ME/E =.40/.875 =.4571 D/H = DH/H =.025/.5 =.05 E/M = ME/M =.40/.5 =.8 M/D = MD/D =.10/.125 =.8 H/D = HD/D =.025/.125 =.2

73 Eventos dependientes e independientes En el ejemplo anterior se tiene que M =.50 H =.50 E =.875 D =.125 ME =.40 M E =.4375 DH =.025 D H =.0625 MD =.10 M D =.0625 EH =.475 E H =.4375

74 or tanto los eventos M y E, D y H, M y D, E y H son dependientes.

75 Ley general Multiplicativa para n eventos A1 A2 A3... Ak A1 A2 \ A1 A3 \ A1 A2... Ak \ A1 A2... Ak 1 INDEENDENCIA DE n EVENTOS A A A... A A A A... A k k

76 robabilidad total.- Sean A 1, A 2, A 3..., An eventos disjuntos mutuamente excluyentes, que forman una partición de Ω. Esto es Ai Aj = para toda i y toda j, y además Ω = A 1 A 2 A 3 A n A1 A2 A3 A4 A5 A6 An

77 Y sea E otro evento tal que E Ω y E A i A1 A2 A3 A4 A5 E A6 An E

78 Entonces E = Ω E = A 1 A 2 A 3 A n E = A 1 E A 2 E A 3 E A n E Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que: E = A1E + A2E +A3E ++A n E Ya que A i E es ajeno a A j E para i j

79 Como A i E = E A i entonces A i E = E A i = E/A i A i Entonces la probabilidad completa de E es: E = E/A 1 A 1 + E/A 2 A 2 + E/A 3 A E/A n A n

80 Ejemplo.- En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M 1, M 2 y M 3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

81 Sea D el evento: Que sea un artículo defectuoso. M 1 =.50 D/M 1 =.03 M 2 =.30 D/M 2 =.04 M 3 =.20 D/M 3 =.05 D = D/M 1 M1 + D/M2 M2 + D/M3 M3 = = 0.037

82 M 1 =.50 M 1 D/M 1 =.03 ND/M 1 =.97 D ND M 1 *D/M 1 =.5*.03=.015 M 2 =.30 M 2 D/M 2 =.04 ND/M 2 =.96 D ND M 2 *D/M 2 =.3*.04=.012 M 3 =.20 M 3 D/M 3 =.05 D M 1 *D/M 1 =.2*.05=.01 ND/M 3 =.95 ND D = =.037

83 Teorema de Bayes.- Supóngase que A 1, A 2, A 3,...,A n es una partición de un espacio muestral Ω. En cada caso A i 0. La partición es tal que A 1, A 2, A 3,...,A n, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier A i, / / / / / n n I i i A E A A E A A E A A E A E A

84 E / / entonces : E es de adcompleta probabilid Como la I i i n n A E A E A E/A A E/A A E/A A E

85 Ejemplo.- En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M 1, M 2 y M 3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

86 Ejemplo.- En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M 1, M 2 y M 3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

87 Sea D: Que el artículo sea defectuoso ND: Que el artículo no sea defectuoso M 1 : Que haya sido producido por la máquina 1 M 2 : Que haya sido producido por la máquina 2 M 3 : Que haya sido producido por la máquina 3 M 1 =.50 D/M 1 =.03 M 2 =.30 D/M 2 =.04 M 3 =.20 D/M 3 =.05

88 M 1 =.50 M 1 D/M 1 =.03 ND/M 1 =.97 D ND M 1 *D/M 1 =.5*.03=.015 M 2 =.30 M 2 D/M 2 =.04 ND/M 2 =.96 D ND M 2 *D/M 2 =.3*.04=.012 M 3 =.20 M 3 D/M 3 =.05 D M 1 *D/M 1 =.2*.05=.01 ND/M 3 =.95 ND D = =.037

89 or teorema de Bayes se tiene: La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M 1 es del 40.54% / / / / / / D M D M M D M M D M M D M M D M D M