1. Teoría de conjuntos

Transcripción

1 Introducción a la probabilidad Universidad de Puerto Rico ET 3041 Prof. Héctor D. Torres ponte 1. Teoría de conjuntos Definición 1.1. La colección de todos los posibles resultados de un experimento se le conoce como espacio muestral y este lo denotamos con la letra. Un evento es un resultado o un conjunto de resultados de un fenómero aleatorio. Es decir, un evento es un subconjunto de un espacio muestral. Un modelo probabilístico es una descripción matemática de algún fenómeno aleatorio el cual consiste en 2 partes: el espacio muestral y la forma de asignarle probabilidades a los eventos. Ejemplo 1.1. uponga que lanzamos una moneda. olamente tenemos dos posibles eventos: Cara (H) o Cruz (T) por tanto el espacio muestral está definido por = {H, T } Relación con tería de conjuntos ea el espacio muestral para algún experimento. Entonces cada posible resultado s se dice que es parte del espacio muestral, denotado por s. Cuando decimos que un evento acurrió queremos decir que el resultado de nuestro experimento cumple con algunas restriccionoes o caracteristicas ya determinadas. Ejemplo 1.2. uponga que lanzaron un dado de 6 números. El espacio muestral de nuestro experimento es: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. uponga que el evento es obtener números pares, = {2, 4, 6} y es el evento de conseguir números mayores a 2, = {3, 4, 5, 6}. Decimos que el evento está contenido en el evento si todos los elementos del conjunto están en el conjunto (denotamos como ) en este caso. hora, suponga que C es el evento de obtener un número mayor que 1, C = {2, 3, 4, 5, 6}. Entonces decimos que C. Note que para cualquier evento,. i dos eventos y están relacionadas talque y entonces =. Conjunto vacío lgunos eventos son imposibles. Por ejemplo en el ejemplo de los dados nunca vamos a ontener un número negativo. Por tal razón el evento que obtenga un número negativo es definido por el subconjunto que no contenga ningún resultado. Este conjunto se le conoce como el conjunto vacío y es denotado por. Note que para cada evento es cierto que. 1

2 1.2. Operaciones con conjuntos Unión: i y son eventos, la unión de y es definida por el evento que contiene a o contiene a o contiene a ambos. Lo denotamos como. En el siguiente diagrama de Venn el área roja es el área que representa. La unión de dos conjuntos tiene varias propiedades: = = = = demás, si entonces = La unión de n eventos 1, 2,..., n es definida por el evento de que al menos uno de estos n eventos ocurra. La notación para esta unión es: 1 2 n = n i=1 i. Para una colección infinita de eventos lo denotamos como 1 2 = i=1 i. La unión también cumple con la propiedad asociativa: C = ( ) C = ( C). 2

3 Intersección: i y son dos eventos, la intersección de y es definida por el evento que contenga a todos los resultados en y en. La notación para la intersección es. El área roja en el siguiente diagrama de Venn denota el área para la intersección de los conjuntos y. La intersección de dos conjuntos tiene varias propiedades: = = = = demás, si entonces =. l igual que la unión, si tenemos n eventos, la intersección se denota como 1 2 n = n i=1 i. La intersección tambíen tiene una propiedad asociativa: C = ( ) C = ( C). 3

4 Complementos: El complemento del evento es definifo por el evento que contiene todos los elementos del espacio muestral que no están contenidos en, se denota como c. c El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades: ( c ) c = c = c = c = c = Eventos disjuntos: Decimos que dos eventos y son disjuntos o mutuamente excluyentes si =. Para n eventos 1, 2,..., n los eventos son disjuntos si para cualquier i j tenemos que i j = para todo i j. 4

5 2. Probabilidad En ciertos experimentos es necesario asignar a cada evento en el espacio muestral un número P () el cual denota la probabilidad que el evento ocurra. Para esto, el número P () debe cumplir los siguientes axiomas: xioma 2.1. Para todo evento, P () 0. xioma 2.2. P () = 1 xioma 2.3. i 1, 2 son eventos dijuntos entonces P ( 1 2 ) = P ( 1 ) + P ( 2 ). i tenemos una colección infinita de eventos 1, 2,... entonces P ( i=1 i ) = i=1 P ( i). Estos tres axiomas nos describe lo que se llama una distribución de probabilidad. continuación trabajaremos sobre los teoremas fundamentales para la probabilidad. Teorema 2.4. P ( ) = 0 Demostración. Considere que existe una sucesión infinita de eventos 1, 2,... talque i = para i = 1, 2,... (En otras palabras, todos los eventos son el conjunto vacío). Esta es una sucesión de conjuntos disjúntos ya que =. demás, i=1 i =, por el xioma2.3 tenemos que ( ) P ( ) = P i = P ( i ) = P ( ) = 0. i=1 i=1 Teorema 2.5. Para todo evento, P ( c ) = 1 P (). Demostración. Como y c son eventos disjuntos (esto es, c = ) y c =, por el xioma 2.3 tenemos que P () = P () + P ( c ) pero por el xioma 2.2 tenemos que P () = 1 entonces P ( c ) = 1 P (). Teorema 2.6. Para todo evento, 0 P () 1. Demostración. Por el xioma 2.1, P () 0. Como, para cualquier evento tenemos que P () P () = 1 por lo tanto concluimos que 0 P () 1. Ejemplo 2.7. La ley de enford nos indica que los números en la vida real, la primera cifra es 1 con mucha mas frecuencia que el resto de los demás obteniento así los siguientes resultados. Para un dígito d tenemos, d P (d)

6 i queremos calcular la probabilidad de que el primer dígito sea cualquiera distinto a 1 entonces: P (primer dígito no 1) = 1 P (primer dígito 1) = = Utilizando una notación mas corta, sea el evento de que 1 no es el primer dígito, entonces, P () = 1 P ( c ) = = hora, si queremos calcular la probabilidad de que el promer dígito sea 1 o 2, entonces como dígito 1 y dígito 2 son eventos disjuntos entonces P ( dígito 1 o dígito 2 ) = P ( dígito 1 ) + P ( dígito 2 ) = = i 1 = primer dígito 1 y 2 = primer dígito 2 entonces todo se resume a: P ( 1 2 ) = P ( 1 ) + P ( 2 ) = =