Materia: Matemática de Octavo Tema: Sucesos. Marco teórico

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Patricia Navarrete Farías
hace 6 años
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1 Materia: Matemática de Octavo Tema: Sucesos En esta lección aprenderás términos básicos de la estadística y algunas reglas de la probabilidad. También aprenderás cómo enumerar eventos simples y muestras de un espacio. Marco teórico Un evento es algo que ocurre o sucede. Por ejemplo, lanzar una moneda es un evento, ir al banco e ir al supermercado son otros dos eventos. Cualquier cosa que pueda suceder es un evento. Cada evento tiene uno o más resultados posibles. Supongamos que una moneda se lanza una vez. Hay dos resultados posibles, ya sea cara o sello. Ten en cuenta que si el experimento se llevó a cabo una sola vez, observarás sólo uno de los dos resultados posibles. Un experimento es el proceso de medir o de hacer una observación. Estos resultados individuales de un experimento son llamados eventos simples. Un dado tiene seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, o 6. Cuando lo lanzamos una vez, se producirá sólo uno de los seis resultados del experimento. El que se produce se llama evento simple. Supongamos que dos monedas se lanzan simultáneamente. Podríamos tener dos caras (que se escribe como ), o la primera moneda cara y la segunda sello (que se escribe como ), etc. Vamos a ver que hay cuatro resultados posibles para cada lanzamiento, que son, y. La siguiente tabla muestra todos los resultados posibles: Lo que hemos logrado hasta ahora es una lista de todos los posibles eventos simples de un experimento. Esta colección se llama espacio muestral del experimento. El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles casos de un experimento, o la colección de todos los posibles eventos simples de un experimento. Vamos a denotar a un espacio muestral como. Como sabemos, existen 6 posibles resultados de lanzar un dado. Podemos tener 1, 2, 3, 4, 5 o 6, por lo que se escribe el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles: Del mismo modo, el espacio muestral de lanzar una moneda es cara o sello, por lo que escribimos.

Ejemplo A Supongamos que una caja contiene tres bolas: una roja, una azul y una blanca. Una bola es seleccionada, se observa su color, y luego la pelota se coloca de nuevo en la caja.

Probablemente es mejor si se dibuja un diagrama de árbol para ilustrar todas los casos posibles.

2 Ejemplo A Supongamos que una caja contiene tres bolas: una roja, una azul y una blanca. Una bola es seleccionada, se observa su color, y luego la pelota se coloca de nuevo en la caja. Las bolas se mezclan, y otra vez se selecciona una bola y se observa su color. Cuál es el espacio muestral del experimento? Probablemente es mejor si se dibuja un diagrama de árbol para ilustrar todas los casos posibles. Como se puede ver en el diagrama de árbol, es posible que obtengas la bola roja en el primer intento y luego otra roja en el segundo,. También puedes obtener una roja en el primer intento y una azul en el segundo y así sucesivamente. En el diagrama de árbol anterior podemos ver que el espacio muestral es el siguiente: Cada par en el conjunto anterior muestra las combinaciones de primeros y segundos intentos. Es decir, es diferente de. También podemos representar todos los resultados posibles en una tabla: Consideremos el mismo experimento. Esta vez vamos a sacar una pelota y anotar su color pero no vamos a volver a meterla en la caja. A continuación, se selecciona otra bola de la caja y se anota su color. Cuál es el espacio muestral en este caso?

3 Se puede ver claramente que si la bola que agarramos es roja, la siguiente será azul o blanca, pues la roja ya no está, y así con las otras bolas. Entonces el espacio muestral nos quedaría: Ahora veamos un poco sobre lo que es el concepto de probabilidad y lo relacionamos con los conceptos de espacio muestral. Si se lanza una moneda, la probabilidad de obtener cara es la misma que la probabilidad de obtener sello. Es decir que la probabilidad de obtener cara es 0.5 y la de obtener sello es 0.5. Para cualquier evento, la probabilidad puede variar entre 0 y 1. Siendo 0 un suceso imposible y 1 un suceso cierto. Propiedad I:, para cualquier evento.. La suma de las probabilidades de todos los posibles casos debe ser igual a 1. Por ejemplo, lanzar una moneda puede dar cara o sello. Cada uno de estos dos resultados tiene una probabilidad de 0.5. Esto significa que la probabilidad total de que la moneda sea cara o sello es Propiedad II: ser igual a 1., la suma de las probabilidades de todos los casos posibles debe La probabilidad se denota generalmente por, y los respectivos elementos del espacio muestral (los casos posibles) se denotan por etc. La notación matemática que indica que la probabilidad de que un evento suceda es. Nosotros usamos la siguiente fórmula para calcular la probabilidad de que un evento ocurra: Ejemplo B Al lanzar dos monedas, Cuál es la probabilidad de obtener cara en las dos monedas? Puesto que hay 4 casos posibles,, el tamaño del espacio muestral es 4. Si decimos que el evento A es que ocurra HH, entonces esto solo puede suceder una vez. Sustituyendo en la fórmula nos queda: Nota que los cuatro casos posibles tienen la misma probabilidad de Observa también que la probabilidad total de todos los casos posibles en el espacio muestral es 1. Ejemplo C Cuál es la probabilidad de tirar un dado y obtener? Hay 6 casos posibles cuando se tira un dado. Los casos que nos interesan son conseguir 2, 3 ó 4 en el lanzamiento. Es decir, son 3 casos posibles para que A ocurra.

4 Palabras clave Un evento es algo que sucede con uno o más resultados posibles. Un experimento es el proceso de tomar una medición o hacer una observación. El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles de un experimento, éste se denota generalmente como. Un evento simple es uno de los casos posibles en el espacio muestral. Ejercicios resueltos Supongamos que tienes un envase de caramelos y están distribuidos de la siguiente forma: 4 rojos, 5 púrpuras y 7 verdes. Encuentra la probabilidad para los siguientes eventos: a. Selección de un caramelo rojo. b. Selección de un caramelo púrpura. c. Selección de un caramelo verde. d. Selección de un caramelo amarillo. Solución: a. Para encontrar la probabilidad de obtener un caramelo rojo, primero calculamos la cantidad de caramelos existentes. Dado a que hay 4 caramelos rojos y el total de caramelos es 16, la probabilidad de obtener un caramelo rojo es: b. Dado a que hay 5 caramelos púrpuras y el total de caramelos es 16, la probabilidad de obtener un caramelo púrpura es: c. Dado a que hay 7 caramelos verdes y el total de caramelos es 16, la probabilidad de obtener un caramelo verde es: d. Ya que no hay caramelos de color amarillo en el envase, la probabilidad de obtener uno es cero.

5 Ejercicios Para 1-4, considera un experimento compuesto tirar un dado y luego una moneda. a. Lista los eventos simples y asigna una probabilidad a cada uno de ellos. b. Cuáles son las probabilidades de observar los siguientes eventos? 1. Obtener en el dado y cara en la moneda. 2. Obtener en el dado y sello en la moneda. 3. Obtener un número par en el dado. 4. Obtener sello en la moneda. Para 5-6, el diagrama de Venn muestra un experimento con seis eventos simples. Los sucesos y también se muestran. Las probabilidades de los eventos simples son: 5. Encuentra 6. Encuentra Para 7-10, una caja contiene dos canicas azules y tres rojas. Dos canicas se extraen aleatoriamente sin reemplazo. Llama a las canicas azules y y a las rojas,, y a. Enumera todos los posibles casos del espacio muestral. b. Determina la probabilidad de que suceda cada uno de los siguientes eventos canicas azules canica roja y 1 canica azul canicas rojas. 10. Ni es una canica azul, ni es una canica roja. 11. Indique el espacio muestral de lo siguiente: a. Girar una ruleta redonda con etiquetas A, B, C, D, E. b. Los sexos de una familia de 3 hijos. c. El orden en el que 4 bloques A, B, C y D pueden ser alineados.

6 12. Mostrar en una tabla el espacio muestral de: a. Lanzar un dado y lanzar una moneda. b. Lanzar dos monedas. c. Lanzar un dado y girar una rueda con etiquetas A, B, C y D. 13. Mostrar en un diagrama de árbol el espacio muestral de: a. Lanzar dos monedas al mismo tiempo. b. Lanzar una moneda tres veces. 14. Es cada uno de los siguientes valores un valor de probabilidad legítimo? Explique las respuestas que no lo son. a b c d e

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