2. Conceptos Básicos de Probabilidad. ESTADÍSTICA Esp. Paola G. Herrera S.

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1 2. Conceptos Básicos de Probabilidad ESTADÍSTICA Esp. Paola G. Herrera S.

2 Introducción La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos con incertidumbre. Es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, cuando estos se comparan con los fenómenos determinísticos. La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión, puede ser equivocada. Sin una adecuada comprensión de las leyes básicas de la probabilidad, es difícil utilizar la metodología estadística de una manera efectiva.

3 2.1. Métodos de conteo y combinatorios

4 Técnicas de Conteo Cuando resulta difícil o tedioso el contar el número de elementos de un conjunto finito por medio de la numeración directa, deben emplearse algunas técnicas especiales, las cuales reciben el nombre de técnicas de conteo. Regla de multiplicación de opciones (T) Si los conjuntos A 1, A 2,, A k contienen los elementos n 1, n 2,, n k respectivamente, entonces existen n 1, n 2,, n k maneras de elegir primero un elemento de A 1, luego un elemento de A 2,, y finalmente un elemento de A k.

5 El orden en el que se eligen las respuestas es importante, en general, si r objetos se seleccionan de un conjunto den objetos distintos, cualquier arreglo ordenado de ellos recibe el nombre de permutación. Utilizando la regla de la multiplicación y denotando por n P r al número de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos es n(n-1)(n-2) (n-r+1). Factorial (D) El factorial de un número entero no negativo se denota mediante el símbolo!, corresponde al producto de los números naturales menores o igual que él. y Entonces el factorial del número n es: Y además 0! = 1 n! = n (n-1) (n-2) 1

6 Si además se introduce la notación factorial, la fórmula de la permutación se simplifica y está dada por el siguiente teorema. Permutación (T) El número de permutaciones de objetos tomados de un conjunto de objetos distintos es n P r P n r ( n n! r)!

7 Un caso especial de las permutaciones es aquel en el cual se permite la repetición de los objetos que la forman, dando origen a las permutaciones con repetición. Permutación con repetición (T) Si se seleccionan r objetos de un conjunto de n elementos, con repetición, entonces se tienen formas distintas de efectuar la selección. n PR r n r

8 En ocasiones se deben contar arreglos de objetos, de los cuales algunos son indistinguibles, por lo que no importa seleccionar cualquiera de los objetos iguales, lo que da lugar a las permutaciones con grupos de elementos iguales. Permutaciones con grupos de elementos iguales (T) Si se tiene un conjunto de elementos, con grupos de elementos iguales, de los cuales son del tipo 1, son del tipo 2, etc. de tal forma que n = n 1 + n n k Entonces el número de permutaciones distinguibles de n objetos es n P P n n1, n2,..., nk n1, n2,..., nk n! n! n!... n 1 2 k!

9 Un caso muy especial de las permutaciones, se tiene cuando se desea generar el arreglo alrededor de un círculo, dando origen a las permutaciones circulares (PC). Debe observarse que existe diferencia entre las permutaciones en línea y las circulares, ya que en las segundas se considera el mismo arreglo si sus elementos tienen el mismo precedente y consecuente en el sentido de las manecillas del reloj. Permutaciones circulares (T) Si n elementos se acomodan de manera que formen un círculo, entonces existen PC ( n 1)! formas distintas de ordenar los elementos. n

10 Si al seleccionar un grupo de r objetos de un conjunto de elementos, no interesa el orden en el que se seleccionan, sino simplemente los objetos seleccionados, se generan entonces las combinaciones. Una combinación de r elementos tomados de un conjunto S que contiene n elementos, es un subconjunto de S que tiene r elementos distintos. Se denota por n C r al número de combinaciones que se pueden realizar al tomar r elementos de un conjunto de n. Combinaciones (T) El número de formas en las cuales r objetos pueden seleccionarse, sin importar el orden de un conjunto de n objetos distintos es n C r C n r n! r!( n r)!

11 Además de las combinaciones, se tienen las combinaciones con repetición, en las cuales se permite repetir los objetos en una misma combinación. Combinaciones con repetición (T) El número de formas en las cuales r objetos pueden seleccionarse, sin importar el orden, de un conjunto de n objetos distintos considerando que se pueden repetir es n CR C r nr1 r

12 Es común denotar las combinaciones notación n r utilizando la, y a los números que se obtienen de las combinaciones al variar r desde cero hasta n se les llama números combinatorios. Es común leer la expresión "las combinaciones de n sobre r ". C n r n r como

13 Los números combinatorios tienen las siguientes propiedades: - Los números combinatorios para r=0 y para r=n son iguales a la unidad. - Los números combinatorios que se tienen para valores de r=1, 2, n-1 son simétricos entre sí. - La suma de los números combinatorios con numerador igual a n y denominador consecutivo, r=k-1 y r=k respectivamente, es igual al número combinatorio de numerador n=n+1 y denominador r=k.

14 2.2. Experimentos Aleatorios

15 Definiciones Experimento: Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación o medición. Es decir, cualquier procedimiento capaz de generar resultados observables. Los experimentos se pueden clasificar en: Experimentos determinísticos: Aquel que al repetirse bajo las mismas condiciones controlables presenta siempre el mismo resultado Experimentos aleatorios: aquel que al repetirse bajo las mismas condiciones, puede presentar diferentes resultados. Esta clasificación depende de la información y el conocimiento que se tenga del experimento, y dependiendo del experimento que se desee estudiar se utilizan modelos matemáticos de tipo determinístico o de tipo aleatorio (probabilístico).

16 Los modelos matemáticos de tipo determinístico permiten predecir los resultados de un experimento a partir de ciertas condiciones. Mientras que los modelos matemáticos de tipo probabilístico no permiten predecir el resultado de un experimento, únicamente indican la frecuencia con la que cabe esperar determinado resultado al repetir el experimento un número muy grande de veces, o bien, la certidumbre que se tiene con respecto a la obtención de algún resultado en una sola ejecución del experimento. El resultado del experimento observado puede tomar valores de un conjunto continuo o discreto, el experimento aleatorio se puede clasificar en: Experimento continuo Experimento discreto

17 Los conceptos básicos de la Probabilidad tienen su fundamento en la Teoría de Conjuntos, en donde el concepto básico es la pertenencia; en Probabilidad, el concepto básico es la ocurrencia. El conjunto de todos los resultados posibles recibe el nombre de espacio muestral, se denota por S, o bien por Ω. A cualquier subconjunto del espacio muestral se le llama evento, es decir, es un conjunto de eventos sencillos, se acostumbra denotar mediante las primeras letras mayúsculas del alfabeto.

18 Algunos eventos son: Evento seguro: aquel que con seguridad ocurrirá en el espacio muestral S. Evento imposible o vacío: aquel que nunca ocurrirá, se denota por ᴓ (conjunto vacío). Evento simple o elemental: un solo elemento del espacio muestral, el resultado que se observa en una sola repetición del experimento, se suele denotar Eᵢ. Eventos excluyentes o mutuamente excluyentes: son aquellos eventos cuya intersección es vacía (conjuntos disjuntos). Eventos colectivamente exhaustivos: son aquellos eventos cuya unión forma todo el espacio muestral.

19 La probabilidad estudia los fenómenos en los cuales no se tiene la certeza del resultado, en particular, que ocurrirá; y puesto que pueden ocurrir varios resultados. Por lo que es conveniente conocer algunas técnicas que permitan la cuantificación rápida de distintas opciones.

20 2.3. Concepto de probabilidad matemática y estadística

21 La probabilidad es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo. Por lo tanto, la probabilidad de un evento también es un número real que mide la posibilidad colectiva de ocurrencia, de los resultados del evento cuando se lleve a efecto el experimento. La Estadística es la ciencia que se encarga de recopilar, organizar, procesar, analizar e interpretar datos con el fin de deducir las características de una población objetivo.

22 La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas: La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas. La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos. De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.

23 2.4. Enfoques de la Probabilidad

24 Enfoques de la Probabilidad La probabilidad sustenta sus fundamentos matemáticos en tres interpretaciones: Clásica Frecuentista Subjetiva Las tres interpretaciones parten de un grupo de axiomas de los cuales se desprende una serie de análisis y herramientas que permiten establecer patrones de comportamiento de determinados experimentos.

25 Enfoque Clásico Este enfoque está basado en el principio de la razón insuficiente o principio de indiferencia, el cual fue utilizado por el matemático J. Bernoulli ( ) para definir probabilidades. Este principio señala que cuando no hay fundamentos para preferir uno de los posibles resultados o sucesos a cualquier otro, todos deben considerarse que tienen la misma probabilidad de ocurrir. La interpretación clásica de la probabilidad dice que si el espacio muestral consta de n(s) eventos simples, todos igualmente factibles, y si el evento A tiene n(a) eventos simples, entonces la probabilidad del evento A, denotada por P(A), se calcula como el cociente n( A). n( S) P( A) n( A) n( S)

26 Los inconvenientes de la interpretación clásica son: a. Es necesario que todos los resultados del experimento tengan la misma probabilidad. b. En ocasiones es muy difícil o imposible determinar la cardinalidad de A y de S. A la interpretación clásica también se le conoce como a priori y de Laplace.

27 Enfoque Frecuentista La interpretación frecuentista de la probabilidad dice que la probabilidad de un evento A es la frecuencia relativa con la que ha ocurrido dicho evento en un número muy grande de experimentaciones. n( A) P( A) lim n n Donde n(a) es el número de veces que se observa el evento A en n repeticiones del experimento. La interpretación frecuentista también se conoce como de Von Mises. El principal inconveniente del enfoque frecuentista es que no es aplicable cuando el experimento no se puede repetir un gran número de veces.

28 Este enfoque posee cuatro características: 1. Supone una gran cantidad de ensayos. 2. Supone la regularidad estadística. 3. La P(A) se estima por la frecuencia relativa de A. 4. Está basada en la experiencia. A la interpretación frecuentista se le llama también de frecuencia relativa, objetiva, empírica, a posteriori y estadística.

29 Enfoque Subjetivo Formulado por L. J. Savage (1954) establece: Un punto de vista personal sostiene que la probabilidad mide la confianza que tiene un determinado individuo en la verdad de una proposición particular. Este punto de vista permite interpretar a las probabilidades como ponderaciones atribuidas conforme la confianza personal o subjetiva) en el resultado de un experimento. Este enfoque se aplica a experimentos que todavía no ocurren o que lo hacen una sola vez y no requiere un experimento con gran cantidad de ensayos ni la hipótesis de regularidad estadística. Es una medida entre 0 y 1 (inclusive), que se asocia de manera subjetiva. Se requiere de una persona experimentada para determinar la probabilidad. El inconveniente de este enfoque es que suele cambiar el valor asignado cuando se le pregunta a otro experto. A la interpretación subjetiva también se le llama personal.

30 Cálculo de probabilidad con permutaciones y combinaciones Ejemplo: Una familia tiene 3 hijos. Determinar todas las posibles permutaciones, con respecto al sexo de los hijos. Bajo suposiciones adecuadas, Cuál es la probabilidad de que, exactamente dos de los hijos tengan el mismo sexo? Cuál es la probabilidad de tener un varón y dos mujeres? Cuál es la probabilidad de tener 3 hijos del mismo sexo?

31 2.5. Principales axiomas y teoremas de probabilidad

32 Definiciones axiomáticas Un Axioma es una verdad evidente que no requiere demostración. Para un espacio muestral S, la probabilidad de cada evento A S es un número que se asigna al evento, se denota P(A), y tiene las siguientes axiomas: 1. P(A) es un número no negativo; esto es, P(A) 0 2. La probabilidad del espacio muestral S es la unidad, esto es: P(S)=1 3. Si A y B son eventos que se excluyen mutuamente en S, entonces la probabilidad de la unión de los eventos es igual a la suma de sus probabilidades; es decir: P(AB)=P(A)+P(B).

33 Teoremas derivados de la definición axiomática La probabilidad es una función de conjunto que tiene como dominio al conjunto de todos los eventos (conjunto potencia de S ), y como recorrido el intervalo de números reales [0, 1]. Teoremas Elementales de la Probabilidad 1) P()=0 2) Si A es un evento cualquiera, entonces à (o A C ) también lo es, y su probabilidad es P(Ã)=1 P(A) 3) Sean A y B dos eventos cualesquiera P(AB)=P(A)+ P(B)-P(AB)

34 Además tenemos otros dos teoremas más: 4) Sean A, B y C tres eventos cualesquiera, entonces P(ABC)=P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC)+P(ABC) 5) Si A B, entonces P(A) P(B)

35 2.6. Probabilidad condicional

36 Probabilidad condicional (D) La probabilidad condicional de un evento A, dado que ya ocurrió el evento B, es: PA B PA B PB siempre que. P B 0 La función P A B cumple con las propiedades de una función de probabilidad.

37 La consecuencia más importante de la definición de probabilidad condicional se obtiene escribiéndola de la siguiente manera: o bien, PA B PA B P( B) PA B PB A P( A) que se conoce como el teorema de multiplicación.

38 Eventos Independientes (D) Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si P A B PA P(B) Esto es, los eventos son independientes si la probabilidad de la intersección de cualquier subconjunto de n elementos, es igual al producto de las probabilidades individuales. En otro caso, los eventos son dependientes.

39 Por la definición de probabilidad condicional, la condición de independencia puede escribirse como: Dos eventos son independientes si: y P P A B P( A) A B P( B) En términos simples, la independencia de eventos significa que la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento no tiene influencia en la ocurrencia o no ocurrencia de otro evento.

40 2.7. Teorema de Bayes

41 Probabilidad Total (T) Sean los eventos B 1, B 2,, B k una partición exhaustiva y mutuamente excluyente del espacio muestral S, de tal forma que P(B) 0 para i=1, 2,, k. Entonces para cualquier evento de A en S k i1 k B A PB P A B P ( A) P i i1 i i

42 Teorema de Bayes(T) Sean los eventos B 1, B 2,, B k una partición exhaustiva y mutuamente excluyente del espacio muestral S, de tal forma que P(B) 0 para r=1, 2,, k, entonces para cualquier evento de A en S tal que P(A) 0 se tiene para r=1, 2,, k. i k i i r r k i i r r r B A P B P B A P B P A B P A B P A P A B P A B P ) ( 1 1 Este teorema es un consecuencia de la definición de probabilidad condicional y del teorema de probabilidad total.