Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 y Estadística Unidad 2 Tipos de probabilidad Prof. Héctor Ulises Cobián L. ulises.cobian@itcolima.edu.mx February 29,

2 Definition (Experimento aleatorio) Es el que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o del azar como lanzar un dado tres veces o determinar el número de personas que vendrán mañana a clase. 2

3 Definition (Experimento aleatorio) Es el que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o del azar como lanzar un dado tres veces o determinar el número de personas que vendrán mañana a clase. Definition (Espacio muestral) Es el conjunto S de todos los resultados posibles de dicho experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el espacio muestral es S = {Cara, Cruz} o dos monedas es S = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}. El espacio muestral del lanzamiento de dos dados es S = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} 2

4 Definition (Experimento aleatorio) Es el que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o del azar como lanzar un dado tres veces o determinar el número de personas que vendrán mañana a clase. Definition (Espacio muestral) Es el conjunto S de todos los resultados posibles de dicho experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el espacio muestral es S = {Cara, Cruz} o dos monedas es S = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}. El espacio muestral del lanzamiento de dos dados es S = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} Definition (Suceso o evento) Se define como cualquier subconjunto A del espacio muestral S, A S. Por ejemplo, la suma de tres dados es nueve. 2

5 Definition (Sucesos equiprobables) Son todos los sucesos que tienen la misma probabilidad de ocurrir, siendo la probabilidad la parte de las matemáticas que proporciona modelos para la incertidumbre, la cual se da en los resultados de los experimentos aleatorios. 3

6 Definition (Sucesos equiprobables) Son todos los sucesos que tienen la misma probabilidad de ocurrir, siendo la probabilidad la parte de las matemáticas que proporciona modelos para la incertidumbre, la cual se da en los resultados de los experimentos aleatorios. Ejemplos 1. Tirar dos monedas: S = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}. Suceso A: que salgan dos caras: A = {(c, c)}, Suceso B: que salga una cara B = {(c, x), (x, c)}. 2. En un hospital maternal se eligen al azar dos recien nacidos y se observa su sexo. Suceso A: Que los bebes elegidos sean féminas A = {f, f } y Suceso B: que unos sea varón B = {(v, f ), (f, v)}. 3

7 Definition (Unión e intersección de eventos) Sean A, B S. Entonces A B = {x : x A x B} A B = {x : x A B} 4

8 Definition (Unión e intersección de eventos) Sean A, B S. Entonces A B = {x : x A x B} A B = {x : x A B} Ejemplos Sean S = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}, A = {(x, c), (x, x)} y S = {(c, c), (x, x)}, entonces 1. A B = {(x, c), (x, x), (c, c)} 2. A B = {(x, x)} 4

9 Definition (Eventos mutuamente excluyentes) Sean A, B S. Entonces se dice que los conjuntos de sucesos A y B son mutuamente excluyentes si A B = φ 5

10 Definition (Eventos mutuamente excluyentes) Sean A, B S. Entonces se dice que los conjuntos de sucesos A y B son mutuamente excluyentes si Ejemplo A B = φ Sean S todas las combinaciones del lanzamiento de dados, A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} es el evento donde la suma de caras es 7 y B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} el evento donde la suma es 6. Entonces A B = φ pues no hay elementos en que coincidan. 5

11 Tipos de probabilidad Probabilidad clásica, empírica y subjetiva Concepto clásico de probabilidad. Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultados particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experiemnto aleatorio, no podemos inidcar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A). Definition (Probabilida clásica o a priori) Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una característica A P(A) = m N = Nro. de casos favorables de A Nro. de casos posibles 6

12 Tipos de probabilidad Probabilidad clásica, empírica y subjetiva Ejemplo 1. P(de que salgan dos caras al tirar dos monedas): P(A) = 1 4, 2. P(de que salga una cara al tirar dos monedas): P(A) = 2 4 = P(de que salga un varón al tomar dos bebes y observar su sexo): P(A) = 2 4 = 1 2 7

13 Tipos de probabilidad Probabilidad clásica, empírica y subjetiva Definition (Probabilida empírica o frecuencial) Si un experimento bien definido, con espacio muestral S, se repite n veces (n grande) bajo las mismas condiciones. Para tal evento A S, definimos n(a) como las n repeticiones del experimento tal que el evento A ocurre. Entonces P(A), la probabilidad del evento A, está definido como n(a) P(A) = lim n n 8

14 Tipos de probabilidad Probabilidad clásica, empírica y subjetiva Definition (Probabilida empírica o frecuencial) Si un experimento bien definido, con espacio muestral S, se repite n veces (n grande) bajo las mismas condiciones. Para tal evento A S, definimos n(a) como las n repeticiones del experimento tal que el evento A ocurre. Entonces P(A), la probabilidad del evento A, está definido como n(a) P(A) = lim n n Ejemplo L m 30 veces 50 veces 70 veces 100 veces Nro. caras Frecuencia = = = =

15 Tipos de probabilidad Probabilidad clásica, empírica y subjetiva La probabilidad frecuancial satisface los siguientes axiomas. Sea X un exprerimento y S su espacio muestral. Para cada evento A de S, asumiremos que el número P(A) es definido y satisface las siguientes tres axiomas Ax 1 0 P(A) 1 Ax 2 P(S) = 1 Ax 3 Para cualquier sucesión de eventos mutuamente excluyentes A 1, A 2,... ( ) P A i = P(A i ) i=1 i=1 9

16 Tipos de probabilidad Probabilidad clásica, empírica y subjetiva Definition (Probabilida subjetiva) Es el grado de certeza que tenemos de que un suceso va a ocurrir, se basa en la opinión personal, la experiencia o la intuición. En ocaciones hace uso de datos históricos. No siempre se cuantifica. Comunmente se indica con un porcentaje. Por ejemplo: Es improbable que llueva, existe un 70 por ciento de probabilidad de que haya una tercera guerra mundial antes del 2030, existe la posibilidad de que hoy y mañana Einar llegue tarde. 10