Probabilidad Básica. Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. Guión 5.

Transcripción

1 Probabilidad Básica 1

2 Contenido 1. Experimentos 2. Reglas de conteo 3. Asignación de Probabilidades 4. Eventos y sus Probabilidades 5. Relaciones Básicas de Probabilidad 6. Probabilidad Condicional a) Ley Multiplicativa. b) Eventos Independientes. 2

3 1. Experimento. Proceso que genera uno de varios posibles resultados bien definidos. El resultado específico no es predecible sin error. M=Número de posibles resultados. E i = resultado experimental. S=Espacio muestral={e 1, E 2,..., E M }. 3

4 1. Experimento. Ejemplo 1: Tirar un dado y observar el número en la cara superior Posibles resultados: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} M =6 4

5 1. Experimento. Ejemplo 2: Sacar una carta de un mazo de póquer. Posibles resultados: S = {AC,AD,AP,AT,2C,...,RP,RT} M=52 5

6 2. Reglas de Conteo. Para experimentos en K etapas. M=n 1 n 2...n K Ejemplo 3: Lanzar 2 monedas. M=4. Ejemplo 4: Sacar 2 cartas del mazo de póquer. Con reemplazo M=52 2 =2704, sin reemplazo M=52(51)=2652 6

7 2. Reglas de Conteo. Diagramas de Árbol. Ejemplo 5: Proyecto de KP&L Etapa1 Etapa S={(2,6),(2,7),...,(4,7),(4,8)} M=3(3)=9 7

8 2. Reglas de Conteo. Combinaciones. Experimento: seleccionar n objetos de un conjunto de N objetos (N>n) sin importar orden. M = N! = C N n N( = N N N! = n n!( N n )! 1)( N 2 )...( 2 )(1) 0!=1 Excel: COMBINAT(N,n) 8

9 2. Reglas de Conteo. Combinaciones. Ejemplo 6: Manos de póquer, 5 cartas de 52. Espacio muestral: S={ {AC,AD,AP,AT,2C},{AC,AD,AP,AT,2D}, {AC,AD,AP,AT,2P},......,{QT,RC,RD,RP,RT} } 52 M = C 2,598, = 9

10 2. Reglas de Conteo. Combinaciones. Ejemplo 7: ME LATE (de Ohio) 6 números de un grupo de 47. M = C 47 6 = 10, 737,573 Ejemplo 8: ME LATE de México? 10

11 3. Asignación de Probabilidades. Probabilidad=cuantificación de la factibilidad de ocurrencia de E i. Se debe cumplir 0 < P(E i ) < 1 P(E 1 )+P(E 2 ) +...+P(E M ) =1=P(S) 11

12 3. Métodos para Asignación de Probabilidades. Clásico. Frecuencia Relativa. Subjetivo. 12

13 3. Método Clásico para Asignación de Probabilidades. Muy usado para juegos de azar Presupone igual probabilidad de E i s P(E i )= 1 / #(S) Ejemplo1,dados: P(E i )= 1 / 6 Ejemplo 5: manos de póquer P(E i )= 1 / 2,598,960 Ejemplo KP&L no tiene sentido. 13

14 3. Método de Frecuencia Relativa para Asignación de Probabilidades. Se necesita observar repetidamente el mismo experimento (n veces). Condiciones similares. P(E i )= (# veces que ocurre E i ) / n. 14

15 3. Método de Frecuencia Relativa para Asignación de Probabilidades. Ejemplo 2: Proyecto KP&L, n=40. Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses meses Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses meses

16 3. Método Subjetivo para Asignación de Probabilidades. Un experto asigna las probabilidades Ejemplo: momios de eventos deportivos E 1 =Gana Tyson, E 2 = No Gana Tyson momio = P(E 1 ) / P(E 2 ) = 5 (5 a 1) 16

17 4. Eventos Evento = Subconjunto de puntos muestrales. Un evento ocurre si cualquiera llega a ser el resultado experimental. Usaremos letras A, B, C,... para denotarlos. Usualmente se definen por descripciones verbales. Pero cada evento corresponde a un subconjunto de puntos muestrales. 17

18 Ejemplo: KP&L. A={El proyecto dura 10 meses o menos} Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses 4 meses B={La etapa 2 del proyecto dura 7 meses} Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses 4 meses 18

19 Ejemplo: se tiran 2 dados. Dado Rojo Dado Azul 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 A={La suma es igual a 5} B={El dado rojo cae 6} 19

20 Complemento de un Evento. Complemento A c = { todos los resultados que NO están en A} Ejemplo:KP&L A c ={El proyecto dura más de 10 meses} Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses 4 meses 20

21 Unión de Eventos Unión A B = { todos los Ejemplo KP&L resultados que están en A={El proyecto dura 10 meses o menos} B={La etapa 2 del proyecto dura 7 meses} A o en B} A unión B Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses 4 meses 21

22 Intersección de Eventos. Intersección A B = { todos los Ejemplo KP&L resultados que están en A={El proyecto dura 10 meses o menos} A y en B} B={La etapa 2 del proyecto dura 7 meses} A intersección B Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses 4 meses 22

23 Eventos Mutuamente Excluyentes. A y B son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común. A B = φ = vacío = evento imposible Dado Rojo Dado Azul 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 A={La suma es igual a 5} B={El dado rojo cae 6} 23

24 Eventos Mutuamente Excluyentes. También se les conoce como eventos ajenos. Cuando ocurre uno NO ocurre el otro. Evento vacío = ausencia de resultados. Ejemplo: Manos de póquer. A={obtengo un par únicamente}={xxyzw} B={obtengo un full }={xxyyy} 24

25 4. Probabilidad de un Evento Suma de las probabilidades de los puntos muestrales del evento. Fórmula P( A ) = P( Ei ) E A Ejemplo KP&L: P(A)=0.70. i Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses meses Ejemplo 2 dados: P(A)=4/36, P(B)=1/6. 25

26 5. Relaciones Básicas de Probabilidad. Probabilidad del complemento P( A c ) = 1 P( A ) P ( S ) = 1 y P( φ ) = 0 Ejemplo KP&L: P(proyecto dure más de 10 meses)=1-0.7=0.3 Ejemplo 2 dados: P(suma 5)=1-(4/36)=32/36 26

27 5. Relaciones Básicas de Probabilidad. Probabilidad de la unión. Ley Aditiva. P( A B ) = P( A ) + P( B ) P( A B ) Ejemplo KP&L: P(A B)= =0.8 Ejemplo 2 dados: C={La suma es 7}, D={misma cara} P(C D)=1/6+1/6-0=1/3 27

28 5. Relaciones Básicas de Probabilidad. Ley Aditiva para eventos mutuamente excluyentes P ( A B ) = P( A ) + P( B ) Ejemplo 2 dados: P(A B)=4/36+6/36 Dado Rojo Dado Azul 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 28

29 6. Probabilidad Condicional Un evento tiene probabilidad P(A). Se que sucedió el evento B, quiero aprovechar esa información para calcular la probabilidad de A dado que ya sé que ocurrió B. A esta probabilidad se le llama probabilidad condicional de A dado B. Sirve para modificar la probabilidad de un evento cuando se tiene información adicional. 29

30 6. Probabilidad Condicional Tomo a B como un nuevo espacio muestral. Definición: P(A B)=P(A B)/P(B) Note que P(B B)=1. 30

31 6. Probabilidad Condicional Ejemplo KP&L: ya sabíamos P(A)=0.70 A={El proyecto dura 10 meses o menos} C={Etapa 1 dura 3 meses} P(A C)=P(A C)/P(C)=0.3/0.35= Duración Etapa 2 Proyectos 6 meses 7 meses 8 meses 2 meses Etapa 1 3 meses meses

32 6.a) Ley Multiplicativa. Probabilidad condicional implica: P(A B)=P(B)P(A B)=P(A)P(B A). Sirve para calcular la probabilidad de una intersección si se conoce la probabilidad condicional y la probabilidad de uno de los eventos. 32

33 6.a) Ley Multiplicativa. Ejemplo 4: Se sacan 2 cartas del mazo de póquer sin reemplazo. Cuál es la probabilidad de que salgan 2 ases? D={salen dos ases}, Cuál es P(D)? A={un as en la primera carta}, B={un as en la segunda carta}, D=A B P(A)=4/52, P(B A)=3/51 P(D)=P(A B)= P(B A)P(A)=(3/51)(4/52)=

34 6.b) Eventos Independientes El evento A es independiente del evento B si y solo si P(A B)=P(A) ó P(B A)=P(B) De lo contrario son eventos dependientes. Interpretación de independencia: el conocimiento de que B ocurrió no cambia la factibilidad de que A ocurra. 34

35 6.b) Ley Multiplicativa para Eventos Independientes Si A y B independientes: P( A B ) = P( A ), entonces por ley multiplicativa P( A B ) = P( A B )P( B ) = P( A )P( B ) por lo tanto P( A B ) = P( A )P( B ) de hecho dos eventos son independientes si se cumple la igualdad anterior. 35

36 6.b) Ley Multiplicativa para Eventos Independientes Ejemplo 2 dados: Dado azul ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Dado rojo 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 A = { Dado azul = P( A B ) = 1 / 36 4 }, B = { Dado rojo = 5}, P( A B ) = por lo tanto los dos eventos son independientes. P( A ) = 1 / 6 P( B ) = 1 / 6 P( A )P( B ) 36

37 6.b) Ley Multiplicativa para Eventos Independientes Ejemplo 2 dados: Dado azul ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Dado rojo 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 A = { Suma = 7 }, B = { Dado rojo 3}, P( A B ) = 3 / 36 P( A B ) = P( A ) = 1 / 6 por lo tanto los dos eventos son independientes. P( B ) = 1 / 2 P( A )P( B ) 37

38 6.b) Ley Multiplicativa para Eventos Independientes Cuando se presume que dos eventos son idependientes se puede usar la ley multiplicativa para calcular la probabilidad de su intersección. Ejemplo: Si juego en melate y revancha cuál es la probabilidad de que gane? A={gano con melate}, B={gano con revancha}, D={gano}=A B P(A B)= P(A)+ P(B)- P(A B)= P(A)+ P(B)-P(A)P(B) 38

39 Los Eventos Ajenos NO son Independientes, al contrario! Si A y B son eventos ajenos con P(A)>0 y P(B)>0, entonces P(A B)=P(A B)/P(B)=0/ P(B)=0 P(A) Ejemplo con los dados: P(la suma sea igual a 5 dado rojo=6) = 0 39

40 Problemas Sugeridos. Capítulo 4. Fenómenos Aleatorios: 2, 4, 7, 12. Eventos y sus Probabilidades: 16, 17, 18. Relaciones Básicas: 23, 27, 28. Probabilidad Condicional: 30, 31, 34,