AZAR Y PROBABILIDADES

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María Luz Cáceres Río
hace 7 años
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1 AZAR Y PROBABILIDADES Introducción En el lenguaje cotidiano decimos muchas veces que algo es posible si es probable que suceda. De esta manera nos aproximamos al concepto de probabilidad. Cuál es la probabilidad de obtener solamente caras al lanzar al aire cuatro monedas?. Podremos responder esta y otras preguntas similares que surgen cuando queremos saber qué probabilidad hay de que ocurra un evento. Probabilidad clásica Experimentos aleatorios y Eventos. Supongamos que vamos a estudiar el comportamiento de un dado que es perfecto o ideal, es decir, que suponemos que está construido de manera perfecta. Al efectuar el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, podemos obtener seis resultados diferentes, que corresponden al número que representa la cara superior del dado. Los resultados posibles del experimento los agrupamos en un conjunto: E = {1,2,3,4,5,6} llamado Espacio Muestral. En general: Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento. El espacio muestral los designamos por E. : Determine los espacios muestrales correspondientes a los siguientes experimentos aleatorios: 1) Lanzamiento de dos monedas E 1 = {(cc)(ss)(cs)(sc)} 2) Lanzamiento de tres monedas E 2 = {(ccc)(sss)(ccs)(ssc)(csc)(scs)(css)(scc)} En el caso de las monedas se aplica 2 n para saber la cantidad de elementos. El 2 es porque existe dos posibilidades al lanzar una moneda(cara o sello). N es la cantidad de monedas. Cuando son dos monedas se tiene 2 2 = 4 elementos. Si las monedas son tres es 2 3 = 8 elementos. Si las monedas son cuatro entonces se tiene 2 4 = 16 elementos. 3) Lanzamiento de dos dados ( 6 2 = 36 elementos) E 3 = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)} Llamaremos Evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio. Como los eventos son conjuntos(subconjuntos de E) usaremos las letras mayúsculas A,B,C,D... para designarlos. 1

2 Determine los elementos de los siguientes eventos asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de dos dados 1) A: que la suma de las pintas sea 7 A = {(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)} 2) B: que las pintas sean iguales B = {(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)} 3) C: que las pintas sean primos C = {(2,2)(2,3)(2,5)(3,2)(3,3)(3,5)(5,2)(5,3)(5,5)} Probabilidad clásica Si en un experimento aleatorio el espacio muestral E tiene n elementos igualmente probables y un evento A subconjunto de E tiene n A elementos, entonces la probabilidad de que dicho evento ocurra es: P(A) = 100 Donde: n es el número de casos posibles n A es el número de casos favorables al evento A En el lanzamiento de dos dados, calcule las siguientes probabilidades: 1) A: Que la suma de las pintas sea 7 2) B: Que suma de las pintas sea 8 P(A) = *100 = 16,67% P(B) = *100 = 13,89% 3) C: Que las pintas sean distintas 4) D: Que las pintas sean pares P(C) = *100 = 83,33% P(D) = *100 = 25% Se tiene un mazo de naipe inglés(52 cartas), si se extrae una carta al azar, calcule las siguientes probabilidades: 1) A: Que la carta sea as 2) B: Que la carta sea roja P(A) = *100 = 7,69% P(B) = *100 = 50% 2

3 3) C: Que la carta sea as de corazón 4) D: Que la carta no sea trébol P(C) = *100 = 1,92% P(D) = *100 = 75% Se tiene una bolsa con 20 fichas rojas, 30 fichas azules, 12 fichas negras y 5 fichas blancas. Si se extrae una ficha al azar, calcule las siguientes probabilidades: 1) A: Que la ficha sea roja 2) B: Que la ficha no sea negra P(A) = *100 = 29,85% P(B) = *100 = 82,09% 3) C: Que la ficha no sea blanca ni negra 4) D: Que la ficha no sea café P(C) = *100 = 74,63% P(D) = *100 = 100% Ejercicios propuestos: A) En el lanzamiento de tres monedas, calcule las siguientes probabilidades: E = { } 1) A: Que salgan dos caras... 2) B: Que salgan a lo menos dos sellos... 3) C: Que salga un sello 4) D: Que salgan mas de dos caras 5) E: Que salga dos caras y un sello B) En el lanzamiento de dos dados, calcule las siguientes probabilidades: E = { } 1) A: Que la suma de las pintas sea mayor o igual que 7 2) B: Que una sea mayor que la otra pinta en tres unidades 3) C: Que el producto de las pintas sea par 4) E: Que la suma de las pintas sea 8 C) De un mazo de naipes inglés (52 cartas), se extrae una carta. Calcule las siguientes probabilidades: 3

4 1) A: Que la carta no sea corazón 2) B: Que la carta sea un as de diamante 3) C: Que la carta sea 5 4) D: Que la carta sea corazón 5) E: Que la carta no sea as de diamante Combinatoria Antes de definir combinatoria, debemos definir factorial. N factorial está definido por: N! = N 1) 5! = =120 2) 3! = = 6 3) 1! = 1 4) 0! = 1 La combinatoria está definido por: NCK = ( ) Nos entrega la cantidad de grupos de k elementos que se pueden formar con n elementos. 1) 5C2 = = = = 10 2) 8C3 = = = = 56 3) 7C7 = = = 1 4) 8C7 = = = = 8 En general se tiene: 1) NCN = 1 2) NC1 = N 3) NCN-1 = N Aplicación de la combinatoria en las probabilidades 1) Se extraen 4 cartas de un naipe inglés (52 cartas:13 tréboles, 13 corazones, 13 picas y 13 diamantes). Calcule las siguientes probabilidades: a) A: Que las cuatro cartas sean corazones. Solución: P(A)= 13 C 4 52C 4 En primer lugar se calcula 52 C 4 pues este valor se aplica a todos los problemas en que se extraen 4 cartas. 4

5 52C 4 = 52! = = = !. 4! (aparecen , pues se simplifico hasta el 48) 13C 4 = 13! = = = 715 Luego se tiene 9!. 4! P(A) = 715 x 100 = 0,26% b) B: Que dos sean corazones, una diamante y la otra sea negra. Solución: P(B) = 13 C C C 1 Se calculan las tres combinaciones y 52C 4 luego se multiplican. 13C 2 = 13! = = 156 = 78 ; 13C 1 = 13 ; 26C 1 = 26 11!. 2! Luego se tiene: P(B) = x 100 = x 100 = 9,74% c) C: Que tres cartas sean rojas y la otra sea trébol. d) D: Que dos sean corazones y las otras picas. e) E: Que una sea diamante, otra pica y el resto trébol. f) F: Que dos sean negras y el resto ases. g) G: Que una sea trébol, una corazón, una pica y la otra as. h) H: Que dos sean negras y el resto rojas. i) K: Que una sea as, otra 5, otra 8 de trébol y la otra 10. j) M: Que las cuatro sean rojas. k) N: Que las cuatro sean ases. l) Ñ: Que una sea rey y las otras 7 5

6 E) En una caja se tienen 4 fichas rojas, 6 azules, 3 café y 7 negras. Se extraen 3 fichas, calcule las siguientes probabilidades: 1) A: Que una sea negra y las otras sean rojas 2) B: Que dos sean azules y la otra sea café 3) C: Que una sea roja, otra negra y la otra azul 4) D: Que las tres sean negras 5) E: Que las tres sean café 6) F: Que ninguna sea azul 7) G: que ninguna sea amarilla F) En una bolsa se tienen 6 bolas rojas, 18 verdes, 14 azules y 12 blancas. Se extraen cinco bolas al azar, calcule las siguientes probabilidades: a) A: Que las cinco sean verdes b) B: Que tres sean blancas y las otras sean verdes. c) C: Que dos sean azules, y las otras verdes. d) D: Que dos sean azules, dos sean verdes y la otra sea roja. e) E: Que dos sean rojas y las otras sean verdes. G) Se tiene un naipe inglés(52 cartas) y se extraen cinco cartas al azar, calcule las siguientes probabilidades: a) A: Que dos cartas sean corazones y las otras sean tréboles. b) B: Que todas sean picas. c) C: Que una carta sea pica, otra diamante y las otras sea ases. d) D: Que dos sean negras y las otras sean corazones. e) E: Que ninguna sea trébol. 6

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