Estadística I Tema 4: Probabilidad

Transcripción

1 Estadística I Tema 4: Probabilidad

2 Tema 4. Probabilidad Contenidos Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y compuestos. Definición de probabilidad. Propiedades. Probabilidad condicionada y ley de la multiplicación. Independencia. Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

3 Conceptos básicos: ejemplos Experimento aleatorio: resultado del lanzamiento de un dado Espacio muestral (posibles resultados) finito: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales (puntos muestrales): {1}, {2},..., {6} Sucesos compuestos: p. ej., A = obtener un resultado par = {2, 4, 6}, B = obtener un resultado mayor que 3 = {4, 5, 6}. Experimento aleatorio: número de accesos a la página web de la UC3M el próximo lunes Espacio muestral infinito numerable: Ω = {0, 1, 2,...} = N {0} Sucesos elementales: {0}, {1}, {2},... Sucesos compuestos: p. ej., A = se reciben al menos 100 accesos = {100, 101,...} y B = se reciben menos de 500 accesos = {0, 1,..., 499}. Experimento aleatorio: precio de una cierta acción al cierre de sesión del próximo lunes Espacio muestral infinito no numerable: Ω = (0, + ) o, siendo realistas, Ω = (0, M) para algún M lo bastante grande Sucesos elementales: {x}, con x Ω Sucesos aleatorios: p. ej., A = el precio de cierre es superior a 5 euros = (5, M) y B = precio de cierre entre 3 y 8 euros = (3, 8).

4 Sucesos aleatorios: conceptos básicos Sucesos Un suceso es un subconjunto razonable A del espacio muestral Ω (A Ω). Si el resultado ω del experimento aleatorio cumple que ω A, el suceso ocurre. Si no es así, el suceso A no ocurre. Sucesos triviales Suceso seguro: El espacio muestral completo Ω. Siempre ocurre. Suceso imposible: El conjunto vacío. Nunca ocurre. Suceso complementario o contrario a un suceso A: suceso que ocurre cuando no lo hace A. Se compone de todos los sucesos elementales de Ω que no están en A. Se denota por A c o por A.

5 Operaciones básicas con sucesos aleatorios Supongamos que A y B son sucesos del espacio muestral Ω. Intersección de sucesos: La intersección A B se compone de todos los elementos en A y en B a la vez (A B: ocurren A y B ). A y B son sucesos incompatibles si no tienen ningún elemento en común, i.e., si su intersección es el suceso imposible, A B = Unión de sucesos: La unión A B se compone de todos los elementos que están en A o en B (A B: ocurren A o B ). Diferencia de sucesos: La diferencia A \ B se compone de todos los elementos de A que no están en B (A \ B: ocurre A pero no B ). Leyes de Morgan Relaciones entre la unión, intersección y sucesos complementarios: A B = A B A B = A B

6 Ejemplo: lanzamiento de un dado Experimento aleatorio resultado obtenido al lanzar un dado : Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Sucesos compuestos: p. ej., A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} El suceso A ocurre cuando sale un número par. El suceso B ocurre cuando sale un número mayor que tres.

7 Ejemplo: lanzamiento de un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {4, 5, 6} Complementario: Intersección: Unión: Sucesos incompatibles: Ā = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3} A B = {4, 6} Ā B = {1, 3} A B = {2, 4, 5, 6} Ā B = {1, 2, 3, 5} A Ā = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω A Ā =

8 Probabilidad. Intuición La probabilidad de un suceso es una medida de la confianza que tenemos a priori en que el suceso ocurra cuando se realice el experimento aleatorio (a mayor probabilidad de un suceso, más cabe esperar que ocurra). Al tirar un dado equilibrado: Intuitivamente, La probabilidad de que salga un 1 es menor que la de que salga un número mayor que uno La probabilidad de que salga un 4 es igual que la de que salga un 6. La probabilidad de que salga un 7 es mínima, ya que es un suceso imposible. La probabilidad de que salga un número positivo es máxima, ya que es un suceso seguro.

9 Tres enfoques/interpretaciones Probabilidad clásica (regla de Laplace): Considera un experimento en el que los sucesos elementales son equiprobables. Si el suceso A tiene n(a) puntos muestrales, entonces se define la probabilidad de A como P(A) = número de casos favorables a A número de casos posibles = n(a) n(ω). Enfoque frecuentista: Si repitiéramos el experimento muchas veces, la frecuencia relativa con que ocurriría el suceso A convergería a su probabilidad. P(A) = valor ĺımite de la frecuencia del suceso A Probabilidad subjetiva: Depende de la información de que dispongamos. P(A) = grado de creencia o certeza de que ocurra el suceso A

10 Probabilidad: Axiomas y propiedades Definición Sea F la colección de todos los sucesos de Ω (nota: F se compone de todos los subconjuntos de Ω si Ω es numerable). La probabilidad es una función P : F [0, 1] que asigna a cada suceso A F un número P(A), y que cumple los siguientes axiomas: P(A) 0 para todo suceso A F. P(Ω) = 1. Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles: si A y B son incompatibles, entonces P(A B) = P(A) + P(B). Propiedades (consecuencias de los Axiomas): Probabilidad del complementario: P(Ā) = 1 P(A). P( ) = 0. Si A B P(A) P(B) Si A = {e 1,..., e n } finito (o infinito numerable) P(A) = n i=1 P({e i}) Probabilidad de la unión: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

11 Ejemplo: lanzamiento de un dado equilibrado Probabilidad de los sucesos elementales: P({i}) = 1 6, i = 1,..., 6 Probabilidad de que salga par: A = {2, 4, 6}, luego P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = 1 2 = n(a) n(ω) Probabilidad de que salga mayor que 3: B = {4, 5, 6}, luego P(B) = P({4}) + P({5}) + P({6}) = = 1 2 = n(b) n(ω) Probabilidad de que salga impar P(Ā) = 1 P(A) = = 1 2

12 Ejemplo: lanzamiento de un dado equilibrado Probabilidad de que salga par o mayor que tres: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Como A B = {4, 6}, P(A B) = 2 6 = 1 3 = n(a B) n(ω), y P(A B) = = 4 6 = 2 3 = n(a B) n(ω) Probabilidad de que salga par o igual a uno. Los sucesos A = {2, 4, 6} y C = {1} son incompatibles (A C = ), por tanto P(A C) = P(A) + P(C) = = 4 6 = 2 3 = n(a C) n(ω)

13 Probabilidad condicionada: ejemplo Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos según su peso y a si sufren o no de hipertensión. La siguiente tabla muestra los resultados: Tensión \ Peso Insuficiente (I) Normal (N) Sobrepeso (S) Total Hipertenso (H) Normal (N) Total Experimento aleatorio: se selecciona de forma equiprobable a uno de los 100 ejecutivos y se observa su clasificación de tensión y peso. Espacio muestral: Ω = {(H, I ), (H, N), (H, S), (N, I ), (N, N), (N, S)} Probabilidad de A = el ejecutivo seleccionado es hipertenso? P(A) = = 0.2 ( n(a) ; por qué?) n(ω) Supongamos que el ejecutivo seleccionado tiene sobrepeso Cuál es entonces la probabilidad de que sea hipertenso? Es igual que antes?

14 Probabilidad condicionada: ejemplo Probabilidad de A ( es hipertenso ), dado B ( tiene sobrepeso ): P(A B) Para calcularla, nos fijamos solo en los ejecutivos con sobrepeso: P(A B) = n(a B) n(b) = 10 = 0.4 > 0.2 = P(A) 25 La probabilidad de un suceso depende de la información que tengamos La probabilidad condicionada P(A B) es la probabilidad de que ocurra A dado que sabemos que ha ocurrido B.

15 Probabilidad condicionada. Sucesos Independientes Probabilidad condicionada Definición: La probabilidad de un suceso A condicionada a que otro suceso B (con P(B) > 0) ha ocurrido es P(A B) = P(A B) P(B) Sucesos Independientes Intuitivamente: el saber si uno de ellos ha ocurrido no nos da ninguna información sobre si el otro ha ocurrido. Definición: Dos sucesos A y B son independientes si P(A B) = P(A)P(B). Propiedad: Supongamos que P(B) > 0. Entonces, A y B son independientes P(A B) = P(A)

16 Sucesos Independientes: ejemplo (cont.) Se lanza un dado equilibrado Suceso A: sale un resultado par Suceso B: sale un resultado mayor que 2 Nos dicen que al tirar un dado ocurrió B. Sabiendo esto, cuál es la probabilidad condicionada de que el resultado haya sido par?

17 Sucesos Independientes: ejemplo Se lanza un dado equilibrado Suceso A: sale un resultado par Suceso B: sale un resultado mayor que 2 Nos dicen que al tirar un dado ocurrió B. Sabiendo esto, cuál es la probabilidad condicionada de que el resultado haya sido par? P(A B) = P(A B) P(B) Los sucesos A y B son independientes = 2/6 4/6 = 1 2 = P(A).

18 Teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades Regla de la multiplicación Es útil para calcular la probabilidad de que ocurran a la vez varios sucesos cuando las probabilidades condicionadas son fáciles de calcular. P(A B) = P(A) P(B A), siempre que sea P(A > 0). P(A B C) = P(A) P(B A) P(C A B), siempre que sea P(A B) > 0. Se generaliza al cálculo de la probabilidad de la intersección de n sucesos A 1,..., A n.

19 Regla de la multiplicación: ejemplos Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Probabilidad de que: la primera carta sea copa: P(A) = la segunda sea copa, sabiendo que la primera lo fue: P(B A) = las dos cartas sean copas: P(A B) = P(A)P(B A) = Se lanzan sucesivamente dos dados equilibrados. Probabilidad de que: en el primer dado salga un 1: P(C) = 1 6. en el segundo dado salga un 1, sabiendo que en el primero salió 1: P(D C) = P(D) = 1 6. en el primer dado salga un uno, si en el segundo salió uno: P(C D) = P(C) = 1 6. en los dos dados salga uno: P(C D) = P(C)P(D C) = P(C) P(D) = (sucesos independientes)

20 Teoremas fundamentales: teorema de la probabilidad total Los sucesos B 1, B 2,..., B k son mutuamente excluyentes si B i B j =, para i j. Si además de eso cumplen Ω = B 1 B 2... B k, se dice que forman una partición del espacio muestral.

21 Teoremas fundamentales: teorema de la probabilidad total Si B 1, B 2,..., B k es una partición del espacio muestral tal que P(B i ) 0, i = 1,..., k, y A es un suceso cualquiera, entonces P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) P(A B k ) = = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) P(A B k )P(B k ).

22 Teorema de la probabilidad total: ejemplo En una fábrica se embalan galletas en cuatro cadenas de montaje: A1, A2, A3, y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1, el 20%, 24% y 21% en las cadenas A2, A3 y A4, respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas: el 1% en la cadena de montaje A1, el 3% en A2, el 2.5% en A3 y el 2% en A4. Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa (suceso D)? P(D) = P(D A 1 ) + P(D A 2 ) + P(D A 3 ) + P(D A 4 ) = P(D A 1 )P(A 1 ) + P(D A 2 )P(A 2 ) + P(D A 3 )P(A 3 ) + P(D A 4 )P(A 4 ) = =

23 Teoremas fundamentales: teorema de Bayes Para dos sucesos A y B con P(A) > 0 y P(B) > 0 se tiene que P(A B) = P(B A)P(A) P(B) Ejemplo: (continuación del anterior) Supongamos que descubrimos una caja defectuosa. Cuál es la probabilidad de que esa caja haya sido embalada en la cadena de montaje A1? P(A 1 D) = P(D A 1)P(A 1 ) P(D) = =

24 Teoremas fundamentales: teorema de Bayes Dada una partición del espacio muestral B 1, B 2,..., B k, con P(B i ) 0, i = 1,..., k, y dado un suceso A, se tiene que, para j = 1..., k, P(B j A) = P(A B j )P(B j ) P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) P(A B k )P(B k ) Probabilidades a priori de los B j : P(B 1 ),..., P(B k ) Probabilidades a posteriori de los B j : P(B 1 A),..., P(B k A) Verosimilitud de A dado cada B j : P(A B 1 ),..., P(A B k )

25 El teorema de Bayes: ejemplo Se dispone de un test cĺınico para una enfermedad rara que afecta a una de cada personas El test da positivo (detecta la enfermedad) en 99 de cada 100 personas que la padecen, y da negativo (no la detecta) en 97 de cada 100 personas que no la padecen. Se aplica el test a una persona elegida al azar, y da positivo. Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?

26 El teorema de Bayes: ejemplo (cont.) Se aplica el test a una persona elegida al azar, y da positivo. Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? Sucesos: B 1 = la persona padece la enfermedad, B 2 = no la padece, A = el test da positivo Aplicamos el teorema de Bayes: P(B 1 A) = = P(A B 1 )P(B 1 ) P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) = La probabilidad de que padezca la enfermedad es solo del 0.33%

27 Teoremas fundamentales: utilidad La aplicación del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes es especialmente útil cuando: El experimento aleatorio se puede separar en 2 etapas Es sencillo dar una partición del espacio muestral Ω mediante sucesos B 1,..., B k correspondientes a resultados en la primera etapa. Son conocidas, o fácilmente calculables, las probabilidades a priori P(B 1 ),..., P(B k ). Son conocidas, o fácilmente calculables, las verosimilitudes P(A B 1 ),..., P(A B k ), donde A es un suceso correspondiente a resultados de la segunda etapa.