Probabilidad condicional

Transcripción

1 4 Profra. Blanca Lucía Moreno Ley March 18, 2014

2 Sumario 1 Resumen 2

3 Probabilidad Supongamos que un experimento E tiene un espacio muestral U y un evento A está definido en dicho espacio muestral, entonces P (A) es un número real llamado la probabilidad del evento A. Esta probabilidad tiene las siguientes propiedades: 1 0 P (A) 1 2 P (U) = 1 3 Para cualquier número finito de k eventos mutuamente excluyentes definidos en U se cumple que: ( k ) k P A i = P (A i) (1) i=1 4 Si A 1, A 2,... es una secuencia numerable de eventos mutuamente excluyentes en U, entonces ( ) P = P (A i) (2) i=1 i=1 i=1

4 La probabilidad de un evento satisface los siguientes teoremas: Si φ es el conjunto vacío, entonces P (φ) = 0 P (A c ) = 1 P (A) donde P (A c ) es la probabilidad del complemento de A P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A c B c ) = P (A B) c

5 Ejemplo Se sabe que en un lote de producción de 100 piezas, el 5% es defectuoso. Se toma una muestra aleatoria de 10 artículos y se seleccionan sin reemplazo. Para determinar la probabilidad de que no habrá artículos defectuosos en la muestra, primero contaremos el número de muestras posibles que contengan defecto y también el número de muestras que no contengan defecto, al cual nombraremos como nuestro evento A. El número de muestras posibles es: ( ) = 100! 10!90! Luego, ( ) 5, el 5% es defectuoso, es decir, 5 piezas de 100, luego deseamos NO 0 ( elegir ninguna ) de estas piezas, es decir elegir 0 de 5 piezas. 95, tenemos 95 piezas que NO tendrán defecto, luego, hay que calcular 10 de cuantas formas podemos elegir 10 de 95. Así, la probabilidad que obtengamos el evento A, es decir que nuestras muestras no tengan defecto es: ( ) ( ) (3) P (A) = ( ) = (4)

6 Para generalizar el problema anterior, consideremos el caso en el que la población tiene N artículos de los cuales D pertenecen a alguna clase de interés. Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n. Si A denota el evento de obtener exactamente r artículos de la clase de interés, entonces la probabilidad del evento A es: P (A) = ( D r ) ( ) N D n r ( ) (5) N n con r = 0, 1, 2,..., min(n, D).

7 Introducción Ahora consideraremos la probabilidad de eventos que están condicionados en algún subconjunto del espacio muestral. Denotaremos a la probabilidad condicional del evento A dado el evento B como P (A B) y está dada por: P (A B) = P (A B) P (B) (6) Ejemplo Se lanzan dos dados y supongamos que ninguno de los dos está alterado. Primero calcular el número de resultados posibles. Si consideramos dos eventos: A = {(d 1, d 2 ) d 1 + d 2 = 4} (7) B = {(d 1, d 2 ) d 1 d 2 } (8) donde d 1 es el valor mostrado por el primer dado y d 2 el valor del segundo dado. Cuál es la probabilidad de que ocurra B dado que A ocurra? y viceversa Tenemos que el número de resultados posibles será: n 1 n 2 = 6 6 = 36 (9) ya que cada dado tiene 6 formas de caer y por el principio de elección se obtiene el número total n = 36.

8 Ahora calculemos las siguientes probabilidades, para poder calcular la probabilidad condicionada: P (A) = 3 36 (10) P (B) = (11) P (A B) = 2 36 (12) P (A B) = 2 21 (13) P (B A) = 2 3 (14) (15)

9 En base a la probabilidad condicional podemos definir lo que se le conoce como la regla de multiplicación: y P (A B) = P (B) P (A B) si P (B) > 0 (16) P (A B) = P (A) P (B A) si P (A) > 0 (17) Notemos que si A y B son mutuamente excluyentes entonces A B = φ por lo que P (A B) = 0 = P (B A) Con esto diremos que A y B son independientes si y sólo sí: y por lo tanto se cumple que P (A B) = P (A) P (B) (18) P (A B) = P (A) y P (B A) = P (B) (19)

10 Ejemplo 1 Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 2 objetos de un lote de 100, y se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se toma de manera tal que el prmer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo. Si aceptamos que: A : El primer artículo observado está en buen estado B : El segundo artículo observado está en buen estado y se desea determinar la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, entonces: P (A B) = P (A)P (B) = = (20) si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo, entonces, P (A B) = P (A)P (B A) = = (21)

11 Ejemplo 2 Un comité de 5 personas es seleccionada al azar de un grupo de 5 hombres y 10 mujeres. 1 Encuentre la probabilidad de que el comité consista de 2 hombres y 3 mujeres 2 Encuentre la probabilidad de que el comité sea de puras mujeres Solución. El número total de elegir 5 personas de las 15 que son en total es: ( ) 15 n(s) = (22) 5 Si suponemos que la selección es aleatoria, significa que cada persona tiene la misma probabilidad de ser elegida. Sea A el evento de que el comité consista de 2 hombres y 3 mujeres. Entonces el número de posibles elecciones de A está dada por: ( ) ( ) 5 10 n(a) = (23) 2 3

12 Entonces, la probabilidad del evento A es: ( ) ( ) 5 10 P (A) = n(a) n(s) = 2 3 ( ) 15 = (24) 5 Sea B el evento de que el comité consista de sólo mujeres. Entonces el número de elegir a B es: ( ) ( ) 5 10 n(b) = (25) 0 5 Entonces la probabilidad es: P (B) = n(b) n(s) = (26) 429

13 Teorema de Bayes Un resultado importante de la probabilidad condicional es el teorema de Bayes, y para enunciarlo necesitamos el concepto de partición de un conjunto. Definición. Sea Ω un conjunto arbitrario. Una partición de Ω es una colección de subconjuntos B 1, B 2,... B n de Ω que satisface las tres condiciones siguientes: 1 B i φ para i = 1, 2,..., n. 2 B i B j = φ si i j. 3 n i=1 B i = Ω Ahora enunciaremos el teorema de la probabilidad total: Sea Ω un espacio muestral y B 1,B 2,...,B n una partición de Ω tal que P (B i ) > 0. Entonces para cualquier evento A P (A) = n P (A B i )P (B i ) (27) i=1 Con esto podemos enunciar el Teorema de Bayes. Sea Ω un espacio muestral y B 1, B 2,..., B n una partición de Ω tal que P (B i ) > 0. Entonces para cualquier evento A con P (A) > 0 y cualquier j = 1, 2,..., n tenemos que P (A B j )P (B j ) P (B j A) = n i=1 P (A B (28) i)p (B i )

14 Ejemplo de aplicación del teorema de Bayes Suponga que en cierta población el 70% son hombres y 30% son mujeres. Suponga también que el 50% de las mujeres fuman y el 40% de los hombres fuman. Se escoge a una persona al azar. Cuál es la probabilidad de que esta persona que sabemos que fuma sea hombre? Consideremos los siguientes eventos: F = La persona fuma H = La persona es hombre Entonces, el problema se reduce a calcular la probabilidad P (H F ), entonces por el teorema de Bayes: P (H F ) = = P (F H)P (H) P (F H)P (H)+P (F H c )P (H c ) (29) (0.4)(0.7) = 0.65 (30) (0.4)(0.7)+(0.5)(0.3)

15 Ejemplo 2 Un número es seleccionado aleatoriamente del 1 al 100. Si sabemos que el número elegido es divisible por 2, encuentre la probabilidad de que también sea divisible por 3 o 5. Solución. Sean: A 2 el evento de que el número sea divisible por 2 A 3 el evento de que el número sea divisible por 3 A 5 el evento de que el número sea divisible por 5 La probabilidad pedida es: P ( A 3 A 5 A 2 ) = P [( ) ] A 3 A 5 A2 P (A 2) (31) = P [ (A 3 A 2) (A 5 A ] 2) P (A 2) (32) = P (A3 A2) + P (A5 A2) P (A3 A5 A2) (33) P (A 2)

16 Donde se han utilizado las siguientes identidades: A (B C) = A B A C (34) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (35) Ahora para el cálculo de las intersecciones pedidas de aplicar el teorema de Bayes tomaremos en cuenta los siguientes criterios de divisibilidad: Un número es divisible entre 2 si termina en un número par Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Un número es divisible entre 5 si termina en 0 ó 5 Un número es divisible entre 6 si es divisible por 2 y 3 Un número es divisible entre 10 si termina en 0.

17 Luego, las intersecciones a buscar son las siguientes: Así: A 3 A 2 son los eventos cuyos números son divisibles por 6 A 5 A 2 son los eventos cuyos números son divisibles por 5 y 2, pero de los criterios anteriores de divisibilidad, solo debemos tomar en cuenta los números que terminan en 0, es decir los que son divisibles por 10. A 3 A 5 A 2 son los eventos tales que los números son divisibles por 3, 5 y 2, esto es, los que sean divisibles por 30. P ( A 3 A 2 ) P ( A 5 A 2 ) P ( A 3 A 5 A 2 ) = = = 100 (36) (37) (38)

18 Luego, P ( A 3 A 5 A 2 ) = = 23 = 0.46 (39) 50