Probabilidad Condicional

Transcripción

1 Cómo actualizar la probabilidad de un evento dado que ha sucedido otro? o Cómo cambia la probabilidad de un evento cuando se sabe que otro evento ha ocurrido?

2 Ejemplo: Una persona tiene un billete de lotería con los números 2,7,10,14,15,20. Antes de que se realice el sorteo la probabilidad de que gane la lotería es X.

3 Cuál es la probabilidad de sacarse la lotería después de saber que ha salido el número 7?

4 Veamos como se puede definir la probabilidad condicional. Después de realizar muchas veces un experimento, se tiene que es el número de intentos en los que B ocurre. Entre estos elementos se cuenta los intentos en que el evento A también ocurre. Se puede considerar entonces que la razón es una medida de la probabilidad (condicional) de A dado que ha ocurrido B

5 Definición: Si se sabe que un evento B ha ocurrido y deseamos conocer la probabilidad de otro evento A, tomando en cuenta que B ha ocurrido, tenemos que esta probabilidad condicional está dada por: con Pr(B)>0

6 Regresando al problema anterior: Sea B={uno de los números ganadores es el número 7} y A={los números 2,7,10,14,15,20 son seleccionados}

7 Otro ejemplo: Suponga que se lanzan dos dados (distinguibles) y se observa que la suma X es un número impar Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 8?

8 Regla de multiplicación para probabilidades condicionales. Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0 entonces Similarmente, si Pr(A)>0,

9 Ejemplo: Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules. Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

10 Generalización a más eventos: Para 3 eventos: Para n eventos:

11 Ejemplo: Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( ) Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?

12 Comentario: las probabilidades condicionales siguen las mismas reglas que las probabilidades standard (no condicionales).

13 Ley de la probabilidad total Partición: Sea S el espacio muestral de un experimento y considere k eventos en S, tal que son eventos disjuntos y. Se dice entonces que los eventos B forman un partición.

14 Ley de la probabilidad total Teorema: Suponga que los eventos forman una partición de S y para j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:

15 Ejemplo Se tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos. Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo. Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?

16 Eventos independientes: Si el conocimiento de que el evento B ha ocurrido no cambia la probabilidad de que el evento A ocurra, se dice que A y B son eventos independientes. Definición: dos eventos A y B son independientes si

17 De aquí se sigue que A y B son eventos independientes si y solo si: y

18 Probabilidad condicional Ejemplo: Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs. Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4 Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período de tiempo?

19 Eventos independientes (generalización): Los k eventos son independientes (o mutuamente independientes) si para cada subconjunto de j de los eventos se tiene que

20 Ejemplo: Para que A, B y C sean independientes se deben satisfacer las siguientes relaciones:

21 Ejemplo: Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={HH, HT, TH, TT}. Sean los siguientes eventos: -H en el 1er lanzamiento: A={HH, HT} -H en el 2do lanzamiento: B={HH, TH} -ambos resultados iguales: C={HH, TT}

22 Independencia condicional Como hemos dicho, las probabilidades condicionales tienn las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente: Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que

23 Teorema de Bayes Si se conoce Pr(A B i ) para cada i, el teorema de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los B i eventos dado A.

24 Teorema de Bayes Sea B i,...,b k los eventos que forman una partición del espacio S tal que Pr(B i )>0 para j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos que

25 Teorema de Bayes Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%. Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test. Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?

26 Teorema de Bayes Se tienen 3 diferentes máquinas M 1 M 2 M 3 con las que se hace un producto. Los productos fabricados se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la máquina M 1, 30% con la M 2 y 50% con M 3. También se sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M 1 son defectuosos, mientras que con M 2, 2% son defectuosos y con M 3, 3% de los productos son defectuosos.

27 Teorema de Bayes Pregunta: Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por M 2?

28 Teorema de Bayes para probabilidades condicionales: