Independencia de Sucesos

Transcripción

1 Independencia de Sucesos 2do C Clase Nº 2 Mg. Stella Figueroa

2 Independencia de Sucesos Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de A no tiene influencia en la ocurrencia de B. Dos sucesos A y B son dependientes cuando la ocurrencia o presencia de A es requisito para la presencia u ocurrencia de B Teorema del producto de probabilidades P(A B) = P(A).P(B/A) donde / se lee: sabiendo que A ocurrió

3 Ejemplo de sucesos dependientes e independientes De un grupo de 50 empleados, 30 tiene una antigüedad de más de 10 años. Se eligen dos empleados al azar. Calcular la probabilidad de que los dos tengan una antigüedad menor de 10 años. a) Sin reposición b) Con reposición

4 Si A y B son independientes entonces P(B/A) = P(B) y además P(A B) = P(A).P(B)

5 Probabilidad Condicional Sean dos sucesos A y B asociados a un experimento. Del teorema del producto de probabilidades, Se define probabilidad condicional del suceso A si ocurrió B, a la expresión: P( A B) P( A/ B) Con P(B) distinta de cero. P( B) Análogamente, con P(A) distinta de cero, P( B / A) P( A B) PA ( )

6 Probabilidad Condicional La tabla muestra la distribución de los empleados de una empresa Universitarios No Universitarios A = { El empleado es gerencial} B = { El empleado es universitario} Calcular P(A/B) y P(B/A) Total Gerenciales No Gerenciales Total

7 Generalización del teorema del producto de probabilidades P A 1 A 2 A n (... ) P( A1 ). P( A2 / A1 ). P( A3 / A1, A2 )... P( An / A1, A2,... An 1) Ejemplo1 : A B Un mecanismo está formado por dos componentes en serie que trabajan independientemente. Cada componente tiene una probabilidad p de no funcionar. Cuál es la probabilidad de que el mecanismo funcione? Ejemplo 2 : A B Y si el sistema estuviera conectado en paralelo?

8 Ejercicio Integrador La probabilidad de que un artículo tenga un defecto tipo A ó tipo B es ¾. La probabilidad de que dicho artículo no tenga defectos tipo B es 2/3 y la probabilidad de que no tenga defectos tipo A ó no tenga defectos tipo B, es 5/6. Hallar la probabilidad de que el artículo no tenga defectos tipo B sabiendo que tiene defectos tipo A.

9 Teorema de la Probabilidad Total o de la Probabilidad Completa B 1 B 2 A B 4 B 1,B 2,...,B n AB 1 representan AB 2 AB 4 AB 3 B 3 una partición de S, es decir: B i B j para i j n i1 B i S PB ( i) 0 Para todo i

10 Teorema de la Probabilidad Total o de la Probabilidad Completa Si A S A= A B1 A B2 A B 3... A B n P(A) = P A B1 P A B2 P A B 3... P A B n P n A PA/ B. PB i 1 i i

11 Problema A, B y C licitan por un contrato para la construcción de un puente. La probabilidad de que A obtenga el contrato es el triple de que lo obtenga B, y las probabilidades para B y C son iguales. Si lo obtiene A, elegirá a E como subcontratista con probabilidad 0,8. Si lo obtiene B o C será elegido E con probabilidad 0,4 y 0,1 respectivamente. Antes de ser concedido contrato, Cuál es la probabilidad de que E obtenga finalmente el subcontrato?

12 Teorema de Bayes o de las Probabilidades de las Hipótesis A partir de las probabilidades de las hipótesis, (que suman 1, por ser los Bi una partición del espacio muestral S,) se vuelve a calcular una probabilidad a priori pero ahora con una información adicional: ocurrió el suceso A. probabilidades condicionales Es decir, determinaremos las P(B /A) j1,2,..., n j P B j / A P B P j A A P( B / A) j P( B ) P( A / B ) n i1 j P( B ) P( A / B ) i j i

13 Problema 1 El 70 % de los pacientes de un hospital son mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el 40 % de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al azar un paciente del hospital. Cuál es la probabilidad de que sea fumador?

14 Problema 2 Los chips de un circuito integrado son probados con cierto instrumento y la probabilidad de que se detecten los defectuosos si realmente lo son, es 0,99. Por otro lado hay una probabilidad de 0,95 de que un chip sea declarado como bueno si efectivamente lo es. Si el 1% de todos los chips son defectuosos. Cuál es la probabilidad de que un chip que es declarado como defectuoso sea en realidad bueno?

15 Preguntas sobre los temas tratados 1. Cómo reconocer analíticamente a dos sucesos independientes? 2. En qué consiste la probabilidad condicional? 3. Cómo diferenciar la probabiidad conjunta de la condicional? 4. Cuáles son las hipótesis del Teorema de la probabilidad total? Para qué sirve este teorema? 5. Qué dice el Teorema de Bayes? Cuáles son sus hipótesis? Cuándo se aplica? 6. Cómo diferenciar sucesos independientes de los mutuamente excluyentes?