Ejercicios de Probabilidad

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1 Ejercicios de Probabilidad Elisa M. Molanes-López, Depto. Estadística, UC3M Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejercicio 1. Un banco ha comprobado que uno de cada 100 clientes con fondos extiende un cheque con fecha errónea. Sin embargo, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. Se sabe además que el 90 % de los clientes del banco tiene fondos. a) Si hoy se recibe un cheque, cuál es la probabilidad de que su fecha sea errónea? b) Si hoy se recibe un cheque con fecha errónea, cuál es la probabilidad de que sea de un cliente sin fondos? Sean los sucesos F el cliente tiene fondos, y E el cheque ha sido emitido con fecha errónea. Sabemos que Pr(E F ) 0,01, Pr(E F ) 1 y Pr(F ) 0,90. a) Nos piden Pr(E). Teniendo en cuenta que F y F constituyen una partición del espacio muestral, el Teorema de la Probabilidad Total nos permite afirmar que: Pr(E) Pr(E F ) Pr(F ) + Pr(E F ) Pr(F ) 0,01 0, ,10 0,109. b) Nos piden Pr(F E). Por el Teorema de Bayes sabemos que: Pr(F E) Pr(E F ) Pr(F ) Pr(E) 1 0,10 0,109 0,917. Ejercicio 2. Cuatro tiradores disparan independientemente sobre cuatro objetivos distintos, cada uno sobre un objetivo en concreto. Cada tirador dispone de seis balas para conseguir dar en el blanco. Sabiendo que la probabilidad de dar en el blanco con cada tiro es del 80 % y que cada tirador deja de disparar al dar en el blanco, se pide: a) La probabilidad de que un tirador en concreto consuma toda su munición. b) La probabilidad de que alguno de los tiradores consuma toda su munición. c) Si un tirador en concreto consume su munición, cuál es la probabilidad de que haya dado en el blanco? d) Si todos los tiradores consumen su munición, cuál es la probabilidad de que todos hayan dado en el blanco? Sean los sucesos A i un tirador en concreto acierta en el blanco al efectura el tiro i-ésimo, i 1,..., 6, C j el tirador j-ésimo consume toda su munición, j 1,..., 4, y B j el tirador j-ésimo da en el blanco. Sabemos que Pr(A i ) 0,80 para todo i {1,..., 6} y que cada tirador dispone de 6 balas. 1

2 a) Nos piden Pr(C 1 ). Teniendo en cuenta que C 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 y que los tiros se efectúan independientemente unos de otros, resulta que: Pr(C 1 ) Pr(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) Pr(A 1 ) Pr(A 2 ) Pr(A 3 ) Pr(A 4 ) Pr(A 5 ) (0,20) 5 0, b) Nos piden Pr(C 1 C 2 C 3 C 4 ). Teniendo en cuenta la probabilidad del suceso contrario, las leyes de Morgan, la independencia y el apartado a), resulta que: Pr(C 1 C 2 C 3 C 4 ) 1 Pr(C 1 C 2 C 3 C 4 ) 1 Pr(C 1 C 2 C 3 C 4 ) 1 Pr(C 1 ) Pr(C 2 ) Pr(C 3 ) Pr(C 4 ) 1 (Pr(C 1 )) 4 1 (1 Pr(C 1 )) 4 1 (1 0,00032) 4 0, c) Nos piden Pr(B 1 C 1 ). Utilizando la definición de probabilidad condicionada y la independencia resulta que: Pr(B 1 C 1 ) Pr(B 1 C 1 ) Pr(C 1 ) Pr(A 1 A 2... A 5 A 6 ) (0,20) 5 Pr(A 1) 5 Pr(A 6 ) 0,20 5 0,205 0,80 0,20 5 0,80. d) Nos piden Pr(B 1 B 2 B 3 B 4 C 1 C 2 C 3 C 4 ). Utilizando la definición de probabilidad condicionada y la independencia resulta que: Pr(B 1 B 2 B 3 B 4 C 1 C 2 C 3 C 4 ) Pr(B 1 B 2 B 3 B 4 C 1 C 2 C 3 C 4 ) Pr(C 1 C 2 C 3 C 4 ) Pr(B 1 C 1 ) Pr(B 2 C 2 ) Pr(B 3 C 3 ) Pr(B 4 C 4 ) Pr(C 1 ) Pr(C 2 ) Pr(C 3 ) Pr(C 4 ) (0,205 0,80) 4 (0,20 5 ) 4 0,80 4 0,4096. Ejercicio 3. Un cierto artículo es manufacturado por 3 fabricantes distintos, fabricante A, B y C. Se sabe que el fabricante A produce el doble de artículos que el fabricante B, y que éstos en conjunto producen el mismo número de artículos que el fabricante C. Se sabe también que el porcentaje de artículos defectuosos es del 2 % tanto para el fabricante A como para el fabricante B y del 4 % para el fabricante C. a) Si se elige un artículo al azar, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Si el artículo está en perfecto estado, de qué fabricante es más probable que provenga y cuál es dicha probabilidad? c) Si el artículo es defectuoso, de qué fabricante es más probable que provenga y cuál es dicha probabilidad? 2

3 Sean los sucesos A el artículo es manufacturado por el fabricante A, B el artículo es manufacturado por el fabricante B, C el artículo es manufacturado por el fabricante C, y D el artículo es defectuoso. Por los datos del enunciado sabemos que Pr(A) 2 Pr(B) y Pr(A) + Pr(B) Pr(C). Teniendo en cuenta que Pr(A)+Pr(B)+Pr(C) 1 es sencillo deducir que Pr(C) 1 Pr(C) y Pr(B) Pr(C)/3, de donde se concluye que: Pr(C) 1/2, Pr(B) 1/6 y Pr(A) 2/6 1/3. Por otra parte, también sabemos que Pr(D A) 0,02 Pr(D B) y Pr(D C) 0,04. a) Nos piden. Teniendo en cuenta que los sucesos A, B y C constituyen una partición del espacio muestral, el Teorema de la Probabilidad Total nos permite afirmar que: Pr(D A) Pr(A) + Pr(D B) Pr(B) + Pr(D C) Pr(C) 0,02 (1/3) + 0,02 (1/6) + 0,04 (1/2). b) Para poder responder a este apartado debemos calcular Pr(A D), Pr(B D) y Pr(C D). Por el Teorema de Bayes podemos afirmar que: Pr(A D) Pr(B D) Pr(C D) Pr(D A) Pr(A) Pr(D B) Pr(B) Pr(D C) Pr(C) 0,98 (1/3) 1 0,98 (1/6) 1 0,96 (1/2) 1 0,337, 0,168, 0,495. De modo que si el artículo está en perfecto estado, lo más probable es que provenga del proveedor C. Además, sabemos que dicha probabilidad es Pr(C D) 0,495. c) Para poder responder a este apartado debemos calcular Pr(A D), Pr(B D) y Pr(C D). Por el Teorema de Bayes podemos afirmar que: Pr(A D) Pr(B D) Pr(C D) Pr(D A) Pr(A) Pr(D B) Pr(B) Pr(D C) Pr(C) 0,02 (1/3) 0,02 (1/6) 0,04 (1/2) 0,222, 0,111, 0,667. De modo que si el artículo está defectuoso, lo más probable es que provenga del proveedor C. Además, sabemos que dicha probabilidad es Pr(C D) 0,667. Ejercicio 4. En la red de comunicación de 4 componentes conectados según se muestra en la figura, la probabilidad de que funcione el componente 1 es del 85 %, la del componente 2 es del 95 %, la del componente 3 es del 70 %, y la del componente 4 es del 90 %. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcionen. Sabiendo que cada componente funciona independientemente de los demás: a) Cuál es la probabilidad de que la red funcione? b) Si el componente 3 no funciona, cuál es la probabilidad de que no haya comunicación entre A y B? 3

4 C1 C2 A C4 B C3 c) Si el sistema funciona, cuál es la probabilidad de que el componente 3 funcione? Sean los sucesos F i el componente i funciona correctamente, i 1,..., 4, y F i,j la subred formada por i y j funciona correctamente, y así sucesivamente. Sabemos que Pr(F 1 ) 0,85, Pr(F 2 ) 0,95, Pr(F 3 ) 0,70 y Pr(F 4 ) 0,90. a) Nos piden Pr(F 1,2,3,4 ). Se verifica que: Pr(F 1,2,3,4 ) Pr((F 1,2 F 3 ) F 4 ) Pr(F 1,2 F 3 ) Pr(F 4 ) (1 Pr(F 1,2 F 3 ))0,90 (1 Pr(F 1,2 F 3 ))0,90 (1 Pr(F 1,2 ) Pr(F 3 ))0,90 (1 Pr(F 1 F 2 )(1 Pr(F 3 )))0,90 (1 (1 Pr(F 1 F 2 ))(1 0,70))0,90 (1 (1 Pr(F 1 ) Pr(F 2 ))0,30)0,90 (1 (1 (0,85 0,95))0,30)0,90 0,8480. b) Nos piden Pr(F 1,2,3,4 F 3 ). Se verifica que: Pr(F 1,2,3,4 F 3 ) 1 Pr(F 1,2,3,4 F 3 ) 1 Pr(F 1 F 2 F 4 ) 1 Pr(F 1 ) Pr(F 2 ) Pr(F 4 ) 1 (0,85 0,95 0,90) 1 0,7268 0,

5 c) Nos piden Pr(F 3 F 1,2,3,4 ). Se verifica que: Pr(F 3 F 1,2,3,4 ) Pr(F 1,2,3,4 F 3 ) Pr(F 3 ) Pr(F 1,2,3,4 ) Pr(F 4) Pr(F 3 ) Pr(F 1,2,3,4 ) 0,90 0,70 0,8480 0,