3 PROBABILIDAD. = el conjunto de los cuatro objetos defectuosos y los. C = al menos uno defectuoso = B

Transcripción

1 ROL Tres caballos,, y, participan en una carrera que sólo puede ganar uno. La probabilidad de que gane es el doble de la de que gane, y la probabilidad de que gane es el doble de la de que gane. uáles son las respectivas probabilidades de ganar; esto es,, y? uál es la probabilidad de que gane ó? Sea p. Entonces p y p. El que gane o o son sucesos mutuamente excluyentes incompatibles y el que gane alguno de ellos es el suceso seguro. Entonces & & Ω 7 p p, 7 luego, y demás, &. 7 e un conjunto de objetos, de los cuales son defectuosos, escogemos dos al azar. alcular la probabilidad de los sucesos: ambos objetos son defectuosos, ambos son no defectuosos, y al menos uno es defectuoso. Sea U { d,..., d ; b,..., } el conjunto de los cuatro objetos defectuosos y los b ocho restantes buenos. Sea E el experimento aleatorio consistente en elegir al azar, y simultáneamente, dos objetos de U. El espacio muestral asociado al experiemento es: Ω U { x, y} x, y U, x y}, con # Ω 66 sí, Ω consta de 66 sucesos elementales equiprobables: los 66 subconjuntos binarios de U. Entonces, aplicando la regla de LLE: ambos defectuosos # 6 # # Ω 6 66 ambos no defectuosos # # # Ω 66 al menos uno defectuoso 9 ERROL 6

2 Equivalentemente, sea E el experimento aleatorio consistente en elegir al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos objetos de U. El espacio muestral es ahora: Ω Entonces: { d, d } { d, d, d, b, b, d, b, } º º º º º º º bº º º dº d º d º 7 6 { b º, bº } bº bº b º al menos uno defectuoso 9 uesto que el ejercicio no especifica de qué modo se eligen los dos objetos a azar, también podemos considerar el experimento aleatorio E consistente en elegir al azar, sucesivamente y con reemplazamiento, dos objetos de U. El espacio muestral es ahora el mismo de antes, pero las dos elecciones son independientes: Ω Entonces: { d, d } { d, d, d, b, b, d, b, } º º º º º º º bº º º dº d º dº dº d º { b º, bº } bº bº bº bº b º 9 9 al menos uno defectuoso 9 9 e un total de 00 estudiantes, 0 están matriculados en Matemáticas, 0 en Música y 0 lo están en Matemáticas y Música. Si se elige al azar un estudiante, cuál es la probabilidad de que esté matriculado en Matemáticas o en Música o en ambas? 0 Mat 00 0 Mús 00 0 Mat Mús 00 Mat Mús Mat Mús Mat Mús 6 6 ESTÍST J. Sánchez Mª. S. Sánchez

3 ERROL 6 Sean y sucesos de un espacio muestral tales que /, / y /. alcular,,,,, y. [ ] [ ] Tenemos tres cajas con la siguiente composición: aja : 0 bombillas de las que son defectuosas. aja : 6 bombillas de las que es defectuosa. aja : bombillas de las que son defectuosas. a Seleccionamos una caja al azar, y de ella escogemos una bombilla también al azar. uál es la probabilidad de que la bombilla sea defectuosa? b Si se elige una bombilla al azar y resulta ser defectuosa, cuál es la probabilidad de que provenga de la caja? a Teorema de la probabilidad total: b Teorema de YES: 60 0 i i i

4 6 En cierta Universidad, el % de los hombres y el % de las mujeres miden más de 0 cm. demás, el 60% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta de una estatura mayor de 0 cm, cuál es la probabilidad de que sea mujer? Sea X el suceso estatura > 0 cm, y X el suceso contrario estatura 0 cm. Entonces: M X M X X M X M H X H M X M lanca y lfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos. eterminar el espacio muestral asociado al experimento. alcular la probabilidad de que no escriban la misma vocal. Sea V {a, e, i, o, u} el conjunto de las cinco vocales. El espacio muestral puede ser Ω V V, con #Ω VR, sucesos elementales equiprobables. onsideremos el suceso los dos escriben la misma vocal {a,a,e,e,i,i,o,o,u,u}. El suceso pedido es el contrario de, Ω-, con # - 0. sí: # 0 0 # Ω El 70% de los alumnos de un nstituto son de achillerato y el resto de ESO. e los alumnos de achillerato, el 60% estudia más de horas al día, mientras que sólo el 0% de los de ESO estudia más de horas al día. a alcular la probabilidad de que un alumno de dicho nstituto, elegido al azar, estudie más de horas al día. b Sabiendo que un alumno de este nstituto, que ha sido elegido al azar, estudia más de horas al día, cuál es la probabilidad de que sea de achillerato? Sea X el suceso horas de estudio diarias > y X el suceso contrario horas. Entonces: 6 ESTÍST J. Sánchez Mª. S. Sánchez

5 a Teorema de la probabilidad total: X H X H ESO X ESO b Teorema de YES: H X H X H X H X H X H ESO X ESO 9 Un paciente con un conjunto de síntomas puede tener cualquiera de las tres enfermedades E, E ó E con probabilidades y 0 respectivamente. ara precisar el diagnóstico se somete al paciente a un análisis de sangre que da positivo designemos por este hecho en las personas que padecen E, E ó E con probabilidades y 0 respectivamente. a En qué porcentaje de la población de pacientes con tales síntomas el análisis da positivo? b Si a una persona con los síntomas se le realiza el análisis y da positivo, cuál es la enfermedad más probable? a Teorema de la probabilidad total: E E E E E E 0, , % b Teorema de YES: ERROL 6

6 E E E E E E E E E La enfermedad más probable es, por tanto, E. 0 La explotación de un yacimiento de petróleo en el Mar del Norte es encargada a una compañía francesa en un 0%, a una británica en un 0% y a otra holandesa en un 0%. La probabilidad de que la perforadora francesa encuentre petróleo es 0, 0 7 si es la compañía británica y 0 0 si se trata de la compañía holandesa. a Hallar la probabilidad de encontrar petróleo. b Si una perforadora ha encontrado petróleo, hallar la probabilidad de que sea de la compañía holandesa. esignemos por el suceso encontrar petróleo. a Teorema de la probabilidad total: b Teorema de YES: FR FR G G NL NL 0, NL NL NL ESTÍST J. Sánchez Mª. S. Sánchez

7 En un nstituto hay dos salas de visitas donde los tutores reciben a los padres de los alumnos. mbas salas están ocupadas simultáneamente el % de las ocasiones en que son requeridas, no estándolo ninguna en el 7% de las ocasiones. Si cuando un tutor va a atender a un padre una de las salas está ocupada, cuál es la probabilidad de que la otra también lo esté? onsideremos los sucesos sala ª ocupada y sala ª ocupada. ebemos calcular [ ] En la construcción de unos determinados edificios pueden aparecer anomalías debidas a dos causas que son independientes: : fallos de cimentación, con 0 0, y : mala calidad de los materiales, con 0 0. a alcular la probabilidad de que en un determinado edificio no aparezca ninguna anomalía. b alcular la probabilidad de que aparezcan fallos de cimentación y no de mala calidad de los materiales. c Un edificio puede presentar anomalías, con probabilidad, o no presentar ninguna anomalía, con probabilidad. En el primer caso, la probabilidad de que el edificio se desplome es del 0%, mientras que en el segundo es del %. c alcular la probabilidad de que el edificio se desplome. c Si el edificio se ha desplomado, cuál es la probabilidad de que se haya producido alguna de las anomalías? Tenemos que 0 y 0 y, como son independientes 00. Entonces, la probabilidad de que aparezca alguna anomalía es: 06. a La probabilidadde que no ocurra ninguna anomalía es, por tanto, 06 9 O bien, , ya que si y son independientes, también lo son sus contrarios. ERROL 67

8 b c Sea X el suceso el edificio se desploma. Según la información, X 0 y X X 0 c Entonces, por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el edificio se desplome es: X X X % c or el teorema de YES, X X X X ,7% 06 6 ESTÍST J. Sánchez Mª. S. Sánchez