Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Octubre 19 de 2016.

Transcripción

1 Dr. Francisco Javier Tapia Moreno Octubre 19 de 2016.

2 Introducción En esta ocasión veremos otros conceptos básicos de probabilidad tales como las reglas de la probabilidad, la probabilidad condicional y el teorema de Bayes. Estos conceptos junto con los anteriores, nos ayudan a desarrollar las habilidades básicas necesarias para determinar los valores de probabilidad en una variedad de circunstancias importantes.

3 Nuestra explicación anterior de intersecciones y uniones indica que nos interesa calcular las probabilidades de sucesos tales como A y B y A o B. Estos cálculos pueden hacerse con ayuda de las 3 reglas básicas de la probabilidad. La regla de la Suma se aplica para hallar la probabilidad A o B (es decir se SUMA). Esta regla afirma que: 1. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, habremos de sumar la probabilidad de suceso A a la probabilidad del suceso B. P(A B) = P A + P(B) 2. Si A y B NO son eventos mutuamente excluyentes, habremos de sumar la Probabilidad de suceso A a la probabilidad del suceso B y restar la probabilidad conjunta de los sucesos A y B. P A B = P A + P B P(A B)

4 Si A, B y C NO son eventos mutuamente excluyentes, debemos sumar la probabilidad de suceso A a la probabilidad del suceso B y a su vez sumársela a la probabilidad del suceso C, restar después la probabilidad conjunta de los sucesos A y B, A y C y de A y B y sumar la probabilidad conjunta de A, B y C. P A B C = P A + P B + P C P A B PA C) P(B C) + P(A B C) Ejemplo. De 274 personas encuestadas en una oficina se encontró que 81 leían el periódico El Imparcial (I), 62 leían Expreso (E), 80 leían Entorno (N), 20 leían El Imparcial y el Expreso, 15 leían El Imparcial y Entorno, 7 leían Expreso y Entorno y 80 no leían ninguno de estos tres periódicos. Determinar cuántas personas leen los tres periódicos. Respuesta. El número de encuestados que leen al menos un periódico de los tres es = 194. Así que: 194 = n(i E N). Resolviendo, n I E N = 13

5 Probabilidad condicional La probabilidad de un suceso suele verse afectada por el conocimiento previo de las circunstancias. Por ejemplo, si tú selecciona aleatoriamente a una persona de la población general, la probabilidad de obtener un hombre es de 0.5, pero si ya sabe que la persona a seleccionar cambia con frecuencia los canales de la televisión con un control remoto, la probabilidad que la persona seleccionada sea un hombre, dado que se sabe que la persona cambia con frecuencia los canales de TV con el control remoto, seguramente será mayor que 0.5. Veamos ahora la definición de probabilidad condicional.

6 La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que un evento A ya ocurrió se llama probabilidad condicional y se indica por P B A que generalmente se lee la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrió A. Esta probabilidad se define como: P B A = P(B A) P(A) con P(A) > 0 Por ejemplo, en el caso de los periódicos la probabilidad de que una persona seleccionada al azar, lea el imparcial sabiendo de antemano que lee Expreso es: P I E = P(I E) P(E) = = = =

7 La regla de la multiplicación para hallar la probabilidad conjunta A y B (es decir producto). Esta regla afirma que: 1. Si A y B son sucesos independientes, debemos multiplicar la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B. P A B = P A P(B) 2. Si A y B son sucesos dependientes debemos multiplicar la probabilidad del suceso A por la Probabilidad del suceso B siempre que A ya haya ocurrido. P A B = P A P( B A) Definición 1. Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Definición 2. Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad escambiada.

8 De P B A = P(B A) P(A) concluimos que P B A = P B A P A, y de P A B = P(A B) P(B) concluimos que P B A = P A B P(B) Igualando términos se tiene que P B A P(A) = P A B P(B) Y concluimos que: P A B = P B A P(A) P(B) Esta última relación es lo que se conoce como el teorema de Bayes. Thomas Bayes ( ), fue un reverendo británico, que dio con este teorema queriendo demostrar la existencia de Dios.

9 En una cierta planta de montaje, dos máquinas A y B ensamblan respectivamente, el 45% y 55% de los productos. Se sabe por estudios anteriores, que respectivamente el 2% y 2.5% de los productos ensamblados por cada máquina presenta defectos. Si se selecciona aleatoriamente un producto terminado y se encuentra defectuoso, Qué probabilidad existe de que haya sido ensamblado por la máquina B? Resolución. Definición de eventos. D = {artículo defectuoso}; A = {artículo ensamblado por la máquina A}; B = {artículo ensamblado por la máquina B} Datos del problema. P(A) = 0. 45; P(B) = 0. 55; P P D/B = Entonces, P B D = P D B P(B) P(D) D A = 0. 02; y. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es: P(D) = (0. 45) (0. 02) + (0. 55) (0. 025) = Así que, (0. 55) P B/D = =

10 Sea {A 1, A 2,..., A i,...,a n } un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B A i ). Entonces, la probabilidad P(A i B) viene dada por la expresión: