BASES DE LA PROBABILIDAD

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1 BASES DE LA PROBABILIDAD M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus UPIICSA Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 1 Introducción Introducción Introducción La probabilidad proporciona una descripción matemática de lo aleatorio. Pase a que en un fenómeno aleatorio interviene la incertidumbre de los resultados; dicho fenómeno frecuentemente sigue patrones reconocibles. Esto es, a la larga, un fenómeno aleatorio puede ser descrito matemáticamente. La teoría de probabilidad abarca el estudio y desarrollo de metodologías para describir las variaciones aleatorias en un sistema. Los ingenieros industriales lidian con la solución de problemas existentes en sistemas. Para el análisis de cualquier sistema es necesario describir dichos sistemas a través de modelos. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 2 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 3 Modelo Matemático Modelo Matemático Modelo Matemático Es una representación simbólica de un fenómeno observable, desarrollado con el fin de estudiarlo mejor. Pueden ser determinísticos ó probabiĺısticos. Modelos Determinísticos En los que se pueden manipular los factores que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados. Ley de Ohm I = E R Dejar caer un objeto desde una altura h 0. Después de t segundos, la altura será igual a h(t) = h 0 16t 2. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 4 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 5

2 Modelos Probabilísticos Modelos Probabiĺısticos Modelos Probabiĺısticos En los cuales hay incertidumbre en los factores involucrados. Qué cantidad de nieve caerá mañana en Canadá? IBM generará ganancias este año? Problema de cumpleaños. Asuma que todos los 365 días tienen la misma probabilidad de ser el cumpleaños de una persona (ignore Feb 29). Entonces... Si hay 23 personas en el salón, la probabilidad de que haya una coincidencia es de mas del 50%. Si hay 50 personas, la probabilidad es de alrededor del 97%! IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 6 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 7 Modelos Probabiĺısticos Poker Seleccione 5 cartas de una baraja. Cuál es la probabilidad de tener sacar dos pares? Modelos Probabiĺısticos Mercado de Valores Micos seleccionando acciones aleatoriamente pudieron rebasar el rendimiento de la mayoría de los analistas el año pasado. Hijos Una pareja tiene dos bebés y al menos uno es varón. Cuál es la probabilidad de que AMBOS sean hombres? P(HH) = 1/3 TV Participas en un concurso de televisión. Te dan a escoger tres puertas, en una hay un carro en las otras nada. Escoges la puerta uno y no hay nada, te proponen que des}10,000 por otra oportunidad de escoger. Qué harías? IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 8 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 9 Experimento Aleatorio Experimento Aleatorio Experimento Aleatorio Un concepto fundamental en la teoría de probabilidad es la existencia de un experimento aleatorio, ya sea tangible ó abstracto. Cuyo resultado es revelado solo al término del experimento, dado que este no se puede predecir. Entonces, la teoría de probabilidad estriba en generar los medios que proporcionen la probabilidad de cualquier resultado, ó en forma más general, de un conjunto de resultados. De esta manera, la teoría de probabilidad es una herramienta para explicar los fenómenos aleatorios en la naturaleza. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 10 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 11

3 Espacio Muestral Espacio Muestral Espacio Muestral El espacio muestral asociado a un experimento probabiĺıstico, es el conjunto exhaustivo de todos los posibles resultados de dicho experimento. Los elementos de este conjunto deben ser mutuamente excluyentes. Es denotado por la letra griega mayúscula Ω (omega) y en ocasiones por la letra S. Ejemplo: Si el experimentos probabiĺıstico consiste en lanzar un dado; entonces su espacio muestral es Ω = {1,2,3,4,5,6} IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 12 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 13 Otro espacio muestral para el experimento del dado puede ser Espacio Muestral Espacio Muestral Ω = {par,non} Este último espacio muestral Ω a diferencia del primero Ω tiene tan solo dos elementos, pero ambos describen todos los posibles resultados del experimento. Por ello, podemos afirmar que el espacio muestral de un experimento no tiene que ser único. Dependerá tanto de la naturaleza del experimento, como de las características que nos interese conocer de su resultado. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 14 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 15 Puntos Muestrales Puntos Muestrales Puntos Muestrales Cada resultado completo de un experimento aleatorio bajo las consideraciones establecidas es llamado también resultado elemental, evento simple ó punto muestral. Se denota con la letra griega minúscula ω (omega). Ejemplo: Del experimento de lanzar tres monedas Ω = {aaa,aas,asa,saa,ssa,sas,ass,sss} este Ω posee ocho puntos muestrales ω 1,ω 2,...,ω 8 ; pero si nos interesa el número de águilas que aparecen Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,ω 4 } = {3,2,1,0} IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 16 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 17

4 Un evento es un conjunto de posibles resultados, esto es, cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. Los eventos son denotados por letras mayúsculas A,B,... Para denotar que un punto muestral pertenece a un evento utilizamos ω A. Ejemplo: Si para el experimento de lanzar un dado, hay un evento A que es el evento de un número par ocurre entonces A = {2,4,6} IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 18 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 19 Una forma común de definir un evento es enlistar los resultados que cubre, por ejemplo A = { 3,+3} y se denomina evento por extensión. Otra forma, es enunciar las propiedades de los elementos contenidos en un evento, por ejemplo A = {x x 2 = 9} y se le denomina evento por compresión. Cuando ningún resultado sucede; esto es un evento en si, al cual llamamos evento vacío, no contiene ningún punto muestral y es denotado por el símbolo. Además, el espacio muestral Ω en si mismo es también un evento, representa el evento de que cualquier resultado suceda. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 20 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 21 Familia de F Familia de F Familia de F La σ-algebra (sigma álgebra) en Ω es llamada la familia de eventos F, esto significa que F es la colección de todos los subconjuntos del espacio muestral Ω, y debe cumplir lo siguiente 1. el espacio muestral Ω, así como el evento vacío pertenecen a F; 2. si un evento A pertenece a F entonces, los puntos muestrales que no pertenecen al evento A, si pertenecen a F; y 3. si A 1,A 2,...,A n son una secuencia de eventos que pertenecen a F, entonces la unión de estos eventos también pertenece a F. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 22 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 23

5 Ejemplo de Familia de Ejemplo de Familia de Ejemplo de Familia de Si un experimento consiste en lanzar una moneda dos veces. El par (Ω, F) está dado por F = Ω = {ss,sa,aa,as} {ss,sa,aa}, {ss,sa,as}, {ss, aa, as}, {sa, aa,as}, {ss,sa}, {ss,as}, {ss,aa}, {sa,aa}, {sa, as}, {aa,as}, {ss}, {sa}, {aa}, {as},ω, IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 24 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 25 Álgebra de Álgebra de Álgebra de Ya que un evento es un conjunto de resultados, nos apoyaremos en la Teoría de Conjuntos para describir el comportamiento de los eventos. De esta manera, el concepto de conjunto es usado como evento y el de conjunto universal es análogo al de espacio muestral. Existen conjuntos comunes que recordaremos: R : el conjunto de números reales, ó lo que es lo mismo (, ). Z : el conjunto de todos los números enteros. N : el conjunto de los números enteros positivos. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 26 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 27 Cardinalidad de un Evento Cardinalidad de un Evento Cardinalidad de un Evento La cardinalidad de un evento es el número puntos muestrales que posee dicho evento. La cardinalidad del evento A es denotada por A. De acuerdo a su cardinalidad los eventos pueden ser clasificados en finitos e infinitos. A su vez, dentro de los eventos infinitos podemos encontrar eventos contables y eventos incontables. Si A = {6,7,8,10}, entonces A es finito dado que A = 4 <. Si B = {2,4,6,...}, entonces B es contablemente infinito, ya que cada uno de sus elementos puede ser numerado. Si C = {ω R ω (1,2]}, entonces C es incontablemente infinito, sus elementos no pueden ser numerados y C =. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 28 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 29

6 Subevento Subevento Subevento Para dos eventos A y B en Ω, si cada punto muestral que pertenece al evento A también pertenece al evento B, entonces podemos decir que A es un subevento de B y es denotado por A B Ω B A Nota: A; A Ω; A A IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 30 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 31 Complemento Complemento Complemento El complemento de A con respecto a Ω es es el conjunto de todos los puntos muestrales del espacio muestral, que no pertenecen al evento A. Se denota como Ā, ó también (A)c. Ω Ā = {ω ω Ω ω A} A B IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 32 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 33 Unión Unión Unión La unión de los eventos A y B está formada por todos los puntos muestrales que pertenecen ya sea al evento A ó al evento B ó a ambos eventos. Esta operación es denotada con. A B = {ω ω A ω B} Ω A B IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 34 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 35

7 Intersección Intersección Intersección La intersección de los eventos A y B es el evento formado por todos puntos muestrales que pertenecen al evento A y al mismo tiempo pertenecen al evento B. A B = {ω ω A ω B} Ω A B Si A B =, entonces A y B son eventos mutuamente excluyentes. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 36 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 37 Resta Resta Resta La resta de el evento A menos el evento B, son todos los puntos que pertenecen al evento A y no al B Ω A B = A B A B IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 38 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 39 Leyes del Álgebra de Leyes del Álgebra de Leyes del Álgebra de Complemento A A = Ω; A A = ; A = A Ω = ; = Ω DeMorgan A B = A B; A B = A B Conmutativas A B = B A; A B = B A IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 40 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 41

8 Leyes del Álgebra de Leyes del Álgebra de Leyes del Álgebra de Asociativas A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Distributivas A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 42 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 43 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Para el experimento de lanzar tres monedas; describa Ω y los eventos A,B,C,Ā,A B y A B. A : exactamente un a fue observada B : ninguna a fue observada C : la primera moneda fue s IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 44 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 45 Corrientes de la Probabilidad Corrientes de la Probabilidad Corrientes de la Probabilidad No tenemos una forma única de asignar probabilidades a los diferentes eventos. Lo que tenemos, son diversas corrientes de probabilidad, las cuales se pueden aplicar para asignar un valor numérico a la posibilidad de la ocurrencia de algún suceso probabiĺıstico. 1. Frecuentista. 2. Clásica (a priori). 3. Subjetiva. 4. Bayesiana (a posteriori). IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 46 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 47

9 Para cada evento A del espacio muestral Ω, asociamos un número P(A), llamado probabilidad de A, satisfaciendo los siguientes axiomas: Axioma 1 0 P(A) 1 Axioma 2 P(Ω) = 1 Axioma 3 A B = P(A B) = P(A) + P(B) Axioma 4 Suponga que A 1,A 2,A 3,... es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes (A i A j = i j). Entonces: ( ) P A i = P(A i ) i=1 i=1 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 48 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 49 Ejemplo: Lanzar repetidamente una moneda hasta que la primera águila aparezca. Ω = {a,sa,ssa,sssa,...} Defina los eventos mutuamente excluyentes: A 1 = {a}, A 2 = {sa}, A 3 = {ssa},... Entonces: ( ) 1 = P(Ω) = P A i = P(A i ) i=1 i=1 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 50 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 51 Teorema 1 Para el evento vacío P( ) = 0 Dado que A = entonces A y son mutuamente excluyentes. El axioma 3 implica: P(A) = P(A ) = P(A) + P( ) Teorema 2 Para el complemento de un evento P(Ā) = 1 P(A) Para demostrarlo: 1 = P(Ω) = P(A Ā) = P(A) + P(Ā) IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 52 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 53

10 Teorema 3 Para cualquier evento A y evento B P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Note que B = (A B) (Ā B) donde A B y Ā B son mutuamente excluyentes. Entonces: P(B) = P(A B) + P(Ā B) Además: P(A B) = P(A) + P(Ā B) IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 54 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 55 Ejemplo: suponga que: 40% de probabilidad de clima más frío. 10% probabilidad de clima más frío y lluvia. 80% probabilidad de clima más frío ó lluvia. IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 56 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 57 Teorema 4 Para tres eventos A, B y C. P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Principio de inclusión exclusión. Teorema 5 A B P(A) P(B) Teorema 6 Para dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral: P(A B) = P(A) P(A B) IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 58 IPN c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus 59