PROBABILIDAD. 4º E.S.O. Académicas { } { } EXPERIMENTOS ALEATORIOS OPERACIONES CON SUCESOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Transcripción

1 EXPEIMENTOS ALEATOIOS POAILIDAD 4º E.S.O. Académicas Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar y no se puede predecir con anterioridad. Lanzar un dado y mirar la cara superior Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa conω. Ω {,, 3, 4, 5, 6} Se llama suceso a cualquier subconjunto deω. A {salga par} {, 4, 6} {salga primo} {,, 3, 5} EXPEIMENTOS ALEATOIOS Se llama suceso elemental al formado por un solo resultado. Se llama suceso compuesto al formado por más de un resultado. Se llama suceso seguro al conjunto deω. Se llama suceso imposible al conjunto vacío Ø. Se llama suceso contrario al que sucede cuando no se cumple A. A Ejemplo: Se lanza un dado: Sucesos: {, 3}, {, 5, 6}, {, 4, 5, 6}, Sucesos elementales: {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6} Suceso seguro: {,, 3, 4, 5, 6} Suceso imposible:, {salga negativo}, {salga 5} OPEACIONES CON SUCESOS Unión de sucesos: A {, 5, 6}, {, 4, 5, 6} Intersección de sucesos: A {, 5, 6}, {, 4, 5, 6} Sucesos incompatibles:,,4,5,6 5,6 A {,, 6}, {3, 5}

2 OPEACIONES CON SUCESOS Suceso complementario: A {,, 5, 6} A ' o Dos propiedades muy importantes (Leyes de Morgan): A A { 3, 4} OPEACIONES CON SUCESOS Ejemplo: Ω {a, b, c, d, e, f, g, h, i} A {b, c, d, f, g, h} {a, b, c, d} C{a, b} Hallar: a, b,c,d,f,g,h b,c,d e,i a,e,f,g,h,i a,e,f,g,h,i e,i C a, b,c,d C a, b C SiΩ{x, x,, x k } y LEY DE LAPLACE [ ] [ ] [ ] P x P x... P x k entonces: número de elementos de S número de "casos favorables" a S P[ S] n número de "casos posibles" Ejemplo: En una baraja española de 40 cartas se extrae una carta. Hallar: a) Probabilidad de que salga un as. b) Probabilidad de que la carta sea de oros. 4 a) P { as} 0, b) P { oros} 0, POPIEDADES DE LA POAILIDAD ) Para cualquier suceso S, [ ] P Ω ) P[ ] 0 [ ] 3) P A P[ A] 0 P S 4) P[ ] P[ A] + P[ ] P[ ]

3 Ejemplo: En una bolsa hay bolas rojas, 5 bolas negras, 4 bolas amarillas y verdes, todas del mismo tamaño. Una persona extrae una bola al azar. Calcula las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que la bola sea roja. b) Probabilidad de que la bola sea negra. c) Probabilidad de que la bola sea amarilla. d) Probabilidad de que la bola sea verde. a) P { bola roja} 38 5 b) P { bola negra} 38 LEY DE LAPLACE 4 c) P { bola amarilla} d) P { bola verde} 38 9 LEY DE LAPLACE. TALAS DE CONTINGENCIA. Ejemplo: En unos juegos deportivos participan 5 chicos y 5 chicas de una ciudad. En las competiciones de ciclismo se han inscrito 5 chicos y en las de atletismo, 5. Tanto en las de baloncesto como en las de atletismo se han registrado 5 chicas. Si se elige un dorsal al azar, cuál es la probabilidad de que pertenezca a una ciclista?, y a un jugador de baloncesto? C A 5 P { ser una chica ciclista} 0' P { ser un jug. baloncesto} 0'5 500 Ejemplo: En una baraja de cartas española de 40 cartas se extrae una carta. Hallar: a) Probabilidad de que salga de bastos. b) Probabilidad de que sea una figura. c) Probabilidad de que no sea figura o sea de oros. 0 a) P[ ] 0, b) P[ F] 0, c) P F O P F P[ O] P F O + + 0, Ejemplo: En una baraja de cartas española de 40 cartas se extraen dos cartas. Hallar: a) Probabilidad de que sean las dos de bastos. b) Probabilidad de que una sea de oros y la otra de copas. c) Probabilidad de que no haya ninguna figura. Casos posibles : V40, a) V0, P[ dos de bastos] ª oros ª copas 00 b) P[ una sea de oros y otra de copas] 0, ª copas ª oros 56 c) V8, 8 56 P[ no haya figura] 0,

4 Ejemplo: En una urna hay bolas rojas, 8 bolas verdes y 0 bolas negras. Se extraen dos bolas de la urna. Hallar: a) Probabilidad de que sean las dos rojas. b) Probabilidad de que una sea una roja y otra verde. Casos posibles : V5, a) V, 6 4 P[ dos rojas] 0, ª roja ª verde b) P[ una sea roja y otra verde] 0, ª verde ª roja Ejemplo: En una urna hay bolas rojas, 8 bolas verdes y 0 bolas negras. Se extraen dos bolas de la urna. Hallar: c) Probabilidad de que sean de distinto color. d) Probabilidad de que haya una verde. 6 4 ª roja ª roja 88 c) 8 56 P[ sean de distinto color] 0,68 ª verde ª verde ª negra ª negra 8 ª verde ª no verde 38 d) 8 P[ haya una verde] 0,54 ª no verde ª verde 8 56 ª verde ª verde Casos posibles : V5, Ejemplo: En una urna hay 5 bolas negras, 8 bolas azules y rojas. Se extrae una bola de la urna. a) Probabilidad de que salga roja. b) Probabilidad de que sea azul o negra. c) Probabilidad de que no sea azul. d) Probabilidad de que no sea roja o sea negra. P[ N] 5 P[ A] 8 P[ ] a) P[ ] b) P[ N] P[ A] + P[ N] P[ N] c) P 8 A P [ A ] d) P N P P[ N] P N Se lanzan dos dados y se miran las caras superiores. Hallar la probabilidad de: a) Halla dos números pares b) Halla uno impar y otro par c) Sumen. d) Su producto sea menor que 8. Casos posibles : V 6, 6 [ ] 9 a) V 3, 3 9 P dos pares 0, º par º impar 8 b) P[ uno sea par y otro impar] 0, º impar º par

5 Se lanzan dos dados y se miran las caras superiores. Hallar la probabilidad de: a) Halla dos números pares b) Halla uno impar y otro par c) Sumen. d) Su producto sea menor que 8. Se lanzan dos dados y se miran las caras superiores. Hallar la probabilidad de: a) Halla dos números pares b) Halla uno impar y otro par c) Sumen. d) Su producto sea menor que Casos posibles : Casos posibles : c) P[ sumen ] 0, d) P[ Producto menor que 8] 0, EXPEIMENTOS COMPUESTOS Se realiza un experimento que consiste en la extracción de una bola de una urna, donde hay 5 bolas numeradas del al 5, y el lanzamiento de una moneda. Halla la probabilidad de extraer la bola número 4 y obtener cara en la moneda. Forma : Ω {C,X,C,X,3C,3X,4C,4X,5C,5X} P( 4C) 0' 0 Forma : Casos posibles 5 0 P( 4C) 0' 0 Forma 3: P( 4) 0' 5 P 4 C 0' 0'5 0' ( ) ( ) P C 0'5 EXPEIMENTOS COMPUESTOS Un experimento formado por varios experimentos simples se llama experimento compuesto. Se arrojan cinco dados cúbicos con las caras numeradas del al 6. Cuál es la probabilidad de obtener en todos ellos un número par? A i {salga par al lanzar el dado i} ( ) P A i A {salga par en todos los dados} A3 A4 A5 P( A) P( A3 A4 A5 ) 3 5

6 POAILIDAD CONDICIONADA Dos sucesos son independientes si la realización de uno no condiciona la del otro. Si los sucesos A y son independientes, se verifica: ( ) ( ) ( ) P A P A P Dos sucesos son dependientes si la realización de uno condiciona la del otro. Si los sucesos A y son dependientes se define la probabilidad de condicionada a A, y se denota por P(/A), como la probabilidad de que se realice sabiendo que ya se ha realizado A. Se verifica: ( ) ( ) ( ) P A P A P / A ( ) P / A P A ( ) P( A) POAILIDAD CONDICIONADA En una urna hay bolas rojas y 8 negras. Se extrae una bola y después otra. Halla la probabilidad de que ambas sean rojas. Opción : Sin devolución. P ( ) P( ) P ( / ) 0' POAILIDAD CONDICIONADA En una urna hay bolas rojas y 8 negras. Se extrae una bola y después otra. Halla la probabilidad de que ambas sean rojas. Opción : Con devolución. POAILIDAD CONDICIONADA De una baraja española se extraen dos cartas al azar. Halla la probabilidad de que las dos cartas sean reyes en los siguientes casos a) Con devolución. b) Sin devolución. 4 4 a) P( ) P( ) P( ) 0' P ( ) P( ) P( ) 0' b) P ( ) P( ) P ( / ) 0'

7 POAILIDAD TOTAL En una estantería hay desordenados 8 libros de historia y 4 de geografía. Con los ojos cerrados se escogen dos libros. Cuál es la probabilidad de que los dos libros sean de la misma materia? 8 3 Historia Historia Geografía ( H ) P H Geografía Historia Geografía ( G ) P G P ( Dos libros misma materia) + 0'