TEMA 3: Cálculo de Probabilidades

Transcripción

1 TEMA 3: Cálculo de Probabilidades Objetivo de la Probabilidad: Establecer y desarrollar modelos matemáticos para tratar situaciones que se desarrollan en un ambiente de incertidumbre. 1 Experimentos aleatorios Se define un Fenómeno como un conjunto de hechos cuya conjunción, en distintas situaciones, puede da lugar a distintintas manifestaciones. La realización bajo distintas condiciones del fenómeno que pueden dar lugar a distintos resultados es lo que conocemos como Experimento y dependiendo de que dichos resultados pueden o no preverse se distingue entre: Experimentos determinísticos: aquellos que dan lugar al mismo resultado si se realizan bajo idénticas condiciones iniciales. Experimentos aleatorios: los que aún bajo las mismas condiciones pueden dar lugar a distintos resultados. De manera formal se define Experimento aleatorio como aquel que satisface: Todos sus posibles resultados son conocidos de antemano. Puede repetirse sucesivamente en las msimas condiciones. Realizado bajo las mismas condicicones puede dar lugar a distintos resultados. No es posible predecir su resultado antes de cualquier realización. Este tipo de experimentos constituyen el objetivo básico del Cálculo de Probabilidades. 1.1 Suceso elemental. Espacio muestral Suceso elemental: Cada posible resultado que puede obtenerse en la realización de un experimeno aleatorio, que no puede descomponerse en otros más simples. También se conoce como punto muestral o resultado elemental. Espacio muestral: El espacio formado por todos los sucesos elementales. notar por Ω Se suele Tipos de espacios muestrales: Atendiendo a la naturaleza de sus elementos. Espacios cualitativos Espacios cuantitativos Atendiendo a su cardinal. 1

2 Espacios discretos o numerables Espacios continuos o no numerables En ocasiones en la realización de cualquier experimento aleatorio, el interés está centrado en observar una característica o propiedad más que un suceso elemental concreto. Entonces se define: Suceso aleatorio es cualquier característica, propiedad o proposición lógica formulada en relación al resultado de un experimento aleatorio, cuya ocurrencia o no puede ser observada tras la realización del experimento. Nota: En orden a describir sucesos de intéres utilizamos la Teoría de Conjuntos. Observar que dado el experimento aleatorio con espacio muestral Ω, cada suceso aleatorio no es más que el conjunto de sucesos elementales cuya ocurrencia implica la verificación de la propiedad a estudiar. Operaciones elementales con sucesos Unión de sucesos A B = {x Ω; x A o x B}. Es claro que si A B A B = B. Intersección de sucesos A B = {x Ω; x A y x B}. Si A B = ϕ y se dice que estos sucesos son mutuamente excluyentes o incompatibles. Complementario del suceso A se nota por A c o A y está formado por todos los elementos de Ω que no están en A. Notar que 1 A A = Ω 2 A A = ϕ 3 Ω = ϕ 4 Si B A = A B 5 Si B A = B A Leyes de Morgan A B = A B A B = A B 2

3 1.2 Concepto de Probabilidad Definición: Sea Ω y un conjunto arbitrario y A P(Ω) una clase no vacía de subconjuntos de Ω. La clase A tiene estructura de álgebra si: 1.- A A = A A 2.- A, B A = A B A Si A satisface ambas propiedades, también se verifican: 1.- Ω A y ϕ A 2.- A, B A = A B A 3.- A, B A = A B A 4.- A 1,..., A n A = n i=1a i A y n i=1a i A En el caso en que para el experimento aleatorio considerado el espacio muestral no es finito, la clase de sucesos de interés puede no ser finita y entonces la clase de sucesos A con estructura de álgebra no es suficiente. Definición: Sea Ω y un conjunto arbitrario y A P(Ω) una clase no vacía de subconjuntos de Ω. La clase A tiene estructura de bf σ-álgebra si: 1.- A A = A A 2.- {A i } i N, A i A = i=1a i A y de ellas se deucen: 1.- A es un álgebra = Ω A y ϕ A 2.- {A i } i N A = i=1a i A Definición axiomática de Kolmogorov: Una función P : A R es una función de probabilidad si verifica: 1.- P (A) 0, A A 2.- P (Ω) = {A i } i N A y A i A j = ϕ, i j = P ( i=1a i ) = Ω = Espacio muestral P (A i ) i=1 A = σ álgebra de sucesos P = Función de probabilidad sobre (Ω, A) (Ω, A, P ) = Espacio de Probabilidad asociado al experimento aleatorio. De esta definición deducimos que la probabilidad de un suceso es un valor comprendido entre cero y uno, además de las siguientes propiedades. 3

4 Propiedades básicas de la probabilidad 1.- A A = 0 P (A) A, B A y A B = P (A) P (B) 3.- A A = P (A) = 1 P (A) 4.- A, B A = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5.- A, B A = P (A B) = P (A) P (A B) 2 Espacio muestral finito. Regla de Laplace(1812) Sea un experimento aleatorio con las siguientes característias: Espacio muestral finito, Ω = {a 1,..., a n } Todos los sucesos elementales son igualmente factibles de aparecer en el experimento (sucesos equiprobables). En esta situación, si A es un suceso aleatorio la proabilidad de A es P (A) = número de resultados elementales favorables número de casos posibles del experimento 3 Probabilidad Condicionada. Definición Sea (Ω, A, P ) espacio de proababilidad y A A suceso no nulo (P (A) > 0). Dado cualquier suceso B A, se define la probabilidad condicionada de B a A como: P (B/A) = P (A B) P (A) Para un suceso A fijado, la proabbilidad condicionada a A satisface las propiedades de una función de probabilidad. En particular: P (B/A) P (B/A) = 1 P (B/A) 3.- P (B C/A) = P (B/A) + P (C/A) P (B C/A) 4

5 3.1 Teoremas básicos de la probabilidad condicionada Teorema de la proabilidad compuesta: regla de multiplicaicón Sea (Ω, A, P ) espacio de proababilidad y A 1,..., A n A sucesos tales que P ( n 1 i=1 A i) > 0. Entonces, para cualquier otro suceso A n A se tiene P (A 1,..., A n ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1 A 2 ) P (A n / n 1 i=1 A i) Teorema de la proabilidad total Sea (Ω, A, P ) espacio de proababilidad y {A n } A partición del espacio muestral tal que P (A n ) > 0, n N. Entonces, para cualquier otro suceso B A se tiene Teorema de Bayes P (B) = P (B/A n )P (A n ) n=1 Sea (Ω, A, P ) espacio de proababilidad y {A n } n N A partición del espacio muestral tal que P (A n ) > 0, n N. Entonces, para cualquier otro suceso B A se tiene P (A i /B) = P (B/A i)p (A i ), i N P (B/A n )P (A n ) n=1 4 Independencia de sucesos Definición Sea (Ω, A, P ) espacio de proababilidad y A A suceso no nulo (P (A) > 0). Cualquier otro suceso B A es independiente de A si: P (B/A) = P (B) y teniendo en cuenta la definición de probabilidad condiconada Propiedades P (A B) = P (A)P (B) A y B son independientes si y solo si P (A B) = P (A)P (B) i) Si A es el suceso seguro y B un suceso arbitrario, A y B son independientes. ii) Si A y B son independientes, entonces A y B son independientes. iii) Si A y B son independientes, entonces A y B son independientes. 5