Capítulo 5: Probabilidad e inferencia

Transcripción

1 Capítulo 5: Probabilidad e inferencia estadística (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia

2 Contenidos Principios de la probabilidad Conceptos básicos Definición de probabilidad Propiedades de la probabilidad Probabilidad condicionada Números combinatorios Variables aleatorias Variables aleatorias continuas La función de densidad La función de distribución Media y varianza La distribución normal

3 Principios de la probabilidad Conceptos básicos Conceptos básicos de la probabilidad Experimento aleatorio: es aquel experimento para el cual, partiendo de las mismas condiciones iniciales, no podemos predecir cuál va a ser su resultado. Suceso (A, B,...): cada resultado de un experimento aleatorio. Espacio muestral (Ω): unión de todos los sucesos.

4 Principios de la probabilidad Definición de probabilidad Cálculo de Probabilidades Definición de probabilidad Si un experimento aleatorio da lugar a un número finito de sucesos, todos ellos igualmente posibles (es decir, no se conoce razón alguna que favorezca a uno u otro), entonces la probabilidad de un suceso A es: P(A) = (Regla de Laplace) no de casos favorables al suceso A n o de casos posibles del experimento. Interpretación intuitiva de la probabilidad (ley del azar): Si realizamos un experimento aleatorio un número muy grande de veces, la frecuencia relativa de un suceso A (es decir, el número de veces que ocurre dicho suceso dividido por el total de realizaciones) tiende a estabilizarse en torno a un número fijo llamado probabilidad del suceso. Se representa por P(A).

5 Principios de la probabilidad Propiedades de la probabilidad Propiedades básicas de la probabilidad I Propiedad fundamental de la probabilidad: 0 P(A) 1, para todo suceso A. Probabilidad del espacio muestral (o suceso seguro): P(Ω) = 1. Probabilidad del suceso complementario: P(A c ) = 1 P(A), donde A c denota el complementario (o contrario) del suceso A. Probabilidad del conjunto vacío (suceso imposible): P( ) = 0.

6 Principios de la probabilidad Propiedades de la probabilidad Propiedades básicas de la probabilidad II Probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles: Si A y B son dos sucesos incompatibles, entonces P(A B) = P(A) + P(B). Probabilidad de la unión de n sucesos incompatibles: Si varios sucesos son incompatibles dos a dos, entonces P(A 1... A n ) = P(A 1 ) P(A n ). Probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Probabilidad de la unión de tres sucesos cualesquiera: P(A B C) =P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C).

7 Principios de la probabilidad Probabilidad condicionada Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos La probabilidad de un suceso B condicionada al suceso A es P(B/A) = Los sucesos A y B son independientes si P(A B), si P(A) 0. P(A) P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A). Equivalentemente, A y B son independientes si P(A B) = P(A) P(B). El teorema de Bayes afirma que P(A) P(B/A) = P(A/B) P(B).

8 Principios de la probabilidad Números combinatorios Números combinatorios Si tenemos un conjunto de n objetos diferentes, de cuántas formas podemos ordenar los elementos, sin repetirlos? n! = n (n 1) (n 2) = permutación (con el convenio 0! = 1). Si tenemos un conjunto de n objetos diferentes y queremos escoger k de ellos, (sin importar el orden de elección), cuántas formas posibles hay de efectuar la elección? ( ) n k = n! = coeficiente binomial. k!(n k)!

9 Variables aleatorias Conceptos básicos de una variable aleatoria Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada suceso elemental de un experimento aleatorio. Cualquier variable estadística cuantitativa estudiada en el capítulo anterior podría considerarse una variable aleatoria (con la condición de que esté observada en todos los individuos de una población). Una variable aleatoria puede ser: Variable aleatoria discreta: sólo puede tomar valores numéricos aislados (fijados dos consecutivos, no puede existir ninguno intermedio). Ej.: n o de hijos, n o de pacientes, etc. Variable aleatoria continua: puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo, de modo que entre cualesquiera dos de ellos siempre existe otro posible valor. Ej.: altura, peso, etc.

10 Variables aleatorias continuas La función de densidad Función de densidad de una variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua X queda totalmente identificada si conocemos su función de densidad f (x), que debe verificar: 1 f (x) 0 para todo x. 2 El área total bajo la curva y = f (x) vale 1: + f (x) dx = 1.

11 Variables aleatorias continuas La función de distribución Función de distribución de una variable aleatoria continua La función de distribución de una variable aleatoria X se representa por F, y se define como F (t) = P(X t) para todo t. La relación entre la función de distribución F (x) y f (x) es F (x) = x f (t) dt, es decir, F (x) = f (x).

12 Variables aleatorias continuas La función de distribución Función de distribución de una variable aleatoria continua La probabilidad de que la variable aleatoria X esté comprendida entre a y b, P(a X b), viene determinada por el área bajo la curva y = f (x) entre x = a y x = b: P(a X b) = b a f (x) dx = F (b) F (a).

13 Variables aleatorias continuas Media y varianza Media y varianza de una variable continua La media y la varianza de una variable aleatoria continua se determinan mediante una integral impropia. La media de una variable aleatoria continua X viene dada por µ= + x f (x) dx. La varianza de una variable aleatoria continua X viene dada por σ 2 = + x 2 f (x) dx µ 2. La desviación típica de una variable aleatoria X viene dada por σ= σ 2.

14 Variables aleatorias continuas La distribución normal La distribución normal Una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal de parámetros µ y σ si su función de densidad es: ( f (x) = 1 σ 2π exp 1 ( ) ) 2 x µ, 2 σ donde µ, σ R con σ > 0. La variable aleatoria normal de parámetros µ y σ se representará por N (µ, σ). La gráfica de la función f (x) se llama la campana de Gauss (de parámetros µ y σ).

15 Variables aleatorias continuas La distribución normal Propiedades de la distribución normal La distribución normal cumple las siguientes propiedades: 1 La media µ ( N (µ, σ) ) = µ. 2 La desviación típica σ ( N (µ, σ) ) = σ. 3 La curva que representa a la función de densidad de la distribución N (µ, σ) es simétrica respecto de la recta vertical x = µ. 4 La variable aleatoria normal N (0, 1) de parámetros 0 y 1 se llama variable aleatoria normal estándar, y sus valores están tabulados. 5 Estandarización de la variable X : Si X = N (µ, σ), para poder utilizar la tabla de la normal estándar se transforma X en otra variable Z = N (0, 1): Z = X µ. σ

16 Variables aleatorias continuas La distribución normal.