UNIDAD 6: PROBABILIDAD

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1 UNIDAD 6: PROBABILIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL SUCESOS ALEATORIOS. OPERACIONES PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE PROBABILIDAD CONDICIONADA. PROBABILIDAD COMPUESTA DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS PROBABILIDAD TOTAL PROBABILIDAD A POSTERIORI. TEOREMA DE BAYES ACTIVIDADES SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES INTRODUCCIÓN. La Probabilidad es una de las ramas de la Matemátia más importantes y útiles en la atualidad. Esta disiplina matemátia es relativamente joven en uanto a su formalizaión aunque tiene sus raíes en la antigüedad. Comenzó a ser estudiada asoiada a los juegos de azar. Hoy en día, es una de las ramas más profundas y on más apliaiones en otras disiplinas del saber. Sus orígenes más rudimentarios son muy antiguos y se remontan a las ivilizaiones de Sumeria y Asiria. Es en el renaimiento uando se omienza a formalizar al ponerse de moda los juegos de azar. Los primeros preursores de la formalizaión matemátia de la Probabilidad son Tartaglia, Galileo o Cardano, entre otros. Ya en los siglos XVII y XVIII, figuras omo Fermat, Pasal, J. Bernouilli o Laplae sentaron las bases para su definitiva formalizaión a finales del siglo XIX on los trabajos de los matemátios de la esuela rusa omo Chebyhev o Kolmogorov. Lo que omenzó estudiando asi exlusivamente los juegos de azar, se ha onvertido en la atualidad en una ompleja disiplina que ha desenadenado otras también fundamentales omo la Inferenia Estadístia, desarrollada en sus iniios durante el siglo XX por Matemátios omo Galton o Pearson. 2.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. Definiión 1: Un experimento se llama determinista si se onoe su resultado de antemano y se llama aleatorio si no se onoe el resultado antes de realizarlo aunque se realie en las mismas ondiiones. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 1

2 Ejemplo 1: Veamos algunos ejemplos: a) Si se deja aer un objeto desde una altura, se puede saber de antemano que aerá al suelo, por ello es determinista. b) Si se lanza una moneda al aire, no sabemos si saldrá ara o ruz, por eso es un experimento aleatorio. Como es evidente, durante esta unidad, úniamente abordaremos el estudio de los experimentos aleatorios, ya que no tienen ningún interés matemátio los deterministas. Definiión 2: Llamamos Espaio muestral al onjunto de todos los resultados posibles que se pueden dar en un experimento aleatorio. Normalmente, lo designaremos on la letra E. Ejemplo 2: Veamos los espaios muestrales asoiados a algunos experimentos aleatorios: a) Lanzar una moneda y ver el resultado. E = { C, X}. b) Esoger una persona de la lase al azar y ver de qué sexo es. E { H, M} ) Lanzar un dado y ver el resultado. E = { 1,2,3,4,5,6}. d) Lanzar dos monedas y ver el resultado. E = { CC, CX, XC, XX} =. Nota 1: Obsérvese que los elementos del último espaio muestral CX y XC son dos suesos distintos, ya que aunque el resultado final sea el mismo, no ourre lo mismo si sale ara y después ruz que si sale ruz y después ara. Son dos elementos distintos. 3.- SUCESOS ALEATORIOS. OPERACIONES. Definiión 3: Dado un espaio muestral E, asoiado a un experimento aleatorio, llamamos sueso aleatorio a ualquier subonjunto del espaio muestral E. En partiular, llamamos: a) Sueso elemental, a todo sueso unitario, es deir, formado por un únio elemento. b) Sueso ompuesto, a todo sueso formado por dos o más suesos elementales. ) Sueso imposible, al que no suede nuna. Se designa por el símbolo de onjunto vaío:. d) Sueso seguro, al que ourre siempre. Como es evidente, siempre oinide on el espaio muestral y se designa por E. Ejemplo 3: Veamos todos los suesos del ejemplo lanzar una moneda y ver el E = C, X. Todos los suesos resultado, uyo espaio muestral ya hemos visto que es: { } son:, { C}, { X}, { C, X}. Nota 2: Es fáil ver que si un espaio muestral tiene n suesos elementales, en total hay 2 n suesos aleatorios. Ejemplo 4: Veamos algunos suesos del experimento lanzar un dado y ver el resultado, E = 1,2,3,4,5,6. uyo espaio muestral, omo hemos visto, es: { } Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 2

3 a) Un ejemplo de sueso elemental es saar un 3, que es { 3} A =. b) Un ejemplo de sueso ompuesto es saar impar, que es B = {1,3,5. ) Un ejemplo de sueso imposible es saar un 7, que es C =. d) Un ejemplo de sueso seguro es saar menos de un 8, que es E =. Definiión 4: (Operaiones on suesos) Sean dos suesos A y B de un espaio muestral E. Llamamos: } { 1,2,3,4,5,6} a) Unión de A y B al sueso A B formado por todos los elementos de A y los de B. b) Interseión de A y B al sueso A B formado por todos los elementos que perteneen simultáneamente a A y a B. ) Diferenia de A menos B al sueso A B formado por todos los elementos de A que no están en B. d) Complementario o ontrario de A al sueso A (o bien A ) formado por todos los elementos del espaio muestral que no perteneen a A. Es evidente que A = E A. Ejemplo 5: Consideremos el sueso lanzar un dado y ver el resultado, uyo espaio E = 1,2,3,4,5,6 y los suesos: saar impar y saar menos de un 5, que muestral es { } son, respetivamente: A = {1,3,5 y B = 1,2,3,4. a) A B = { 1,2,3,4,5} b) A B = Proposiión 1: (Propiedades de las operaiones on suesos). Consideremos tres suesos A, B y C de un espaio muestral E, asoiado a un experimento aleatorio. Se verifian las siguientes propiedades: a) A B = B A y A B = B A (Conmutativas) b) A ( B C) = ( A B) C y A ( B C) = ( A B) C (Asoiativas) ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C) C y A ( B C) = ( A B) ( A C) (Distributivas) d) A = A y A E = A (Elemento neutro) e) A A = E y A A = (Complementarias) f) A = A y A B = A B g) ( A B) = A B y ( ) } { } { 1,3} ) A B { 5} A B = A B (Leyes de Morgan) = d) B = { 5,6} Definiión 5: Dos suesos A y B de un espaio muestral E se llaman inompatibles uando no pueden ourrir simultáneamente, es deir, uando A B =. En aso ontrario se llaman ompatibles. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 3

4 Ejemplo 6: Consideremos el experimento de lanzar un dado y ver el resultado. a) Los suesos A: Saar par y B: Saar impar es evidente que son inompatibles, ya que A B =. No pueden darse a la vez. C D = 2. Sí b) Los suesos C: Saar par y D: Saar primo son ompatibles, ya que { } pueden darse a la vez, uando sale un 2. Se proponen las atividades de la 1 a la PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE. A lo largo de la historia la teoría de la Probabilidad se ha ido desarrollando y formalizando ada vez más. Por ello, el onepto de probabilidad admite más de una definiión válida. En esta unidad veremos las dos más populares que son la freuenial y la axiomátia (Kolvogorov). Definiión 6: (Definiión freuenial de probabilidad) Sea A un sueso aleatorio asoiado a un experimento aleatorio. Llamamos n al número de vees que se efetúa el f A al número de vees que ourre el sueso A en esas n repetiiones del experimento, ( ) n experimento, también llamado freuenia absoluta. Se llama freuenia relativa del fn ( A) sueso A al oiente: hn ( A) =. Pues bien, se llama probabilidad del sueso A al n P A = Lí m h A límite: ( ) ( ) n + n Nota 3: Es evidente que esta definiión de probabilidad lo que nos da es el valor al que se aera la freuenia (expresada en tanto por 1) de las vees que ourre el sueso entre el número total de vees uando se realiza indefinidamente. Este límite existe en virtud de un resultado matemátio derivado de la llamada Ley de los grandes números. Nota 4: Es evidente, por su propia definiión que la probabilidad de un sueso umple: a) Que es siempre un número positivo, ya que es el límite del oiente de dos antidades positivas. b) Es un número que es siempre menor que 1, ya que es el límite de una expresión fraionaria uyo numerador es menor que el denominador y, por tanto, menor que 1 siempre. ) También es evidente que la probabilidad del sueso imposible es 0 (ya que todos los numeradores serían 0) y que la del sueso seguro es 1 (ya que el numerador siempre sería n) Estas propiedades, entre otras, dieron lugar a que el matemátio ruso Kolmogorov, elaborase la otra definiión de probabilidad que veremos, llamada axiomátia, muho más preisa y rigurosa desde el punto de vista matemátio, aunque bastante menos intuitiva desde el punto de vista prátio. Definiión 7: (Definiión axiomátia de probabilidad) Consideremos un experimento P : E R aleatorio de espaio muestral E. Se llama probabilidad a toda funión: que A P A umpla los siguientes axiomas: ( ) Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 4

5 Axioma 1: La probabilidad de ualquier sueso es un número omprendido entre 0 y 1, 0 P A 1 A E. es deir: ( ) Axioma 2: La probabilidad del sueso seguro es 1, es deir, P ( E ) = 1 Axioma 3: Si dos suesos ualesquiera del espaio muestral A y B son inompatibles, es deir, si A B = P A B = P A + P B., entones ( ) ( ) ( ) A partir de esta definiión, se obtienen las siguientes onseuenias, de vital importania para lo que sigue de la unidad. Proposiión 2: (Propiedades de la probabilidad) Sea E el espaio muestral asoiado a un experimento aleatorio y P una funión de probabilidad. Entones, se umple: a) ( ) 1 ( ) P A = P A A E b) P ( ) = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ), d) Si A B P ( A) P ( B) P A B = P A + P B P A B A B E e) Si A B P ( B) = P ( A) + P ( B A) f) Si A1, A2,... A n son suesos inompatibles dos a dos, entones: (... ) = ( ) + ( ) ( ) P A A A P A P A P A 1 2 n 1 2 Se proponen las atividades de la 4 a la 6. = 1, 2,... n el espaio muestral asoiado a un experimento aleatorio. Si todos los suesos A1, A2,... A n son equiprobables, es deir on la misma probabilidad, entones, la probabilidad de ualquier sueso A del espaio Nº de asos favorables a que ourra A muestral es P ( A ) = Nº total de asos posibles Definiión 8: (Regla de Laplae) Sea E { A A A } Nota 5: Es de vital importania tener en uenta que la regla de Laplae úniamente es válida si los suesos del espaio muestral son equiprobables, ya que si se aplia en asos en que no lo sea, el resultado es erróneo. Veamos un ejemplo de esto. Ejemplo 7: a) Si onsideremos el experimento de lanzar un dado y ver el resultado, es evidente que E = 1,2,3,4,5,6. Es evidente que los seis suesos elementales el espaio muestral es { } son equiprobables. Así pues, se puede apliar la regla de Laplae sin problema, por lo que podemos alular algunas probabilidades de forma senilla: Si A: Obtener un 4, entones P ( A ) =, ya que A = { 4} Si B: Obtener par, entones P ( B ) = =, ya que B = { 2,4,6} n Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 5

6 b) Sin embargo, si onsideramos el experimento de lanzar dos dados y sumar el resultado E = 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, no se y desribimos el espaio muestral de la forma: { } puede apliar la regla de Laplae diretamente ya que los suesos elementales, no son equiprobables. Por ejemplo: Si A: Obtener un 3 y los onsideráramos equiprobables, obtendríamos que P ( A ) =, uando en realidad sería P ( A ) = =. Este error se debe a que no se pueden ontabilizar los suesos desritos en E de la misma forma al no ser equiprobables. Para evitar estos errores, lo que se suele haer es desglosar todos los asos en suesos elementales que sí sean equiprobables. En este ejemplo, la forma sería desribir todas las posibilidades de resultados de los dos dados y ontabilizar luego los que suman 3. Por ello, para alular probabilidades, onsideramos omo alternativa el espaio muestral desglosado de la forma: E = 1,1, 1,2,... 1,6, 2,1, 2,2... 2,6,... 6,1, 6,2... 6,6. En este, ya se ve {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} laramente que hay 2 suesos favorables a saar 3 omo suma y no 1. Se proponen las atividades de la 7 a la PROBABILIDAD CONDICIONADA. PROBABILIDAD COMPUESTA. En determinados experimentos aleatorios, hay suesos que, de alguna forma, ondiionan a otros que se realien a posteriori. Este tipo de situaiones da lugar a experienias ompuestas y a la llamada probabilidad ondiionada que vamos ahora. Definiión 9: Consideremos un experimento aleatorio, llamamos sueso A ondiionado a B al sueso A/B que ourre uando ourre A sabiendo que ha ourrido P ( A B) ya B, uya probabilidad viene dada por la expresión: P ( A / B) =, P ( B) > 0 y se P B llama probabilidad de A ondiionada a B. Nota 6: De la misma manera podríamos definir la probabilidad de B ondiionado a A P ( A B) omo P ( B / A) =, P ( A) > 0 P A ( ) Definiión 10: Un experimento aleatorio se llama ompuesto uando está formado por varios experimentos aleatorios simples. Nota 7: Obsérvese que, de la definiión anterior, sin más que despejar obtenemos la P A B = P A / B P B P A B = P B / A P A. Esta expresión expresión: ( ) ( ) ( ) o bien ( ) ( ) ( ) es de enorme utilidad en las atividades de los puntos posteriores. La anterior expresión reibe el nombre de probabilidad ompuesta. 6.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS. Definiión 11: Sean A y B dos suesos asoiados a un experimento aleatorio. Se die que los suesos A y B son independientes si el resultado de A no influye nada en el de B y vieversa. En aso ontrario, se llaman dependientes. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 6 ( )

7 Nota 8: Es evidente, a partir de la definiión y lo visto anteriormente que dos suesos son independientes uando se verifia alguna de las siguientes ondiiones (que son equivalentes entre ellas): a) P ( A / B) = P ( A) b) P ( B / A) = P ( A) ) P ( A B) = P ( A) P ( B) Ejemplo 8: En una bolsa hay 4 bolas rojas y 6 verdes. Supongamos la experienia de extraer una bola y después otra y observar el olor. Sea R 1 : Extraer bola roja en la 1ª extraión y R 2 : Extraer bola roja en la 2ª extraión a) Si devolvemos la bola después de la primera extraión (llamada on reemplazamiento), es evidente que los suesos R 1 y R 2 son independientes, ya que el heho de que salga roja la 1ª no influye nada en el resultado de la 2ª extraión porque se devuelve la bola. b) Sin embargo, si no devolvemos la bola (llamada sin reemplazamiento), el resultado de la primera extraión influye laramente en lo que ourre en la 2ª extraión y serían dependientes. Ejemplo 9: Veamos si los suesos A y B son independientes sabiendo que P A = 1/ 2, P B = 1/ 2, P A B = 3 / 4. Veamos si se umple la ondiión de la nota ( ) ( ) ( ) anterior: = = + = P B = = P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A B) P ( A) ( ) Por tanto, son independientes. 7.- PROBABILIDAD TOTAL. Definiión 12: Sea E el espaio muestral asoiado a un experimento aleatorio. Se die que un onjunto de suesos { A1, A2,... A n} forman un sistema ompleto de suesos si umple las dos ondiiones siguientes: a) A1 A2... An = E b) Ai Aj = i j (inompatibles dos a dos) Proposiión 3: (Teorema de la probabilidad total). Sea { A1, A2,... A n} un sistema ompleto de suesos asoiados a un experimento aleatorio de espaio muestral E. Entones, para ualquier sueso B se umple la siguiente igualdad: P ( B) = P ( B / A1 ) P ( A1 ) + P ( B / A2 ) P ( A2 ) P ( B / An ) P ( An ) Esta última identidad es una de las expresiones más útiles en esta unidad y nos permitirá resolver multitud de situaiones en las atividades, además de ser la base sobre la que se demuestra el teorema de Bayes que veremos en el punto siguiente. A ontinuaión veremos algunos ejemplos de su utilizaión haiendo uso de dos herramientas bastante útiles en la unidad: las tablas de ontingenia y los diagramas de árbol. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 7

8 Ejemplo 10: En 2º de Bahillerato A hay 14 hios y en 2º de Bahillerato B hay 8 hios. Sabemos además, que en el grupo A hay 20 alumnos/as y en el B 24 alumnos/as. Se elige una persona al azar. Contestemos las siguientes probabilidades: a) De que sea de 2º B b) De que sea hia. ) De que sea hio sabiendo que es de 2º A. d) De que sea de 2º A sabiendo que es hio. Para estos asos, es de gran utilidad esribir los datos en una tabla de ontingenia: Chios (H) Chias (M) TOTAL 2º de Bahillerato A º de Bahillerato B TOTAL A partir de la tabla es evidente que: a) P ( B ) = b) P ( M ) = = ) P ( H / A ) = = d) ( / ) 14 2 P B M = = Ejemplo 11: En una asa hay tres llaveros A, B y C, el primero on 5 llaves, el segundo on 7 y el terero on 8, de las que sólo una de ada llavero abre la puerta del trastero. Se esoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que el llavero esogido sea el C y la llave no abra? b) Cuál es la probabilidad de que la llave no abra sabiendo que hemos esogido el llavero C? ) Cuál es la probabilidad de que se aierte on la llave? Llamemos: A: Esoger el llavero A B: Esoger el llavero B C: Esoger el llavero A S: Abrir la puerta. Para determinar estas tres probabilidades u otras que se nos pudiesen plantear, en este tipo de probabilidades ompuestas que onstan de dos o más fases de ejeuión, suelen ser de gran utilidad los diagramas de árbol. En este ejemplo, sería el siguiente: 1/3 1/3 1/3 A B C 1/5 4/5 1/7 6/7 1/8 7/8 S/A S /A S/B S /B S/C S /C = = = P S / C = 8 P S = P S / A P A + P S / B P B + a) P ( C S ) P ( C) P ( S / C) b) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( S / C ) P ( C ) = + + = Se proponen las atividades de la 10 a la 17. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 8

9 8.- PROBABILIDAD A POSTERIORI. TEOREMA DE BAYES. En muhas oasiones, nos enontramos on situaiones en los que hemos de determinar probabilidades de suesos que ondiionan a otros de los que onoemos la probabilidad. Básiamente, desonoemos probabilidades de suesos que, en la mayoría de los asos han ourrido antes onoiendo lo que ha ourrido después, es deir, nos preguntan probabilidades del pasado onoiendo las que ourren en un experimento posterior, por eso se llaman probabilidades a posteriori. Aunque no es siempre exatamente así, estas orientaiones nos pueden ayudar a identifiar estas situaiones que se resuelven haiendo uso de la siguiente fórmula: A1, A2,... A n un sistema ompleto de suesos asoiados a un experimento aleatorio de espaio muestral E. Entones, para ualquier sueso B on probabilidad no nula, se umple la siguiente igualdad: P ( B / Ai ) P ( Ai ) P ( B / Ai ) P ( Ai ) P ( Ai / B) = = P B P B / A P A + P B / A P A P B / A P A Proposiión 4: (Teorema de Bayes) Sea { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nota 9: Obsérvese que la 2ª expresión de la fórmula de Bayes resulta inmediata sin más que apliar el teorema de la probabilidad total. Ejemplo 12: Si retomamos el ejemplo 11 y sabemos que ha abierto la puerta del trastero, determinemos uál es la probabilidad de que el llavero esogido fuese sido el A. Como podemos observar, se nos da omo dato un sueso ourrido a posteriori (ha abierto la puerta) y se nos pregunta sobre algo que ourrió a priori (esoger el llavero). Es, por tanto, un aso laro de una probabilidad a alular utilizando la fórmula de Bayes: P( S/ A) P( A) P( S/ A) P( A) 56 P( A/ S) = = = 5 3 = 15 = P( S) P( S/ A) P( A) + P( S/ B) P( B) + P( S/ C) P( C) Se proponen las atividades de la 18 a la ACTIVIDADES. ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Atividad 1: Consideremos el juego del dominó y el experimento de saar una fiha al azar y sumar sus puntos. Obtén: a) El espaio muestral. b) El sueso obtener un número primo. ) El sueso obtener un número impar. Atividad 2: Se onsidera una urna on 9 bolas numeradas del 1 al 9. Saamos una bola, miramos el número y la devolvemos. Sean los suesos: A: Salir número par, B: Salir número impar, C: Salir número múltiplo de 3. Calula los suesos: a) A B b) B C A B C d) A B e) B C f) A B ) ( ) n n Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 9

10 Atividad 3: En un sorteo de lotería nos finamos en la ifra en la que termina el gordo. a) Cuál es el espaio muestral? b) Desribe, esribiendo todos sus elementos, los suesos: A: Obtener menor que 4, B: Obtener par, C: Obtener mayor que 5. ) Halla los suesos: A B, B C, A B, A C d) Cuantos suesos hay en total. Atividad 4: Sean A y B dos suesos asoiados a un experimento aleatorio, tales que P A = 0,5, P B = 0,4 y P A B = 0,2. Halla: ( ) ( ) ( ) a) P ( A B) b) P ( A B) ) P ( A B) d) P ( A B) Atividad 5: De dos suesos A y B, de un espaio muestral, se sabe que: P A = 0,7, P B = 0,6 y P A B = 0,4. Determina: ( ) ( ) ( ) a) P ( A B) b) P ( A B) Atividad 6: Sea P una probabilidad definida en E { A, B, C} P ( A ) en los siguientes asos: =. Enuentra el valor de a) P ( B) = 1/ 3 y P ( C) = 1/ 4 b) P ( A) P ( B) y P ( C) = 2 = 1/ 4 Atividad 7: Extraemos una arta de una baraja española. Halla las siguientes probabilidades: a) Que sea un rey o un as. b) Que sea un rey o una opa ) Que sea un rey y una opa Atividad 8: Lanzamos dos dados úbios on las aras numeradas del 1 al 6. Calula la probabilidad de que: a) La suma de los puntos sea 7. b) El produto de los puntos sea 12. ) La diferenia de los puntos sea 2. Atividad 9: En una fábria de automóviles, el 6% de los ohes tienen defetos en el motor, el 8% tiene defetos en la arroería y el 2% tiene defetos en ambas partes. a) Cuál es la probabilidad de que un ohe tenga al menos un defeto? b) Y la probabilidad de que un ohe no tenga defeto alguno? Atividad 10: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos aras, se extrae una bola de la urna 1, que ontiene 3 bolas blanas y 3 negras. Si sale ara y ruz, se extrae de la urna 2, que ontiene 4 bolas blanas y 1 negra. Si salen dos rues, se extrae una bola de la urna 3, que ontiene 3 bolas blanas y 2 negras. Cuál es la probabilidad de extraer bola blana después de lanzar las monedas y saar la bola? Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 10

11 Atividad 11: Dos jugadores A y B iniian ierto juego on 3 ada uno. Al finalizar ada partida, el ganador reibe 1 del perdedor. Sabiendo que A tiene una probabilidad de 0,6 de ganar la partida y que el juego finaliza uando alguno de los dos se quede sin dinero, ontesta razonadamente: a) Cuál es la probabilidad de que A tenga 2 tras jugar 2 partidas? b) Cuál es la probabilidad de que A tenga 4 tras jugar 3 partidas? ) Cuál es la probabilidad de finalizar el juego tras jugar 3 partidas? Atividad 12: Dos niños esriben ada uno una voal en un papel. Cuál es la probabilidad de que sea la misma? Atividad 13: Se ha omprobado que el 48% del alumnado de 2º de Bahillerato es afiionado a la músia lásia y a la pintura y que el 60% de los afiionados a la pintura también son afiionados a la músia lásia. Si se elige al azar un alumno/a de 2º de Bahillerato, qué probabilidad hay de que no sea afiionado a la pintura? Atividad 14: Dos suesos tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, alula la probabilidad de que no sueda ninguno de los dos. Atividad 15: Se dispone de un mazo de 450 fihas de estudiantes de una esuela de idiomas. Cada estudiante ursa un solo idioma de los tres que se imparten. El número de mujeres es 3/2 del de hombre y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El número de estudiantes de franés duplia al de alemán. Sea M el sueso saar una fiha de mujer al extraer una fiha, al azar, del itado mazo y sean H, I, F y A saar hombre, inglés, franés y alemán, respetivamente. Sabiendo que M/A es el sueso seguro y que M/F y H/F son equiprobables, determina: a) Probabilidad de F b) Probabilidad de M I ) Probabilidad de F/M Atividad 16: Se extrae una arta de una baraja española de 40 artas. Si la arta extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I, y en aso ontrario, nos dirigimos a la urna II. A ontinuaión extraemos una bola. El ontenido de la urna I es de 7 bolas blanas y 5 negras, y el de la urna II es de 6 blanas y 4 negras. Halla: a) La probabilidad de que la bola extraída sea blana y de la urna II. b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. Atividad 17: El despertador de Vítor no funiona muy bien y el 20% de las vees no suena. Cuando suena, Vítor llega tarde a lase el 20% de las vees, pero si no suena, llega tarde a lase el 90% de las vees. a) Determina la probabilidad de que llegue tarde a lase y haya sonado el despertador. b) Halla la probabilidad de que llegue temprano. Atividad 18: Tenemos tres urnas. La primera ontiene 3 bolas rojas y 5 negras, la segunda ontiene 2 rojas y 1 negra y la terera 2 rojas y 3 negras. Esogemos una urna al azar y extraemos una bola que ha resultado roja, uál es la probabilidad de que haya sido extraída de la primera urna? Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 11

12 Atividad 19: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son eonomistas. El 75% de los ingenieros oupan un puesto diretivo y la mitad de los eonomistas también, mientras que de los que del resto de trabajadores (no ingenieros ni eonomistas), solamente un 20% oupan un puesto diretivo. Cuál es la probabilidad de que un diretivo elegido al azar sea ingeniero? Atividad 20: En un edifiio se usan dos asensores. El primero lo usan el 45% de los inquilinos y el resto de inquilinos utiliza el segundo. El primer asensor falla un 5% de las vees que se usa y el segundo un 8%. Si un ierto día un inquilino se queda atrapado en el asensor, qué probabilidad hay de que haya sido en el primero? ACTIVIDADES DE DESARROLLO Atividad 21: Sean A y B dos suesos asoiados a un experimento aleatorio tales que P A = 1/ 3, P B = 1/ 5 y P A B = 7 / 15. Halla: ( ) ( ) ( ) a) La probabilidad de que se verifiquen A y B. b) La probabilidad de que se verifique A y no se verifique B. ) La probabilidad de que no se verifiquen A ni B. d) La probabilidad de que no se verifique A si no se ha verifiado B. Atividad 22: Se esuhan 3 disos y se vuelven a guardar al azar. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los disos haya sido guardado en el envoltorio que le orrespondía? Atividad 23: De una muestra de 9 personas, 2 son de nivel soioeonómio bajo, de de nivel medio y 4 alto. a) Si se eligen dos personas al azar, uál es la probabilidad de que ambas sean de nivel soioeonómio bajo? b) Si se eligen tres personas al azar, uál es la probabilidad de que ninguna sea de nivel alto? Atividad 24: El gerente de unos grandes almaenes ha omprobado que un 38% de las familias que residen en una determinada iudad no son lientes habituales y que un 85% de sus lientes pagan al ontado el importe de sus ompras. Determina la probabilidad de que, seleionada al azar una familia en esa iudad, sea liente y pague al ontado el importe de sus ompras. Atividad 25: Una urna ontiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro olor. A ontinuaión, se extrae una segunda bola. Se pide: a) La probabilidad de que la segunda bola sea verde. b) La probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo olor. Atividad 26: En una iudad el 60% de sus habitantes son afiionados al fútbol, el 30% son afiionados al balonesto y el 25% a ambos deportes. a) Son independientes los suesos ser afiionado al fútbol y ser afiionado al balonesto? b) Si una persona no es afiionada al fútbol, uál es la probabilidad de que no sea afiionada al balonesto? Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 12

13 ) Si una persona no es afiionada al balonesto, uál es la probabilidad de que sea afiionada al fútbol? Atividad 27: Tenemos un ofre A on 2 monedas de oro y 3 de plata, un ofre B on 5 monedas de oro y 4 de plata y un terer ofre C on 2 monedas de oro. Elegimos un ofre al azar y saamos una moneda. a) Calula la probabilidad de que sea de oro. b) Sabiendo que ha sido de plata, alula la probabilidad de que haya sido extraída del ofre A. Atividad 28: En un inelub hay 80 pelíulas; 60 son de aión y 20 de terror. Susana elige una pelíula al azar y se la lleva. A ontinuaión Luis elige otra pelíula al azar. a) Cuál es la probabilidad de que tanto Susana omo Luis elijan pelíulas de aión? b) Cuál es la probabilidad de que la pelíula elegida por Luis sea de aión? Atividad 29: En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres vees se onsideran los siguientes suesos: A: saar al menos una ara y una ruz. B: saar a lo sumo una ara. a) Determina el espaio muestral asoiado a ese experimento y los suesos A y B. b) Son independientes ambos suesos? Atividad 30: Dado un espaio muestral E se onsideran los suesos A y B, uyas probabilidades son P( A) = 2 / 3 y P( B) = 1/ 2. a) Pueden ser los suesos A y B inompatibles? Por qué? b) Suponiendo que los suesos A y B son independientes, alula P( A B). ) Suponiendo que A B = E, alula P( A B). Atividad 31: Juan y Pedro juegan a obtener la puntuaión más alta lanzando sus dados. El dado de Juan tiene uatro aras on la puntuaión 5 y las otras dos aras on el 1. El dado de Pedro tiene dos aras on el 6, otras dos on el 4 y las otras dos on el 1. a) Cuál es la probabilidad de que gane Pedro? b) Cuál es la probabilidad de empatar? Atividad 32: Los alumnos de Bahillerato de un IES proeden de 3 loalidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A ursa 1º de Bahillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B ursa 1º de Bahillerato y el resto 2º. El 60% de los alumnos de C ursa 1º de Bahillerato y el resto 2º. a) Seleionado, al azar, un alumno de Bahillerato de ese IES, uál es la probabilidad de que sea de 2º? b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bahillerato de ese IES y éste es un alumno de 1º, uál es la probabilidad de que proeda de la loalidad B? Atividad 33: El partido A y el partido B onurren a unas eleiones en un muniipio donde el 55% de los votantes son mujeres. Se sabe que el 40% de los hombres votan al Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 13

14 partido A y el 50% al B. El 60% de las mujeres votan al partido A y el 20% al B. El resto de eletores no vota. a) Halle la probabilidad de que una persona, elegida al azar, no vote. b) Sabiendo que una persona, elegida al azar, ha votado al partido A, halle la probabilidad de que sea mujer. ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Atividad 34: (2013) El 55% de los alumnos de un entro doente utiliza en su desplazamiento transporte públio, el 30% usa vehíulo propio y el resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte públio son mujeres, el 70% de los que usan vehíulo propio son hombres y el 52% de los que van andando son mujeres. a) Elegido al azar un alumno de ese entro, alule la probabilidad de que sea hombre. b) Elegido al azar un hombre, alumno de ese entro, uál es la probabilidad de que vaya andando? Atividad 35: (2013) De los suesos aleatorios independientes A y B se sabe que P A = y que P ( B ) = 0,25. Calula las siguientes probabilidades: ( ) 0,3 a) P ( A B) b) P ( A B ) ) P ( A / B ) Atividad 36: (2013) Una granja avíola dediada a la produión de huevos posee un sistema automátio de lasifiaión en tres alibres según el peso: grande, mediano y pequeño. Se onoe que el 40% de la produión es lasifiada omo huevas grandes, el 35% omo medianos y el 25% restante omo pequeños. Además, se sabe que este sistema de lasifiaión produe defetos por rotura en el asarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de que un hueva grande sea defetuoso por esta razón es del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno pequeño. Elegido aleatoriamente un huevo, a) Cuál es la probabilidad de que sea defetuoso?. b) Si el huevo es defetuoso, uál es la probabilidad de que sea grande? Atividad 37: (2013) A la Junta General de Aionistas de una empresa asisten 105 aionistas de los uales 45 tienen menos de 40 años y 18 más de 60 años. Sometida a votaión una propuesta, es rehazada por la terera parte de los menores de 40 años, por la terera parte de los que están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de 60 años; los demás la aeptan. a) Calula la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y haya aeptado la propuesta. b) La prensa afirmó que la propuesta había sido aeptada por el 80% de los asistentes, es orreta la afirmaión? ) Si una persona esogida al azar ha rehazado la propuesta, qué probabilidad hay de que tenga más de 60 años? Atividad 38: (2013) En un experimento aleatorio, la probabilidad de que ourra un sueso A es 0.68, la de que ourra otro sueso B es 0.2, y la de que no ourra ninguno de los dos es Halla la probabilidad de que: Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 14

15 a) Ourran los dos a la vez. b) Ourra B pero no A. ) Ourra B, sabiendo que no ha ourrido A. Atividad 39: (2013) Una enuesta realizada en un bano india que el 60% de sus lientes tiene un préstamo hipoteario, el 50% tiene un préstamo personal y un 20% tiene un préstamo de ada tipo. Se elige, al azar, un liente de ese bano: a) Calula la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos. b) Calula la probabilidad de que tenga un préstamo hipoteario sabiendo que no tiene préstamo personal. Atividad 40: (2013) En una urna A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y en otra urna B hay 15 verdes y 5 rojas. Se lanza un dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna A y en el resto de asos se extrae una bola de la urna B. a) Calula la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) Si la bola extraída resulta ser de olor verde, uál es la probabilidad de que proeda de la urna B? Atividad 41: (2013) En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 40% habla también alemán. De los que no hablan inglés, el 25% habla alemán. Se esoge un empleado al azar: a) Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas? b) Cuál es la probabilidad de que hable alemán? ) Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés? Atividad 42: (2013) Un Centro de Salud propone dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las personas que auden al Centro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia A y el 80% de los que siguieron la B no han vuelto a fumar. Se elige al azar un usuario del Centro que siguió una de las dos terapias: a) Calula la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar. b) Si transurrido un año esa persona sigue sin fumar, alula la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. ) Si transurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, alula la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A. Atividad 43: (2013) De los suesos independientes A y B se sabe que P A = 0.4 y P A B = 0.8. ( ) ( ) a) Halla la probabilidad de B. b) Halla la probabilidad de que no se verifique B si se ha verifiado A. ) Son inompatibles los suesos A y B? Atividad 44: (2013) Se ree que hay una vuelta haia estilos de bailes más populares, por lo que se realiza una enuesta a estudiantes de bahillerato, resultando que al 40% les gusta la salsa, al 30% le gusta el merengue y al 10% les gusta tanto la salsa omo el merengue. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 15

16 a) Cual es la probabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa? b) Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa? ) Son independientes los suesos "gustar la salsa" y "gustar el merengue"? Son ompatibles? Atividad 45: (2013) El 50% de los préstamos que onede un bano son para vivienda, el 30% para industria y el 20% para onsumo. No se pagan el 20% de los préstamos para vivienda, el 15% de los préstamos para industria y el 70% de los préstamos para onsumo. a) Si se elige al azar un préstamo, alula la probabilidad de que se pague. b) Se elige un préstamo al azar que resulta impagado, uál es la probabilidad de que sea un préstamo para onsumo? ) Ante un préstamo impagado el diretor del bano afirma que es más probable que sea para vivienda que para onsumo, lleva razón el diretor? Atividad 46: (2012) Una ompañía de seguros ha heho un seguimiento durante un año a ohes de la mara A, a de la mara B y a de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido aidente 650 ohes de la mara A, 200 de la B y 150 de la C. A la vista de estos datos: a) Cuál de las tres maras de ohes tiene menos proporión de aidentes? b) Si, elegido al azar uno de los ohes observados, ha tenido un aidentes, uál es la probabilidad de que sea la mara C? Atividad 47: (2012) En una loalidad hay solamente dos supermerados A y B. El 58% de los habitantes ompra en el A, el 35% en el B y el 12% ompra en ambos. Si se elige un iudadano al azar, alule la probabilidad de que: a) Compre en algún supermerado. b) No ompre en ningún supermerado. ) Compre solamente en un supermerado. d) Compre en el supermerado A, sabiendo que no ompra en el B. Atividad 48: (2012) En un ongreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una enuesta para onoer los hábitos en uanto a ontratar los viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 84 ontratan los viajes por Internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa vía. Elegido un ongresista al azar, alula la probabilidad de que: a) No ontrate sus viajes por internet. b) Use internet para ontratar los viajes, si la persona elegida es una mujer. ) Sea hombre, sabiendo que ontrata sus viajes por internet. Atividad 49: (2012) Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de la urna A, que ontiene 6 bolas blanas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que ontiene 3 bolas blanas y 7 negras. Calula: a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 16

17 ) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blana. Atividad 50: (2012) Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrian, respetivamente, el 60%, 30% y 10% de los artíulos que omerializa. El 5% de los artíulos que fabria A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son defetuosos. Elegido, al azar, un artíulo de los que se fabrian en la empresa: a) Cuál es la probabilidad de que sea defetuoso y esté fabriado por la máquina C? b) Cuál es la probabilidad de que no sea defetuoso? ) Si sabemos que no es defetuoso, uál es la probabilidad de que proeda de la máquina A? Atividad 51: (2012) Se sabe que el 90% de los estudiantes del último urso de una Universidad está preoupado por sus posibilidades de enontrar trabajo, el 30% está preoupado por sus notas y el 25% por ambas osas. a) Si hay 400 alumnos matriulados en el último urso de diha Universidad, uántos de ellos no están preoupados por ninguna de las dos osas? b) Si un alumno del último urso, elegido al azar, no está preoupado por enontrar trabajo, uál es la probabilidad de que esté preoupado por sus notas? Atividad 52: (2012) Se ha impartido un urso de onduión efiiente a 200 personas. De los asistentes al urso, 60 son profesionales de autoesuela y, de ellos, el 95% han mejorado su onduión. Este porentaje baja al 80% en el resto de los asistentes. Halle la probabilidad de que, elegido un asistente al azar: a) No haya mejorado su onduión. b) No sea profesor de autoesuela, sabiendo que ha mejorado su onduión. Atividad 53: (2012) Se sabe que el 44% de la poblaión ativa de ierta provinia está formada por mujeres. También se sabe que, de ellas, el 25% está en paro y que el 20% de los hombres de la poblaión ativa también están en paro. a) Elegida, al azar, una persona de la poblaión ativa de esa provinia, alula la probabilidad de que esté en paro. b) Si hemos elegido, al azar, una persona que trabaja, uál es la probabilidad de que sea hombre? Atividad 54: (2012) Una urna ontiene 25 bolas blanas sin marar, 75 bolas blanas maradas, 125 bolas negras sin marar y 175 bolas negras maradas. Se extrae una bola al azar. a) Calula la probabilidad de que sea blana. b) Cuál es la probabilidad de que sea blana sabiendo que está marada? ) uál es la probabilidad de que sea negra y esté marada? d) Son independientes los suesos saar bola marada y saar bola blana. Atividad 55: (2012) Se onsideran dos suesos A y B asoiados a un experimento P A = 0.8, P B = 0.7 y P A B = 0.94 aleatorio. Se sabe que ( ) ( ) ( ) a) Son A y B suesos independientes? Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 17

18 b) Calula P ( A / B ) ) Calula P ( A B ) Atividad 56: (2012) Un pesador tiene tres tipos de arnada de las que sólo una es adeuada para pesar salmón. Si utiliza la arnada orreta la probabilidad de que pesque un salmón es 1/3, mientras que si usa una de las inadeuadas esa probabilidad se redue a 1/5. a) Si elige aleatoriamente la arnada, uál es la probabilidad de que pesque un salmón? b) Si ha pesado un salmón, uál es la probabilidad de que lo haya heho on la arnada adeuada? Atividad 57: (2012) Sean A y B dos suesos de un espaio muestral, de los que se P A = 0.60 y P B = Determina las probabilidades onoen las probabilidades ( ) ( ) que deben asignarse a los suesos A B y A B en ada uno de los siguientes supuestos: a) Si A y B fuesen inompatibles. b) Si A y B fueran independientes. P A / B = ) Si ( ) Atividad 58: (2011) En una primera bolsa se han oloado 4 bolas blanas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blanas y 5 negras. Se saa una bola de la primera y, sin verla, se introdue en la segunda. A ontinuaión se saa una bola de la segunda. Halla la probabilidad de que: a) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blana. Atividad 59: (2011) Un libro tiene uatro apítulos. El primer apítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el terero 150 y el uarto 50. El 5% de las páginas del primer apítulo, el 4% del segundo y el 2% del terero tienen algún error. Las páginas del uarto apítulo no tienen errores. a) Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? b) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, uál es la probabilidad de que sea del segundo apítulo? Atividad 60: (2011) Un examen onsta de una parte teória y una parte prátia. La probabilidad de que se apruebe la parte teória es 0.7 y la de que se apruebe la parte prátia es Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. a) Calula la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. b) Calula la probabilidad de aprobar la parte prátia sabiendo que no se ha aprobado la parte teória. ) Son independientes los suesos aprobar parte teória y aprobar parte prátia? Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 18

19 Atividad 61: (2011) Pedro vive en una iudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro oge el paraguas un 98% de las vees y uando no lo hay, un 5% de las vees. Si se seleiona un día del año al azar, a) Cuál es la probabilidad de que Pedro no haya ogido el paraguas? b) Cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha ogido el paraguas? Atividad 62: (2011) Sean los suesos, A y B, tales que P A = 0.5, P B = 0.4 y P A / B = 0.5 ( ) ( ) ( ) a) Halla la probabilidad de que se verifique alguno de los dos suesos. b) Calula la probabilidad de que no se verifique B si se ha verifiado A. ) Son independientes los suesos A y B? Razona la respuesta. Atividad 63: (2011) Una ompañía aseguradora realiza operaiones de seguros médios y de seguros de vida. El 20% de las operaiones orresponde a seguros médios y el resto a seguros de vida. El porentaje de operaiones en las que no se produen retrasos en los pagos es del 10% en los seguros médios y del 15% en seguros de vida. a) Halla el porentaje de operaiones en las que no se produen retrasos en los pagos. b) De las operaiones que han sufrido retrasos en los pagos, qué porentaje orresponde a los seguros de vida? Atividad 64: (2011) Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda a) Construye el espaio muestral de este experimento aleatorio. b) Determina la probabilidad del sueso A: El jugador obtiene un número par en el dado y ruz en la moneda. ) Si sabemos que en la moneda ha salido ara, uál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos? Atividad 65: (2011) Una bolsa ontiene 5 bolas blanas, 3 rojas y 4 negras. Ana y manolo pratian el siguiente juego: Ana saa una bola, anota su olor y la devuelve a la bolsa, a ontinuaión Manolo extrae una bola y anota su olor. Si las dos bolas extraídas tienen el mismo olor gana Ana, si sólo hay una bola blana gana Manolo, y en otro aso hay empate. a) Calula la probabilidad de que gane Ana. b) Calula la probabilidad de que gane Manolo. ) Calula la probabilidad de que haya empate. Atividad 66: (2011) En una iudad, el 55% de la poblaión onsume aeite de oliva, el 30% de girasol, y el 20% ambos tipos de aeite. Se esoge una persona al azar: a) Si onsume aeite de oliva, uál es la probabilidad de que onsuma también aeite de girasol? b) Si onsume aeite de girasol, uál es la probabilidad de que no onsuma aeite de oliva? Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 19

20 ) Cuál es la probabilidad de que no onsuma ninguno de los dos tipos de aeite? Atividad 67: (2011) El 30% de los aparatos que llegan a un serviio ténio para ser reparados están en garantía. De los que no están en garantía, el 20% ya fueron reparados en otra oasión y de los que sí lo están, solamente un 5% fueron reparados anteriormente. Se elige un aparato al azar en el serviio ténio: a) Cuál es la probabilidad de que haya sido reparado en otra oasión? b) Si es la primera vez que ha llegado al serviio ténio, uál es la probabilidad de que esté en garantía? Atividad 68: (2011) En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un inidente es 0.1. Si éste se produe, la probabilidad de que la alarma suene es La probabilidad de que suene la alarma sin que haya inidente es de a) Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?. b) Si ha sonado la alarma, alula la probabilidad de que no haya habido inidente. Atividad 69: (2011) Sean A y B dos suesos aleatorios tales que: P A = 0.4 ; P B = 0.5 ; P A B = 0.2 ( ) ( ) ( ) a) Calula las siguientes probabilidades P ( A B), P ( A / B) y P ( B / A ) b) Razona si A y B son suesos inompatibles. ) Razona si A y B son independientes.. Atividad 70: (2010) Un alumno va a la Faultad en autobús el 80% de los días y el resto en su ohe. Cuando va en autobús llega tarde el 20% de las vees y uando va en ohe llega a tiempo sólo el 10% de las vees. Elegido un día ualquiera al azar, determina: a) La probabilidad de que llegue a tiempo a lase y haya ido en autobús. b) La probabilidad de que llegue tarde a lase. ) Si ha llegado a tiempo a lase, uál es la probabilidad de que no haya ido en autobús? Atividad 71: (2010) De las 180 personas que asisten a un ongreso médio, 100 son mujeres. Observando las espeialidades de los ongresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 20 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al ongreso. a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra? b) Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra? ) Cuál es la probabilidad de que sea pediatra? Atividad 72: (2010) De dos suesos aleatorios A y B del mismo espaio de suesos se sabe que P ( A) = 2, P ( B) = 3 y P ( A B) = 5. Calula: a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos suesos. b) La probabilidad de que no ourra ninguno de los dos suesos. ) La probabilidad de que ourra A si se ha verifiado B. Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 20

21 Atividad 73: (2010) El 60% de los amareros de una loalidad tienen 35 años o más, y de ellos el 70% son dueños del loal donde trabajan. Por otra parte, de los amareros on menos de 35 años sólo el 40% son dueños del loal donde trabajan. a) Seleionado un amarero al azar, uál es la probabilidad de que no sea dueño del loal? b) Elegido al azar un amarero dueño de su loal, uál es la probabilidad de que tenga menos de 35 años? Atividad 74: (2010) Una empresa utiliza dos servidores para onetarse a Internet. El primero, S 1, lo utiliza el 45% de las vees y el segundo, S 2, el resto. Cuando se oneta a Internet on S 1, los ordenadores se bloquean el 5% de las vees, y uando lo hae on S 2 el 8%. Si un día, al azar, la empresa está onetada a Internet, a) Cuál es la probabilidad de que los ordenadores se queden bloqueados? b) Cuál es la probabilidad de que la empresa esté utilizando el servidor S 1, sabiendo que los ordenadores se han quedado bloqueados? Atividad 75: (2010) En un entro de enseñanza seundaria se sabe que el 45% de los alumnos juegan al fútbol, que el 60% pratian atletismo, y que de los que pratian atletismo el 50% juegan al fútbol. a) Qué porentaje de alumnos pratian ambos deportes? b) Si se elige al azar un alumno de ese entro, uál es la probabilidad de que no pratique ninguno de estos deportes? ) Si un alumno de ese entro no juega al fútbol, uál es la probabilidad de que pratique atletismo? Atividad 76: (2010) El 41% de quienes se presentan a un examen son varones. Aprueban diho examen el 70% de los varones presentados y el 60% de las mujeres presentadas. a) Calula la probabilidad de que si una persona esogida al azar ha aprobado, sea mujer. b) Calula la probabilidad de que si una persona esogida al azar ha suspendido, sea mujer. ) Ana die que si alguien ha aprobado, es más probable que sea mujer que varón; Benito die que si alguien ha suspendido es más probable que sea mujer que varón. Quién tiene razón? Atividad 77: (2010) Una persona lanza dos vees onseutivas un dado equilibrado, on las aras numeradas de 1 al 6. a) Determina el número de resultados del espaio muestral de este experimento aleatorio. b) Sea A el sueso la mayor de las puntuaiones obtenidas es menor que 4 y B el sueso la primera puntuaión es impar. Halla la probabilidad de A y la de B. ) Son independientes A y B? Atividad 78: (2010) En el experimento aleatorio onsistente en lanzar un dado equilibrado on las aras numeradas del 1 al 6 y observar el resultado se onsideran los siguientes suesos: A: Obtener un número mayor que 4. B: Obtener un número par Matemátias II CCSS. 2º de Bahillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 21