Cónicas. = 0 son rectas que pasan por su centro y tienen de pendiente m tal que: a) m = a

Transcripción

1 .- Las asíntotas de la hipérbola a x + a y + axy + a 0x + a 0y + a 00 = 0 son retas que pasan por su entro y tienen de pendiente m tal que: a a) m = a b) m es raíz de m + a m + a 0 a = a + am + a m = ) m es raíz de 0.- Sea X t AX=0 la euaión matriial de una ónia degenerada. Entones, se verifia: a) A = 0 b) A 00 =0 ) A + A =0 3.- El eje foal de la ónia 4x 6y = 9 es: a) x = 0 b) y = 0 ) y = 3 a00 a0 a0 4.- Sea A = a0 a a la matriz de una ónia. Si efetuamos una traslaión y un giro de los a0 a a ejes oordenados a) a00 + a + a permanee invariante. b) A permanee invariante. ) A 00 + A permanee invariante 5.- Las asíntotas de la hipérbola y-4x-4=0 tiene por pendientes los valores: a) ± b) ± / ) ± 6.- La ónia x + y x+ 4y = 0. a) Es una elipse de entro (-,) b) Es una irunferenia de entro (,-) ) Ninguna de las anteriores. 7.- Si los valores propios de la forma uadrátia de una ónia son λ = y λ = A 0. a) Se trata de una elipse si A < 0. b) Se trata de una hipérbola equilátera. ) Se trata de una ónia degenerada. 8.- En una parábola de parámetro p la diretriz es una reta que: a) Es perpendiular al eje foal y dista del vértie p/. b) Es perpendiular al eje foal y equidista del foo y del vértie. ) Es paralela al eje de simetría de la parábola. 9.- Las retas y = ±3x son asíntotas de la hipérbola x a) y = 9 y b) x + = 9 siendo U. D. de Matemátias de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

2 y Cónias ) x = En una hipérbola equilátera se verifia: a) Las asíntotas son perpendiulares entre sí. b) La exentriidad es )a =.- Sea la elipse de euaión ( x+ ) + ( y + ) 3 =. Se verifia: 4 9 a) El entro es el punto (,3) b) El semieje mayor está sobre la reta x=- ) El semieje menor está sobre la reta y=3.- Dada la parábola (x ) = -3(y+), es FALSO que: a) V(,-) b) El eje de la parábola es la reta x= ) La diretriz es paralela al eje OY 3.- La euaión x.y=33, representa: a) una reta.. b) dos retas. ) una hipérbola. 4.- La hipérbola de euaión x y =, tiene por asíntotas las retas: 4 a) y =± x b) y =± x ) y =± x 5.- Señalar uál de entre las tres euaiones siguientes orresponde a una ónia de ejes paralelos a los ejes de oordenadas: a) xy = b) y + xy + y = 0 ) 3x + y + x 5y + = Las hipérbolas equiláteras son ónias uya exentriidad vale: a). b) 3. ). 7.- Si los valores propios de la forma uadrátia de una ónia son λ = y λ = siendo A 0. a) Es una elipse. b) Es una hipérbola equilátera. ) Son dos retas seantes. 8.- Si v y v son dos vetores propios asoiados respetivamente, a los valores propios λ y λ de la matriz A (forma uadrátia de la euaión de una ónia), entones v y v forman un ángulo: Unidad Doente de Matemátias 7

3 a) agudo. b) reto. ) obtuso. 9.- Son invariantes de una ónia mediante ambios de referenia ortonormal los siguientes: a) A, A, Traza(A ) y a 00. b) A, A, Traza(A ) y en algunos asos A +A. ) A, A, Traza(A ) y A. 0.- xy= es la euaión de: a) Dos retas que se ortan. b) Una ónia de exentriidad. ) Ninguna de las anteriores..- Sea la ónia a x + a y + a 0x + a 0y + a 00 = 0. Se verifia: a) Es una ónia uyos ejes son paralelos a los ejes de oordenadas. b) Si a y a son de distinto signo es una hipérbola (no degenerada). ) Si a = 0 ó a = 0 se trata de una parábola (no degenerada)..- En una parábola: b a) El parámetro foal es p =. a a b) La diretriz es la reta x =. ) El foo y la diretriz equidistan del vértie de la ónia. x y 3.- La hipérbola = verifia: a b a) El eje foal es el eje x=0. b) su exentriidad es si a=b. a ) Las asíntotas son las retas y = ± x b y x 4.- La hipérbola de euaión =, verifia: a) Las retas y = ± x son sus asíntotas. b) Tiene el entro en el origen de oordenadas y su eje foal es el eje OY. ) Tiene por vérties a los puntos (3,0) y (-3,0). 5.- La ónia de euaión y =0x+y+9 verifia: a) Es una ónia degenerada. b) Es una ónia on entro. ) Su vértie es el punto (-,). 6.- Sea Ax +By +Cxy+Dx+Ey+F=0 la euaión de una parábola uyo eje forma un ángulo α tal que π 0 < α < on el eje OX. Se verifia: a) A=0 o B=0 obligatoriamente, por ser una parábola. b) C 0. ) Si F=0, el vértie de la parábola es el (0,0). U. D. de Matemátias de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 73

4 a) Si λ > es de tipo elíptio. b) Si λ < es de tipo hiperbólio. ) Ninguna de las anteriores. 8.- La matriz asoiada a la ónia x +y +xy+x+y=0 es: a) ; b) ; ) 9.- La euaión x -y =0, representa: a) Dos retas seantes. b) Una hipérbola. ) Un punto.. λ y 7.- La euaión matriial de un haz de ónias es ( x y) x = Dada la ónia de euaión ( x ) ( y 3 + ) =, verifia: 6 5 a) Es una elipse de eje foal x=. b) Es una elipse de eje foal y=3. ) Su entro es el punto C(,3) y el semieje foal es a= Una hipérbola verifia: a) Su exentriidad es menor que. b) La diferenia de los radios vetores en ada punto es onstante. ) Las asíntotas son perpendiulares entre si. 3.- La hipérbola xy=k verifia: a) Sólo tiene una asíntota uya pendiente es 0. b) Sus asíntotas son los ejes de oordenadas. ) Ninguna de las anteriores Sea una hipérbola uyos ejes son paralelos a los ejes de oordenadas. Sus asíntotas verifian: a) Pasan por el entro de la ónia y tienen pendientes opuestas. b) Son retas perpendiulares entre si. ) No tiene porqué existir, de heho a vees sólo hay una asíntota uando la euaión que nos da su pendiente a m +a m+a =0 tiene soluión únia Cuál de las siguientes afirmaiones es orreta? a) y=/x es una hipérbola. b) La exentriidad de la irunferenia es igual a. ) El produto de las distanias de los foos a ualquier tangente a la elipse es igual al uadrado del semieje mayor. 35.-La ónia 7x +y =0 es: a) Dos retas seantes. b) Un punto. Unidad Doente de Matemátias 74

5 ) Reta doble Qué valor debe tomar el parámetro k para que la ónia x+kxy+3y+x+=0 represente un punto? a) 0 b) ± 3 3 ) ± 37.- El lugar geométrio de los puntos de interseión de las retas y=m(x+); my+3(x-) = 0 es: a) Una elipse. b) Una parábola. ) Una hipérbola Sea A la matriz asoiada a una ónia y sea x = P x' la euaión de un ambio de sistema y y' de referenia, entones la matriz asoiada a la ónia respeto del nuevo sistema de referenia es: a) AP. b) P t AP. ) P - AP. 39.-Dada la ónia de euaión x -y +x-4y-8=0, se verifia: a) Sus asíntotas son las retas y + = ± (x + ). b) su exentriidad es e =/3. ) es una ónia de entro el punto (,) Las asíntotas de una hipérbola: a) Son siempre bisetries de los ángulos entre ejes. b) Son las bisetries de los ángulos entre sus ejes si se trata de una hipérbola equilátera. ) Son siempre perpendiulares entre sí. 4.- La ónia uya euaión en oordenadas artesianas es x +y -x=0 es: a) Degenerada. b) Una irunferenia. ) De tipo hiperbólio. 4.- Las ónias del haz ( x y) x = 0 son de tipo elíptio si: y λ a) λ <. b) λ =. ) λ > 43.- La exentriidad de ualquier: a) parábola es mayor que uno. b) irunferenia es ero. ) hipérbola es menor que uno Dada la ónia de euaión xy=, su gráfia es: U. D. de Matemátias de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 75

6 a) b) ) 45.- En la euaión de una ónia son siempre invariantes: a) A, A, Tr(A ). b) A, A, Tr(A). ) A, A, A En una parábola de parámetro p se verifia que: a) La distania del foo a la diretriz es igual a p/. b) La distania del foo al vértie oinide on la distania del vértie a la diretriz. ) La exentriidad depende del valor de p La ónia de euaión 9(x-) +4y -36=0 verifia: a) Es una elipse de entro C(,0) y su eje foal es el eje OX. b) Es una elipse uyo eje foal es paralelo al eje OY. ) Es una irunferenia de radio 6. x y 48.- Los foos de la elipse + = siendo a>b, b a a) Están sobre el eje OX. b) Están sobre la reta x=b. ) Tienen absisa nula En una parábola, la distania del foo a la diretriz a) Es mayor que b) Es menor que ) Es una onstante 50.- Sea C una ónia ualquiera de foo F y diretriz r. Un punto P pertenee a la ónia si y sólo si las distanias de P a F y P a r verifian: a) d(p,f)=d(p,r) b) d(p,f) = k d(p,r) para una ierta onstante k ) d(p,f) > d(p,r) 5.- La ónia 4 x + y 8 x = 0 verifia: a) Sus diretries son paralelas al eje OX b) Es una elipse de semieje mayor a = ) Su eje foal es el eje OX y su entro es el punto (,0) 5.- La ónia de euaión ( x ) = ( y + ) verifia: a) Su eje es la reta de euaión y = -. b) Su eje es la reta de euaión x =. ) Su foo es el punto,. Unidad Doente de Matemátias 76

7 53.- En una parábola se verifia: a) El foo y la diretriz están a la misma distania del vértie de la parábola. b) El parámetro de la parábola p mide la distania del foo al vértie. ) Si su euaión es Ax +By +Cxy+Dx+Ey+F=0, entones, obligatoriamente A ó B han de ser nulos En una elipse se verifia: a) La tangente a la elipse en uno de sus puntos es la bisetriz del ángulo formado por un radio vetor y la prolongaión del otro. b) Su exentriidad es e=. ) Las diretries son paralelas al eje foal La exentriidad de la ónia x -y = es: a). b). ) Si en una ónia se verifia A00 = A > 0 y A = 0, entones: a) La ónia es una elipse imaginaria. b) La ónia es degenerada. ) La ónia son dos retas seantes Si los valores propios de una ónia son y 3 y A =, entones la euaión reduida es: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ) ( ) ( ) x' + 3 y' = x' + 3 y' = 3x' + y' = 58.- Sea C una parábola de foo F, vértie V y diretriz r. Se verifia: a) Un punto P C si y solo si d (P, F) > d (P, r). b) d (F, r) = d (F, V). ) Un punto P C si y solo si d (P, F) < d (P, r). x y+ 5 + = verifia: 4 9 a) Tiene por eje foal a la reta x=. b) Tiene por eje foal a la reta y=-5. ) Tiene de semiejes a= y b= Si a x + a y + a 0x + a 0y + a 00 = 0 es la euaión de una parábola, entones, puede afirmarse que: a) Si a =0, entones a y a son ambos distintos de ero. b) a y a tienen ambos el mismo signo. ) a y a pueden ser ambos nulos 6.- Se llama parámetro p de una ónia on entro (elipse o hipérbola) al número positivo determinado por: a) p=a / b) p=b / ) p=b /a 6.- Las asíntotas de una hipérbola son perpendiulares si y solo se verifia que: a) a=b U. D. de Matemátias de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía La elipse de euaión ( ) ( )

8 b) a=0 ) Nuna 63.- La euaión de una elipse referida a un sistema de referenia ortonormal ualquiera, verifia: a) Los oefiientes de x y de y no son nulos y tienen el mismo signo. b) La afirmaión del apartado a) sólo es ierta si los ejes de la elipse son paralelos a los de oordenadas. ) Si el oefiiente de xy es nulo, entones los oefiientes de x y de positivos Una parábola degenerada puede ser: a) Un punto b) Dos retas seantes ) Una reta doble 65.- Sea A la matriz asoiada a una ónia y A la matriz de su forma uadrátia. a) Si A = 0 y A = 0 es una parábola. b) Si A 0 y A > 0 es una elipse real. ) Si A 0 y A < 0 es una hipérbola Las asíntotas de una hipérbola verifian que: a) Son retas perpendiulares entre sí. b) Los ángulos que forman on el eje foal son suplementarios. ) Los ángulos que forman on el eje foal se diferenian en π. y x 67.- La hipérbola de euaión =, tiene por asíntotas a las retas: 9 4 y x a) ± = 0 3 y son ambos b) y ± x = 3 ) y=± x Si la exentriidad de una ónia es 0, la ónia es: a) Degenerada. b) Una irunferenia. ) Una parábola Si A = 8 y los valores propios de la forma uadrátia de una ónia son 0 y, entones la euaión reduida es: a) ( y' ) + 6x' = 0 b) ( y' ) 3x' = 0 ) ( y' ) 6x' = Sea X t AX = 0 la euaión de una ónia degenerada. Entones, puede asegurarse que: a) A = 0. b) A 00 = 0. ) + a 0. a = Unidad Doente de Matemátias 78

9 7.- Sea P un punto de una ónia ualquiera de foo F y diretriz r. Se verifia: a) distania ( P,F) = distania ( P,r). b) El oiente entre las dos distanias anteriores es onstante, independientemente de quién sea el punto P de la ónia. ) Si F es el punto (3,5), entones el parámetro de la ónia es p = La euaión del haz de ónias: ( x y) x = 0 son tipo hiperbólio si: λ y a) λ< b) λ= ) λ> 73.- Si en una ónia se verifia que A00 = A < 0 y A = 0, entones: a) La ónia es una hipérbola. b) La ónia son dos retas seantes. ) La ónia es una elipse imaginaria La euaión de una hipérbola equilátera puede ser: a) x-y= b) x -y =0 ) xy= 75.- La euaión x +y =0, representa: a) Dos retas seantes. b) Una hipérbola. ) Un punto Si la exentriidad de una ónia no degenerada es, entones: a) Es una elipse. b) Es una hipérbola. ) Ninguna de las anteriores La matriz que define una ónia es: a) singular b) simétria ) antisimétria 78.- La exentriidad de una elipse es 0,5 y el eje mayor es 0 m. Entones la distania foal es: a) 5 m b) 0 m ) 0 m 79.- Sea X t AX=0 la euaión de una ónia on entro en un punto ualquiera del plano, entones se verifia que: a) A y A son invariantes de la ónia respeto de ualquier ambio de sistema de referenia. U. D. de Matemátias de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 79

10 b) A y A son invariantes de la ónia solamente respeto de ualquier ambio de sistema de referenia resultante de un giro por una traslaión. ) A no es un invariante de la ónia respeto de ualquier ambio de sistema de referenia. Unidad Doente de Matemátias 80