La ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas. El plano en el espacio afín

Transcripción

1 La euaión lineal de primer grado on tres inógnitas. El plano en el espaio afín En un artíulo anterior habíamos hablado sobre la euaión lineal de primer grado on dos inógnitas y sobre la reta en el plano afín. Esas ideas se pueden extender al espaio en tres dimensiones. Así que vamos allá. Ya sabemos que una euaión lineal es una euaión polinómia de grado uno on una o varias inógnitas. Si la euaión tiene tres inógnitas la euaión adopta la forma ax + by + z + d = 0 donde a, b, y d son número reales, y las inógnitas son x, y, z. Llamando, por ejemplo, x = λ, y = µ, podemos despejar la inógnita z: ax + by + z + d = 0 z = aλ bµ d z = a λ b µ d El heho de llamar λ a la inógnita x y µ a la inógnita y, viene a deir que las inógnitas x e y pueden tomar ualquier valor real, a los que llamaremos parámetros. Por tanto, la inógnita z depende del valor que le demos a los parámetros λ y µ. Podemos esribir las soluiones en forma de terna ordenada, de la siguiente manera: x, y, z) = λ, µ, a λ b µ d ) Por ejemplo, sea la euaión lineal de primer grado on tres inógnitas x 2y + z 5 = 0. En este aso a = 1, b = 2, = y d = 5. Por tanto, las soluiones son de la forma x, y, z) = λ, µ, 1 λ 2 µ 5 ) = λ, µ, 1 λ + 2 µ + 5 ) Ahora, si damos valores a λ y a µ podemos ir obteniendo los valores de z. Por ejemplo, si λ = 5 y µ = 0, entones z = 1 λ + 2 µ + 5 = = = 0 on lo que una soluión es x, y, z) = 5, 0, 0). Proediendo de manera similar podemos obtener las ternas de soluiones siguientes: λ = 0, µ = 0 x, y, z) = 0, 0, 5 ) 1

2 λ = 0, µ = 5 2 x, y, z) = 0, 5 2, 0 ) λ = 2, µ = 2 x, y, z) = 2, 2, 7 ) λ =, µ = 1 x, y, z) =, 1, 2) Podemos representar inluso los valores anteriores usando unos ejes de oordenadas, es deir, fijando un sistema de referenia afín tridimensional el espaio afín). Este sistema es el habitual, es deir, R = {O, {i, j, k}}, donde i = 1, 0, 0), j = 0, 1, 0), k = 0, 0, 1) ya se habló sobre este sistema de referenia en un artíulo anterior, dediado a los sistemas de dos euaiones lineales de primer grado on dos inógnitas). Pues bien, todas las ternas que son soluiones de la euaión x 2y + z 5 = 0 están situadas en un mismo plano π, on lo que llamaremos π x 2y + z 5 = 0 Lo podemos apreiar en la figura siguiente, en la que inluso se observa el punto del plano, 1, 2), que también representa al vetor de las mismas oordenadas. Las soluiones de una euaión lineal de primer grado on tres inógnitas, ax + by + z + d = 0, también las podemos esribir así: x, y, z) = λ, µ, a λ b µ d ) = λ, 0, a ) λ + 0, µ, b ) µ + 0, 0, d ) 2

3 x, y, z) = λ 1, 0, a ) + µ 0, 1, b ) + 0, 0, d ) Siguiendo on el ejemplo anterior podemos esribir las soluiones de la euaión x 2y + z 5 = 0 del siguiente modo: x, y, z) = λ 1, 0, 1 ) + µ 0, 1, 2 ) + 0, 0, 5 ) Geométriamente, la expresión anterior india que el plano π x 2y + z 5 = 0 es el plano paralelo al plano que ontiene a los vetores 1, 0, 1 ), 0, 1, 2 ) y que pasa por el punto 0, 0, 5 ). Diho de otro modo: todos los puntos de este plano son los extremos de los vetores que se obtienen al sumar ualquier vetor proporional al vetor 1, 0, 1 ) on ualquier vetor proporional al vetor 0, 1, 2 ), y on el vetor 0, 0, 5 ). De heho, si tomamos λ = 1 y µ = 1, tenemos que un punto del plano es x, y, z) = 1 1, 0, 1 ) + 1 0, 1, 2 ) + 0, 0, 5 ) = 1, 1, 2) No es fáil imaginar esta situaión en el espaio, pero on ayuda de alguna apliaión que represente figuras en tres dimensiones podemos haernos una idea. En este aso, omo en la imagen anterior, hemos utilizado Geogebra. En la siguiente figura se observa omo nuestro plano π x 2y + z 5 = 0, es paralelo al plano que ontiene a 1, 0, 1 ) y a 0, 1, 2 ) y además pasa por el punto 0, 0, 5 ). De heho también se apreia on laridad que el punto 1, 1, 2), generado por las soluiones orrespondientes a λ = 1 y µ = 1, pertenee al plano π.

4 Analizando lo anterior llegamos a una onlusión: un plano viene ompletamente determinado por dos vetores on distinta direión linealmente independientes) y un punto. O lo que es lo mismo, existe un únio plano que pasa por un punto dado y en dos direiones determinadas. A los vetores que determinan el plano se le llaman vetores de direión o vetores diretores del plano. Generaliemos esta situaión desde el punto de vista vetorial. Para ello llamaremos O al origen de oordenadas A a un punto ualquiera del espaio, OA al vetor de posiión on origen en O y extremo en A, y u y v a dos vetores on distinta direión. La euaión del plano que pasa por el punto A on la direión de los vetores u y v viene dada por OX = OA + λ u + µ v, λ, µ R donde OX es el vetor de posiión on origen en O generado al dar valores a los parámetros λ y µ. Hemos de insistir en que las oordenadas de los vetores están esritas en base al sistema de referenia R = {O, {i, j, k}} del que hemos hablado anteriormente. Es deir, hemos instalado en el espaio unos ejes de oordenadas: el eje X para la anhura, el eje Y para la profundidad, y el eje Z para la altura. Así, uando hablamos de tomar el vetor e = 1, 1, 2), y lo visualizamos en el espaio omo un segmento orientado desde el origen de oordenadas O = 0, 0, 0) hasta el extremo en el punto de oordenadas 1, 1, 2), lo que estamos haiendo realmente es la siguiente operaión: 1, 1, 2) = 1 1, 0, 0) + 1 0, 1, 0) + 2 0, 0, 1) = 1 i + 1 j + 2 k 4

5 O lo que es lo mismo, el vetor e = 1, 1, 2) es aquel que tiene una unidad de anhura, otra de profundad y dos unidades de altura. Los vetores i = 1, 0, 0), j = 0, 1, 0), k = 0, 0, 1) situados respetivamente sobre el eje X, sobre el eje Y y sobre el eje Z, tienen módulo 1 y son perpendiulares. Se die que los tres vetores son ortonormales o que forman una base ortonormal del espaio. Además ualquier vetor a, b, ) lo podemos esribir así: a, b, ) = a 1, 0, 0) + b 0, 1, 0) + 0, 0, 1) = a i + b j + k La igualdad anterior expresa que todo vetor del espaio, o lo que es lo mismo, todo el espaio, se puede generar a partir de los vetores i = 1, 0, 0), j = 0, 1, 0), k = 0, 0, 1). Se die que todo vetor del espaio es una ombinaión lineal de i = 1, 0, 0), j = 0, 1, 0), k = 0, 0, 1). Estos vetores, junto on el origen de oordenadas O forman el sistema de referenia ortonormal R = {O, {i, j, k}}. La geometría en el espaio afín empieza de este modo. Se onsidera un sistema de referenia afín ortonormal R = {O, {i, j, k}}. Se sabe que todo vetor que se apoye en O se puede poner omo ombinaión lineal de i, de j y de k: X = OX = x 1 i + x 2 j + x k = x 1, x 2, x ) Por tanto un vetor ualquiera del espaio lo podemos. a trapar. en nuestro sistema de referenia. Todo vetor e del espaio tiene un origen A a 1, a 2, a ) y un extremo B b 1, b 2, b ), y por tanto e = AB. Además: OB = OA + AB AB = OB OA AB = b 1, b 2, b ) a 1, a 2, a ) AB = b 1 a 1, b 2 a 2, b a ) Por ejemplo, el vetor e que une el punto P, 1, 2) on el punto Q 2,, 1) es e = PQ = 2, 1), 1 2) = 1, 2, ) 5

6 Nuestro vetor e aaba de ser esrito en base a nuestro sistema de referenia. Hay infinitos vetores en el espaio on el mismo módulo, direión y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen O de nuestro sistema de referenia. Al onjunto de todos los vetores on el mismo módulo, direión y sentido se le llama vetor libre del espaio. Con las onsideraiones anteriores la euaión vetorial del plano que pasa por el punto A on la direión de los vetores u y v, OX = OA + λ u + µ v, λ, µ R, adquiere todo su sentido. Si la euaión vetorial la expresamos en oordenadas tenemos: x, y, z) = a 1, a 2, a ) + λ u 1, u 2, u ) + µ v 1, v 2, v ) x, y, z) = a 1 + λu 1 + µv 1, a 2 + λu 2 + µv 2, a + λu + µv ) Igualando oordenadas: x = a 1 + λu 1 + µv 1 y = a 2 + λu 2 + µv 2 z = a + λu + µv Las euaiones anteriores reiben el nombre de euaiones paramétrias del plano. Estas euaiones las podemos ver omo un sistema de tres euaiones on dos inógnitas: λ y µ. λu 1 + µv 1 = x a 1 λu 2 + µv 2 = y a 2 λu + µv = z a Si de este sistema eliminamos los parámetros λ y µ obtenemos la euaión general o implíita del plano, que será una euaión lineal de primer grado on tres inógnitas: Ax + By + Cz + D = 0 Veamos on un ejemplo ómo eliminar los parámetros. Supongamos que queremos hallar la euaión general del plano que pasa por el punto A 2,, 5) y es paralelo a los vetores u = 1, 2, ), v = 1,, 5). Sus euaiones paramétrias serán: x = 2 λ + µ y = 2λ + µ z = 5 λ + 5µ Y de aquí: λ + µ = x 2 2λ + µ = y λ + 5µ = z 5 6

7 Consideremos que las inógnitas son λ y µ y apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema: 1 1 x 2 2 y 5 z x y 2x z x x y 2x x 2y + z 1 De lo anterior se dedue, para que el sistema tenga soluiones preisamente las soluiones son todos los puntos del plano), que x 2y + z 1 = 0, justamente la euaión general o implíita del plano. Sin haer el último paso en el método de Gauss también se obtiene lo mismo. Las dos últimas euaiones asoiadas son { y de aquí se obtiene, por igualaión, que µ = y 2x + 1 2µ = z x + 1 y 2x + 1 = z x y 4x + 2 = z x + 1 x 2y + z 1 = 0 7