UNIDAD 2.- PROBABILIDAD CONDICIONADA

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1 UNIDAD.- PROBABILIDAD CONDICIONADA. PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Las probabilidades ondiionadas se alulan una vez que se ha inorporado informaión adiional a la situaión de partida: Ejemplo: Se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un es /6 (probabilidad a priori). Si inorporamos nueva informaión (por ejemplo, alguien nos die que el resultado ha sido un número par) entones la probabilidad de que el resultado sea el ya no es /6. En este aso la probabilidad es / Definiión: Sean A y B dos suesos de un mismo espaio muestral E. Se llama probabilidad del sueso B ondiionado a A y se representa por P( B / A ) a la probabilidad del sueso B una vez ha ourrido el A. Las probabilidades ondiionadas se alulan apliando la siguiente fórmula: P( B A) P( B / A) PA ( ) Donde: - P( B / A) es la probabilidad de que se dé el sueso B ondiionada a que se haya dado el sueso A. - P( B A) es la probabilidad del sueso simultáneo o interseión de A y de B - PA ( ) es la probabilidad a priori del sueso A En el ejemplo que hemos visto: P( B / A) es la probabilidad de que salga el número (sueso B) ondiionada a que haya salido un número par (sueso A). P( B A) es la probabilidad de que salga el dos y número par. PAes ( ) la probabilidad a priori de que salga un número par. Por lo tanto: P( B A) PA ( ) 6 6 P( B A) Así, P( B / A) 6 PA ( ) 6 Luego, la probabilidad de que salga el número, si ya sabemos que ha salido un número par, es de / (mayor que su probabilidad a priori de /6) Ejemplo: En un estudio sanitario se ha llegado a la onlusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas oronarios (sueso B) es el 0,0 (probabilidad a priori). Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (sueso A) es el 0,5 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y oronarios (sueso interseión de A y B) es del 0,05. Calular la probabilidad de que una persona sufra problemas oronarios si está obesa (probabilidad ondiionada P(B/A)). P( B A) = 0,05 PA= ( ) 0,5 P( B / A ) = 0,05 / 0,5 = 0,0

2 P( B A) Conseuenia: De la fórmula P( B / A) podemos despejar la probabilidad de la interseión y PA ( ) tenemos P( B A) P( A) P( B / A), que se suele usar muy a menudo y que se onoe omo probabilidad ompuesta o del produto. De manera general, tenemos para tres suesos, P( C B A) P( A) P( B / A) P( C / B A) Y para uatro suesos, P( DC B A) P( A) P( B / A) P( C / B A) P( D / C B A) Todo ello en el orden que reamos onveniente para nuestros intereses Ejemplo: Estudiamos el sueso A (porentaje de varones mayores de 40 años asados) y el sueso B (varones mayores de 40 años on más de hijos) y obtenemos la siguiente informaión: Un 5% de los varones mayores de 40 años están asados. De los varones mayores de 40 años y asados, un 0% tienen más de hijos (sueso B ondiionado al sueso A). Calular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté asado y tenga más de hijos (sueso interseión de A y B). Por lo tanto: P (A) = 0,5 P (B/A) = 0,0 P (A B) = 0,5 * 0,0 = 0,05 Es deir, un 0,5% de los varones mayores de 40 años están asados y tienen más de hijos. Ejemplo: Estudiamos el sueso A (alumnos que hablan inglés) y el sueso B (alumnos que hablan alemán) y obtenemos la siguiente informaión: Un 50% de los alumnos hablan inglés. De los alumnos que hablan inglés, un 0% hablan también alemán (sueso B ondiionado al sueso A). Calular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (sueso interseión de A y B). Por lo tanto: P (A) = 0,50 P (B/A) = 0,0 P (A B) = 0,50 * 0,0 = 0,0 Es deir, un 0% de los alumnos hablan inglés y alemán. Definiión: Dos suesos A y B son independientes si la ourrenia de uno de ellos no modifia la probabilidad del otro, es deir, P( B A) P( B) P( A) o lo que es lo mismo P( B / A) P( A) Definiión: Dos suesos A y B son dependientes si la ourrenia de uno de ellos modifia la probabilidad del otro, es deir, P( B A) P( A) P( B / A) P( A) P( B) Ejemplo: Tenemos una baraja española de 40 artas y proedemos a extraer artas, alulamos: a) La probabilidad al extraer suesivamente las artas de que salgan opas Llamamos C = sale opa en la extraión, C = sale opa en la extraión y C = sale opa en la extraión. Hemos de alular P( C C C) y para ello usamos la probabilidad ompuesta,

3 0 9 8 P( C C C) P( C ) P( C / C ) P( C / C C) 0, Los suesos en este aso son dependientes. b) La probabilidad de que al extraer las artas, on reemplazamiento, sean opas P( C C C) P( C) P( C / C) P( C / C C) 0, En este aso los suesos son independientes. TABLAS DE CONTINGENCIA Un método útil para lasifiar los datos obtenidos en un reuento es mediante las tablas de ontingenia. Se trata de tablas en uyas eldas figuran probabilidades (o porentajes o valores absolutos), y en la ual podemos determinar unas probabilidades onoiendo otras de la tabla. La tabla de ontingenia es una tabla de doble entrada, donde en ada asilla figurará el número de asos o individuos que poseen un nivel de uno de los fatores o araterístias analizadas y otro nivel del otro fator analizado. O bien el porentaje o probabilidad en ada asilla o elda. Para el aso más simple de dos suesos A y B, y sus omplementarios, manera general sería así: A y B, la tabla de ontingenia de A A Totales B P( A B) P( A B) PB ( ) B ( ) P A B P( A B ) PB ( ) Totales PA ( ) PA ( ) Ejemplo: Se sortea un viaje a Roma entre los 0 mejores lientes de una agenia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están asados y 45 son mujeres asadas. Se pide: a) Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es asado, uál será la probabilidad de que sea una mujer? Construimos la tabla de ontingenia on los datos aportados omo sigue: Mujeres Hombre Totales Casados Solteros Totales 65 0 Ahora rellenamos onvenientemente las eldas que faltan: Mujeres Hombre Totales Casados Solteros Totales Si queremos haemos la tabla de ontingenia on las probabilidades, aunque no es neesaria. Pero a vees puede ser útil o que nos la pidan en el ejeriio.

4 Mujeres Hombre Totales Casados 45/0 5/0 80/0 Solteros 0/0 0/0 40/0 Totales 65/0 55/0 a) Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? 0 P(hombre soltero) 0 6 b) Si del afortunado se sabe que es asado, uál será la probabilidad de que sea una mujer? 45 9 P( mujer / asada) 0, También se puede haer apliando la fórmula de la probabilidad ondiionada 45 P(mujer asado) P( mujer / asada) 0,565 P(asado) Ejemplo: En una iudad el 40% de los domiilios tiene onexión a Internet, el % tiene onexión de TV por able y el 0% disfruta de ambos serviios. a) Calula la probabilidad de que al elegir al azar un hogar nos enontremos on al menos alguno de estos dos serviios. b) Se ha elegido un hogar en el que hay onexión a Internet. Probabilidad de que no esté equipado on TV por able. Construimos la tabla de ontingenia on los datos aportados omo sigue: Internet (I) No Internet (No I) TOTAL (C/No C) Cable TV (C) 0 No able TV (No C) TOTAL (I/No I) No resulta difíil deduir los demás datos de la tabla a partir de los que se tienen onsiderando los totales por filas y olumnas. Internet (I) No Internet (No I) TOTAL (C/No C) Cable TV (C) 0 No able TV (No C) TOTAL (I/No I) a) Calula la probabilidad de que al elegir al azar un hogar nos enontremos on al menos alguno de estos dos serviios. Método : Nos piden P( I C) Se hae uso de la regla de Laplae puesto que ualquier hogar tiene las mismas opiones de ser elegido en un proeso aleatorio. Casos posibles: 00 (datos dados en porentajes) Casos favorables: 0 (Tienen Internet y able)+ (tienen solo able)+0(tienen sólo Internet) =5 Probabilidad: P( I C) = 5/00. 4

5 Método : Se hae uso del sueso omplementario (no tener ninguno de los dos serviios) y de la Regla de Laplae. Casos posibles: 00 (datos en porentajes) Casos favorables: 47 (no tienen ninguno de los dos serviios) Probabilidad del omplementario: P( noi noc) = 47/00. La probabilidad soliitada es igual a menos la probabilidad obtenida (Probabilidad del sueso omplementario): P( I C) = - P( noi noc) = - 47/00 = 5/00 Método : Se hae uso del sueso unión y de la Regla de Laplae P( I C) P( I) P( C) P( I C) b) Se ha elegido un hogar en el que hay onexión a Internet. Probabilidad de que no esté equipado on TV por able. Se trata de probabilidad ondiionada, en este aso P( C / I ), que mirando la tabla se hae fáilmente: 0 P( noc / I) DIAGRAMAS DE ÁRBOL Para la onstruión de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para ada una de las posibilidades, aompañada de su probabilidad. En el final de ada rama parial se onstituye a su vez, un nudo del ual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). En ada rama, se oloa la probabilidad del sueso ondiionado al sueso del nudo del que parte. Hay que tener en uenta: que la suma de probabilidades de las ramas de ada nudo ha de dar Ejemplo: Tenemos dos urnas: la primera tiene bolas rojas, blanas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, blanas y negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blana? b) Sabiendo que la bola extraída fue blana, uál es la probabilidad de que fuera de la primera urna? Haemos un diagrama en árbol: 5

6 a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blana? 7 P( Blana) b) Sabiendo que la bola extraída fue blana, uál es la probabilidad de que fuera de la primera urna? P(Urna I Blana) 0 4 P(Urna I / Blana) P(Blana) Ejemplo: Una lase onsta de seis niñas y 0 niños. Si se esoge un omité de tres al azar, hallar la probabilidad de: a) Seleionar tres niños. b) Seleionar exatamente dos niños y una niña. ) Seleionar exatamente dos niñas y un niño. Construimos un diagrama de árbol: Mirando el diagrama tenemos: a) Seleionar tres niños. b) Seleionar exatamente dos niños y una niña. ) Seleionar exatamente dos niñas y un niño. 6

7 4. PROBABILIDAD TOTAL En oasiones el espaio muestral E se puede dividir en varios suesos B, B, B,..., B n que son inompatibles entre sí, de modo que siempre que se realie el experimento saldrá uno de ellos y ninguno de los otros. Esto signifia que Bi Bj para ualquier i j y además B B B... Bn E. Esto se llama un sistema ompleto de suesos. En esta situaión, la probabilidad de un sueso ualquiera A puede alularse empleando la fórmula o teorema de la probabilidad total, que nos die que: P( A) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B ) P( B )... P( A/ Bn) P( Bn) O de manera reduida n P( A) P( A / Bk) P( Bk) Esta fórmula se obtiene de esta otra P( A) P( A B ) P( A B ) P( A B )... P( A B n ) Ejemplo: En una eonomía hay 4 setores produtivos B, B, B y B 4. k Sea el sueso S estar en paro. La probabilidad de que una persona esté en paro en ada uno de los setores será: 4 P S B 0, 05 P S B 0, 0 P S B 0, 0 P S B 0, De los trabajadores de esa eonomía la mitad perteneen a B y el resto se reparten por igual entre los otros tres, es deir: P B 0, 5 P B 06, P B 06, P B 06, 4 a) Calular la probabilidad de que una persona elegida al azar esté en paro La probabilidad de estar en paro de una persona esogida al azar será, apliando el teorema de probabilidad total: 4 P( S ) P S B P( B ) i i i 0, 05 0, 5 0, 0 0, 6 0, 0 0, 6 0, 0, 6 0, 458 Ejemplo: Van a ambiar a tu jefe y se barajan diversos andidatos: a) Carlos, on una probabilidad del 60% b) Juan, on una probabilidad del 0% ) Luis, on una probabilidad del 0% En funión de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 0%. ) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%. En definitiva, uál es la probabilidad de que te suban el sueldo? Tenemos que los suesos: 7

8 C = {sale Carlos}, J = {sale Juan}, L = {sale Luis} umple que la unión de ellos es el espaio muestral ompleto, E, y además son inompatibles entre sí, su interseión es vaía. Consideramos el sueso S = {me suben el sueldo}. Tenemos apliando probabilidad total que: P (S) = P(S/C) P(C) + P(S/J) P(J) + P(S/L) P(L) = (0,05 0,60) + (0,0 0,0) + (0,60 0,0) = 0,5 Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. Pinta mal la osa Ejemplo: Se tiene una urna vaía y se lanza una moneda al aire. Si sale ara, se introdue en la urna una bola blana y, si sale ruz, se introdue una bola negra. El experimento se repite tres vees y, a ontinuaión, se introdue la mano en la urna, retirando una bola. Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blana y otra negra? Consideremos los suesos B = {obtener una bola blana} y N = {obtener una bola negra}. Vamos a onstruir un diagrama en árbol para desglosar el problema. URNAS INICIALES URNAS FINALES BBB BB /8 / BB /8 BBN / BN /8 / BN BNN /8 / NN NNN NN Nos piden P( BN ) y onsideramos el sistema ompleto de suesos BBB, BBN, BNN, NNN, y apliamos el teorema de la probabilidad total: P( BN) P( BN / BBB) P( BBB) P( BN / BBN ) P( BBN ) P( BN / BNN) P( BNN) P( BN / NNN) P( NNN) P( BN) 0 0 P( BN) 0, TEOREMA DE BAYES Consideremos omo en la probabilidad total un sistema ompleto de suesos B, B, B,..., B n que son inompatibles entre sí, de modo que siempre que se realie el experimento saldrá uno de ellos. Esto signifia que Bi Bjpara ualquier i j y además B B B... Bn E. Entones el teorema de Bayes nos die que dado un sueso ualquiera A : P( Bi) P( A / Bi) P( Bi / A) P( A / B ) P( B ) P( A / B ) P( B )... P( A / B ) P( B ) n n 8

9 Las probabilidades PB ( i ) reiben el nombre de probabilidades a priori. Las probabilidades P( A / B i ) se llaman probabilidades a posteriori. Ejemplo: En una eonomía hay 4 setores produtivos B, B, B y B 4. Sea el sueso S estar en paro. La probabilidad de que una persona esté en paro en ada uno de los setores será: 4 P S B 0, 05 P S B 0, 0 P S B 0, 0 P S B 0, De los trabajadores de esa eonomía la mitad perteneen a B y el resto se reparten por igual entre los otros tres, es deir: P B 0, 5 P B 06, P B 06, P B4 06, Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en paro perteneza al setor, es deir, PB S? La soluión la obtenemos apliando el teorema de Bayes 0, 05 0, 5 P B S 0, 54 0, 05 0, 5 0, 0 0, 6 0, 0 0, 6 0, 0, 6 Ejemplo: La probabilidad de que haya un aidente en una fábria que dispone de alarma es 0.. La probabilidad de que suene esta sí se ha produido algún inidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha suedido ningún inidente es 0.0. En el supuesto de que haya funionado la alarma, uál es la probabilidad de que no haya habido ningún inidente? Sean los suesos: I = Produirse inidente A = Sonar la alarma. Usamos el diagrama de árbol Apliando Bayes on el sistema ompleto de suesos formado por I e I nos piden: P( I) P( A / I) 0.90,0 P( I / A) 0,57 P( I) P( A / I) P( I) P( A / I) 0, ,0 Ejemplo: Tres máquinas M, M y M, produen el 45%, 0% y 5%, respetivamente, del total de las piezas produidas en una fábria. Los porentajes de produión defetuosa de estas máquina son del %, 4% y 5%. a) Seleionamos una pieza al azar, alula la probabilidad de que sea defetuosa b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defetuosa, alula la probabilidad de haber sido produida por la máquina M ) Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber produido la itada pieza defetuosa? 9

10 Realizamos un diagrama de árbol para expresar el enuniado del problema, siendo los suesos D = {la pieza es defetuosa} y N = {la pieza no es defetuosa} 0,0 D M 0,45 0,97 N 0,0 0,04 D M 0,96 N 0,5 0,05 D M 0,95 N a) Para alular la probabilidad de que la pieza elegida sea defetuosa, apliamos el teorema de la probabilidad total on el sistema ompleto de suesos S = { M, M, M }, P( D) P( M) P( D / M) P( M) P( D / M) P( M) P( D / M) PD ( ) 0, 45 0,0 0,0 0,04 0, 5 0,05 0,08 b) Debemos de alular aquí P( M / D) y para ello apliamos el teorema de Bayes P( M ) P( D / M ) 0,0 0,04 P( M / D) P ( M ) P ( D / M ) P ( M ) P ( D / M ) P ( M ) P ( D / M ) 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0,05 P( M / D) 0,6 ) Calulamos las dos probabilidades que nos faltan y omparamos P( M ) P( D / M ) 0,45 0,0 P M D P M P D M P M P D M P M P D M ( / ) 0,55 ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0,05 P( M ) P( D / M ) 0,5 0,05 P M D P M P D M P M P D M P M P D M ( / ) 0,9 ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) 0,45 0,0 0,0 0,04 0,5 0,05 La máquina on mayor probabilidad de haber produido la pieza defetuosa es M 0