El Teorema de Cauchy

Transcripción

1 El Teorema de Cauhy Deimos que una urva es errada si termina en el mismo punto donde empieza. Deimos que una urva es simple si no tiene autointerseiones. Uno de los primeros teoremas de topología del plano, desubierto por sus apliaiones al álulo omplejo, es el siguiente: Teorema de Jordan. Cada urva simple errada divide al plano en dos regiones onexas, llamadas el interior y el exterior de, de las que es frontera omún. Una urva simple El interior de Cada urva admite 2 orientaiones. Deimos que una urva simple está orientada positivamente si su orientaión es ontaria a la de las maneillas del reloj. Orientaión positiva Orientaion negativa El Teorema de Cauhy ontesta una pregunta fundamental del álulo omplejo: Cuando es ierto que la integral de una funión analítia f en una urva errada es 0? Sabemos que esto ourre si f tiene una antiderivada definida en toda la urva, y que a vees no ourre, por ejemplo on la integral de /z a lo largo de un írulo on entro en el origen.

2 Teorema De Cauhy. Si es una urva simple errada, y f(z) es una funión ontinua en y f(z) es analítia on derivada ontinua en el interior de entones f(z)dz = 0 Demostraion. En las notas anteriores mostramos que las integrales omplejas pueden alularse omo integrales de linea: Si z = x + iy y f(z) = u(x, y) + iv(x, y) entones f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx vdy + i vdx + udy Reordar ahora el Teorema de Green para integrales reales: Si es una urva simple errada orientada positivamente y M y N son funiones reales ontinuas en y derivables on derivadas pariales ontinuas en la región interior R de, entones Mdx + Ndy = R ( N x M y ) dxdy Si apliamos el Teorema de Green a las funiones M = v y N = u obtenemos vdx + udy = ( u x v y ) dxdy y si lo apliamos a M = u y N = v queda udx vdy = R R ( v x u y ) dxdy Pero por las euaiones de Cauhy Riemann u x = v y y v x = u y, asi que las dos integrales de la dereha son 0. Ejemplo. Si es ualquier urva simple errada en el plano entones e z2 dz = 0 ya que f(z) = e z2 es analítia en todo C. Ejemplo. Si es una urva simple errada uyo interior no ontiene al origen entones /z dz = 0 ya que /z es analítia en C 0. Pero si el interior de sí ontiene a 0 entones la integral no es 0, omo veremos mas adelante. 2

3 El Teorema de Cauhy puede apliarse también, on uidado, a urvas erradas que no son simples, pero que pueden partirse en urvas erradas simples. La orientaión de la urva indue una orientaión en ada uno de las urvas partidas, y puede verse de la definiión de la integral ompleja que la integral de es la suma de las integrales de los pedazos. Asi que si la funión f es analítia en el interior de ada uno de las urvas simples en las que se parte, entones la integral de f en debe ser 0. Corolario. Si f es una funión analítia on derivada ontinua en una región A y si y son dos urvas simples erradas y ajenas en A tales que una puede deformarse a la otra dentro de A sin ambiar su orientaion, entones f(z)dz = f(z)dz Demostraion. Si las urvas y son ajenas, podemos onetarlas on dos aros a y a en A para obtener dos urvas simples s y s uyos interiores estan ontenidos en A. Por el Teorema de Cauhy las integrales de f en s y en s son 0. Pero si y tienen la misma orientaión entones f f = f + f = 0 s s ya que las integrales sobre los aros a y a se anelan. 3

4 Ejemplos. Si es una urva simple errada orientada positivamente y el interior de ontiene al origen, entones /z dz = 2πi ya que podemos deformar la urva a un irulo entrado en el origen. Tambien podemos alular las integrales de /z sobre urvas no simples ortándolas para obtener urvas simples on la misma orientaión: /zdz = 2πi /zdz = 4πi Una urva en una región A es ontraible en A si puede deformarse ontinuamente a un punto en A. Una región A es simplemente onexa si todas las urvas erradas en A son ontraibles. Intuitivamente las regiones simplemente onexas del plano son las regiones sin hoyos. Curvas ontraibles y no ontraibles Región simplemente onexa Teorema de Cauhy (segunda versión). Si f(z) es una funión analítia on derivada ontinua en una región simplemente onexa A, entones para toda urva errada en A, f(z) dz = 0. 4

5 Corolario. Si f(z) es una funión analítia on derivada ontinua en una región simplemente onexa A, entones f tiene una antiderivada en A. Demostraion. Por el Teorema de Cauhy todas las integrales de f sobre urvas erradas en A son 0. Por el teorema de independenia de la trayetoria, esto implia que las integrales de f sobre urvas que unen 2 puntos en A no dependen de las trayetorias, y que la funión F (z) = γz f(z)dz (donde γz es ualquier trayetoria de un punto fijo en A al punto z) es una antiderivada de f. Ejemplo. Si A es ualquier región simplemente onexa del plano que no ontiene a 0 entones f(z) = /z tiene una antiderivada en A. Hay una rama del logaritmo definida en esta región Problemas. Para uales urvas simples erradas es ierto que z 2 + z + dz = 0? 2. Si es el írulo on entro en y radio 2, orientado positivamente, alula: z dz z dz z + 2 dz 5

6 3. Si la funión f(z) es analítia en la región verde que relaión hay entre las integrales de f a lo largo de las siguientes urvas? 4. Calula las integrales de la funión /z en las siguientes urvas (el punto es el 0): 5. Si log(z) es la rama del logaritmo definida en la región gris on log() = 0, evalúa: log(2) log(3) log(i) log(2i) log(3i). 6

7 El teorema de Cauhy-Goursat Toda funión real f(x) que es ontinua en un intervalo es la derivada real de una funión F (x) en ese intervalo: podemos onstruir la antiderivada de f(x) omo F (x) = x a f(t)dt. No toda funión ompleja f(z) que es ontinua en una región A es la derivada ompleja de una funión F (z) en A: por el teorema fundamental para que esto sueda es neesario que la integral de f(z) sea 0 en toda urva errada en A. El Teorema de Cauhy nos die que esto suede si f(z) es derivable omo funión ompleja y su derivada es ontinua. Pedir que f tenga derivada ompleja y que esta sea ontinua paree una hipotesis muy fuerte omparada on la hipotesis en el aso real (que f sea ontinua). Goursat pudo probar el Teorema de Cauhy sin pedir que la derivada de f sea ontinua, y este pequeño ambio tiene onseuenias muy importantes. Teorema. Si f es una funión analítia en una región simplemente onexa A entones para ada urva errada en A f(z) dz = 0 La demostraión de este teorema está basada en el siguiente lema: Lema de Goursat. Si f es una funión analítia en una región que ontiene a un triángulo y su interior, entones f(z)dz = 0 Demostraión. Dividamos a en 4 triángulos semejantes de la mitad del tamaño, a, b, y d, orientados todos positivamente, omo en la figura. Entones f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz a b d Para alguno de los 4 triángulos, llamemoslo, debe ourrir que f(z)dz 4 f(z)dz Si dividimos ahora a en 4 triángulos, entones para alguno de ellos, llamemoslo 2 debe ourrir que 2 f(z)dz 4 f(z)dz. 4 f(z)dz 2 7

8 Repitiendo esta onstruión obtenemos triángulos 2... n... tales que para ada n, diam n = 2 n diam perim n = 2 n perim n f(z)dz 4 f(z)dz n Como los triángulos n estan anidados y su diámetro se aproxima a 0, su interseión es un punto z 0. Ahora podemos usar la hipótesis de que f(z) es derivable en z 0 para aotar el tamaño de la integral f(z) f(z n f(z)dz uando n es muy pequeño. Como lim 0 ) z z0 z z 0 f (z 0 ) = 0 entones para ada ɛ > 0, existe un δ > 0 tal que f(z) f(z 0) z z 0 f (z 0 ) < ɛ siempre que z z 0 < δ. Ahora si n es lo sufiientemente grande para que diam n < δ entones f(z) f(z 0 ) f (z 0 )(z z 0 ) < ɛ z z 0 ɛ diam n Ahora observemos que f(z)dz = f(z) f(z 0 ) f (z 0 )(z z 0 ) dz n n ya que las funiones f(z 0 ) y f (z 0 )(z z 0 ) son las derivadas de las funiones f(z 0 )z y f (z 0 ) 2 (z z 0 ) 2 y por lo tanto sus integrales en ontornos errados son 0. Por lo tanto f(z)dz = f(z) f(z 0 ) f (z 0 )(z z 0 ) dz ɛ z z 0 dz ɛ diam n perim n n n n asi que f(z)dz 4 n f(z)dz 4 n ɛ diam n perim n = ɛ diam perim n Como esto vale para todo ɛ > 0, entones f(z)dz = 0 8

9 Corolario. Toda funión analítia f(z) en una región simplemente onexa A tiene una antiderivada en A. Demostraión. Definamos F (z) = f(ζ) dζ τ z donde τ z es una trayetoria poligonal en A que va de un punto fijo z 0 hasta z (trayetoria poligonal = formada de un número finito de segmentos de reta). Tenemos que probar que F (z) esta bien definida y que F (z) = f(z). Para ver que F (z) esta bien definida neesitamos mostrar que F (z) no depende de la trayetoria poligonal que elijamos de z 0 a z, y para esto basta ver que si P es una urva poligonal errada en A entones P f(ζ)dζ = 0. Si P es una urva poligonal errada entones P es el borde de un polígono que puede partirse en un número finito de triángulos, 2,..., k. Como A es simplemente onexa el interior de P está ontenido en A. Si P y los triángulos i s estan orientados positivamente entones P i=k f(ζ)dζ = i= i f(ζ)dζ Como ada i está en A y f es analítia en A entones por el lema de Goursat i f(ζ)dζ = 0 y por lo tanto P f(ζ)dζ = 0. Para ver que F (z) es una antiderivada de f(z) neesitamos mostrar que lim w z F (z) F (w) z w f(z) = lim w z F (z) F (w) f(z)(z w) z w = 0 Por definiión F (z) y F (w) se obtienen integrando f(z) a lo largo de trayetorias poligonales de z 0 a z y a w, y por el lema podemos elegir las trayetorias que mas nos onvengan. Elijamos ualquier trayetoria de z 0 a z en A y si w esta sufiientemente era de z entones la trayetoria en linea reta de z a w está en A. Entones F (z) F (w) = f(ζ)dζ Por lo tanto F (z) F (w) f(z)(z w) = f(ζ)dζ f(z)dζ = f(ζ) f(z) dζ Como f es ontinua en z (ya que f es analítia) entones dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que ζ z < δ implia que f(ζ) f(z) < ɛ. Asi que si z w < δ entones ζ z < δ para toda ζ en, asi que f(ζ) f(z)dζ z w ɛ 9

10 por lo tanto F (z) F (w) f(z)(z w) z w z w f(ζ) f(z) dζ z w ɛ = ɛ z w Como esto ourre para ada ɛ > 0 siempre que z w < δ, entones lim w z F (z) F (w) z w f(z) = 0 asi que F (z) = f(z) Corolario Si f(z) es funión analítia en una región simplemente onexa A entones para ada urva errada en A, f(z)dz = 0 Demostraión Por el orolario anterior f tiene una antiderivada en A, asi que por el teorema fundamental las integrales de f solo dependen de los extremos de las urvas. Problemas 6. Si r el írulo on entro en 0 y radio r, orientado positivamente y a C, alula r z a dz z z a dz (ojo: hay varios asos dependiendo de r) 7. Para ada urva simple errada orientada positivamente, alula z i dz z 2 + dz (dibuja las urvas en los distintos asos) 8. Muestra que la integral de la funión z en una urva simple errada no es 0, sino que z dz = 2i (area enerrada por ) (hint: teorema de green) r 0