* FUERZAS EN VIGAS Y CABLES

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1 UNIVERSIDAD NAIONAL DEL ALLAO FAULTAD DE INGENIERÍA ELÉTRIA Y ELETRÓNIA ESUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉTRIA * FUERZAS EN VIGAS Y ALES ING. JORGE MONTAÑO PISFIL ALLAO, 1

2 FUERZAS EN VIGAS Y ALES 1. INTRODUIÓN En el presente apítulo se analizará el problema de la determinaión de las fuerzas internas que mantienen unidas a las distintas partes de un elemento dado. Analizaremos las fuerzas internas en dos tipos importantes de estruturas de ingeniería llamadas: 1. Vigas: las uales usualmente son elementos prismátios retos y largos diseñados para soportar argas apliadas en varios puntos a lo largo del elemento.. ables: son elementos fleibles apaes de soportar sólo tensión y están diseñados para soportar argas onentradas o distribuidas. Los ables se utilizan en muhas apliaiones de ingeniería, omo en puentes olgantes y en líneas de transmisión.. VIGAS Son elementos estruturales que están diseñados para soportar argas (onentradas y/o distribuidas) que están apliadas en varios puntos a lo largo del mismo. En la mayoría de los asos, las argas son perpendiulares al eje de la viga y sólo oasionarán orte y fleión sobre ésta. uando las argas no forman un ángulo reto on la viga, también produirán fuerzas aiales en ella. Las vigas son barras prismátias retas y largas. El diseño de una viga para soportar de manera más efetiva las argas apliadas es un proedimiento que involura dos partes: 1) determinar las fuerzas ortantes y los momentos fletores produidos por las argas y ) seleionar la seión transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas ortantes y a los momentos fletores que se determinaron en la primera parte. En Meánia de Sólidos I se estudiará la primera parte del problema de diseñar vigas, la segunda parte orresponde al estudio de Meánia de Sólidos II..1 FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS Sea una viga A simplemente apoyada omo se muestra en la figura, la ual se enuentra sujeta a las fuerzas onentradas F1 y F y a una arga distribuida w. Si se quiere determinar las fuerzas y momentos internos en un punto, es neesario seionar imaginariamente la viga y ortarla en dos segmentos en ese punto. Esto hae apareer las fuerzas internas N y V (fuerza normal y fuerza ortante) y el momento de par resultante M (momento de fleión) en el DL de ada segmento. DL de la viga F F1 F F1 F R A orte imaginario Si ortamos la viga en el punto, quedan los segmentos A y uyos DL se muestran a ontinuaión.

3 F 1 M M F F R N N V A V ONVENIÓN DE SIGNOS PARA V (FUERZA ORTANTE) Y M (MOMENTO FLETOR) La fuerza ortante V y el momento fletor M en un punto dado de una viga son positivos uando las fuerzas y los pares internos que atúan sobre los segmentos de viga, izquierdo y dereho, están dirigidos omo se muestra en la figura anterior.. PROEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA FUERZA ORTANTE Y EL MOMENTO FLETOR EN UNA VIGA Para determinar la fuerza ortante V y el momento fletor M en un punto dado de una viga, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Dibujar un DL para la viga ompleta y utilizarlo para determinar las reaiones en los apoyos de la viga.. ortar la viga en el punto y, on las argas originales, seleionar una de las dos poriones de la viga que se han obtenido. 3. Dibujar el DL de la porión de la viga que se haya seleionado, mostrando: a) Las argas y las reaiones ejeridas sobre esa parte de la viga, reemplazando ada una de las argas distribuidas por una arga onentrada equivalente. b) La fuerza ortante y el par fletor que representan las fuerzas internas en. Si se usa la parte de la viga ubiada a la izquierda de, se aplia en una fuerza ortante V dirigida haia abajo y un par fletor M dirigido en sentido antihorario. Si se está utilizando la porión de la viga ubiada a la dereha de, se aplia en una fuerza ortante V dirigida haia arriba y un par fletor M dirigido en sentido horario. 4. Esribir las euaiones de equilibrio para la porión de la viga que se ha seleionado. Se resuelve la euaión Fy para V y la euaión M para M. 5. Registrar los valores de V y M on el signo obtenido para ada uno de éstos, un signo positivo para V signifia que la fuerzas ortantes en sobre ada una de las dos poriones de la viga están dirigidas omo se muestra en la figura superior; un signo negativo signifia que las fuerzas ortantes tienen un sentido opuesto. De manera similar, un signo positivo para M signifia que los pares fletores en están dirigidos omo se muestra en la figura superior y un signo negativo signifia que los pares fletores tienen un sentido opuesto. Además, un signo positivo para M signifia que la onavidad de la viga en el punto está dirigida haia arriba mientras que un signo negativo signifia que diha onavidad está dirigida haia abajo..3 DIAGRAMA DE FUERZA ORTANTE Y DE MOMENTO DE FLEXIÓN Se utiliza en el análisis y diseño de vigas. Estos diagramas muestran las variaiones de V y M omo funión de la posiión a lo largo del eje de la viga. Para onstruir los diagramas de V y M para una viga, previamente debemos:

4 a) Haer el DL de la viga ompleta y hallar las reaiones en los apoyos y los momentos de par que atúan sobre la viga. b) Hallar las euaiones de V y M para eso ortamos la viga las vees que sea neesario, midiendo a partir del etremo izquierdo o a partir del origen de oordenadas estableido hasta el punto de orte. En el DL de ada segmento, V y M deben tener signo positivo. Ejemplo: a w b L F Para el análisis de esta viga tenemos tres segmentos: 1er segmento: que va desde hasta a do segmento: que va desde a hasta b 3er segmento: que va desde b hasta L 1 3 Las funiones a utilizar serán válidas solamente dentro de las regiones omprendidas desde hasta a para 1, desde a hasta b para, y desde b hasta L para 3. Nota: la fuerza normal interna (N) no se onsidera en el análisis porque en la mayoría de los asos las argas apliadas a la viga atúan en forma perpendiular al eje de la viga, por lo tanto sólo se produe una fuerza ortante interna y un momento de fleión..4 PROEDIMIENTO PARA DIUJAR LOS DIAGRAMAS DE FUERZA ORTANTE Y DE MOMENTO FLETOR PARA UNA VIGA Los diagramas de fuerza ortante y de momento fletor se obtienen al grafiar, respetivamente, V y M ontra la distania medida a lo largo de la viga. Sin embargo, en la mayoría de los asos sólo se neesita alular los valores de V y M en unos uantos puntos. 1. Para una viga que soporta úniamente argas onentradas, se observa que: a) El diagrama de fuerza ortante onsiste en segmentos de línea horizontales. Por tanto, para dibujar el diagrama de fuerza ortante de la viga sólo se neesita alular el valor de V justo a la izquierda o justo a la dereha de los puntos donde se aplian las argas o las reaiones. b) El diagrama de momento fletor onsiste de segmentos de líneas retas obliuas. Por tanto, para dibujar el diagrama de momento fletor de la viga sólo se neesitará alular el valor de M en los puntos donde se aplian las argas o las reaiones.. Para una viga que soporta argas uniformemente distribuidas, es neesario señalar que bajo ada una de las argas distribuidas se tiene lo siguiente. a) El diagrama de fuerza onsiste de un segmento de una línea reta obliua. Por tanto, sólo se neesita alular el valor de V donde empieza y termina la arga distribuida. b) El diagrama de momento fletor onsiste de un aro de parábola. En la mayoría de los asos sólo se neesita alular el valor de M donde empieza y termina la arga distribuida. 3. Para una viga on una arga más ompliada, es neesario onsiderar el diagrama de uerpo libre de una porión de la viga de longitud arbitraria y determinar V y M omo funiones de. Es posible que se tenga que repetir este proedimiento varias vees puesto que por lo general V y M están representadas on diferentes funiones en distintas partes de la viga.

5 4. uando se aplia un par a una viga, la fuerza ortante tiene el mismo valor en ambos lados del punto de apliaión del par pero en el diagrama de momento fletor presentará una disontinuidad en diho punto, inrementándose o disminuyendo en una antidad igual a la magnitud del par. Observe que un par se puede apliar diretamente a la viga o puede resultar a partir de la apliaión de una arga sobre un elemento urvo que está unido rígidamente a la viga. Nota.- Los diagramas de V vs y M vs se reomiendan dibujarlos debajo del DL de la viga..5 RELAIONES ENTRE ARGA, FUERZA ORTANTE Y MOMENTO FLETOR La onstruión de los diagramas de fuerza ortante y momento fletor se failita si se toman en onsideraión las siguientes relaiones. Representando on w la arga distribuida por unidad de longitud (la ual se supone positiva si está dirigida haia abajo), se tiene que: dv dm w ; V d d o, después de integrar las euaiones anteriores, V V (área bajo la urva de arga entre y D)... (1) D M D M área bajo la urva de fuerza ortante entre y D... () La euaión (1) hae que sea posible dibujar el diagrama de fuerza ortante de una viga a partir de la urva que representa a la arga distribuida que atúa sobre diha viga y del valor de V en un etremo de la misma. En forma análoga, la euaión () hae que sea posible dibujar el diagrama de momento fletor a partir del diagrama de fuerza ortante y del valor de M en un etremo de la viga. Sin embargo, las argas onentradas introduen disontinuidades en el diagrama de fuerza ortante y los pares onentrados implian disontinuidades en el diagrama de momento fletor. Por último, a partir de la euaión () se observa que los puntos de la viga donde el momento fletor es máimo o mínimo son también los puntos donde la fuerza ortante es igual a ero..6 PROEDIMIENTO PARA LA ONSTRUIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE V y M, A PARTIR DE LA RELAIÓN ENTRE ARGA, FUERZA ORTANTE Y MOMENTO FLETOR. Pasos a seguir: 1. Dibujar un DL para toda la viga y utilizarlo para determinar las reaiones en los apoyos.. Dibujar el diagrama de fuerza ortante. Esto se puede llevar a abo ortando la viga en varios puntos y onsiderando el diagrama de uerpo libre de una de las partes de la viga que se obtienen de esta forma. 3. Dibujar el diagrama de momento fletor utilizando el siguiente proedimiento. a) Se alula el área bajo ada porión de la urva de fuerza ortante, asignándole un signo positivo a las áreas loalizadas por enima del eje y un signo negativo a las áreas loalizadas por debajo del eje. b) Se aplia onseutivamente la euaión (), omenzando a partir del etremo izquierdo de la viga, donde M = (eepto si en ese etremo se aplia un par o si la viga en voladizo on su etremo izquierdo fijo). ) Se debe tener uidado de mostrar una disontinuidad en el diagrama de momento fletor en el punto en que se aplia un par sobre la viga, inrementando el valor de M en diho punto en una antidad igual a la magnitud del par, si este último tiene un sentido horario o disminuyendo el valor de M en una antidad igual a la magnitud del par, si este último tiene un sentido antihorario. 4. Determinar la ubiaión y la magnitud de M má. El máimo valor absoluto del momento fletor ourre en uno de los dos puntos en los que dm/d =, esto es, en un punto donde V es igual a ero o ambia de signo. Por tanto se tiene que: a) Se determina a partir del diagrama de fuerza ortante, el valor de M en el que V ambia de signo; esto ourre en los puntos donde atúan argas onentradas.

6 b) Se determinan los puntos en los que V = y los valores orrespondientes de M; esto ourrirá bajo una arga distribuida. 5. La alidad de los dibujos de los diagramas se puede mejorar si se reuerda que en ualquier punto dado, la pendiente de la urva V es igual a w y la pendiente de la urva M es igual a V. 6. Por último, para vigas que soportan una arga distribuida que está epresada omo una funión w(), se debe reordar que la fuerza ortante V se puede obtener integrando la funión w() y el momento fletor M puede obtenerse integrando V(). 3. FUERZAS EN ALES Los ables fleibles se utilizan en muhas apliaiones de ingeniería omo puentes olgantes, líneas de transmisión, teleférios, ontravientos para torres altas, et. Los ables pueden dividirse en dos ategorías de auerdo on las argas que atúan sobre ellos: 1) ables que soportan argas onentradas y ) ables que soportan argas distribuidas. Los ables fleibles y las adenas se utilizan on freuenia para onstruir estruturas de soporte y para transmitir argas de un miembro a otro. uando se utilizan para soportar puentes en suspensión, los ables forman el elemento prinipal de transporte de arga de la estrutura. En el análisis de fuerzas de tales sistemas, el peso del able en sí mismo puede despreiarse debido a que on freuenia éste es pequeño omparado on la arga que transporta. Por otro lado, uando los ables se utilizan omo líneas de transmisión y tirantes para antenas de radio y armazones, el peso del able puede onvertirse en un fator importante y deberá inluirse en el análisis estrutural. 3.1 ALE SUJETO A ARGAS ONENTRADAS uando un able de peso despreiable soporta varias argas onentradas, toma la forma de varios segmentos de una línea reta, ada uno de los uales está sujeto a una fuerza de tensión onstante. uando se obtienen las relaiones neesarias entre la fuerza en el able y su pendiente, supondremos que el able es perfetamente fleible y que éste no se puede etender. Debido a su fleibilidad, el able no ofree resistenia a la fleión y por lo tanto la fuerza de tensión que atúa en el able es siempre tangente a éste a todo lo largo. Puesto que el able no se puede etender, éste tiene una longitud onstante antes y después de que se aplia la arga. omo resultado, su geometría permanee fija, y el able o un segmento del mismo puede tratarse omo un uerpo rígido. Ejemplo de able sujeto a fuerzas onentradas:

7 3. PROEDIMIENTO PARA RESOLVER PROLEMAS DE ALES SUJETOS A ARGAS ONENTRADAS Pasos a seguir: 1. Dibujar un DL para todo el able mostrando todas las argas y las omponentes horizontal y vertial de la reaión en ada uno de los apoyos. Utilizar este diagrama para esribir las euaiones de equilibrio orrespondientes.. Se enfrentará una situaión en la ual se tienen uatro omponentes desonoidas y sólo se uenta on tres euaiones de equilibrio. Por tanto, se debe enontrar alguna informaión adiional, omo la posiión de un punto sobre el able o la pendiente del able en un punto dado. 3. Después que se ha identifiado el punto del able donde eiste informaión adiional, se orta el able en diho punto y se dibuja el DL orrespondiente a una de las dos seiones del able que se han obtenido de esta manera. a) Si se onoe la posiión del punto donde se ha ortado el able, esribiendo M on respeto a diho punto para el nuevo uerpo libre, se obtendrá la euaión adiional que se requiere para resolver las uatro omponentes desonoidas de las reaiones. b) Si se onoe la pendiente de la porión del able que se ha ortado, esribiendo F y F y para el nuevo uerpo libre, se obtendrán dos euaiones de equilibrio que, junto on las tres euaiones originales, pueden resolverse para las uatro omponentes de reaión y para la tensión del able en el punto donde éste fue ortado. 4. Para enontrar la elevaión en un punto dado del able y la pendiente y la tensión en el mismo una vez que se han enontrado las reaiones en los apoyos, se debe ortar el able en diho punto y dibujar un DL para ada una de las dos seiones que se han obtenido de esta manera. Si se esribe M on respeto al punto en uestión se obtiene su elevaión. Al F y F y se obtienen las omponentes de la fuerza de tensión, a partir de esribir las uales se enuentra fáilmente la magnitud y direión de esta última. 3.3 ALES ON ARGAS DISTRIUIDAS onsideremos un able que está unido a dos puntos fijos A y y que soporta una arga distribuida omo se muestra en la figura a). En este aso el able uelga tomando la forma de una urva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo lago de la tangente de la urva. a) b) ) onsiderando el aso más general de arga distribuida, se dibuja el DL de la porión del able que se etiende desde el punto más bajo hasta un punto D del able (ver la figura b). Las fuerzas que atúan sobre el uerpo libre son la fuerza de tensión T en, la ual es horizontal, la fuerza de tensión T en D, la ual está dirigida a lo largo de la tangente al able en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porión D del able. Si se dibuja el triángulo de fuerzas orrespondiente (ver la figura ), se obtienen las siguientes relaiones:

8 Tos T T sen W W T T W tan T De la primera euaión se onluye que la omponente horizontal de la fuerza de tensión T es la misma en ualquier punto y que la omponente vertial de T es igual a la magnitud W de la arga medida a partir del punto más bajo. La segunda euaión muestra que la tensión T es mínima en el punto más bajo y máima en uno de los dos puntos de apoyo. 3.4 ALE PARAÓLIO Supongamos que un able A soporta una arga distribuida de manera uniforme a lo largo de la horizontal (ver figura a). La arga por unidad de longitud (medida en forma horizontal) se representa on w y se epresa en N/m o en bf / ft. Seleionando ejes oordenados on su origen en el punto más bajo del able, se enuentra que la magnitud W de la arga total soportada por el segmento del able que se etiende desde hasta el punto D de oordenadas y y está dada por W = w. De esta forma, las euaiones que definen la magnitud y la direión de la fuerza en D son: w T T w tan T Además, la distania desde D hasta la línea de aión de la resultante W es igual a la mitad de la distania horizontal que hay desde hasta D (ver la figura). Si se suman momentos on respeto a D, tenemos: y, resolviendo para y, se obtiene: MD w T y w y T

9 Ésta es la euaión de una parábola on un eje vertial y on su vértie en el origen del sistema de oordenadas. Por tanto, la urva formada por ables que están argados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola. uando los apoyos A y del able tienen la misma elevaión (ver figura a), la distania L entre los apoyos se onoe omo el laro del able y la distania vertial h desde los apoyos hasta el punto más bajo se llama la fleha del able (ver la figura). Si se onoen el laro y la fleha del able y si la arga por unidad de longitud horizontal w está dada, se puede enontrar la tensión mínima T sustituyendo = L/ y y = h en la euaión y = w /T. uando los apoyos tienen elevaiones diferentes, no se onoe la posiión del punto más bajo del able y se deben determinar las oordenadas A, y A y, y de los apoyos... La longitud del able desde su punto más bajo hasta su apoyo se puede obtener a partir de la fórmula: X S 1 ( dy/ d) d Si se obtiene la diferenial de la euaión y = w /T se obtiene la derivada dy/d = w/t ; sustituyendo este resultado y utilizando el teorema del binomio para epandir el radial en una serie infinita se obtiene: w w s 1 ( w / T ) d (1...) d 4 4 T 8T s 4 y y y omo w /T y, s 4 y y La serie onverge para valores de la relaión y / menores que,5; en la mayoría de los asos, diha relaión es menor y sólo es neesario alular los dos primeros términos de la serie. ) 3.5 ATENARIA onsideremos un able A que soporta una arga uniformemente distribuida a lo largo del mismo able (ver figura a). Los ables que uelgan bajo la aión de su propio peso están argados de esta forma. La arga por unidad de longitud, medida a lo largo del able, se representa por w y se epresa en N/m o en bf / ft. La magnitud W de la arga total soportada por una porión del able de longitud s que se etiende desde el punto más bajo hasta un punto D está dado por W = ws. Si se sustituye este valor de W en la euaión T T w, se obtiene la tensión en D.

10 T T w s Para simplifiar los álulos subseuentes, se introdue la onstante = T /w. Entones se esribe T w W ws T w s En la figura b se muestra el diagrama de uerpo libre para la porión D del able. Sin embargo, este diagrama no puede utilizarse para obtener diretamente la euaión de la urva que adopta el able puesto que se onoe la distania horizontal desde D hasta la línea de aión de la resultante W de la arga. Para obtener diha euaión, primero se esribe que la proyeión horizontal de un pequeño elemento de able de longitud ds es d ds os. Se observa a partir de la figura que os T / T y on las euaiones T w W ws T w s, se esribe: d ds ds T w ds ds os T w s 1 s / Si se seleiona el origen del sistema de oordenadas a una distania diretamente por debajo de (ver figura a) y se integra desde (, ) hasta D(, y), se obtiene s 1 1 s ds s s senh senh 1 s / Esta euaión, que relaiona la longitud s de la porión D del able y la distania horizontal, se puede esribir de la siguiente forma: s senh Ahora se puede obtener la relaión entre las oordenadas y y esribiendo dy/d tan. Observe W a partir de la figura ) que tan y on las euaiones T w ; W ws; T w s y T s senh, se esribe: W s dy d tan d d sen h d T Si se integran desde (,) hasta D(, y) y haiendo uso de las euaiones: dsenhz dos hz os hz ; senhz dz dz se obtiene la siguiente epresión:

11 y senh d os h os h 1 la ual se redue a y os h y os h Ésta es la euaión de una atenaria on eje vertial. La ordenada del punto más bajo reibe el nombre de parámetro de la atenaria. Elevando al uadrado ambos lados de las euaiones s senh y y os h, restándolas y tomando en uenta la euaión os h zsenh z 1, se obtiene la siguiente relaión entre e s: y s T w s, Al resolver esta última euaión para s y llevando este resultado a la relaión tenemos: T wy. Esta euaión nos india que la tensión en ualquier punto D del able es proporional a la distania vertial desde D hasta la línea horizontal que representa al eje. uando los apoyos A y del able tienen la misma elevaión, la distania L entre los apoyos reibe el nombre de laro del able y la distania vertial h desde los apoyos hasta el punto más bajo se onoe omo la fleha del able. En este aso, la fleha h está dada por: h ya También se debe señalar que iertos problemas sobre atenarias involuran euaiones trasendentales, las uales deben resolverse por medio de aproimaiones suesivas. Sin embargo uando el able está bastante tenso, se puede suponer que la arga está uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal y la atenaria puede reemplazarse por una parábola. Esto simplifia en gran medida la soluión del problema y el error que se introdue es pequeño. uando los apoyos A y tienen distintas elevaiones, no se onoe la posiión del punto más bajo del able. Entones, el problema puede resolverse en forma similar que en el aso de los ables parabólios, epresando que el able debe pasar a través de los apoyos, que A = L y que y y A = d, donde d y L representan, respetivamente, las distanias horizontal y vertial entre los dos apoyos.