Estimación de la Incertidumbre de Medición del Sistema de Vóltmetros Digitales Empleado en el Experimento del Efecto Hall Cuántico

Transcripción

1 imposio de Metrología 008 antiago de Querétaro, Méxio, al 4 de Otubre Estimaión de la nertidumbre de Mediión del istema de óltmetros Digitales Empleado en el Experimento del Eeto all Cuántio lonso Torres ios, elipe León ernández Marquez km 4,5 Carretera a Los Cués, 764, Querétaro, Méxio. atorres@enam.mx EUMEN En el laboratorio del eeto all uántio del CENM se utiliza un sistema de mediión de vóltmetros digitales para haer la transerenia del valor de la resistenia de all uantizada a resistores de trabajo omeriales de 0 kω. El sistema puede ser representado en un modelo matemátio que permita el álulo de la inertidumbre, ya que en este modelo se enuentran implíitas las uentes de inertidumbre más importantes que aetan a la mediión.. NTODUCCÓN El experimento del eeto all uántio permite reproduir la unidad de resistenia elétria (ohm), uyo valor es onoido en términos de dos onstantes ísias undamentales: la arga del eletrón (e) y la onstante de Plank (h), esto permite que su valor sea invariable en el tiempo. El experimento se realiza en varios institutos naionales de metrología on el propósito de mantener y omparar la unidad de resistenia elétria. En el (CENM) el valor de la resistenia all uantizada se transiere haia resistores omeriales de 0 kω mediante un sistema de mediión llamado de vóltmetros digitales, que es uno de los dos métodos más usados para medir resistenia elétria. El sistema onsiste, básiamente, en la omparaión del valor de la resistenia all uantizada y el resistor omerial que se enuentran onetados en serie y alimentadas on una uente de orriente o de tensión altamente estable. El valor de resistenia del resistor de 0 kω se determina a través de la relaión de sus tensiones y el valor de la resistenia all uantizada. Para poder determinar la inertidumbre de mediión del sistema de vóltmetros digitales ue neesario modelarlo de tal manera que se pudieran inluir todas las uentes de inertidumbre en el sistema. Entre las que se enuentran las siguientes: resistenias de ontato de los relevadores utilizados en el sistema, la temperatura, así omo la impedania de entrada, la no-linealidad y la orriente de polarizaión de los vóltmetros empleados. Todas estas uentes de inertidumbre ueron medidas en un proeso de araterizaión del sistema. El modelo del sistema permitió estimar la inertidumbre a partir de los datos generados durante la araterizaión del sistema. Esta herramienta además nos ha permitido hallar los elementos del sistema que ontribuyen en mayor grado a la inertidumbre de mediión de la alibraión de los resistores omeriales.. DECPCÓN DEL TEM DE MEDCÓN En la ig. se muestra un esquema del sistema de mediión empleado. El sistema de mediión es alimentado por una uente de tensión de alta estabilidad ( ) onetada en serie on una resistenia de alto valor ( ). La uente de tensión es onetada al iruito usando relevadores, de tal orma que se pueda invertir el sentido de la orriente automátiamente. Los relevadores del sistema y la resistenia del ableado son representados en una sola resistenia de ontato (r ) en serie on la resistenia de la uente ( ). El resistor de trabajo y el dispositivo all son representados por la resistenia y la resistenia, respetivamente. Los elementos parásitos del vóltmetro se representan onetados en paralelo a y a : la impedania de entrada (Zi) y la orriente de polarizaión ( DMi ). En ada vóltmetro se oneta la terminal de bajo (LO) a la tierra indiada en el esquema. Conetados de esta manera se obtienen dos niveles de tensión muy eranos entre sí, aunque de signo ontrario. M008-M33-76-

2 imposio de Metrología 008 antiago de Querétaro, Méxio, al 4 de Otubre + +, (3) ig.. Esquema elétrio del sistema de vóltmetros digitales empleado en el experimento del eeto all uántio. Las mediiones son realizadas siguiendo el orden desrito por Marullo-eedtz y Cage [], usando dos vóltmetros en el sistema. La seuenia iniia apliando una orriente positiva al iruito para medir la tensión en el resistor de trabajo y en el dispositivo all. e invierte el sentido de la orriente y se miden las tensiones en ambos elementos. e repite lo anterior, pero ahora se iniia apliando una orriente negativa. La seuenia que se produe es la siguiente: ( + ), ( ), ( ), ( + ) ( + ), ( ), ( ), ( + ). () e repite esta seuenia de tal manera que se tengan dos mediiones tal omo se muestra a ontinuaión: ( + ), ( ), ( ), ( + ) ( + ), ( ), ( ), ( + ) ( + ), ( ), ( ), ( + ) ( + ), ( ), ( ), ( + ), () donde ada grupo de uatro mediiones representa el promedio de las tensiones en una posiión dada de los vóltmetros, y se muestran a la dereha de ada grupo. Mediante esta seuenia se logran disminuir los eetos produidos por EM s térmias y variaiones de la orriente que sean lineales en el tiempo. l inalizar las mediiones, se realiza un promedio de las tensiones < > y < > y también para las tensiones < > y < > de tal manera que se obtiene: donde representa el promedio de tensiones medidas on el vóltmetro, y representa el promedio de tensiones medidas on el vóltmetro. e realiza la misma seuenia, on la dierenia de que ahora se ambian de posiión los vóltmetros. Entones se obtienen las tensiones y. En teoría, si la orriente que pasa a través del iruito es onstante se umple que:, (4a) +. (4b) En la prátia esto se omplia debido a varios atores que aetan al sistema, omo lo son las tensiones generadas térmiamente, la resistenia de uga, resistenias de ontato, inestabilidades de la uente, ruido en el vóltmetro, et. Pero varios de estos atores son minimizados mediante el método de mediión propuesto. Existen otros atores que aetan al sistema de mediión de manera sistemátia, que deben ser eliminados independientemente del método de mediión. Entre los elemento que introduen un error sistemátio al sistema se enuentran los relevadores. Éstos sirven para ambiar el sentido de la polaridad del iruito y poder realizar la mediión de manera automátia. La resistenia de los relevadores no es la misma en ambos sentidos de la orriente, por tanto introdue un error sistemátio en la mediión. Este ator se puede disminuir si se usan relevadores que tengan un valor de resistenia que permaneza dentro de un intervalo. De auerdo on [] la variaión en r aeta a la orriente del sistema, y por tanto a la inertidumbre del sistema. i se mantiene la variaión de la orriente (δ) por debajo de 0-8 µ/ se asegura una inertidumbre por debajo de 0-7 µω/ω. i se expresa la resistenia de la uente M008-M33-76-

3 imposio de Metrología 008 antiago de Querétaro, Méxio, al 4 de Otubre omo una admitania Y, entones la variaión en la orriente está dada por: Y r δ C δ. (5) [ + ( + ) Y ] 3. MODELO DEL TEM Del iruito de la ig. se propone la representaión matriial de la siguiente orma: + r Z 0 0 Z. (6) DM + Z 3 DM Z Mediante la representaión matriial de las euaiones del iruito usando la ley de orrientes de Kirhho se tiene un modelo matemátio del sistema de mediión ompleto. De esta manera se toman en uenta los elementos parásitos del sistema que aetan a la inertidumbre del sistema. partir del modelo se alulan las tensiones en y, el valor de estas tensiones son dependientes de los elementos que aetan las ondiiones ideales del sistema. Por lo tanto se pueden representar las tensiones en y omo: g [, r,,,, Z, DM, Z, DM ] [, r,,,, Z,, Z, ] DM DM. (7) i se tiene una araterizaión del sistema de mediión se pueden sustituir los valores dentro de estas uniones para obtener un valor estimado de las tensiones que se observa. 4. LGOTMO P EL CÁLCULO DE L NCETDUME Usando las uniones para alular las tensiones en los resistores y se obtiene el valor estimado de la letura de los vóltmetros. Conoiendo el valor de las tensiones se puede apliar la misma metodología de mediión usando las uniones. Para lograr una reproduión de la mediión es neesario tener araterizado todo el sistema de mediión. Esto es, tener los valores de resistenia de ontato de los relevadores, impedania de entrada, no linealidades y orriente de polarizaión de ada vóltmetro. ig.. Diagrama de lujo del algoritmo usado para el álulo de la inertidumbre del sistema de vóltmetros digitales. La seuenia de mediión del sistema se puede programar mediante el uso de las uniones de las Es. (7). Para lograr obtener un valor estimado de la inertidumbre se usan valores aleatorios que tienen ierta distribuión que orresponde a la que se observa en ada valor del sistema. Con la araterizaión es posible obtener el tipo de distribuión de ada elemento. sí, para la primera posiión de los vóltmetros y on una orriente positiva del iruito se tiene que simular que se toman las tensiones. Esto se logra sustituyendo el valor de la uente de tensión on un valor de tensión positivo, además de sustituir el valor de la impedania de entrada y la orriente de polarizaión orrespondiente a la posiión en M008-M

4 imposio de Metrología 008 antiago de Querétaro, Méxio, al 4 de Otubre donde se enuentren oloados los vóltmetros, tal omo las Es. (7). i se realiza un ambio de polaridad basta on ambiar la polaridad de la uente de tensión, tal omo: g [, r,,,, Z, DM, Z, DM ] [, r,,,, Z,, Z, ] DM DM. (8) Para representar un ambio de posiión de los vóltmetros se requiere ambiar de posiión los valores de la impedania de entrada y la orriente de polaridad en las uniones: g [, r,,,, Z, DM, Z, DM] [, r,,,, Z,, Z, ] DM DM. (9) En la segunda posiión y on ambio de polaridad las uniones se evalúan omo: g [, r,,,, Z, DM, Z, DM] [, r,,,, Z,, Z, ] DM DM. (0) Con la Es. (7) a (0) se puede simular la reproduión del método de mediión propuesto para la alibraión de resistores usando el sistema de vóltmetros digitales. En el método de mediión se realizan uatro mediiones de tensión en una sola posiión y en un sentido de la orriente. En el programa de simulaión se llama uatro vees a las uniones para ada posiión de los vóltmetros y para ada sentido de la orriente, Es. (7) a (0). Los valores de tensión alulados son entones usados para obtener el valor de resistenia, usando las Es. (3) para promediar las tensiones en ambas polaridades y en una posiión de los vóltmetros. este promedio se le suma el error debido a la no-linealidad de los vóltmetros (que también es una unión de distribuión). Con los promedios orregidos se alula el valor de on la E. (4b). e realiza un número n de simulaiones para obtener una desviaión estándar de los valores de alulados en ada iteraión del programa. El valor de la desviaión estándar será la inertidumbre debido al sistema de mediión. 5. EULTDO Los resistores de 0 kω se alibran on la resistenia all uantizada uando i, donde (i) 906,403 5 Ω. e elige este valor de resistenia all uantizada por ser el más erano al valor del resistor de trabajo a alibrar [3]. El álulo de la inertidumbre del resultado de la mediión es en base a la siguiente E. (): ( + ( T 3 C) + ( T C) ) ( 3 C ) K β 3 donde: α, () K, () es la relaión de tensiones en los dos resistores, T es la temperatura en el resistor de trabajo, y α y β son el oeiiente lineal y uadrátio de temperatura respetivamente. El término K de la E. () involura en su totalidad al sistema de mediión, y por tanto a la inertidumbre asoiada a éste será la estimada on el algoritmo y modelo propuesto en este trabajo. Los valores para ada omponente que aeta a la inertidumbre del sistema de mediión se alularon de manera independiente. e mantiene todas las variables del sistema on un valor onstante mientras que a la variable bajo inspeión se le asigna valores aleatorios que tienen una distribuión de probabilidad. Esto es equivalente a estimar el oeiiente de sensibilidad de manera experimental. e obtiene la siguiente tabla on los valores de inertidumbre relativa: Tabla. Eetos que aetan la inertidumbre del sistema de vóltmetros digitales. Componente de inertidumbre nertidumbre estándar (µω/ω) Mediiones Temperatura esistenia de relevadores Corriente de polarizaión de vóltmetros 0.06 mpedania de entrada de vóltmetros Linealidad de vóltmetros nertidumbre ombinada k M008-M

5 imposio de Metrología 008 antiago de Querétaro, Méxio, al 4 de Otubre En la Tabla apareen los atores más importantes que aetan a la mediión on su respetiva ontribuión de inertidumbre. La primera omponente de inertidumbre, llamada mediiones se reiere a la inertidumbre estándar de las mediiones realizadas por el sistema. 6. CONCLUON La implementaión del modelo matemátio en un lenguaje de programaión hizo posible realizar el álulo de la inertidumbre del sistema de mediión. demás de esto se puede uantiiar el eeto que produe ada una de las uentes de inertidumbre al sistema de mediión. ue posible detetar que la omponente de mayor peso en el álulo de la inertidumbre es la no linealidad de lo vóltmetros. La ausa de esto es el heho de usar dos vóltmetros a dos tensiones distintas, pues los resistores no son del mismo valor y por lo tanto la inertidumbre aumenta onsiderablemente. El sistema de mediión es apaz de realizar mediiones on una inertidumbre menor a 0.09 µω/ω. Dado que la resistenia all uantizada no deriva on el tiempo es posible medir la deriva de los resistores de trabajo que tienden a derivar on el tiempo. EEENC [] G. Marullo-eedtz, M. E. Cage, n utomated Poteniometri ystem or Preision Measurement o the quantized all esistane, J. es. Natl. ur. tand. (U..), , 987. [] Kevin C. Lee, Marvin E. Cage, Patrik owe. oures o unertainty in a DM-based measurement system or a quantized all resistane tandard, Journal o esearh o the National nstitute o tandards and Tehnology, ol. 99, No. 3, May-June 994. [3] eommended ntrinsi/derived tandards Pratie P-3, National Conerene o tandards Laboratories, ugust 997. M008-M