Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica

Transcripción

1 Universidad de Costa Ria Faultad de Ingeniería Esuela de Ingeniería Elétria IE 0502 Proyeto Elétrio Diseño e implementaión de un laboratorio virtual en DSP para omuniaiones usando Matlab y Simulink Por: José Gabriel Fernández Carazo Ciudad Universitaria Rodrigo Faio Julio del 2007

2 Diseño e implementaión de un laboratorio virtual en DSP para Comuniaiones usando Matlab y Simulink Por: José Gabriel Fernández Carazo Sometido a la Esuela de Ingeniería Elétria de la Faultad de Ingeniería de la Universidad de Costa Ria omo requisito parial para optar por el grado de: BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Aprobado por el Tribunal: Ing. Jorge Romero Chaón Profesor Guía Ing. Vítor Hugo Chaón Profesor letor Ing. Luía Auña Avendaño Profesora letora ii

3 DEDICATORIA Este proyeto se lo dedio primero y sobre todo a Dios por la vida, por la disposiión y energía que ha heho reer en mí y que me ha permitido llegar hasta este nivel. A mi familia, razón importante para busar siempre una superaión inteletual. A mi madre por el onsistente apoyo, paienia y motivaión para siempre busar obtener nuevos logros. Y porque su sola presenia es una razón para seguir adelante. iii

4 RECONOCIMIENTOS Al profesor Jorge Romero por su onfianza, paienia, onsejos, apoyo bibliográfio, aportes y guía en la elaboraión de este trabajo, así omo el tiempo brindado para disutir las dudas y avanes. A todas las personas que han tenido que ver on mi eduaión moral y profesional, ya que en estos momentos tiene sentido todo el onoimiento y sabiduría que me han transmitido. A mis amigos, ompañeros de arrera y a todas las personas que de una u otra forma han influeniado mi manera de pensar y que de alguna manera han tenido que ver on el amino profesional que he elegido. A dos grandes amigas Joselyn Ovares por su ompañía inondiional e interés en mi avane en todo el transurso del desarrollo de este proyeto y Jennifer Soto por su apoyo y motivaión para seguir adelante en los momentos difíiles. iv

5 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE FIGURAS... ix ÍNDICE DE TABLAS... xi NOMENCLATURA... xii RESUMEN... xiii CAPÍTULO 1: Introduión Objetivos Objetivo general Objetivos espeífios Justifiaión del tema Problema a resolver Metodología... 3 CAPÍTULO 2: Desarrollo teório Introduión al proesamiento digital de señales Tipos de señales Representaión freuenial del dominio Filtros analógios y digitales Filtros analógios Filtros digitales Nota teória laboratorio de filtros digitales Suma onvoluión y respuesta en freuenia para tiempo disreto Filtros de respuesta de duraión finita al impulso (FIR) Estrutura en forma direta de un filtro FIR Métodos para el diseño de filtros FIR Filtros de respuesta de duraión infinita al impulso (IIR) Estrutura en forma direta de un filtro IIR Transformaión bilineal Nota teória laboratorio de FFT Muestreo en tiempo disreto utilizando la transformada de Fourier La transformada disreta de Fourier y su inversa La transformada rápida de Fourier Uso de la FFT para determinar la densidad espetral de potenia v

6 2.7 Nota teória laboratorio de modulaión AM Desripión de la modulaión de amplitud (AM) Espetro de una señal AM Demodulaión de una señal AM apturando la envolvente Demodulaión de señales AM utilizando la ley uadrátia Nota teória laboratorio de modulaión DSBSC-AM Desripión matemátia de una señal DSBSC-AM El reeptor oherente ideal Lazo de Costas: ténia prátia para demodulaión oherente Nota teória laboratorio de modulaión SSB Moduladores SSB Demodulaión oherente de señales SSB Desplazamiento en freuenia Nota teória laboratorio de modulaión FM Desripión de la modulaión FM Modulaión FM de un tono simple Anho de banda de una señal FM Demodulaión FM: disriminador en freuenia Disriminador FM utilizando un detetor de envolvente Disriminador FM utilizando la envolvente ompleja Demodulaión FM usando un PLL Nota teória laboratorio de modulaión PAM Desripión de la modulaión PAM Criterio de Nyquist para no tener ISI Diagramas de ojo Reuperaión de la freuenia del tren de pulsos Nota teória laboratorio de modulaión QAM Transmisor QAM básio Modulador QAM utilizando filtros onformadores pasabandas CAPÍTULO 3: Laboratorios Laboratorio de filtros digitales Filtros digitales FIR Filtros digitales IIR Filtrado en SIMULINK Cuestionario Laboratorio de FFT Cálulo de la FFT Analizador de espetro de freuenia en SIMULINK Cuestionario Laboratorio de modulaión AM Modulaión AM Detetor de envolvente (Ley Cuadrátia) vi

7 3.3.3 Cuestionario Laboratorio de modulaión DSBSC-AM Modulaión DSBSC-AM Modulaión y demodulaión AM utilizando SIMULINK Cuestionario Laboratorio de modulaión SSB Modulaión SSB-AM Demodulaión SSB-AM Modulaión y demodulaión SSB AM en SIMULINK Cuestionario Laboratorio de modulaión FM Modulaión FM Modulaión y demodulaión FM utilizando SIMULINK Cuestionario Laboratorio de modulaión PAM Modulaión y demodulaión PAM en MATLAB Modulaión y demodulaión PAM en SIMULINK Cuestionario Laboratorio de modulaión QAM Modulaión y demodulaión QAM Modulaión y demodulaión QAM on SIMULINK Cuestionario CAPÍTULO 4: Conlusiones y reomendaiones Conlusiones Reomendaiones BIBLIOGRAFÍA APÉNDICES APÉNDICE A: Código fuente de los ejeriios de simulaión en MATLAB A.1 Código fuente laboratorio de filtros digitales A.2 Código fuente laboratorio de FFT A.3 Código fuente laboratorio de modulaión AM A.4 Código fuente laboratorio de modulaión DSBSC-AM A.5 Código fuente laboratorio de modulaión SSB-AM A.6 Código fuente laboratorio de modulaión FM A.7 Código fuente laboratorio de modulaión PAM A.8 Código fuente laboratorio de modulaión QAM APÉNDICE B: Diagramas de bloques de los ejeriios de simulaión en SIMULINK204 B.1 Simulaión: laboratorio de filtros digitales B.2 Simulaión: laboratorio de FFT B.3 Simulaión: laboratorio de modulaión AM vii

8 B.4 Simulaión: laboratorio de modulaión DSBSC-AM B.5 Simulaión: laboratorio de modulaión SSB-AM B.6 Simulaión: laboratorio de modulaión FM B.7 Simulaión: laboratorio de modulaión PAM B.8 Simulaión: laboratorio de modulaión QAM viii

9 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Tipos de señales: (a) Señal ontinua en el tiempo sin uantifiar, (b) señal disreta en el tiempo sin uantifiar... 7 Figura 2.2 Tipos de señales: (a) Señal ontinua en el tiempo uantifiada, (b) señal disreta en el tiempo uantifiada... 8 Figura 2.3 Representaión en el dominio del tiempo de la señal periódia dada por la euaión (2.3-1) Figura 2.4 Representaión en el dominio de la freuenia de la señal periódia de la euaión (2.3-1). (a) Espetro de Magnitud, (b) Espetro de Fase Figura 2.5 Diagrama de bloques de la estrutura en forma direta de un filtro FIR Figura 2.6 Primer paso de la estrutura en forma direta tipo 1 de un filtro IIR Figura 2.7 Diagrama de bloques de la estrutura en forma direta tipo 1 de un filtro IIR Figura 2.8 Diagrama de bloques de la estrutura en forma direta tipo 2 de un filtro IIR Figura 2.9 Mapeo del plano s al plano s Figura 2.10 Mapeo de Ω a ω por medio de la transformaión bilineal Figura 2.11 Desripión del efeto de la transformaión bilineal de H ( jω) a H'(ω) Figura 2.12 Esquema de Mariposa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo Figura 2.13 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo Figura 2.14 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en freuenia Figura 2.15 Espetro de una señal AM Figura 2.16 Detetor de envolvente (Ley Cuadrátia) Figura 2.17 Diagrama de bloques de un Reeptor Coherente Ideal Figura 2.18 Espetro de una señal DSBSC-AM Figura 2.19 Diagrama de bloques del demodulador de lazo Costas Figura 2.20 Diagrama de bloques del Lazo Costas linealizado Figura 2.21 Diagrama de bloques de la modulaión SSB Figura 2.22 Modulador SSB utilizando la transformada de Hilbert Figura 2.23 Modulaión FM Figura 2.24 Diagrama de bloques elemental de un disriminador de freuenia Figura 2.25 Disriminador en tiempo disreto usando la envolvente ompleja Figura 2.26 Demodulador FM on PLL en tiempo disreto Figura 2.27 Modelo linearizado del PLL Figura 2.28 Modulaión PAM Figura 2.29 Diagrama de bloques de un sistema de omuniaión PAM Figura 2.30 Señal binaria antes del muestreador Figura 2.31 Diagrama de ojos para la señal de la figura Figura 2.32 Diagrama de bloques del sistema de reuperaión de freuenia ix

10 Figura 2.33 Diagrama de bloques de un transmisor QAM básio Figura 2.34 Constelaiones QAM Figura 2.35 Representaión de un modulador QAM en términos de señales omplejas. 92 Figura 2.36 Modulador QAM utilizando un filtro onformador pasabanda Figura 2.37 Diagrama de bloques expandido del nuevo modulador QAM Figura 3.1 Respuesta en freuenia de un filtro pasobajo Figura 3.3 Diagrama del prinipio básio de modulaión AM Figura 3.4 Detetor de envolvente de Ley Cuadrátia Figura 3.5 Diagrama del prinipio básio de demodulaión AM Figura 3.6 Modulador SSB x

11 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2.1 Parámetros de una señal obtenidos a partir de la euaión Tabla 3.1 Funiones más omunes para el diseño de filtros digitales en MATLAB Tabla 3.2 Funiones utilizadas en MATLAB para el álulo de la FFT Tabla 3.3 Funiones de MATLAB para modulaión y demodulaión AM Tabla 3.4 Funiones de MATLAB para modulaión y demodulaión PAM Tabla 3.5 Funiones de MATLAB para la modulaión y demodulaión QAM xi

12 NOMENCLATURA AM Modulaión de amplitud (Amplitude Modulation) DFT Transformada disreta de Fourier (Disrete Fourier Transform) DSBSC-AM Modulaión de amplitud de doble banda lateral on portadora suprimida (Double Sideband Suppressed Carrier Amplitude Modulation) DSP Proesamiento digital de señales (Digital Signal Proessing) FFT Transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) FIR Respuesta de duraión finita al impulse (Finite duration Impulse Response) FM Modulaión en freuenia (Frequeny Modulation) IDFT Transformada Disreta de Fourier Inversa (Inverse Disrete Fourier Transform) IIR Respuesta de duraión infinita al impulse (Infinite duration Impulse Response) LSB Banda lateral inferior (Low Sideband) LSI Integraión a gran esala (Large Sale Integration) MSI Integraión a media esala (Medium Sale Integration) PLL Ciruito de lazo por enganhe de fase (Phase Loked Loop) QAM Modulaión de amplitud en uadratura (Quadrature Amplitude Modulation) SSB-AM Modulaión de amplitud de banda lateral únia (Single Sideband Amplitude Modulation) USB Banda lateral superior (Upper Sideband) VLSI Integraión a muy gran esala (Very Large Sale Integration) xii

13 RESUMEN La Esuela de Ingeniería Elétria de la Universidad de Costa Ria tiene gran interés en el Proesamiento Digital de Señales, y por eso se ha deidido desarrollar una serie de prátias de simulaión en los apartados que envuelve la ienia del proesamiento digital de señales para los sistemas de omuniaión. Primero se presenta una investigaión teória de las ténias de simulaión utilizadas en los sistemas de omuniaión. Esta investigaión teória permite reforzar y entender on laridad los oneptos básios detrás de la ienia de las omuniaiones. Segundo se presentan los enuniados de las prátias para los temas presentados en el maro teório. Se iniia on una prátia senilla de filtros digitales, luego una para evaluar los oneptos de la transformada disreta de Fourier utilizando la transformada rápida de Fourier, le siguen las prátias de modulaión AM ompleta, DSBSC-AM, SSB- AM y FM, después las prátias de modulaión digital PAM y QAM. Por último, se muestra el ódigo fuente generado para la soluión de los ejeriios de simulaión en MATLAB planteados en ada una de las prátias de laboratorio, así omo los diagramas de bloques de los ejeriios de simulaión en SIMULINK planteados para ada una de ellas. xiii

14 CAPÍTULO 1: Introduión 1.1 Objetivos Objetivo general Preparar y generar prátias para una simulaión previa a la ejeuión de experimentos que emplearían tarjetas onstruidas para realizar proesamiento digital de señales Objetivos espeífios Preparaión del manual de prátias para simulaión. Diseño de prátias adiionales en el área de omuniaiones digitales. Introduión de nuevas ténias de simulaión en el área de sistemas de omuniaiones digitales. 1.2 Justifiaión del tema El gran avane de la ienia y la ingeniería, en el desarrollo de iruitos integrados, miroproesadores y omputadoras en los últimos 30 años, ha generado un gran interés en el estudio del Proesamiento Digital de Señales (DSP, arónimo para la frase en inglés Digital Signal Proessing). Este tema de estudio se ha vuelto tan indispensable que ha sido apliado a muhas disiplinas tanto en ingeniería omo eonomía y desde la astronomía hasta la biología moleular. 1

15 Es por eso que este es un tema de estudio de gran interés para la Esuela de Ingeniería Elétria de la Universidad de Costa Ria, y por eso se ha deidido desarrollar una serie de prátias de simulaión en los apartados que envuelve la ienia del proesamiento digital de señales, las uales se realizarán de forma previa a un laboratorio en el ual se pondrán en prátia todos los onoimientos adquiridos en el urso de Proesamiento Digital de Señales que imparte diha Esuela, on tarjetas de programaión de miroproesadores diseñados para el tratamiento digital de señales. 1.3 Problema a resolver El problema a resolver, es el de realizar el manual de prátias para simulaión utilizando MATLAB y SIMULINK. Este deberá abarar los temas más importantes en el área del proesamiento digital de señales, omo por ejemplo el diseño de filtros digitales, análisis del espetro de una señal digital apliando la transformada disreta de Fourier, modulaión y demodulaión AM, modulaión y demodulaión FM, deteión de errores de transmisión; y estos tan solo para menionar algunos, los demás se deben determinar por medio de la investigaión teória. Las prátias inluirán una nota teória, un proedimiento detallado de los ejeriios que se deben realizar, y por último tendrán un uestionario para evaluar todos los oneptos que en el experimento se inluyan. 2

16 1.4 Metodología La metodología propuesta desribe la manera en la ual va a transurrir el proeso de investigaión hasta alanzar la meta estableida por medio de los objetivos anteriormente desritos. Primeramente se debe elaborar un maro teório, inluyendo una breve introduión al DSP, seguido de los temas más importantes en el proesamiento digital de señales, los uales son la nota teória de ada una de las prátias que se pretenden generar. Esta investigaión teória se debe realizar on la revisión, obtenión, extraión y reopilaión de literatura proveniente de libros, revistas, artíulos, biblioteas e Internet. El siguiente paso es el desarrollo de los ejeriios inluidos en las prátias de simulaión, las uales se deben plantear y soluionar on la ayuda de MATLAB y SIMULINK, las uales son dos herramientas informátias muy poderosas y de gran importania para el desarrollo de sistemas de proesamiento digital de señales. Por último se evalúa ada una de las prátias por medio de un análisis de resultados y el proedimiento efetuado para ada una de ellas. 3

17 CAPÍTULO 2: Desarrollo teório 2.1 Introduión al proesamiento digital de señales El aelerado desarrollo de iruitos integrados, omenzando on la integraión a media esala (MSI, medium sale integration), luego on la integraión a gran esala (LSI, large sale integration) y por último, hoy en día, on la integraión a muy gran esala (VLSI, very large sale integration) de iruitos eletrónios integrados ha estimulado el desarrollo de ordenadores digitales más pequeños, rápidos, y baratos y de hardware de propósito general. Con estos iruitos digitales, se ha heho posible onstruir sistemas digitales altamente sofistiados, apaes de realizar funiones y tareas para un proesamiento de señal digital que normalmente eran demasiado difíiles y/o aras on iruitería o sistemas de proesamiento de señales analógias. A través del DSP, se han desarrollado hoy en día, sofistiados sistemas de omuniaión, naió el Internet, se ha podido obtener valiosa informaión aera del osmos a partir de las señales astronómias, las señales sísmias pueden ser analizadas para determinar la magnitud de un terremoto o para predeir la estabilidad de un volán, las imágenes o fotografías por omputador pueden ser ahora mejoradas, entre muhas otras osas más. 4

18 2.2 Tipos de señales 1 Las señales se pueden enontrar en la mayoría de los ampos de la ienia y la ingeniería, así omo en la astronomía, aústia, biología, omuniaiones, sismología, telemetría, y eonomía, tan solo omo para nombrar algunos. Las señales naturalmente provienen de los proesos físios o son hehas por la humanidad. Las señales astronómias pueden ser generadas por explosiones elestes llamadas supernovas o por una estrella pulsante, mientras las señales sísmias son manifestaiones de terremotos o de volanes que están en atividad. Las señales en biología son produidas por el erebro o el orazón, por los delfines o las ballenas para omuniarse entre ellas, o por un muriélago para poder volar en la osuridad o para enontrar alimento. Por otra parte, las señales hehas por la humanidad son produidas en proesos tenológios, tales omo las que existen en las omputadoras, telefonía y sistemas de radar, o el Internet. Son muhas las razones por las que existe un gran interés en las señales. Los astrónomos pueden obtener informaión muy importante de las estrellas, tal omo su omposiión químia, pueden determinar el tamaño y la densidad de una estrella pulsante de auerdo a la freuenia de radiaión de esta. Los sismólogos pueden determinar la magnitud y el lugar de origen de un terremoto, al igual que un vulanólogo puede predeir uando un volán estará en erupión. Los ardiólogos pueden diagnostiar la ondiión del orazón, al mirar los patrones o alteraiones de los tejidos a través de un eletroardiograma. Se puede difundir informaión a través del Internet, ayudar a los 1 Proakis, J. G. Tratamiento digital de señales. Terera Ediión, Prentie Hall, Madrid, España,

19 aviones a aterrizar en ondiiones limátias muy malas y de poa visibilidad, o advertir a los pilotos de la distania entre un objeto y los aviones para evitar olisiones. Entones, on todo lo que se ha diho anteriormente se puede deir que una señal es una antidad físia que varía on el tiempo, el espaio o ualquier otra variable o variables independientes. Las señales se pueden lasifiar omo: Señales ontinuas en el tiempo (analógias) Señales disretas en el tiempo (digitales) Una señal ontinua en el tiempo está definida para todos los valores del tiempo desde el iniio hasta el final en un intervalo de tiempo dado, por ejemplo la señal aústia produida por un delfín. Una señal disreta en el tiempo está definida omo una señal on valores en iertos instantes del tiempo, los uales pueden ser ada milisegundo, segundo, minuto, hora o día, por ejemplo las gotas de lluvia omo funión del tiempo. Matemátiamente, las señales analógias se desriben omo funiones ontinuas de variable ontinua, donde el dominio es un intervalo de valores (t 1, t 2 ), donde < t y 1 t 2 <, la ual está representada en la figura 2.1a. De forma similar una señal disreta puede ser representada por una funión x (nt ), donde T es el período entre los valores disretos adyaentes de la funión y n es un integrador del intervalo (n 1, n 2 ) donde < n1 y n 2 <, tal y omo se muestra en la figura 2.1b. Las señales de tiempo disreto a menudo son generadas a partir de una señal ontinua por medio de un proeso de muestreo. En 6

20 partiular, tenemos f s = 1 T, la ual es onoida omo la freuenia de muestreo. Las señales también se pueden lasifiar omo: Sin uantifiar Cuantifiada Una señal sin uantifiar puede tomar ualquier valor en un intervalo, mientras que una señal uantifiada sólo puede tomar valores disretos, usualmente de igual longitud de separaión. La figura 2.2a y 2.2b muestra respetivamente, a una señal uantifiada ontinua en el tiempo y una señal uantifiada disreta en el tiempo. (a) (b) Figura 2.1 Tipos de señales: (a) Señal ontinua en el tiempo sin uantifiar, (b) señal disreta en el tiempo sin uantifiar 7

21 (a) (b) Figura 2.2 Tipos de señales: (a) Señal ontinua en el tiempo uantifiada, (b) señal disreta en el tiempo uantifiada 2.3 Representaión freuenial del dominio 1 Las señales la mayoría del tiempo son representadas por funiones en el dominio del tiempo. Pero en algunas situaiones es de gran utilidad representar las señales on funiones en el dominio de la freuenia, por ejemplo un señal ontinua en el tiempo ompuesta por la sumatoria de las omponentes sinusoidales, tal omo x( t) = 9 k = 1 ( + φ ) A k sin ω t (2.3-1) k k puede ser desrita ompletamente por dos series, A( ω ) = { A : ω = ω para k = 1,2,3, K,9} (2.3-2) k k y 1 Antoniou, A. Digital Signal Proessing: Signals, Systems and Filters. Primera ediión, MGraw Hill, New York, Estados Unidos,

22 φ ( ω) = { φ : ω = para k = 1,2,3, K,9} (2.3-3) k ω k las uales representan las magnitudes y las fases de las omponentes sinusoidales presentes en la señal. A las series A (ω) y φ (ω) se les onoe respetivamente omo el espetro de magnitud y el espetro de fase de la señal. Por ejemplo, si A (ω) y φ (ω) en la euaión 2.3-1, tomaran los valores dados en la tabla 2.1 asoiados on ierto valor de freuenia, x (t) puede ser representada en el dominio del tiempo, tal y omo se muestra en la figura 2.3 y en el dominio de la freuenia en las figuras 2.4a y b. Tabla 2.1 Parámetros de una señal obtenidos a partir de la euaión k ω k A k φ k

23 Figura 2.3 Representaión en el dominio del tiempo de la señal periódia dada por la euaión (2.3-1). Figura 2.4 Representaión en el dominio de la freuenia de la señal periódia de la euaión (2.3-1). (a) Espetro de Magnitud, (b) Espetro de Fase. 10

24 La utilidad de representar una señal en el dominio de la freuenia, se puede apreiar al omparar el dominio del tiempo on el dominio de la freuenia al analizar la figura 2.4. La representaión en el dominio del tiempo muestra una señal ruidosa y periódia. Lo ual implia que ésta señal está ompuesta por la suma de omponentes periódios. Por otro lado, la representaión en el dominio de la freuenia, provee una desripión detallada y signifiativa de ada una de los omponentes en freuenia, y de los aportes en magnitud y fase de ada uno de los omponentes presentes en la seuenia. La representaión propuesta en la euaión 2.3, se onoe omo la Serie de Fourier de una señal x (t) y se obtiene omo onseuenia, que las series de Fourier para una señal periódia son la únia manera para obtener una representaión espetral de una señal. Los ientífios, matemátios e ingenieros han ideado una gran variedad de herramientas matemátias, las uales pueden ser usadas para representar diferentes tipos de señales de forma espetral. Otras herramientas matemátias, además de las Series de Fourier, son la Transformada de Fourier, la ual se aplia tanto a señales periódias o no periódias ontinuas en el tiempo; la Transformada Z, la ual se utiliza para señales no periódias disretas en el tiempo; y la Transformada Disreta de Fourier, la ual es la más adeuada para señales periódias disretas en el tiempo. Cada una de estas herramientas será retomada en los siguientes apartados. 11

25 2.4 Filtros analógios y digitales 1 El término filtro se utiliza omúnmente para desribir un dispositivo que disrimina, según algún atributo de los objetos que se aplian a su entrada, aquello que pasa a su través. Por ejemplo, un filtro de aire permite que el aire pase a su través, evitando que las partíulas de polvo presentes en el aire lo atraviesen. El filtrado se emplea en el proesamiento digital de señales de diferentes maneras, por ejemplo, en la eliminaión de ruido indeseable de señales deseadas, en la onformaión espetral para eualizaión de anales de omuniaiones, en la deteión de señales en radar, sonar y omuniaiones, en los análisis espetrales de señales, et Filtros analógios Los filtros elétrios, desde que fueron inventados, han heho posible el gran desarrollo de las teleomuniaiones. Originalmente los filtros analógios fueron inventados para ser usados para reeptores de radio y sistemas telefónios para omuniar personas a larga distania, onvirtiéndose de esta manera en elementos importantes en todos los tipos de sistemas de omuniaión. Con el desarrollo de filtros en los últimos años, estos se pueden lasifiar según su funión, su gama de freuenias o según su tenología y de auerdo, on los elementos que los omponen. Algunos tipos de filtros analógios son los siguientes: 1 Antoniou, A. Digital Signal Proessing: Signals, Systems and Filters. Primera ediión, MGraw Hill, New York, Estados Unidos,

26 Filtros pasivos RLC Filtros ativos RC disretos Filtros de apaitores onmutados Filtros de miroondas Filtros ativos RC integrados Filtros digitales En general, un filtro digital es un sistema que reibe de entrada una señal de tiempo disreto y produe de salida una señal de tiempo disreto, pero modifiada en ierta forma ya sea en magnitud o en freuenia. Con el rápido avane en la tenología de los iruitos integrados, el desarrollo de tenologías digitales hizo que se onstruyeran sistemas más versátiles y de muy bajo osto. El desarrollo de filtros digitales sigue reiendo día on día, y por ello se tiene los siguientes ejemplos: Filtros reursivos y no reursivos Filtros de abanio Filtros bidimensionales Filtros adaptativos Filtros multidimensionales Filtros Multitasa Estos filtros digitales hoy en día, pueden ser implementados en lenguajes omo MATLAB o C++. 13

27 2.5 Nota teória laboratorio de filtros digitales 1 El objetivo es aprender omo implementar las ténias de filtrado para señales de tiempo disreto, usualmente utilizadas en el urso de Proesamiento Digital de Señales Suma onvoluión y respuesta en freuenia para tiempo disreto La salida y [n] de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede expresar omo la suma onvoluión de la entrada x [n] on su respuesta al impulso h [n], por medio de la siguiente euaión: k = y [ n] = x[ k] h[ n k] = h[ k] x[ n k] (2.5-1) k = La transformada z de la onvoluión de dos señales es igual a la multipliaión de las transformadas de ada una: n Y ( z) = y[ n] z = X ( z) H ( z) n= (2.5-2) donde H n ( z) = h[ n] z y n X ( z) = x[ n] z (2.5-3) n= n= 1 Tretter, S. A. Communiation System Design Using DSP Algorithms. Primera Ediión, Kluwer Aademi / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos,

28 De auerdo on la euaión 2.5-1, la salida es jω( n k ) T jωnt jωkt h[ k] Ce = Ce h[ k] e = x[ n] H ( z) k = k = y[ n] = jωt z= e (2.5-4) Por tanto, la salida tiene forma sinusoidal a la misma freuenia que la entrada, pero on su amplitud dada a partir del número omplejo. H * ( ω ) = H ( z) jωt z = e (2.5-5) La expresión H * ( ω) se le onoe omo la respuesta en freuenia del sistema. La expresión A ( ω) = H * ( ω) se le onoe omo la amplitud de la respuesta del sistema y el ángulo θ ( ω) = arg H * ( ω) se le onoe omo la respuesta de fase del sistema. Estas funiones todas están en funión de ω on un período ω = 2π T. En oordenadas polares la respuesta en freuenia se ve así s jθ ( ω) H *( ω) = A( ω) e (2.5-6) Entones, de auerdo on la euaión 2.5-4, la salida puede ser expresada omo j[ ωnt + θ ( ω)] y [ n] = CA( ω) e (2.5-7) Cuando la entrada es una señal sinusoidal real, por ejemplo jφ jωnt x[ n] = C os( ωnt + φ) = Re{ Ce e } (2.5-8) La salida es de la siguiente manera [ ωnt + θ ( ω + φ] * jφ jωnt y[ n] = Re{ H ( ω) Ce e } = CA( ω)os ) (2.5-9) 15

29 En otras palabras, el sistema modifia la magnitud de la señal sinusoidal de entrada por medio de la amplitud de la respuesta y varía su fase a través de la fase de la respuesta en freuenia, lo que onstituye la idea básia del filtrado digital Filtros de respuesta de duraión finita al impulso (FIR) FIR es un arónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso. Se trata de un filtro, en el ual si la entrada es una señal impulso, la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Los filtros FIR tienen la gran ventaja de que pueden diseñarse para ser de fase lineal, lo ual hae que presenten iertas propiedades en la simetría de los oefiientes. Este tipo de filtros tiene espeial interés en apliaiones de audio. Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables. Los eros se presentan en pares de reíproos si el filtro se diseña para tener fase lineal. Una de sus desventajas es de neesitar un orden mayor respeto a los filtros IIR para umplir las mismas araterístias. Esto se tradue en un mayor gasto omputaional Estrutura en forma direta de un filtro FIR La realizaión de la estrutura en forma direta se deriva diretamente de la euaión 2.5-1, uando la respuesta al impulso es idéntiamente a ero fuera del intervalo de valores siguientes {0, 1,2,, N-1}, de esta manera la suma onvoluión esta dada por: 16

30 N 1 k = 0 n y[ n] = h[ k] x[ n k] = x[ k] h[ n k] (2.5-10) k = n N + 1 Un filtro de este tipo se le onoe omo un filtro de respuesta finita al impulso de N-etapas (FIR), filtro no reursivo, filtro transversal, o moving average filter (filtro de ombinaión lineal ponderada). El diagrama de bloques para la realizaión de la estrutura en forma direta para onstruir filtros FIR se muestra en la figura 2.5. Consiste en una línea de retardos representada por la adena de bloques llamados z -1 y una serie de divisiones que salen de la línea de retardo, las uales son muestras de la respuesta al impulso. Figura 2.5 Diagrama de bloques de la estrutura en forma direta de un filtro FIR 17

31 Métodos para el diseño de filtros FIR Hay tres métodos básios para diseñar este tipo de filtros: Método de las ventanas. Las más habituales son: Ventana retangular Ventana de Barlett Ventana de Von Hann Ventana de Hamming Ventana de Blakman Ventana de Kaiser Muestreo en freuenia Rizado onstante (Aproximaión de Chebyshev y algoritmo de interambio de Remez) Filtros de respuesta de duraión infinita al impulso (IIR) Un filtro on respuesta al impulso, h(n), que tiene duraión infinita es onoido omo un filtro IIR, h(n) es la suma de varios exponeniales. En el dominio de la transformada z, H(z), se onoe omo la funión de transferenia, y es una funión raional de z. Es la razón de dos polinomios de grado finito, tal y omo se muestra en la siguiente funión raional, 1 2 ( b0 + b1 z + b2z + L + b z H z) 1 1+ a + a z + a z 2 + L+ a N = N = M M z B( z) A( z) (2.5-11) 18

32 Estrutura en forma direta de un filtro IIR La funión de transferenia raional dada por la euaión , se puede obtener de diferentes maneras. Una de ellas, es por medio de la estrutura en forma direta. La razón de las transformadas z entre la salida y la entrada del filtro esta dada por ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z A z B z H z X z Y = = (2.5-12) De la expresión anterior obtenemos, ) ( ) ( ) ( ) ( z B z X z A z Y = o = = = + N k k k M k k k z b z X z a z Y 0 1 ) ( 1 ) ( (2.5-13) Despejando para Y(z) = = = M k k k N k k k z z Y a z z X b z Y 1 0 ) ( ) ( ) ( (2.5-14) La euaión en diferenias es el equivalente en el dominio del tiempo = = = M k k N k k k n y a k n x b n y 1 0 ] [ ] [ ] [ (2.5-15) La euaión anterior muestra ómo onstruir un filtro a partir de las N entradas y M salidas pasadas. Un filtro implementado de esta manera se le onoe omo un filtro reursivo, dado que las salidas pasadas son utilizadas para alular la salida atual. Se le llama de forma direta porque los oefiientes en la funión de transferenia apareen en la euaión en diferenias.

33 20 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z B z V z B z A z X z Y = = (2.5-16) donde ) ( 1 ) ( ) ( z A z X z V = (2.5-17) La expresión anterior se muestra en la siguiente figura Figura 2.6 Primer paso de la estrutura en forma direta tipo 1 de un filtro IIR La Señal intermedia v[n] puede ser obtenida a partir de la estrutura de forma direta = = M k k k n v a n x n v 1 ] [ ] [ ] [ (2.5-18) luego, la salida puede estar representada por = = N k k k n v b n y 0 ] [ ] [ (2.5-19) Un diagrama de bloques para las euaiones , se muestra en la siguiente figura, donde se asume que M=N. Este tipo de estruturas requieren menos

34 apaidad y se les onoe omo estrutura en forma direta tipo 1 y forma direta tipo 2 respetivamente. Figura 2.7 Diagrama de bloques de la estrutura en forma direta tipo 1 de un filtro IIR Los elementos s 1 [n],.,s N [n], son variables de estado para el filtro. La salida atual y el siguiente estado pueden ser obtenidos a partir de la entrada y estado atual. La siguiente seuenia de pasos puede ser utilizada para obtener las salidas y los estados del filtro: 21

35 22 Paso1: Calulo de v[n] = = M k k k n v a n x n v 1 ] [ ] [ ] [ Paso 2: Calulo de la salida y[n] = + = N k k k n s b n v b n y 1 0 ] [ ] [ ] [ Paso 3: Atualizar las variables de estado ] [ 1] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ n v n s n s n s n s n s n s n s N N N N = + = + = + = + M Otra estrutura, es la de forma direta tipo 2, la ual se puede obtener de la euaión Para simplifiar, sea M=N. = + = N k k k k z z Y a z X b z X b z Y 1 0 )] ( ) ( [ ) ( ) ( (2.5-20) Un diagrama de bloques que representa la expresión anterior se muestra en la figura siguiente.

36 Figura 2.8 Diagrama de bloques de la estrutura en forma direta tipo 2 de un filtro IIR La seuenia de pasos siguiente es para obtener las salidas y para atualizar sus variables de estado de este tipo de estrutura. Paso1: Cálulo de la salida y[n] y n] = b x[ n] + s [ [ 0 1 n ] 23

37 24 Paso 2: Atualizar las variables de estado ] [ ] [ ] [ 1] [ n s n y a n b x n s + = + ] [ ] [ 1] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ] [ ] [ ] [ 1] [ n y a n x b n s n s n y a n x b n s n s n y a n x b n s N N N N N N N = + + = + + = + M Transformaión bilineal 1 El diseño de filtros digitales a partir de filtros analógios es un ampo maduro y bien desarrollado, así que en la mayoría de las vees es de gran utilidad diseñar un filtro digital en el dominio analógio y luego este se onvierte al dominio digital. Un filtro analógio se puede desribir por su funión de transferenia = = = = N k k k M k k k a s s s A s B s H 0 0 ) ( ) ( ) ( α β (2.5-21) donde { } k α y { } k β son los oefiientes del filtro, o por su respuesta al impulso, que se relaiona on H a (s) mediante la transformada de Laplae () = dt e t h s H st a ) ( (2.5-22) 1 Proakis, J. G. Tratamiento digital de señales. Terera Ediión, Prentie Hall, Madrid, España, Jakson, L. B. Digital filters and Signal Proessing. Terera Ediión, Boston: Kluwer Aademi Publishers, Estados Unidos, 1996.

38 También, el filtro analógio que tiene la funión de transferenia raional, H(s) dada en (2.5-21), se puede desribir mediante la euaión diferenial lineal on oefiientes lineales onstantes N k = 0 k M k d y( t) d x( t) α k = k βk (2.5-23) k dt dt k = 0 donde x(t) denota la señal de entrada e y(t) denota la salida del filtro. Cada una de estas tres araterizaiones equivalentes de un filtro analógio ondue a métodos alternativos para onvertir el filtro al dominio digital. Reuérdese que un sistema analógio lineal invariante en el tiempo on funión de transferenia H(s) es estable si todos sus polos se enuentran en la mitad izquierda del plano s. Conseuentemente, si la ténia de onversión es efetiva debería tener las siguientes propiedades deseables: El eje jω en el plano s debería orresponderse a la irunferenia unidad en el plano z. Así, habrá una relaión direta entre las dos variables de freuenia en los dos dominios. El semiplano izquierdo del plano s se debería orresponder on el interior de la irunferenia unidad en el plano z. Así, un filtro analógio estable se onvertirá en un filtro digital estable. Uno de estos métodos es la orrespondenia del plano s al plano z, denominada transformaión bilineal, que soluiona iertas limitaiones que poseen otros métodos. La transformaión bilineal es una orrespondenia onformadora que transforma el eje jω en 25

39 la irunferenia unidad del plano z sólo una vez, evitando el solapamiento de omponentes de freuenia. Además, todos los puntos en el semiplano izquierdo s se orresponden on el interior de la irunferenia unidad en el plano z y todos los puntos en el semiplano dereho de s se orresponden on puntos fuera de la irunferenia unidad del plano z. De esta manera se neesita una transformaión de s a s, la ual ontenga todo el plano s dentro del intervalo π T Im( s' ) π T, luego para transformarlo al plano z utilizando z s' T = e. La transformaión del plano s al plano s está desrita en la figura 2.9 y esta dada por 2 1 st s ' = tan (2.5-24) T 2 Figura 2.9 Mapeo del plano s al plano s Ahora para ver el efeto de esta transformada es mejor pasar al eje jω. Sustituyendo s=jω y s =jω en (2.5-24), se obtiene 2 Ω ' = tan T Ω 2 1 T (2.5-25) 26

40 O equivalentemente, Ω ω = 2tan (2.5-26) 2 1 T Por tanto, el eje Ω esta ompletamente ontenido en el intervalo (-π, π) para ω. También se puede notar que la relaión entre ω y Ω no es lineal, pero es aproximadamente lineal para valores pequeños de ω ΩT, tal y omo se muestra en la figura Figura 2.10 Mapeo de Ω a ω por medio de la transformaión bilineal. Ahora, la transformaión del plano s al plano z se obtiene invirtiendo (2.5-24), así 2 s' T s = tanh (2.5-27) T 2 Luego a partir de z s' T = e se obtiene s'= ( 1 T ) ln z y sustituyendo en (2.5-27), se obtiene 27

41 28 = 2 ln tanh 2 z T s (2.5-28) Reordando que: x x x x x x e e e e e e x tanh + = + = y apliándolo a la euaión (2.5-28), se obtiene + = z z T s (2.5-29) Por tanto, el diseño en tiempo disreto de un filtro se obtiene a partir del diseño en tiempo ontinuo a través de la transformada bilineal. + = = ) ( ) ( z z T S H s z H (2.5-30) Se puede notar que la transformada bilineal es invertible, es deir hay una transformada inversa que se deriva a partir de (2.5-29) s T s T z = (2.5-31) La relaión no-lineal que existe entre Ω y ω dada por la euaión (2.5-26) se le onoe omo distorsión en freuenia. De esta manera el efeto en H (ω) relativo a H (jω) se obtiene a partir de (2.5-30) Ω= Ω = 2 tan 2 ) ( ) ( ' ω ω T H j H (2.5-32)

42 La relaión es desrita en la siguiente figura Figura 2.11 Desripión del efeto de la transformaión bilineal de H ( jω) a H'(ω). De la figura anterior se puede notar que a partir de esta transformaión H (jω) se omprime en freuenia, pero a pesar de esto, las araterístias de H (jω) se mantienen en H (ω). Esta propiedad es la araterístia más importante de la transformada bilineal. 29

43 Para diseñar filtros utilizando la transformaión bilineal se utiliza el siguiente proedimiento: Distorsión en Freuenia: se alulan los valores de Ω y Ω r orrespondientes a los valores espeifiados de ω y ω r a partir de Ω = 2 ω tan T 2 (2.5-33) Diseño en tiempo ontinuo: a partir de los valores de Ω, Ω r, δ 1, δ 2, y N, se obtiene las eros y polos del filtro analógio. Transformaión de los eros y polos: utilizando la euaión (2.5-36) los eros σ m y polos s k se transforman en z m y p k. Poniendo H (jω) en términos de sus polos y eros de la siguiente manera H ( s) M m= 1 = K N k = 1 ( s σ ) m ( s s ) k (2.5-34) Y apliando la transformada bilineal se produe M 1 N M m= 1 = b0 ( 1+ z ) N 1 (1 zmz ) H ( z) (2.5-35) 1 (1 p z ) k = 1 k 30

44 donde z m T 1+ σ m = 2 y T 1 σ m 2 p k T 1+ sk = 2 (2.5-36) T 1 sk 2 Calular b 0 : se alula el oefiiente de ganania b 0 igualando las gananias de H 1) = H (0) o las gananias de otras freuenias equivalentes. ( por (2.5-35). Por último se obtiene la funión de transferenia del sistema H(z) la ual está dada 31

45 2.6 Nota teória laboratorio de FFT 1 El objetivo es repasar y utilizar algunas ténias importantes en el proesamiento digital de señales. Prátiamente sería onstruir un analizador del espetro utilizando la Transformada Rápida de Fourier (FFT, arónimo en inglés de Fast Fourier Transform) Muestreo en tiempo disreto utilizando la transformada de Fourier Suponga que una señal ontinua en el tiempo, es muestreada on un período T o una freuenia de muestreo de ω = 2π T para obtener una señal disreta en el tiempo s x[n]=x(nt). expresión, Se define en tiempo disreto la Transformada de Fourier de x[n] omo la siguiente X jωnt ( ω) = x[ n] e (2.6-1) n= La transformada Z de la señal se obtiene sustituyendo por z jωt = e. Nótese que X ( ω) tiene un período ω s, puesto que la sumatoria es una serie de Fourier. La señal disreta de Fourier puede ser determinada en tiempo disreto a partir de la transformada de Fourier, por 1 Tretter, S. A. Communiation System Design Using DSP Algorithms. Primera Ediión, Kluwer Aademi / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos,

46 x 1 ω w [] n = X ( ω) 2 s s ws 2 e jωnt dω (2.6-2) Así, x[n] puede ser onsiderada omo la suma de ondas sinusoidales muestreadas en un intervalo de freuenias ontinuas, de auerdo al anho de banda según Nyquist ω < ω < ω 2 on amplitudes omplejas dadas por X(ω). De esta manera X(ω) se le s 2 s puede llamar omo el espetro de freuenia de la señal La transformada disreta de Fourier y su inversa Sea x[n] una señal la ual es ero para valores de n que no estén en el siguiente intervalo {0, 1, 2,., N-1}. Sea X(ω) en tiempo disreto la transformada de Fourier de x[n], la ual se definió en el punto Entones, la Transformada Disreta de Fourier (DFT, arónimo en inglés de Disrete Fourier Transform) de x[n], se define omo X k = N 1 n= 0 2π j nk N X ( kω N) = x[ n] e para k = 0, 1,., N-1 (2.6-3) s La DFT es simplemente la serie de N muestras de X(ω) tomadas a diferentes valores de freuenia dadas por ω N dentro del intervalo de Nyquist. s Los valores originales de la señal se pueden obtener utilizando la Transformada Disreta Inversa de Fourier (IDFT, arónimo en inglés de Inverse Disrete Fourier Transform), dada por la siguiente fórmula 33

47 x[ n] = 1 N N 1 k = 0 X k e 2π j nk N para k = 0, 1,., N-1 (2.6-4) La transformada rápida de Fourier 1 La transformada disreta de Fourier (DFT) juega un papel importante en el análisis, el diseño y la realizaión de algoritmos y sistemas de proesamiento digital de señales. Una de las razones por las que el análisis en Fourier es de una amplia importania en el proesamiento digital de señales es debido a la existenia de un algoritmo efiiente para alular la DFT. Este algoritmo se le denomina omo la Transformada Rápida de Fourier (FFT). La FFT elimina informaión redundante que existe en la DFT, ya que esta explota las propiedades de periodiidad y simetría del fator de fase W N. Estas propiedades son: W W N k + 2 N k + N N = W = W k N k N Simetría Periodiidad (2.6-5) Existen básiamente dos tipos de algoritmos FFT: Diezmado en el tiempo Diezmado en freuenia 1 Proakis, J. G. Tratamiento digital de señales, Terera ediión, Prentie Hall, Madrid España, Tretter, S. A. Communiation System Design Using DSP Algorithms, Primera ediión, Kluwer Aademi / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos,

48 Estos algoritmos son de gran utilidad debido a que si se realiza el álulo direto de la DFT o IDFT dadas por (2.6-3) y (2.6-4), esto supone realizar N multipliaiones omplejas y N 1 sumas omplejas. En onseuenia, para alular los N valores de de DFT neesitamos 2 N multipliaiones omplejas y 2 N N sumas omplejas. Por otra parte el álulo utilizando estos algoritmos redue el número de sumas omplejas a N log 2 N. De manera para valores de N muy grandes es de gran importania utilizar la FFT en lugar de alular diretamente la DFT. El algoritmo de diezmado en el tiempo es uno de los algoritmos mas utilizados en la atualidad, este se presenta a ontinuaión. Para simplifiar la notaión, sea W N e j2π N =, de esta manera de (2.6-3) obtengo X k = N 1 n= 0 x[ n] e 2π j nk N = N 1 n= 0 x[ n] W nk N (2.6-6) Este algoritmo asume que uando n es par y otra uando n es impar. v N = 2. Luego se separa la sumatoria en dos sumatorias, N 1 2 n= 0 N 1 2 2nk X = x[2n] W + x[2n + 1] W para k = 0, 1, K, N 1 (2.6-7) k N n= 0 (2n+ 1) k N Ahora sea, a[ n] = x[2n] b[ n] = x[2n + 1] N para n = 0, 1, K, 1 (2.6-8) 2 35

49 2 Se puede notar que W N = W N 2. Por tanto, (2.6-7) puede esribirse omo N 1 2 n= 0 N 1 2 nk k N / 2 + WN b[ n] n= 0 nk X = a[ n] W W para k = 0, 1, K, N 1 (2.6-9) k N / 2 y definiendo A k y B k de la siguiente manera A B k k = = N 1 2 n= 0 N 1 2 n= 0 a[ n] W b[ n] W nk N / 2 nk N / 2 para n = 0, 1, K, N 1 (2.6-10) De esta manera (2.6-9) se puede esribir omo X = A +W B para n = 0, 1, K, N 1 (2.6-11) k k k N k El siguiente paso muestra las euaiones laves para la FFT de diezmado en el N / 2 tiempo. Primero se nota que W = 1. Luego, la euaión anterior se puede separar en dos nuevas euaiones, N X X k = k + 2 N A + W k k k N B = A W k k N B k N para n = 0, 1, K, 1 (2.6-12) 2 El álulo básio de las dos euaiones anteriores se muestra en la siguiente figura, al ual se le denomina Mariposa, dado que el diagrama de flujo reuerda a una mariposa. 36

50 Figura 2.12 Esquema de Mariposa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo. Un diagrama de flujo para un álulo ompleto de la primera etapa de este algoritmo on N = 8, se muestra en la siguiente figura. Figura 2.13 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en el tiempo. 37

51 Otro algoritmo para el álulo de la FFT importante, denominado algoritmo de diezmado en freuenia. Esto implia un almaenamiento por olumnas de la seuenia de datos de entrada. Para deduir el algoritmo se empieza dividiendo la euaión (2.6-6) en dos sumatorias, una de las uales ontiene los primeros N 2 puntos de datos y el otro los últimos N 2 puntos de datos. Así se obtiene X X k k = = N 1 2 n= 0 N 1 2 n= 0 x x N 1 kn [] n WN + x[] n N n= 2 W N Nk 1 2 kn [] + 2 n WN WN N n= 2 kn N x n + N 2 W kn N (2.6-13) kn 2 Dado que W ( 1) k N =, la expresión (2.6-13) puede reesribirse omo N Nk 1 2 = 2 WN N n 2 k [] ( ) N kn X k x n x n WN (2.6-14) = Ahora se diezma X k en las muestras pares e impares. De esta manera, se obtiene N 1 2 [] N = + + kn N X k x n x n W N para k = 0, 1, K, 1 (2.6-15) n= y N [] N = + kn kn N X k + x n x n W N WN para k = 0, 1, K, 1 (2.6-16) n=

52 Donde se reurre al heho de que puntos g 1 ( n) y ( n) g 2 omo 2 N W N = W N. Si se definen las seuenias de 2 2 g g 1 [] n = x[] n 2 N + x n + 2 N + 2 [] = [] n n x n x n W para n = 0,1, 2, K, 1 N N 2 (2.6-17) Entones X X 2k = 2k + 1 N 1 2 kn g1[] n WN n= 0 2 = N 1 2 kn g2[] n WN n= 0 2 (2.6-18) El álulo de las seuenias g 1 [ n] y [ n] g 2 según (2.6-17) y el uso de estas seuenias para el álulo de la DFT de N 2 puntos se muestra en la figura Este proedimiento omputaional puede repetirse diezmando la DFT de N 2 puntos para X 2 k y X 2 k + 1. Conseuentemente, el álulo de la DFT de N puntos por medio del algoritmo para la FFT de diezmado en freuenia, requiere ( 2 ) log N N 2 multipliaiones omplejas y N 2 log N sumas omplejas, igual que el algoritmo de diezmado en tiempo. 39

53 Un diagrama de flujo para un álulo ompleto de la primera etapa de este algoritmo on N = 8, se muestra en la siguiente figura. Figura 2.14 Primera etapa del algoritmo FFT de diezmado en freuenia figura 2.12 Se puede observar que el álulo básio en esta figura es la mariposa mostrada en la 40

54 2.6.4 Uso de la FFT para determinar la densidad espetral de potenia 1 Hay señales de energía finita que tienen transformada de Fourier y están araterizadas en el dominio espetral por su densidad espetral de energía. Por otro lado, la lase importante de señales araterizadas omo proesos aleatorios estaionarios no tienen energía finita y, por lo tanto, no tienen transformada de Fourier. Tales señales están araterizadas por la densidad espetral de potenia, ya que tienen potenia media finita. Un método para estimar la densidad espetral de freuenia está basado en usar una funión llamada periodograma. Esta funión de una seuenia de N puntos y[n] esta definida por I ( ω) 1 Y ( ω ) 2 N = (2.6-19) N donde Y N 1 jωnt ω y[ n] e (2.6-20) ( ) = = n 0 es en tiempo disreto la transformada de Fourier de y[n]. Se puede demostrar que la transformada inversa del periodograma es iguala a la funión de autoorrelaión 1 1 N [ ] [] ( ) y n + k y k para n N 1 R n = N k = 0 (2.6-21) 0 ualquier otro valor 1 Proakis, J. G. Tratamiento digital de señales, Terera ediión, Prentie Hall, Madrid España, Tretter, S. A. Communiation System Design Using DSP Algorithms, Primera ediión, Kluwer Aademi / Plenum Publishers, New York, Estados Unidos,

55 La variable, n, en la funión de autoorrelaión se le onoe omo el retardo. Para un retardo ero R 1 N N 1 ωs / 2 ( 0) = y[] k = I ( ) 2 N ω k = ω ωs / 2 dω (2.6-22) es la potenia promedio de la seuenia de puntos. Esta relaión justifia el uso de la autoorrelaión promediada en el tiempo, omo la interpretaión del periodograma omo una funión que muestra omo la potenia se distribuye en el dominio de la freuenia. A simple vista, se puede asumir que onforme aumenta N, el periodograma se vuelve una mejor forma de estimar la densidad espetral de potenia para proesos aleatorios estaionarios. Sin embargo, esto no es ierto. Conforme N aumenta, el periodograma tiende a osilar más y más rápidamente. Una soluión a este problema es promediar los periodogramas de diferentes segmentos de la seuenia de N puntos. Sea x[n] una seuenia de duraión M = LN y la ventana L para ada uno de los segmentos. [ n] x[ n + kl] h para n = 0, 1,..., N 1 y k [] n = (2.6-23) 0 ualquier otro donde h[n] es la funión de la ventana deseada. El periodograma obtenido del segmento ventaneado está dado por ( ω) determina ahora por I N, k. Así, la densidad espetral de potenia se ) S = 1 1 L I N, k L k = 0 ( ω) (2.6-24) 42