3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL

Transcripción

1 11 ÍNDICE INTRODUCCIÓN 13 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 19 Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff. Asociación de resistencias. Análisis de redes. Métodos de análisis de circuitos. Teoremas de redes. CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE 97 Componentes. Circuito R - L serie. Circuito R - C serie. Circuito R - L -Cserie. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 125 Función sinusoidal. Análisis de componentes pasivos. Análisis del circuito R - L serie. Análisis del circuito R - C serie. Análisis del circuito R - C serie. Análisis del circuito R - L - C serie. Asociación de impedancias. Potencia. Análisis con frecuencia variable. ANÁLISIS DE REDES 179 Métodos de análisis. Teoremas de redes. Cuadripolos. A RELACIONES MATEMÁTICAS 243 B TABLAS 249 Bibliografía 253 GLOSARIO 255

2 128 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Vamos a estudiar el comportamiento de circuitos eléctricos en el caso de que se aplique una tensión de forma sinusoidal. Se supone, que tanto el generador o fuente como los componentes del circuito, son lineales. Estudiar el comportamiento de un circuito sometido a una tensión o voltaje sinusoidal es la forma más sencilla de analizar los fenómenos estacionarios en un circuito eléctrico. Existen generadores de tensión periódica no sinusoidal. Cuando este tipo de voltaje se aplica a un circuito su respuesta es muy compleja, pero pueden analizarse los resultados partiendo de que todo voltaje periódico puede representarse mediante una serie de Fourier en la que cada término es de forma sinusoidal. Por esta razón interesa estudiar el comportamiento de circuitos cuando se les aplican tensiones sinusoidales, ya que los resultados son aplicables tanto al caso sinusoidal como al periódico no sinusoidal FUNCIÓN SINUSOIDAL La expresión general de una onda sinusoidal viene dada por cualquiera de las siguientes funciones: ( ) = sin( ) (3.1) ( ) = cos( ) (3.2) es la amplitud, es la pulsación o frecuencia angular y es el ángulo de fase. En la figura 3.1 se representa esta señal, indicando sus parámetros principales. El periodo de la señal viene dado por, = 2 = 1 Donde es la frecuencia de la señal, que es la inversa del periodo. se mide en rad/s ; en s y en hertzios (Hz ó c/s). El valor medio de la función es = = 1 Z 0 sin( ) =0 (3.3)

3 3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL 129 yelvalor eficaz: = µ 1 Z [ sin( )] 2 = (3.4) 2 Figura3.1 Al hablar de corriente alterna (c. a.), se entiende que nos referimos a corriente alterna de tipo sinusoidal. Fundamentalmente esto es así porque la onda seno o coseno es la que se obtiene en los generadores de c.a. (alternadores) de las centrales eléctricas y constituye además la base de la producción, transporte y distribución de la energía eléctrica. Además, desde el punto de vista de la teoría de circuitos la onda sinusoidal presenta las siguientes ventajas: Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una sinusoidal de la misma frecuencia La suma de ondas sinusoidales de igual frecuencia, pero de amplitud y fase arbitrarias es una sinusoide de la misma frecuencia, lo cual es interesante para aplicar las leyes de Kirchhoff. Admite una representación de tipo exponencial y esto a su vez, como veremos más adelante, permite operar con vectores giratorios denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo. Por ello los circuitos de c.a. utilizan como base operativa los números complejos. Además, se ha de destacar que según el desarrollo en serie de Fourier, cualquier función periódica puede representarse como una suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Este análisis puede extenderse incluso a señales no periódicas y discretas empleando la integral de Fourier.

4 130 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Representación compleja de una magnitud sinusoidal Las funciones sinusoidales 1 ( ) = sin( ) 2 ( ) = cos( ) Se pueden considerar como el resultado de proyectar un vector giratorio sobre los ejes de coordenadas del plano complejo. Para mostrar esto en la figura3.2sehadibujadounvector de módulo que forma con el eje real un ángulo. Sus componentes serán por tanto: = cos sin (3.5) El vector complejo se puede representar, teniendo en cuenta la relación de Euler, de forma exponencial, = (3.6) Figura 3.2 Ahora bien, si este vector gira en sentido contrario a las agujas del reloj a una velocidad angular (rad/s), en un instante, medidoapartirdela posición inicial, habrá recorrido un ángulo que, unido al inicial supondrá un recorrido angular total dado por = Sus componentes, en dicho instante, son = cos ( )+ sin ( ) (3.7) O bien, en forma exponencial = ( ) (3.8)

5 3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL 131 La posición correspondiente se ilustra en la figura 3.3. Como podemos observar en esta figura, la proyección en el eje real del vector giratorio viene dada por h Re ( )i = cos ( ) (3.9) La proyección sobre el eje imaginario del vector giratorio es h Im ( )i = sin ( ) (3.10) En la figura 3.3 se muestran ambas proyecciones, real e imaginaria, que corresponden a las funciones coseno y seno respectivamente. El vector giratorio se puede representar también = La parte entre paréntesis representa la posición del vector en = 0, mientras que el término cuyo módulo es la unidad, indica el movimiento del vector. Dicha parte se denomina fasor y se trata, como hemos visto, de un vector cuyo origen es siempre el origen de coordenadas. Por este motivo se representa también con una letra mayúscula y en negrita: A = (3.11) Podemos ver que conocido el módulo de un fasor y su fase, la evolución sinusoidal queda determinada por el factor Puesto que un fasor es un número complejo, admite también la representaciónenformapolar: A = (3.12) La representación fasorial permite ver con sencillez el desfase entre diferentes señales sinusoidales e interpretar geométricamente las operaciones efectuadas sobre las magnitudes que representan. Las relaciones entre los valores eficaces y el máximo de la tensión y corriente sinusoidal, teniendo en cuenta la ecuación (3.4) son, = 2 y = 2 En la práctica de la ingeniería eléctrica, dado que los voltímetros y amperímetros miden valores eficaces, se representan los fasores con los valores

6 132 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA eficaces. Figura 3.3 Por ejemplo, los valores instantáneos de una tensión y una corriente, donde e son los valores eficaces de tensión y corriente respectivamente, se representan por, ( ) = cos ( ) ( ) = cos ( ) Teniendo "in mente"que la amplitud de la señal es, respectivamente e Los fasores asociados serán. V = ; I = Cuya representación se muestra en la figura 3.4a. Obsérvese que ambos fasores, al girar a la misma velocidad angular siempre tendrán la misma posición relativa. El desfase de los fasores de esta figura es = lo que indica que la tensión se adelanta a la corriente (o la corriente se retrasa a la tensión). En muchos casos es conveniente tomar una de las señales como

7 3.2. ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS 133 referencia de fases, lo que simplifica el cálculo con los números complejos. Por ejemplo, en la figura 3.4b se ha tomado la tensión como referencia. El desfase entre ambos vectores giratorios sigue siendo el mismo. Figura 3.4 En lo que sigue utilizaremos los valores eficaces para la representación de los fasores ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS Dominios del tiempo y de la frecuencia Vamos a analizar la respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de los tres elementos pasivos simples: resistencia, inductancia y capacidad. Supongamos que conocemos la corriente que circula por estos elementos y que es de la forma ( ) = cos ( ) Se trata de calcular la tensión en bornes en cada uno de ellos, que será también de tipo sinusoidal ( ) = cos ( ) La solución será encontrar los valores y en función de los valores conocidos para la corriente y del parámetro pasivo de que se trate. Las expresiones fasoriales de la tensión y la corriente son: V = = ; I = = Hemos tomado los valores eficaces, e, te tensión y corriente. A partir de estas expresiones y conociendo las relaciones entre la tensión y la corriente

8 134 CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA para cada elemento pasivo, podremos determinar su respuesta sinusoidal Resistencia De acuerdo con la ley de Ohm, se cumple ( ) = ( ) Sustituyendo los valores temporales por su representación exponencial, ( ) = ( ) Como en los dos miembros tenemos el factor común, la relación en el dominio del tiempo se transforma en el dominio de la frecuencia en la siguiente relación fasorial, = V = I (3.13) Figura 3.5 Aplicando la igualdad de números complejos se deduce que, = y = Por consiguiente, la tensión en bornes de la resistencia en el dominio del tiempo es, ( ) = cos ( ) (3.14)