COMPONENTES PASIVOS DE UN CIRCUITO ELECTRICO

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1 COMPONENTES PASIVOS DE UN CIRCUITO ELECTRICO 1.- INTRODUCCION Los tres componentes pasivos que, en general, forman parte de los circuitos eléctricos son los resistores, los inductores y los capacitores. Independientemente de que un circuito eléctrico esté alimentado por una tensión continua, o una tensión alterna senoidal, o cualquier otra forma de señal, en él se manifestarán siempre efectos de carácter resistivo, inductivo y capacitivo. En efecto, esto es cierto toda vez que se tengan en cuenta las siguientes consideraciones RESISTOR Cuando una corriente eléctrica i(t) circula a lo largo de un conductor debe vencer la resistencia eléctrica R del mismo, dando lugar a una caída de tensión v(t). La relación entre la intensidad de la corriente y la caída de tensión en la resistencia está dada por la Ley de Ohm, y es: Expr. 1 La expresión 1 muestra que la caída de tensión que se produce en la resistencia es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que por ella circula. Así, el valor numérico de la resistencia eléctrica R se convierte en la constante de proporcionalidad entre la caída de tensión y la corriente. La resistencia eléctrica R es una propiedad de los materiales conductores de la electricidad, y los componentes eléctricos denominados resistores hacen uso de esa propiedad. Un resistor se presenta en la práctica en forma de arrollamiento de alambre, o bien en forma de cilindro cerámico recubierto de carbón, o bien como un cilindro recubierto por una película metálica. Cualquiera sea el caso, el valor numérico de la resistencia eléctrica R de un resistor se calcula en base a sus características físicas mediante la expresión: Expr donde se definen: R = Resistencia eléctrica, medida en Ω (ohm). ρ = (léase rho) Resistencia especifica o resistividad del material empleado para construir el resistor. Su unidad es Ω.mm 2 /m, o bien Ω.m. l = Longitud del material. Su unidad es el m. S = Sección transversal del material. Su unidad es el mm 2, o bien el m 2. Figura 1: Parámetros empleados para calcular el valor de la resistencia eléctrica R de un conductor con forma de alambre y de cualquier metal cuya resistividad ρ sea conocida. En la figura 2 se muestran las características constructivas de un resistor del tipo de carbón depositado, muy empleado en los circuitos electrónicos. Las cuatro bandas de colores que aparecen rodeando el cuerpo del resistor responden a un código, y permiten conocer el valor de la resistencia y la tolerancia dentro de la cual se encuentra dicho valor. Colocando el resistor tal como muestra la figura 2 y leyendo de izquierda a derecha, significan: Primera línea: Primera cifra significativa. Segunda línea: Segunda cifra significativa. Tercera línea: Cantidad de ceros. Cuarta línea: Tolerancia. 1-68

2 El código de colores es el siguiente: Figura 2: Aspecto de un resistor del tipo de carbón depositado. Negro = 0 (cero). Marrón = 1 (uno). Rojo = 2 (dos). Naranja = 3 (tres). Amarillo = 4 (cuatro). Verde = 5 (cinco). Azul = 6 (seis). Violeta = 7 (siete). Gris = 8 (ocho). Blanco = 9 (nueve). Dorado = Tolerancia del 5%. Plateado = Tolerancia del 10%. EJEMPLOS: 1.- Rojo, rojo, rojo, dorado = 2200 Ω al 5%, ó 2,2 KΩ al 5%. 2.- Rojo, violeta, naranja, dorado = Ω al 5%, ó 27 KΩ al 5%. 3.- Amarillo, violeta, amarillo, plateado = Ω al 10%, ó 470 KΩ al 10%. 4.- Marrón, negro, negro, dorado = 10 Ω al 5%. 5.- Marrón, dorado, negro, dorado = 1,0 Ω al 5% (el dorado significa coma ) INDUCTOR Una corriente eléctrica que circula a lo largo de un conductor genera un campo magnético que es externo al conductor. Este campo magnético se manifiesta en forma de líneas circulares cerradas y concéntricas con el conductor. Figura 3: La corriente I que circula por un conductor rectilíneo produce un campo magnético caracterizado por líneas cerradas circulares y concéntricas con el conductor. 2-68

3 A la totalidad de las líneas de campo magnético que rodean al conductor se la denomina flujo magnético Φ. Este flujo magnético posee una intensidad que es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que le dio origen. La relación entre la intensidad I de la corriente y el flujo magnético Φ es entonces:... donde es: L = inductancia del conductor, y se mide en Henry [H]. Por lo tanto, y desde un punto de vista matemático, la definición de la inductancia L es: Expr. 3 Expr. 4 Esto significa que si la intensidad de la corriente sufre una variación, el flujo magnético se modificará proporcionalmente. En conclusión, la inductancia L es una constante constructiva del inductor, o bien, es la constante de proporcionalidad entre el flujo magnético y la intensidad de la corriente que lo produce. Los inductores son componentes muy empleados en los circuitos eléctricos, y en la mayor parte de los casos se presentan en forma de arrollamientos de alambre conductor, conocidos vulgarmente como bobinas. Este tipo de arreglo resulta práctico para concentrar la mayor cantidad de líneas de campo magnético a partir de un componente (el inductor) del menor tamaño posible. Entonces, en un inductor como el descripto el valor numérico de la inductancia L depende de varios factores, a saber: La forma del arrollamiento (solenoide o circular, rectangular, sediforme, etc.). El número N de vueltas o espiras del arrollamiento. El diámetro D medio del arrollamiento. El diámetro d del conductor con que se construye el arrollamiento. La separación entre espiras contiguas, o paso P del arrollamiento. La longitud l del arrollamiento. La permeabilidad magnética relativa µ r del núcleo sobre el que se arrolla el conductor. Figura 4: Aspecto esquemático de un inductor de sección circular o tipo solenoide. Para un inductor del tipo solenoide monocapa como el que se muestra en la figura 4, y en el que la longitud l es al menos igual al diámetro D, la inductancia se calcula mediante la expresión: Expr siempre que se expresen: [D] = mm. [l] = mm. En la expresión 5, la permeabilidad magnética relativa µ r del núcleo del inductor se define en la siguiente forma: 3-68

4 ... donde son: µ [H/m] = Permeabilidad magnética absoluta del material magnético del núcleo. µ o [H/m] = Permeabilidad magnética absoluta del aire o del vacío. µ r [adimensional] = Permeabilidad magnética relativa del material del núcleo. Expr. 6 Dependiendo de la aplicación a que estén destinados, los inductores pueden construirse sobre núcleo de aire, o bien sobre núcleos de hierro o de ferrita. En el caso en que el núcleo sea el aire (o el vacío) el µ r resulta ser igual a 1 (uno). En cambio, los materiales magnéticos como el hierro y la ferrita poseen una permeabilidad magnética absoluta µ mucho mayor que la del aire µ o ; por lo tanto, en estos casos la permeabilidad magnética relativa µ r resulta ser un número mucho mayor que 1 (uno). Evidentemente, el uso de núcleos ferromagnéticos permite lograr el valor de inductancia L deseado empleando un número de espiras menor al que se debería emplear si el inductor tuviera núcleo de aire ANALISIS DE UN INDUCTOR FRENTE A UNA CORRIENTE VARIABLE A partir de la expresión 3, y asumiendo el caso bastante común en que la corriente que circula a través del inductor sufra una cierta variación I, la variación Φ del flujo magnético asociado será: Si ahora relacionamos las variaciones de corriente y flujo con el tiempo tendremos: Haciendo tender el tiempo a cero tendremos: Puesto que el primer miembro de la expresión anterior posee unidades de tensión, encontramos que: cuando a través de un conductor de inductancia L circula una corriente variable (o de derivada no nula), entre los extremos del mismo aparece una tensión auto-inducida v L (t), cuyo valor está dado por la expresión 7: Expr. 7 La expresión 7 es de carácter general, es decir que es aplicable a cualquier ley de variación de la corriente. Esto permite analizar el caso particular en el que se pretenda hacer circular una corriente de valor constante a través del inductor: obsérvese que en tal caso la derivada de la corriente respecto del tiempo será nula, razón por la cual la tensión auto-inducida entre los extremos del inductor también lo será. En otras palabras, frente a una corriente de valor constante un inductor se comporta como un corto-circuito CAPACITOR Cuando aplicamos una diferencia de potencial V entre dos conductores aparecerá entre ellos un campo eléctrico de intensidad E provocado por la acumulación de cargas eléctricas entre ambos 4-68

5 conductores. La cantidad total Q de cargas eléctricas acumuladas entre ambos conductores es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los mismos. Matemáticamente, la relación entre la cantidad de carga Q acumulada y la diferencia de potencial V que le dio origen se escribe: Expr donde es: C = capacidad eléctrica entre los conductores, y se mide en Faraday [F]. Figura 5: Aspecto esquemático de un capacitor. En la figura de la derecha se describen los parámetros correspondientes a la expresión 7. La capacidad eléctrica es igual a: Expr donde son: ε = Constante dieléctrica del material aislante que separa a ambos conductores. La unidad de ε es F/m. S = Área enfrentada de los conductores [m 2 ]. d = Distancia comprendida entre ambos conductores [m] ANALISIS DE UN CAPACITOR FRENTE A UNA TENSION VARIABLE Si la tensión V aplicada entre los conductores es variable, se producirá una variación proporcional de la cantidad de carga acumulada, de tal suerte que a partir de la expresión 8 podremos escribir: Si relacionamos las variaciones de tensión y carga eléctrica con el tiempo tendremos: Haciendo tender el tiempo a cero tendremos: 5-68

6 El primer miembro de la expresión anterior posee unidades de corriente [A=Coulomb/m]. Por lo tanto, es posible escribir que: Expr. 10 En conclusión: cuando se aplica una tensión variable entre dos conductores separados por un material dieléctrico, entre ellos circula una corriente eléctrica. En otras palabras, la corriente circula a través del dieléctrico que separa a los conductores (o, al menos, todo ocurre como si dicha corriente circulase. Recuérdese que una corriente eléctrica no puede circular a través de un material aislante). El valor de esta corriente está dado por la expresión 10. De la expresión 10 es posible despejar: Integrando llegamos a que: Expr. 11 La expresión 11 permite decir que: si se hace circular una corriente i(t) por un circuito formado simplemente por dos conductores enfrentados y separados por cualquier material dieléctrico, entre ambos conductores tendremos una diferencia de potencial v c (t). En la expresión 11 debe observarse que sin importar cuál sea la ley de variación de la corriente i(t) que se haga circular entre los conductores, o entre las placas del capacitor, siempre existirá una diferencia de potencial v c (t) entre los mismos. Inclusive, dicha corriente puede ser constante. En efecto, si consideramos un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante de valor genérico I, tal como se muestra a la izquierda de la figura 6, y aplicamos esta condición a la expresión 11, tendremos: La expresión anterior nos muestra que cuando la corriente que circula a través del capacitor es constante la diferencia de potencial v c (t) entre los extremos del capacitor crece linealmente con el tiempo, tal como se indica en el gráfico que se encuentra a la derecha de la figura 6: Figura 6: Comportamiento de un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante. 6-68

7 CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SENOIDAL 1.- INTRODUCCION Cuando un circuito es alimentado por un generador de tensión alterna senoidal se dice que dicho circuito se encuentra operando en régimen alterno senoidal. En esta condición, analizaremos el funcionamiento de circuitos compuestos por cualquier combinación serie, paralelo o mixta de resistores, inductores y capacitores. 2.- CIRCUITO RESISTIVO PURO Decimos que un circuito es de carácter resistivo puro cuando el generador de tensión alimenta a una red compuesta solamente por resistores. Como sabemos, una tensión alterna senoidal se define matemáticamente en la forma: Expr donde son: Valor instantáneo de la tensión senoidal [V]. Valor máximo o valor pico de la tensión senoidal [V]. Pulsación o velocidad angular del vector Frecuencia de la señal senoidal [1/s = Hz]. [rad/s]. Figura 1: Circuito resistivo puro alimentado por un generador de tensión senoidal. De acuerdo con la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente i(t) que circula por el circuito estará dada por la expresión:... donde reemplazamos la expresión 1: En la expresión anterior se ve que: Por lo tanto, la expresión final de la corriente que circula por el circuito es: Expr

8 Si comparamos las expresiones 1 y 2 podemos concluir que cuando un circuito resistivo puro es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a lo largo del mismo también es senoidal. Dicho en otras palabras: En régimen alterno senoidal, en un circuito resistivo puro la tensión y la corriente están en fase. Figura 2: Diagramas vectorial y temporal representativos de la tensión y la corriente en un circuito resistivo puro. Los vectores armónicos V MAX e I MAX giran sobre el punto de aplicación O con una velocidad angular ω constante. La fase relativa entre ambos vectores es nula, por lo que se dice que están en fase. Sus respectivas proyecciones verticales (expresiones 1 y 2) describen a ambas ondas senoidales. Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 3 nos muestran dos vectores giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 0º. Estos diagramas describen el comportamiento general de un resistor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente válidas: 1. Cuando un resistor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a través del mismo está en fase con la tensión que la provoca. 2. Si a través de un resistor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una caída de tensión que está en fase con la corriente que le dio origen. Figura 3: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carácter resistivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensión y corriente en el que los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente. En los diagramas vectoriales de la figura 3 los vectores representan los valores máximos de tensión y de corriente. Pero en la práctica, los instrumentos destinados a la medición de tensión y corriente (voltímetros y amperímetros) indican los valores eficaces de los mismos, y no sus valores máximos. Por lo tanto, para efectuar los cálculos es más adecuado emplear los valores eficaces. Por otra parte, para indicar que entre la tensión y la corriente existe una cierta fase relativa se empleará la notación fasorial. De esta forma, cuando se trate de un circuito de carácter resistivo puro la notación fasorial de tensión y corriente correspondiente será: 8-68

9 ... donde son: Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos proporcionará la expresión compleja de la resistencia: Expr. 3 En conclusión, y de acuerdo con la expresión 3: La Resistencia se representa mediante un número real puro y de signo positivo. Figura 4: Obtención y representación gráfica del vector representativo de la resistencia POTENCIA EN UN CIRCUITO RESISTIVO PURO La potencia instantánea desarrollada en el circuito resistivo puro se calcula multiplicando las expresiones 1 y 2 entre sí. Entonces: Expr. 4 Tal como sabemos, el seno de un ángulo es una función que puede tener signo positivo o negativo dependiendo del cuadrante en que se encuentre el vector al que caracteriza. Por lo tanto, la expresión 4 es siempre positiva, salvo en los instantes para los que se cumpla que

10 ... lo cual ocurre para: Por otro lado, la potencia instantánea alcanzará su valor máximo cada vez que se cumpla:.... lo cual ocurre cuando se cumple que: El hecho de que en un circuito de carácter resistivo puro la potencia instantánea sea siempre positiva (cuando no nula) se interpreta, desde el punto de vista físico, como que la potencia entregada por el generador a la carga se convierte permanentemente en trabajo útil, disipándose en la resistencia en forma de calor. La figura 5 es la representación de la tensión aplicada al circuito resistivo, la intensidad de la corriente que por él circula, y la potencia instantánea disipada por la resistencia:. Figura 5: Tensión, corriente y potencia instantáneas en régimen alterno senoidal para un circuito de carácter resistivo puro. La función de la potencia instantánea p(t) es siempre positiva (expresión 3) y se observa que el área sombreada es igual al área que resulta de multiplicar P por T. Entonces, el valor medio P de la potencia es igual a la mitad de la potencia máxima P MAX, tal como se demuestra en el texto. Hallaremos el valor medio P de la potencia en un ciclo integrando la expresión 4. Esto significa encontrar el área comprendida debajo de la función p(t) a lo largo de un período y dividirla luego por el valor del período T. Así: Expr

11 Si tenemos en cuenta que:... y que para una señal senoidal los valores máximos de tensión y corriente se relacionan con sus respectivos valores eficaces V e I según las formas:... reemplazando en la expresión 5 tendremos: Expr. 6 En conclusión, la expresión 6 nos dice que: En todo circuito de carácter resistivo puro la potencia media desarrollada en la carga es igual al producto entre la tensión eficaz que la alimenta y la corriente eficaz que circula por ella. 3.- CIRCUITO INDUCTIVO PURO Figura 6: Circuito inductivo puro alimentado por un generador de tensión senoidal. A partir de la expresión 7 del capítulo Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico podemos determinar la corriente que circula por el circuito inductivo puro de la figura 6 sabiendo que la tensión que lo alimenta es una señal senoidal: 11-68

12 Expr. 7 Analicemos la expresión 7. En primer lugar, se observa que cuando se aplica una tensión alterna senoidal a un circuito inductivo puro, la corriente sigue a la función del coseno con signo negativo. Dicho en otras palabras: En un circuito de carácter inductivo puro, la corriente retrasa 90º respecto de la tensión que le dio origen. Figura 7: Diagramas vectorial y temporal de la tensión y la corriente en un circuito inductivo puro. La tensión adelanta 90º respecto de la corriente. En segundo lugar, se ve que la unidad de Por lo tanto, resulta que: no puede ser otra que el Ampère [A]. Expr. 8 Entonces, la expresión definitiva de la corriente es: Expr. 9 En consecuencia, en la expresión 8 el producto apartado 3.1.). tiene como unidad el Ohm [Ω] (véase el REACTANCIA INDUCTIVA El producto manera: recibe el nombre de reactancia inductiva, y se simboliza de la siguiente Expr. 10 En todo circuito que funcione dentro del régimen alterno senoidal, se denomina Reactancia Inductiva a la oposición que un inductor ofrece al paso de la corriente eléctrica

13 En la expresión 10 se ve que la reactancia inductiva es una función lineal de la frecuencia. En este sentido, la figura 8 representa gráficamente la relación entre la reactancia inductiva y la frecuencia para diversos valores de inductancia L. Figura 8: Representación gráfica de la reactancia inductiva en función de la frecuencia tomando a la inductancia L como parámetro. Este gráfico responde a la expresión 10. Los inductores son componentes ampliamente usados en circuitos eléctricos y electrónicos. Tal como hemos concluido en este mismo apartado, la reactancia que presenta un inductor es linealmente dependiente de la frecuencia. En este sentido, resulta de interés analizar brevemente el particular comportamiento de un inductor en función de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal: a. De acuerdo con la expresión 10, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la reactancia inductiva también es nula. En otras palabras, en un circuito de corriente continua un inductor se comporta como un corto-circuito. b. Por otro lado, y en base a la misma expresión, cuando la frecuencia del generador tiende a infinito la reactancia inductiva también tiende a infinito. Es decir que cuando la frecuencia tiende a infinito el inductor se comporta como un circuito abierto. Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 9 nos muestran dos vectores giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 90º, con el vector tensión adelantando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un inductor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente válidas: 1. Cuando un inductor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a través del mismo retrasa 90º respecto de la tensión que la provoca. 2. Si a través de un inductor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una caída de tensión que adelanta 90º respecto de la corriente que le dio origen

14 Figura 9: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carácter inductivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensión y corriente en el que los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente. En base al mismo análisis efectuado durante el estudio del circuito resistivo puro, el comportamiento del circuito inductivo puro quedará descripto matemáticamente por la notación fasorial de la tensión y la corriente. Por lo tanto, atendiendo al diagrama que se encuentra a la derecha de la figura 9, tendremos:... donde son: Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos proporcionará la expresión compleja de la reactancia inductiva: Expr donde son: En conclusión, y de acuerdo con la expresión 11: La Reactancia Inductiva Compleja se representa mediante un número imaginario puro y de signo positivo

15 Figura 10: Obtención y representación gráfica de la reactancia inductiva compleja POTENCIA EN UN CIRCUITO INDUCTIVO PURO La potencia instantánea puesta en juego en un circuito de carácter inductivo puro se obtiene al multiplicar entre sí las expresiones 1 y 9: Expr o bien: Expr donde V e I son los valores eficaces de la tensión y la corriente, respectivamente. En las expresiones 12 y 13 observamos que en el circuito inductivo puro alimentado por una tensión senoidal la potencia varía también en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aquélla. La figura 11 muestra, en un mismo gráfico, las funciones de la tensión, la corriente y la potencia instantáneas en un circuito inductivo puro. Figura 11: Tensión, corriente y potencia instantáneas en un circuito de carácter inductivo puro

16 A partir de la expresión 12 (o 13) podemos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito inductivo. Empleando la definición de potencia media dada oportunamente tendremos: Expr. 14 En todo circuito inductivo puro la potencia media P es nula. Este resultado es evidente. Si atendemos al gráfico de la figura 11, y en particular a la función de la potencia instantánea, veremos que dicha función está compuesta por semi-ciclos positivos y negativos. La interpretación física de este gráfico es la siguiente: Durante el semi-ciclo positivo el generador entrega potencia al inductor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el inductor le devuelve íntegramente dicha potencia al generador. El inductor no consume potencia alguna. Es por esta interpretación que un inductor pertenece a la categoría de los componentes reactivos. 4.- CIRCUITO CAPACITIVO PURO Figura 12: Circuito capacitivo puro alimentado por un generador de tensión senoidal. La expresión 10 del capítulo Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico nos permitirá hallar la corriente que circula por el capacitor cuando es alimentado por una tensión alterna senoidal: Expr. 15 El análisis de la expresión 15 arroja los siguientes resultados. En primer lugar vemos que mientras la tensión de alimentación sigue una función senoidal, la corriente está caracterizada por una función cosenoidal. Esto significa que: 16-68

17 En un circuito de carácter capacitivo puro, la corriente adelanta 90º respecto de la tensión que le dio origen. Figura 13: Diagramas vectorial y temporal de la tensión y la corriente en un circuito capacitivo puro. La corriente adelanta 90º respecto de la tensión. En segundo lugar vemos que la unidad del producto debe ser el Ampère [A]. Como consecuencia, y debido a la presencia de queda definido el valor de en la forma: Expr razón por la cual la expresión definitiva de la corriente es: Expr. 17 La expresión 16 nos permite hallar la relación entre la tensión y la corriente en un capacitor: Expr REACTANCIA CAPACITIVA A la relación entre tensión y corriente en un circuito de carácter capacitivo puro se la denomina reactancia capacitiva. Esta relación ha quedado definida por la expresión 18, y se la simboliza de la siguiente forma: Expr. 19 En todo circuito que funcione dentro del régimen alterno senoidal, se denomina Reactancia Capacitiva a la oposición que un capacitor ofrece al paso de la corriente eléctrica. En la expresión 19 podemos ver que la reactancia capacitiva es función inversa de la frecuencia. En este sentido, la figura 14 representa gráficamente la relación entre la reactancia capacitiva y la frecuencia para dos valores diferentes de capacidad C

18 Figura 14: Representación gráfica de la reactancia capacitiva en función de la frecuencia tomando a la capacidad C como parámetro. Este gráfico responde a la expresión 19. Al igual que los inductores, los capacitores son componentes muy empleados en circuitos eléctricos y electrónicos. En este mismo apartado hemos llegado a la conclusión de que la reactancia que presenta un capacitor al paso de una corriente eléctrica es inversamente proporcional a la frecuencia. Por esta razón resulta de interés analizar brevemente el particular comportamiento de un capacitor en función de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal: a. De acuerdo con la expresión 19, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la reactancia capacitiva tiende a infinito. En otras palabras, en un circuito de corriente continua constante un capacitor se comporta como un circuito abierto. b. Por otro lado, y en base a la misma expresión, cuando la frecuencia del generador tiende a infinito la reactancia capacitiva tiende a cero. Es decir que cuando la frecuencia tiende a infinito el capacitor se comporta como un corto-circuito. Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 15 nos muestran dos vectores giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 90º, con el vector tensión atrasando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un capacitor, del que se pueden efectuar dos lecturas igualmente válidas: 1. Cuando un capacitor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a través del mismo adelanta 90º respecto de la tensión que la provoca. 2. Si a través de un capacitor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una caída de tensión que atrasa 90º respecto de la corriente que le dio origen. Figura 15: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carácter capacitivo puro. A la derecha de la figura se ve el diagrama fasorial de tensión y corriente; los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente

19 En base al mismo análisis efectuado en el estudio de los circuitos resistivo puro e inductivo puro, el comportamiento de un circuito capacitivo puro quedará descripto matemáticamente por la notación fasorial de la tensión y la corriente:... donde son: Por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos proporcionará la expresión compleja de la reactancia capacitiva: Expr donde son: Entonces, y de acuerdo con la expresión 20 concluimos que: La Reactancia Capacitiva Compleja se representa mediante un número imaginario puro y de signo negativo. Figura 16: Obtención y representación gráfica de la reactancia capacitiva compleja POTENCIA EN UN CIRCUITO CAPACITIVO PURO La potencia instantánea puesta en juego en un circuito de carácter capacitivo puro se obtiene al multiplicar entre sí las expresiones 1 y 17: 19-68

20 Expr o también: Expr donde, nuevamente, V es el valor eficaz de la tensión aplicada al capacitor, e I es el valor eficaz de la corriente que circula a través del mismo. Al igual que en el caso del circuito inductivo puro, en las expresiones 21 y 22 observamos que en un circuito capacitivo puro alimentado por una tensión senoidal la potencia instantánea varía también en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aquélla. La figura 17 muestra, en un mismo gráfico, las funciones de la tensión, la corriente y la potencia instantáneas en un circuito capacitivo puro. Figura 17: Tensión, corriente y potencia instantáneas en un circuito de carácter capacitivo puro. A partir de aquí podríamos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito capacitivo a partir de la expresión 21 (ó 22). Sin embargo, queda claro que obtendríamos el mismo resultado que en el caso del circuito inductivo puro dado por la expresión 15. En definitiva, podemos decir que: En todo circuito capacitivo puro la potencia media P es nula. Al igual que en el caso del circuito inductivo, la potencia instantánea en el capacitor (expresión 22) presenta semi-ciclos positivos y negativos. Nuevamente, durante el semi-ciclo positivo el generador entrega potencia al capacitor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el capacitor le devuelve íntegramente dicha potencia al generador. El capacitor no consume potencia alguna, y por esta razón también pertenece a la categoría de los componentes reactivos

21 IMPEDANCIA, ADMITANCIA Y RESONANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO 1.- INTRODUCCION Un circuito eléctrico pasivo puede estar compuesto por cualquier combinación de resistores, inductores y capacitores. Tal como se ha visto en el capitulo anterior, cualquiera de estos tres componentes contribuye a limitar la corriente que circula por el circuito puesto que los resistores aportan su resistencia eléctrica mientras que los inductores y los capacitores aportan, respectivamente, su reactancia inductiva y su reactancia capacitiva. 2.- CARÁCTER Y TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Los diversos circuitos eléctricos que se pueden presentar en la práctica se diferencian entre sí por su carácter y por su topología. El carácter de un circuito eléctrico queda definido por los componentes que forman parte de él, mientras que su topología queda definida por la forma en que dichos componentes están conectados entre sí CARÁCTER DE UN CIRCUITO ELECTRICO Resistivo puro. Inductivo puro. Capacitivo puro. Resistivo-Inductivo (o R-L). Resistivo-Capacitivo (o R-C). Inductivo-Capacitivo (o L-C). Resistivo-Inductivo- Capacitivo (o R-L-C) TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Circuito Serie. Circuito Paralelo, Circuito Mixto (Combinación de componentes conectados en serie y en paralelo). 3.- IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Cualquiera sea el carácter y la topología del circuito que se trate, la combinación de los aportes que cada uno de los componentes haga a la limitación de la corriente que circula por el mismo recibe el nombre de IMPEDANCIA ELÉCTRICA, y se mide en Ω (Ohm). En definitiva: La impedancia es la oposición al paso de la corriente eléctrica que presenta un circuito formado por resistores y componentes reactivos en régimen alterno senoidal

22 4.- CIRCUITOS TIPO SERIE CIRCUITO R-L SERIE En la figura 1 se muestra un circuito del tipo R-L serie. A partir de los datos que se proporcionan a continuación, analizaremos inicialmente la resolución que nos permita calcular la impedancia del circuito y la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Los datos son: Figura 1: Circuito R-L serie. Se indican la corriente y las dos caídas de tensión que se producen en el mismo. Como ocurre en todo circuito serie, la corriente es el elemento común a los componentes del mismo. En nuestro caso, dicha corriente produce dos caídas de tensión que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir: Expr. 1 Hasta aquí desconocemos los valores de estas caídas de tensión puesto que no conocemos el valor de la corriente. Sin embargo, es posible plantear un principio de solución si aplicamos los conceptos adquiridos en el capítulo titulado Circuitos en Régimen Alterno Senoidal. En efecto, sabemos que: La caída de tensión en la resistencia (fasor V R ) está en fase con la corriente (fasor I). La caída de tensión en el inductor (fasor V L ) adelanta 90º respecto de la corriente (fasor I). Esto nos permitirá trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal como el que se observa en la figura 2: Figura 2: Diagrama vectorial de corriente y tensiones del circuito R-L serie. El diagrama de la figura 2 responde a la expresión 1. En el mismo se observa que el vector representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector representativo de la corriente I. Este ángulo representa el desfasaje resultante entre tensión y corriente, y se ve que la tensión adelanta respecto de la corriente. El valor del ángulo φ depende de los valores de los módulos de V R y V L pero, por tratarse de un circuito R-L serie, dicho ángulo será siempre positivo. En base al diagrama de la figura 2, la expresión 1 se puede reescribir en la forma: 22-68

23 Expr. 2 De la expresión 2 es posible obtener el módulo del vector V aplicando el Teorema de Pitágoras, y el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesivamente: Expr. 3 Expr. 4 En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y tensión del circuito R-L serán, en general: Expr. 5 Expr. 6 Si ahora dividimos cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 2 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama de impedancia correspondiente al circuito R-L, tal como se muestra en la figura 3: Figura 3: Obtención del diagrama de impedancias a partir del diagrama de tensiones. El diagrama (o triángulo) de impedancia de la figura 3 nos muestra que la impedancia Z de nuestro circuito es un vector que, en general, puede escribirse en la forma exponencial, o bien en la forma binómica; ambas formas se indican, respectivamente, en las expresiones 7 y 8: Expr. 7 Expr. 8 Mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras podremos calcular el módulo Z del vector impedancia, tal como indica la expresión 9, y mediante la expresión 10 calcularemos el ángulo de dicho vector: Expr. 9 Expr. 10 Ahora estamos en condiciones de calcular la impedancia del circuito. calcularemos la reactancia inductiva X L : En primer lugar, 23-68

24 Mediante la expresión 9 calculamos el módulo de la impedancia: Mediante la expresión 10 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia: En definitiva, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-L es:... o bien, expresada en su forma binómica: Esta última expresión es la que permite dibujar el diagrama o triangulo de impedancias del circuito que estamos analizando, y que se representa en la figura 4: Figura 4: Diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-L del ejemplo (en escala). Ahora, conociendo los valores de las componentes de la impedancia del circuito (R y X L ), podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Puesto que poseemos el dato de la tensión de alimentación, aplicaremos la Ley de Ohm: El resultado obtenido muestra que dado que el circuito es de carácter inductivo, la corriente debe estar atrasada respecto de la tensión de alimentación. A partir de aquí estamos en condiciones de calcular las caídas de tensión que se producen en el circuito. La caída de tensión en el resistor es: 24-68

25 Con este resultado vemos que, como no podía ser de otra manera, la caída de tensión en el resistor está en fase con la corriente. Por otra parte, la caída de tensión en el inductor vale: Como era previsible, este resultado nos confirma que la caída de tensión en el inductor adelanta 90º respecto de la corriente. Figura 5: Resumen gráfico de los resultados obtenidos del circuito R-L serie. Este diagrama recibe el nombre de triangulo de tensiones CIRCUITO R-C SERIE Figura 6: Circuito R-C serie. Se indican la corriente y las dos caídas de tensión que se producen en el mismo. Para el circuito de la figura 6 propondremos los siguientes datos: Nuevamente, y por tratarse de un circuito serie, la corriente es el elemento común a los componentes del mismo. Dicha corriente (hasta aquí de valor desconocido) produce dos caídas de tensión que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir: 25-68

26 Expr. 11 Los valores de estas caídas de tensión también se desconocen. Pero, otra vez, es posible plantear una solución aplicando los conceptos resultantes del capítulo de Circuitos en Régimen Alterno Senoidal. Allí concluimos que: La caída de tensión en la resistencia (fasor V R ) está en fase con la corriente (fasor I). La caída de tensión en el capacitor (fasor V C ) atrasa 90º respecto de la corriente (fasor I).... en base a lo cual podremos trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal como el que se representa en la figura 7: Figura 7: Diagrama vectorial de corriente y tensiones del circuito R-C serie. El diagrama de la figura 7 es la representación gráfica de la expresión 11. En él se ve que el vector representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector representativo de la corriente I. Este ángulo representa el desfasaje resultante entre la tensión de alimentación del circuito y la corriente, y se aprecia que la tensión adelanta respecto de la corriente. El valor del ángulo φ depende de los valores de los módulos de V R y V C pero, por tratarse de un circuito R-C serie, dicho ángulo será siempre negativo. En base al diagrama de la figura 7, la expresión 11 se puede reescribir en la forma: Expr. 12 De la expresión 12 se obtiene el módulo del vector V aplicando el Teorema de Pitágoras, y también el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesivamente: Expr. 13 Expr. 14 En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y tensión del circuito R-C serán, en general: Expr. 15 Expr. 16 Dividiendo cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 7 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C, que se muestra en la figura 8: 26-68

27 Figura 8: Obtención del diagrama de impedancias a partir del diagrama de tensiones. La composición entre los vectores representativos de la resistencia y de la reactancia capacitiva nos ha dado como resultado el vector representativo de la impedancia. Este vector puede ser expresado en cualquiera de las dos formas siguientes, según la necesidad operativa: Expr. 17 Expr. 18 El Teorema de Pitágoras nos permitirá calcular el módulo Z del vector impedancia (expresión 19), mientras que la trigonometría nos permitirá calcular el ángulo φ de dicho vector (expresión 20): Expr. 19 Expr. 20 Para calcular la impedancia del circuito, en primer lugar, hallaremos el valor de la reactancia capacitiva X C : Mediante la expresión 19 calculamos el módulo de la impedancia: Mediante la expresión 20 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia Z: Por lo tanto, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-C es, expresado en forma exponencial:... mientras que expresado en forma binómica es: 27-68

28 Esta última expresión permite dibujar, en escala, el triángulo de impedancias correspondiente al circuito bajo análisis: Figura 9: Diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C del ejemplo (en escala). Conociendo el valor de la impedancia del circuito, podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo aplicando la Ley de Ohm: Tal como era de esperar, el carácter capacitivo de la impedancia del circuito hace que la corriente esté adelantada un cierto ángulo respecto de la tensión de alimentación. Luego, el conocimiento del valor de la corriente permite calcular los valores de las caídas de tensión que se producen en el circuito. La caída de tensión en el resistor es: Nuevamente, la caída de tensión en el resistor está en fase con la corriente. Por otra parte, la caída de tensión en el capacitor vale: Se verifica que la caída de tensión en el capacitor retrasa 90º respecto de la corriente. Con los resultados obtenidos podemos construir el diagrama vectorial de tensiones, que también se denomina triángulo de tensiones. Este diagrama se encuentra representado en la figura 10, y en él se aprecia la relación de fase entre cada una de las caídas de tensión, la tensión de alimentación y la corriente que circula por el circuito

29 Figura 10: Diagrama vectorial de tensiones del circuito R-L serie CIRCUITO R-L-C SERIE Figura 11: Circuito R-L-C serie. Se indican la corriente y las tres caídas de tensión que se producen en el mismo. Para el circuito de la figura 11 propondremos los mismos valores de componentes empleados en los dos ejemplos anteriores. Así, los datos son los siguientes: Puesto que ya conocemos los valores de las reactancias inductiva y capacitiva, podemos dibujar en forma inmediata, y en escala, el diagrama de impedancias correspondiente a este circuito: Figura 12: Construcción del diagrama de impedancias del circuito R-L-C serie

30 El diagrama de impedancias de la figura 12 responde a la siguiente expresión matemática:... o bien: Expr. 21 El módulo Z del vector impedancia será calculado mediante el Teorema de Pitágoras:... mientras que el argumento de dicho vector se obtiene de la expresión: Expr. 22 Expr. 23 Luego, los resultados obtenidos a partir de las expresiones 22 y 23 nos permitirán escribir el valor del vector impedancia en su forma exponencial ya conocida, que es: Entonces, si reemplazamos los valores conocidos en la expresión 21 tendremos: Expr. 24 Este último resultado pone de manifiesto que el circuito R-L-C que hemos planteado posee una impedancia equivalente formada por una resistencia de 100 Ω conectada en serie con un inductor cuya reactancia es de 135,5 Ω cuando la frecuencia del generador es de 50 Hz. Aquí debe observarse que si el valor de la frecuencia fuese otro, la componente imaginaria X L -X C también poseería un valor diferente al actual, puesto que tanto X L como X C dependen de la frecuencia. Mediante la expresión 22 calcularemos el modulo Z de la impedancia: Mediante la expresión 23 calcularemos el argumento φ de la impedancia: Por lo tanto, la notación exponencial de la impedancia de este circuito es: La corriente que circula por el circuito es: 30-68

31 La caída de tensión en cada uno de los componentes es: Figura 13: Construcción en escala del diagrama fasorial de tensiones del circuito R-L-C serie. El diagrama de la izquierda representa a cada una de las caídas de tensión con su ángulo de fase respecto de la corriente. El diagrama central representa la suma vectorial de las caídas de tensión. El diagrama de la derecha es el resultado de dicha suma. Figura 14: Diagrama vectorial de tensiones y corriente del circuito R-L-C serie. A la derecha se observan las señales senoidales correspondientes a cada una de las caídas de tensión, la tensión de alimentación y la corriente. Estas señales son el resultado de los vectores giratorios armónicos

32 En este punto resulta de interés analizar qué ocurre a la hora de efectuar mediciones de tensión y corriente en los circuitos de corriente alterna senoidal que contienen componentes reactivos. Tal como hemos visto en el presente capítulo, tensiones y corrientes están caracterizadas por un módulo que equivale a su valor numérico, y por un argumento o ángulo que se mide respecto de un eje de referencia. En otras palabras, las tensiones y las corrientes son magnitudes vectoriales (rigurosamente, fasoriales). Pero la gran mayoría de los instrumentos de medición (voltímetros y amperímetros, tanto analógicos como digitales) que se emplean en la práctica sólo miden el módulo (el valor eficaz) de la tensión o de la corriente, pero no la fase. Con el fin de dejar en claro lo expresado, la figura 15 muestra el circuito R-L-C serie bajo análisis en el que se han incluido cinco voltímetros destinados a medir simultáneamente las caídas de tensión y la tensión de alimentación. El valor de tensión indicado por cada uno de los voltímetros será: El voltímetro V1 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el resistor R, es decir, el módulo del fasor V R. O sea: V R = 60,7 V. El voltímetro V2 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C, es decir, el módulo del fasor V C. O sea: V C = 60,7 V. El voltímetro V3 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L, es decir, el módulo del fasor V L. O sea: V L = 143 V. El voltímetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C y el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L (la diferencia de potencial entre el borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el módulo del fasor V L - V C. O sea: V L -V C = 82,3 V. El voltímetro V5 indica el valor eficaz de la tensión de alimentación, es decir, el módulo del fasor V. O sea: V = 100 V. Figura 15: Medición de tensiones en el circuito R-L-C serie. (Ver texto) POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE Luego de haberse calculado la impedancia, la corriente y las caídas de tensión del circuito, resulta de interés determinar cuál es la potencia eléctrica puesta en juego en el mismo. Teniendo en cuenta que los circuitos analizados en el apartado 4 del presente capítulo están conformados por componentes disipativos (los resistores) y por componentes reactivos (los inductores y/o los capacitores), será necesario evaluar qué cantidad de potencia es disipada en forma de calor (trabajo útil) y qué cantidad de potencia es devuelta por los componentes reactivos al generador (trabajo no útil). Para dar continuidad al análisis que venimos desarrollando, y sin desmedro de los circuitos R-L y R-C serie, adoptaremos el caso del circuito R-L-C serie por ser el de carácter más general. Para ello haremos uso de la figura 16. A la izquierda de dicha figura se reitera el diagrama de tensiones de la figura 13, y que da lugar al triangulo de tensiones que se observa en el centro de la 32-68

33 figura 16. Entre los catetos e hipotenusa de este triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas:... de la que se obtiene que: Expr de la que se obtiene que: Expr. 26 Figura 16: Triángulo de tensiones y obtención del triángulo de potencias del circuito R-L-C serie. Es sabido que si se multiplican los lados de un triángulo por un mismo número se obtiene como resultado un triángulo semejante (con idénticos ángulos internos que el primero). En este sentido, si multiplicamos cada uno de los lados del triángulo rectángulo de las tensiones por el módulo de la corriente obtendremos el triángulo de potencias, que se observa a la derecha de la figura 16. En efecto, si multiplicamos la expresión 25 por la corriente I obtendremos: Expr. 27 La expresión 27 representa la Potencia Activa P, que se desarrolla en la resistencia R y que, por lo tanto, se disipa en forma de calor. En otras palabras, es la potencia eficaz o útil, y se mide en Watt [W]. Por otra parte, si multiplicamos la expresión 26 por la corriente I tendremos: Expr. 28 La expresión 28 representa la Potencia Reactiva Q, que es la potencia que, alternativamente, el generador entrega a los componentes reactivos del circuito y que éstos devuelven íntegramente al generador. Por lo tanto, ésta es una potencia que se genera pero que no se aprovecha. La potencia reactiva se mide en una unidad denominada Volt-Ampère-Reactivo, y se simboliza [V.A.R]. Por último, si multiplicamos la tensión de alimentación V del circuito (la hipotenusa del triángulo rectángulo) por la corriente I tendremos: Expr

34 La expresión 29 representa la Potencia Aparente S, que es la potencia total que el generador entrega al circuito. La unidad en que se mide la potencia aparente es el Volt-Ampère, que se simboliza [V.A]. Así, estamos en condiciones de calcular los valores de las potencias del circuito R-L-C serie. Aplicando la expresión 27, la Potencia Activa P vale: Empleando la expresión 28, la Potencia Reactiva Q es: Con la expresión 29 obtenemos la Potencia Aparente S: RESONANCIA DEL CIRCUITO R-L-C SERIE En el análisis de la impedancia del circuito R-L-C serie (apartado 4.3 de este capítulo) se concluyó que el carácter de la componente imaginaria X L -X C depende exclusivamente de la frecuencia una vez que se han fijado los valores de L y C. Es decir que, según sea el valor de la frecuencia, la serie L-C se podrá comportar como un inductor equivalente, o bien como un capacitor equivalente. Pero también puede ocurrir que la componente imaginaria de la impedancia sea nula. Expr o bien:... o bien: Expr. 31 Expr. 32 La igualdad de la expresión 32 puede cumplirse en las siguientes tres condiciones: Cuando la inductancia posea el valor particular L=L O dado por la expresión: Expr. 33 Cuando la capacidad posea el valor particular C=C O dado por la expresión: Expr

35 Cuando la frecuencia posea el valor particular f=f O, denominada frecuencia de resonancia, que está dado por la expresión: Expr. 35 Se dice que un circuito tipo serie se encuentra en estado de resonancia cuando la componente imaginaria de su impedancia es nula. En definitiva, el cumplimiento de cualquiera de las tres condiciones analizadas hace que la componente imaginaria de la impedancia se anule, razón por la cual la expresión 21 se convierte en: La expresión 36 permite adelantar algunas conclusiones iniciales de suma importancia: Expr Cuando el circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia la impedancia del mismo alcanza su valor mínimo, y éste coincide con el valor de la resistencia R. 2. Puesto que la impedancia alcanza su valor mínimo, el valor de la corriente del circuito es el máximo posible. 3. Puesto que la impedancia del circuito es de carácter resistivo puro, la corriente del circuito está en fase con la tensión de alimentación, es decir que φ=0. 4. La potencia reactiva Q es nula. 5. La potencia activa P es igual a la potencia aparente S. Entonces, continuando con nuestro ejemplo de circuito R-L-C serie, calcularemos el valor de la frecuencia que debería tener el generador de tensión para que el circuito entre en estado de resonancia. Posteriormente determinaremos las consecuencias mediatas que se desprenden de dicho estado. Reemplazando los valores conocidos de L y C en la expresión 35 tendremos: Por lo tanto, y de acuerdo con la expresión 36, la impedancia en estado de resonancia es: En consecuencia, el nuevo valor de la corriente, que es la corriente de resonancia, será: Puesto que la frecuencia de funcionamiento del generador ha sido modificada, será necesario calcular los nuevos valores de las reactancias inductiva y capacitiva (XL O y XC O 35-68

36 respectivamente). Pero, en base a la expresión 31, sabemos que los módulos de ambas reactancias deben ser iguales. Entonces: Ahora podemos calcular el nuevo valor de la caída de tensión en cada uno de los componentes: En los resultados obtenidos se puede apreciar que, en primer lugar, los vectores representativos de las reactancias inductiva y capacitiva poseen módulos idénticos, pero entre ellos existe un ángulo de 180 (se encuentran sobre la mi sma recta de acción pero con sentidos opuestos). Esto hace que, en estado de resonancia, ambos vectores se cancelen mutuamente (se cumple la expresión 30). Como consecuencia, el vector impedancia queda representado sólo por el vector representativo de la resistencia (expresión 36). En segundo lugar, y en absoluta concordancia con lo anterior, ocurre lo mismo con los vectores representativos de las caídas de tensión en el inductor y en el capacitor: ambas caídas de tensión se cancelan mutuamente, razón por la cual la caída de tensión en la resistencia es igual a la tensión de alimentación. Estos resultados se encuentran representados gráficamente en la figura 17. A la izquierda de la misma se aprecia el diagrama de tensiones del circuito R-L-C serie; en este diagrama se debe observar que el ángulo de desfasaje φ entre la corriente y la tensión de alimentación es nulo. A la derecha de la figura 17 se muestra el diagrama de impedancias

37 Figura 17: Diagramas de tensiones y de impedancias (en escala) correspondiente al circuito R-L-C serie en estado de resonancia. Supongamos ahora que volvemos a implementar el circuito de medición representado en la figura 15 teniendo en cuenta que nuestro circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia. En estas condiciones encontraremos que el valor de tensión indicado por cada uno de los voltímetros será: El voltímetro V1 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el resistor R, es decir, el módulo del fasor V R. O sea: V R = 100 V. El voltímetro V2 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C, es decir, el módulo del fasor V C. O sea: V C = 153,1 V. El voltímetro V3 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L, es decir, el módulo del fasor V L. O sea: V L = 153,1 V. El voltímetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C y el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L (la diferencia de potencial entre el borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el módulo del fasor V L - V C. O sea: V L -V C = 0 V (pues ambos fasores son iguales y opuestos). El voltímetro V5 indica el valor eficaz de la tensión de alimentación, es decir, el módulo del fasor V. O sea: V = 100 V a.- POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE EN ESTADO DE RESONANCIA Aplicando la expresión 27, la Potencia Activa P vale: Empleando la expresión 28, la Potencia Reactiva Q es: 37-68

38 Con la expresión 29 obtenemos la Potencia Aparente S: A partir de los resultados obtenidos podemos concluir que: Cuando el circuito se encuentra en estado de resonancia, la totalidad de la potencia S entregada por el generador al circuito se convierte en éste en la potencia útil P. Figura 18: Diagramas de potencias correspondiente al circuito R-L-C serie en estado de resonancia. 5.- CIRCUITOS TIPO PARALELO CIRCUITO R-L PARALELO Para efectuar el análisis de este circuito propondremos los siguientes datos: Figura 19: Circuito R-L paralelo. Se indican las corrientes que circulan por cada uno de los componentes del circuito. En el circuito de la figura 19 vemos un resistor y un inductor alimentados por un único generador que provee una tensión V a una determinada frecuencia. En base a los conocimientos adquiridos en el capítulo Circuitos en Régimen Alterno Senoidal sabemos que la corriente I R que circula por el resistor R está en fase con la tensión de alimentación, mientras que la corriente I L que circula por el inductor L retrasa 90 respecto de la misma tensión. Por lo tanto, si tomamos como referencia al fasor tensión V, podremos dibujar el diagrama fasorial de corrientes correspondiente a este circuito. Dicho diagrama se representa en la figura 20: 38-68

39 Figura 20: Diagrama fasorial de corrientes del circuito R-L paralelo (en escala). En consecuencia, la intensidad de la corriente total I se podrá calcular aplicando la Primera Ley de Kirchoff, la cual se verificará efectuando la suma vectorial entre las corrientes que circulan por ambas ramas. Dicha ley se escribe en la forma general:... que, de acuerdo con el diagrama de la figura 20, se convierte en: Expr. 37 Expr. 38 La intensidad de la corriente I R es: Expr. 39 La intensidad de la corriente I L es: Expr. 40 Ahora, si deseamos calcular el valor de la corriente total Ī deberemos sumar vectorialmente (expresión 38) los valores de las corrientes I R e I L obtenidos a partir de las expresiones 39 y 40 respectivamente: De acuerdo con el Teorema de Pitágoras, el módulo I de esta corriente es: El argumento φ de la corriente Ī es: 39-68

40 En conclusión, el valor de la corriente total Ī es: 5.1.a.- RESOLUCION POR ADMITANCIAS Si reemplazamos las expresiones 39 y 40 en la expresión 37 tendremos: Expr desde donde, operando, se obtiene que: Expr. 42 En la expresión 42, Ȳ es el vector admitancia del circuito. Como puede verse, el primer miembro de esta expresión es el cociente entre la corriente total y la tensión de alimentación. Es decir que: La admitancia de un circuito es igual a la inversa de la impedancia del mismo. La unidad de la expresión 42 es: Expr. 43 En la expresión 43 se han definido las siguientes componentes de la admitancia: Expr. 44 Expr. 45 Entonces, la expresión 41 se convierte en: Expr. 46 Si expresamos el vector admitancia Ȳ en su forma exponencial tendremos, sucesivamente: 40-68

41 Expr. 47 Expr. 48 Expr. 49 Reemplazando valores en la expresión 48 obtenemos el valor del módulo de Ȳ: Reemplazando valores en la expresión 49 obtenemos el valor del argumento de Ȳ: En definitiva, el vector admitancia Ȳ vale (expresión 47): A partir de la expresión 46 podemos calcular la corriente total Ī que provee el generador: Como se ve, este resultado, obtenido por aplicación del método de las admitancias, coincide con el obtenido mediante la suma vectorial de las corrientes parciales del circuito. 5.1.b.- IMPEDANCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO R-L PARALELO El objetivo del siguiente análisis consiste en hallar la combinación más simple posible de componentes que dé como resultado un valor de impedancia equivalente al de la impedancia del circuito paralelo propuesto. Dos circuitos de diferentes topologías que alimentados por el mismo valor de tensión hacen circular corrientes iguales, poseen idénticas impedancias. La impedancia del circuito se podrá calcular bien aplicando la Ley de Ohm, o bien como la inversa de la admitancia. Es decir que podemos escribir: 41-68

42 A la izquierda de la figura 21 se ha representado gráficamente el resultado obtenido de la impedancia. En dicho gráfico se ha adoptado el eje horizontal como referencia (0 ). El vector impedancia está formado por dos componentes cartesianas ortogonales cuyos valores se obtienen mediante la aplicación de la trigonometría. Figura 21: Obtención de las componentes equivalentes serie del circuito R-L paralelo. La componente horizontal, o componente real de la impedancia es:... mientras que la componente vertical, o componente imaginaria es: Este valor de X L se debe a un inductor L cuyo valor es: Figura 22: Equivalencia de impedancias entre un circuito paralelo y un circuito serie (ver texto)

43 5.2.- CIRCUITO R-C PARALELO ELECTRONICA ANALOGICA II 5 BTO ELECTRONICA Para efectuar el análisis de este circuito propondremos los siguientes datos: Figura 23: Circuito R-C paralelo. Se indican las corrientes que circulan por cada uno de los componentes del circuito. En el circuito de la figura 23 sabemos reconocer que la corriente I R que circula por el resistor R está en fase con la tensión de alimentación, mientras que la corriente I C que circula por el capacitor C adelanta 90 respecto de la misma tensión. Nuevamente, la intensidad de la corriente total Ī se calculará aplicando la Primera Ley de Kirchoff, efectuando la suma vectorial entre las corrientes que circulan por ambas ramas. Así: Expr. 50 En base a lo expresado, si tomamos como referencia al fasor tensión V, podremos dibujar el diagrama fasorial de corrientes correspondiente a este circuito. Dicho diagrama se representa en la figura 24: Figura 24: Diagrama fasorial de corrientes del circuito R-C paralelo (en escala). Entonces, de acuerdo con el diagrama de la figura 24, la expresión 50 se convierte en: La intensidad de la corriente I R es: Expr. 51 Expr

44 La intensidad de la corriente I C es: Expr. 53 Para calcular el valor de la corriente total Ī debemos sumar vectorialmente (expresión 51) los valores de las corrientes I R e I C obtenidos a partir de las expresiones 52 y 53 respectivamente: De acuerdo con el Teorema de Pitágoras, el módulo I de esta corriente es: El argumento φ de la corriente Ī es: En conclusión, el valor de la corriente total Ī es: 5.2.a.- RESOLUCION POR ADMITANCIAS Reemplazando las expresiones 52 y 53 en la expresión 50 tendremos: Expr. 54 De la expresión 54 obtenemos la admitancia del circuito: Expr. 55 Expr. 56 En la expresión 56 se han definido las siguientes componentes de la admitancia: 44-68

45 Expr. 57 Expr. 58 Entonces, a partir de la expresión 55, y reemplazando por la expresión 56, tendremos: Expr. 59 Expresando el vector admitancia Ȳ en su forma exponencial tendremos, sucesivamente: Expr. 60 Expr. 61 Expr. 62 Reemplazando valores en la expresión 61, el valor del módulo de Ȳ es: Reemplazando valores en la expresión 62, el valor del argumento de Ȳ es: En definitiva, el vector admitancia Ȳ vale, de acuerdo con la expresión 60: La expresión 59 permite calcular la corriente total Ī que provee el generador: Nuevamente, este resultado, obtenido por aplicación del método de las admitancias, coincide con el obtenido mediante la suma vectorial de las corrientes parciales del circuito

46 5.3.- CIRCUITO L-C PARALELO IDEAL Analizaremos el comportamiento de un circuito L-C paralelo ideal. Esto significa que consideraremos que tanto el inductor L como el capacitor C no presentan resistencia de pérdida alguna, o, en otras palabras, el inductor L está construido con un alambre cuya conductividad σ es infinitamente alta (o su resistividad ρ es nula), y el capacitor C posee un dieléctrico perfecto. Este circuito se encuentra representado en la figura 25: Figura 25: Circuito L-C paralelo ideal. Teniendo en cuenta el concepto de admitancia estudiado anteriormente, la impedancia compleja del circuito paralelo de la figura 25 se puede escribir como la inversa de la admitancia. Expr. 63 A su vez, la admitancia total del circuito se puede escribir como la suma de las susceptancias de cada rama: Expr. 64 Operando sobre la expresión 64 se llega a que: Expr. 65 A continuación, analizaremos el comportamiento del módulo de la admitancia compleja Ȳ P. Supongamos por un momento que el generador que entrega una tensión senoidal de valor eficaz V, nos permitiera modificar su frecuencia entre los siguientes límites... Entonces, cuando la frecuencia del generador sea igual a cero (corriente continua) el módulo de la admitancia Y P será infinitamente alta (o el módulo de su impedancia Z P será nulo) puesto que, en estas condiciones, el inductor L se comporta como un corto-circuito (y el capacitor C como un circuito abierto). En efecto, para frecuencia nula será: En el otro extremo, cuando la frecuencia del generador tienda a infinito, el módulo de la admitancia Y P también será infinitamente alta (o el módulo de la impedancia Z P será nulo), pero esta vez será debido a que el capacitor C se comporta como un corto-circuito (mientras que el inductor L se comporta como un circuito abierto). En efecto, para frecuencia infinitamente alta será: 46-68

47 Como vemos, la admitancia es infinitamente alta en ambos extremos del espectro de frecuencias. Sin embargo, en la expresión 65 podemos ver que debe existir un valor de frecuencia para el cual se cumpla que el módulo de la admitancia Y P sea nulo (por lo que la impedancia Z P será infinitamente alta). En efecto, puede ocurrir que:... cuando se cumpla la igualdad:... o bien:... de lo que resulta que: Expr. 66 En la expresión 66 la frecuencia f O recibe el nombre de frecuencia de resonancia. La frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo ideal es el valor de frecuencia para el cual la admitancia del circuito es nula, o bien, la impedancia del circuito se hace infinitamente alta. En otras palabras, un circuito L-C paralelo ideal en estado de resonancia se comporta como un verdadero circuito abierto. Por lo tanto, cuando la frecuencia de la señal del generador de tensión coincida con la frecuencia de resonancia f O del circuito, la intensidad de la corriente Ī (figura 25) será nula. Pero esto no significa que a través del inductor L y del capacitor C no circule corriente. En efecto, si en el circuito de la figura 25 aplicamos la Primera Ley de Kirchoff veremos que se cumple que:... de lo que resulta que: Expr. 67 La expresión 67 pone de manifiesto que, en estado de resonancia, a través del inductor L circula una corriente I L cuya intensidad es exactamente igual a la de la corriente I C que circula por el capacitor C, pero de sentido opuesto a ésta. Aquí debemos recordar que, en régimen alterno senoidal, la corriente que circula a través de un inductor retrasa 90º respecto de la tensión que la provoca, mientras que en un capacitor la corriente adelanta 90º respecto de la misma tensión. Esta última idea y la expresión 67 aparecen representadas en forma fasorial en la figura 26: 47-68

48 Figura 26: Circuito L-C paralelo ideal en estado de resonancia. En otras palabras, las corrientes I L e I C de la figura 26 son la misma y única corriente que circula por el circuito. Desde un punto de vista netamente teórico, la descripción del párrafo anterior se interpreta de la siguiente manera: En un circuito L-C paralelo sin pérdidas y en estado de resonancia la corriente circulará de un componente a otro en un sentido y en el otro en forma entretenida (esto es equivalente al caso de un péndulo ideal, que después de ser apartado de su posición de equilibrio no sufre rozamiento ni en su eje de giro ni contra el aire: el péndulo continuará oscilando eternamente, la oscilación no se agotará nunca). 5.3.a.- ANALISIS DEL MODULO DE LA ADMITANCIA Y LA IMPEDANCIA DEL CIRCUITO L-C PARALELO IDEAL EN FUNCION DE LA FRECUENCIA A partir de la expresión 65 hallamos el módulo de la admitancia Y P del paralelo: Expr. 68 Para el análisis que efectuaremos a continuación supondremos los siguientes valores: Reemplazando estos valores en la expresión 66, la frecuencia de resonancia del circuito de la figura 26 es: 48-68

49 Frecuencia Módulo de la Admitancia Módulo de la Impedancia Hz S Ω x , ,5 x , ,8 x , ,9 x , ,95 x , ,18 x , ,58 x , x , x , ,10 x , x , x , ,55 x , ,13 x , ,85 x , ,7 x , ,4 x , ,5 x , x ,37 Figura 27: Representación grafica del módulo de la admitancia y del módulo de la impedancia en función de la frecuencia correspondiente al circuito L-C paralelo ideal de las figuras 25 y

50 5.4.- CIRCUITO L-C PARALELO REAL O PRACTICO Los inductores y capacitores que se fabrican y se emplean en la práctica están lejos de ser componentes ideales. Esto se debe a que los materiales que se emplean para construirlos no son perfectos. En efecto, si bien es cierto que los inductores se construyen, en general, con un alambre de alta conductividad, como el cobre, este alambre presentará un cierto valor de resistencia al paso de la corriente eléctrica que dependerá de la longitud del conductor, de su diámetro, y de la frecuencia de trabajo. Por otra parte, los capacitores prácticos se apartan de los capacitores ideales fundamentalmente a causa de las imperfecciones de su material dieléctrico, en el sentido de que su conductividad no es nula. Por las razones expuestas, tanto un inductor como un capacitor reales poseen una cierta resistencia asociada a ellos que recibe el nombre de resistencia de pérdidas. En otras palabras, los inductores y capacitores prácticos producen una cierta disipación de calor cuando una corriente eléctrica circula a través de ellos. Las resistencias de pérdidas de los inductores y los capacitores se pueden representar tanto en serie como en paralelo con dichos componentes. Es decir que, para representar un inductor o un capacitor real podremos emplear un modelo equivalente serie, o bien un modelo equivalente paralelo. A modo de ejemplo, podemos decir que: Un inductor ideal (o sin pérdidas) se representa simplemente mediante el símbolo de un inductor. Un inductor real de alta calidad, o de bajas pérdidas (baja disipación de calor), se podrá representar mediante un inductor en serie con una resistencia de bajo valor, o bien mediante un inductor en paralelo con una resistencia de alto valor. Un inductor real de baja calidad, o de altas pérdidas (alta disipación de calor), se podrá representar mediante un inductor en serie con una resistencia de alto valor, o bien mediante un inductor en paralelo con una resistencia de bajo valor. A los fines del análisis que se realiza a continuación, y para representar un inductor y un capacitor reales, seleccionaremos el modelo equivalente serie, tal como se muestra en la figura 28. Figura 28: Circuito L-C paralelo real o práctico 5.4.a.- ANALISIS DE LA ADMITANCIA DE UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL La impedancia de la rama correspondiente al inductor es:... y la admitancia correspondiente a la misma rama es: Expr

51 La impedancia de la rama correspondiente al capacitor es:... y la admitancia correspondiente a la misma rama es: Expr. 70 La admitancia total del circuito es: Multiplicando y dividiendo cada término por el conjugado de su denominador tendremos:... que, operando, da como resultado: Luego, separando partes reales de partes imaginarias, y ordenando, llegamos a: Expr. 71 La expresión 71 representa la admitancia total de un circuito L-C paralelo real, y en ella se definen los siguientes términos: En base a estas cuatro equivalencias, la expresión 71 se puede reescribir en la forma: Expr. 72 En la expresión 72 se definen: Expr

52 Expr. 74 Finalmente, la expresión 72 se convierte en la expresión 75 que muestra por separado las componentes real e imaginaria totales de la admitancia total del circuito: Expr b.- RESONANCIA DE UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL Tal como puede verse en la expresión 72, cabe la posibilidad de que la componente imaginaria de la admitancia total sea nula. Es decir que existirá un valor particular de frecuencia para el cual el módulo de la susceptancia capacitiva B C sea igual al módulo de la susceptancia inductiva B L. En tal caso, la admitancia total Y T quedará formada solamente por la conductancia total G T. En otras palabras, la impedancia total Z T del circuito será de carácter resistivo puro, y se dirá que el circuito se encuentra en estado de resonancia. En definitiva, podemos concluir que: La frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo real es el valor de frecuencia para el cual la susceptancia del circuito es nula, o bien, la admitancia total del circuito es real pura, o bien, la impedancia total del circuito se hace resistiva pura. Entonces, para alcanzar el estado de resonancia del circuito L-C paralelo real se deberá cumplir que:... o bien que: Al valor particular de la frecuencia que hace que se cumpla esta igualdad se lo denomina frecuencia de resonancia f O. Por lo tanto, existirá una pulsación de resonancia ω O que es: Operando sobre la expresión de la condición de resonancia se tendrá: 52-68

53 En el primer miembro se saca el producto L.C como factor común, obteniéndose: Expr. 76 La expresión 76 permite, entonces, calcular la frecuencia de resonancia de un circuito L-C paralelo real, o práctico, o con pérdidas. Dicha expresión es de carácter absolutamente general, dado que contempla la totalidad de los casos que pueden encontrarse en la práctica. En este sentido resulta de particular interés analizar la influencia de la raíz cuadrada:... que recibe el nombre de determinante de la frecuencia de resonancia : 53-68

54 5.4.b.1.- ANALISIS DEL DETERMINANTE DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA Si R L y R C fuesen nulas estaríamos ante el caso de un circuito L-C paralelo ideal, o sin pérdidas, situación en la cual el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a la unidad, y la frecuencia de resonancia sería... Esta expresión coincide con la expresión 35, que es la que permite calcular la frecuencia de resonancia de un circuito L-C serie. En otras palabras, un inductor de valor L y un capacitor de valor C conectados entre sí en serie y luego en paralelo poseerán la misma frecuencia de resonancia en el caso en que ambos componentes sean ideales. Si se cumpliera que:... o bien que:... el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a la unidad, y la frecuencia de resonancia sería nuevamente igual a la frecuencia de resonancia del circuito L-C serie. Si se cumpliera que:... o bien que:... el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a la raíz de un número negativo, por lo que la frecuencia de resonancia poseería un valor imaginario. En este caso se dice que el circuito L-C paralelo no posee frecuencia de resonancia. Si se cumpliera que:... o bien que:... el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a un número menor que la unidad, razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria menor que la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito serie. Si se cumpliera que:... el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a un número mayor que la unidad, razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria mayor que la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito serie

55 Si se cumpliera que:... el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a cero, razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito paralelo seria nula. En este caso se dice que el circuito L-C paralelo resuena en corriente continua. Si se cumpliera que:... el determinante de la frecuencia de resonancia sería igual a un número infinitamente grande, razón por la cual la frecuencia de resonancia correspondiente al circuito L-C paralelo seria infinitamente alta. 5.4.c.- CONSIDERACIONES PRACTICAS SOBRE UN CIRCUITO L-C PARALELO REAL El avance tecnológico de los últimos tiempos ha permitido obtener materiales dieléctricos de muy alta calidad en lo referente a las muy bajas pérdidas que éstos poseen, al menos dentro del rango de las frecuencias bajas y medias. Esto hace que, para un capacitor moderno, su resistencia de pérdidas equivalente serie sea de tan bajo valor que se lo puede considerar prácticamente despreciable. Pero no es posible decir lo mismo acerca de los inductores. Aunque se emplee un conductor de alta calidad para construir un inductor, si éste posee una gran cantidad de espiras su resistencia de pérdidas será elevada, aún en bajas frecuencias. Por otro lado, si el inductor en cuestión posee pocas espiras y se lo emplea en un circuito de alta frecuencia, su resistencia de pérdidas se incrementa debido a un fenómeno conocido con el nombre de Efecto Pelicular o Efecto Skin. Este efecto se manifiesta de la siguiente manera: a medida que la frecuencia se incrementa, los electrones tienden a circular cada vez más cerca de la periferia del conductor, ocupando una sección del conductor que es menor que la sección real del mismo. En otras palabras, se produce una disminución efectiva de la sección del conductor que conforma al inductor, por lo que la resistencia del mismo aumenta (véase la expresión 2 del capítulo Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico ). Por lo expuesto, y desde un punto de vista práctico, un circuito L-C paralelo real se reduce al que se muestra en a figura 29, y su frecuencia de resonancia se calcula mediante la expresión 77. Figura 29: Circuito L-C paralelo práctico en el que la resistencia de pérdidas R C se considera despreciable. Expr

56 5.4.d.- FACTOR DE POTENCIA ELECTRONICA ANALOGICA II 5 BTO ELECTRONICA Dentro del campo de las instalaciones eléctricas domiciliarias e industriales, la mayor parte de los artefactos que forman parte de ellas poseen una impedancia de carácter predominantemente inductivo. En efecto, los motores eléctricos y los artefactos de iluminación fluorescentes y de descarga gaseosa presentan una impedancia que posee, además de una componente resistiva, una componente inductiva. Por esta razón, los aparatos mencionados pueden ser representados mediante un modelo R-L equivalente serie como se ve en la figura 30: Figura 30: Artefactos eléctricos comunes en las instalaciones domiciliarias e industriales, su circuito equivalente serie, y su correspondiente diagrama de impedancias. La impedancia de un motor eléctrico está formada por la inductancia de su bobinado y la resistencia eléctrica de los alambres del mismo. La impedancia de los circuitos de las lámparas fluorescentes y de descarga gaseosa está formada, fundamentalmente, por la inductancia del bobinado del reactor conectado en serie, por la resistencia de los alambres que lo constituyen y por la resistencia de las lámparas. Aquí nos encontramos ante un problema similar al que se planteó en el apartado 4.1 de este mismo capítulo. Si consideramos el diagrama de impedancias que se encuentra a la derecha de la figura 30, y lo multiplicamos por la corriente I obtendremos el diagrama de tensiones que se observa a la izquierda y en el centro de la figura 31. Luego, si multiplicamos este diagrama de tensiones por la misma corriente obtendremos el diagrama de potencias correspondiente a este circuito. Figura 31: Obtención del diagrama de potencias correspondiente a un circuito R-L serie. El diagrama de potencias ubicado a la derecha de la figura 31 muestra que el generador que alimenta al circuito debe producir una potencia aparente de valor S, de la cual sólo se convierte en potencia activa la representada por el vector P; y la potencia reactiva (que se genera pero no se aprovecha) está representada por el vector Q. La potencia activa P es la potencia útil (que equivale al trabajo útil desarrollado en el circuito), mientras que la potencia reactiva Q retorna al generador. Empleando la trigonometría, estas dos potencias responden a las siguientes expresiones: 56-68

57 Expr. 78 Expr. 79 En la expresión 79 el cos φ recibe el nombre de Factor de Potencia y posee una gran importancia de acuerdo con el siguiente análisis. Los usuarios de energía eléctrica (domiciliarios e industriales) abonan a las empresas distribuidoras sólo el equivalente a la potencia activa P. Es decir que los registradores de energía E instalados en los domicilios y en las industrias miden (o calculan) solamente el producto: En otras palabras, la empresa generadora de energía se ve obligada a proveer una potencia aparente S a los clientes, pero éstos sólo abonan el equivalente a una potencia P debido a que sus circuitos provocan una potencia reactiva Q que no se mide. Desde el punto de vista de las empresas generadoras y distribuidoras de energía eléctrica ésta es una situación inaceptable puesto que deben efectuar una inversión para generar una potencia aparente S para que los usuarios le retribuyan por una potencia P. Por esta razón es que las empresas distribuidoras exigen a los usuarios que reduzcan el ángulo φ. Puesto de otra manera, exigen a sus clientes que mejoren (que incrementen) el factor del potencia (el cos φ) de sus instalaciones, tratando que el mismo sea lo más cercano posible a la unidad. Al observar el diagrama de impedancias de la figura 30 se ve que para reducir (o, en lo posible, anular) el ángulo φ, se deberá intentar cancelar la componente inductiva X L del circuito. Esto equivale a decir que se deberá intentar poner el circuito en estado de resonancia. Para ello se debe instalar un capacitor de valor adecuado en paralelo con el artefacto eléctrico en cuestión (motor, lámpara, etc.) tal como se muestra en la figura 29. Para calcular el valor del capacitor adecuado que ponga el circuito en estado de resonancia partiremos de la expresión ya conocida que define dicho estado, que es... Si tenemos en cuenta que podemos considerar que la resistencia de pérdidas R C del capacitor es despreciable, la expresión de la condición de resonancia se convierte en:... y el valor de C que lleva al circuito al estado de resonancia es: Expr

58 5.4.d.- ANALISIS DEL MODULO DE LA ADMITANCIA Y DE LA IMPEDANCIA DEL CIRCUITO L-C PARALELO REAL EN FUNCION DE LA FRECUENCIA La expresión 71 obtenida en el apartado 5.4.a. describe la admitancia de un circuito L-C paralelo real en el que se consideran las resistencias de pérdidas de ambos componentes. Aquí se reitera dicha expresión: Si aceptamos, como ya hemos dicho, que en la mayor parte de los casos prácticos se puede considerar que la resistencia de pérdidas equivalente serie R C del capacitor es despreciable, el circuito resulta ser el de la figura 29, para el cual la expresión anterior se convierte en: Expr. 81 A continuación efectuaremos el análisis de la expresión 81 en función de la frecuencia, para lo cual supondremos que el circuito de figura 29 posee los siguientes valores: En esta lista de valores debe observarse que se han mantenido los mismos valores de inductancia y capacidad que en el apartado 5.3.a. en el que se efectuó el Análisis del Módulo de la Admitancia del Circuito L-C Paralelo Ideal. Esto se hace con la finalidad de poder efectuar la comparación entre el circuito ideal y el circuito real. La tabla que se presenta más adelante contiene los valores del módulo de la admitancia y del módulo de la impedancia en función de la frecuencia correspondientes al circuito de la figura 29 suponiendo los valores de componentes dados más arriba. Esta tabla de valores se encuentra representada gráficamente en la figura 35. En dicha figura se pueden apreciar notables diferencias respecto de los resultados obtenidos en el Análisis del Módulo de la Admitancia y de la Impedancia del Circuito L-C Paralelo Ideal. Para marcar estas diferencias podemos efectuar el siguiente análisis: Cuando nos encontramos dentro del rango de muy bajas frecuencias (o frecuencias cercanas a cero), la impedancia del circuito posee el valor de la resistencia R L que es de 300 Ω, y, por lo tanto, la admitancia del circuito posee el valor de la inversa de dicha resistencia, que es de 3,33 x 10-3 S. Estos resultados son absolutamente lógicos, puesto que frente a frecuencias de tan bajo valor el capacitor C tiende a comportarse como un circuito abierto (es decir, su reactancia tiende a infinito), mientras que el inductor L tiende a comportarse como un cortocircuito (es decir, su reactancia tiende a cero). Por lo tanto, y dentro del rango de muy bajas frecuencias, el circuito de la figura 29 posee como equivalente el circuito representado en la figura 32: Figura 32: Circuito equivalente del circuito de la figura 29 en el caso en que la frecuencia del generador tiende a cero

59 Cuando la frecuencia del generador coincide con la frecuencia de resonancia del circuito la impedancia del circuito alcanza su valor máximo, que es menor que infinito y de carácter resistivo puro (véase el sub-apartado 5.4.b.). Para el ejemplo numérico presentado aquí la impedancia del circuito equivale a una resistencia cuyo valor es de Ω; por lo tanto, la admitancia del circuito alcanza su valor mínimo, que es 7,52 x 10-6 S y de carácter conductivo puro. En este punto, y con el fin de efectuar una comparación, se deben recordar los resultados obtenidos en el gráfico de la figura 27 correspondiente a un circuito L-C paralelo ideal, en el que se muestra que cuando este circuito se encuentra en estado de resonancia su impedancia tiende a infinito y su admitancia tiende a cero. Figura 33: Circuito equivalente del circuito de la figura 29 en estado de resonancia. A medida que la frecuencia va tendiendo a valores cada vez más elevados el capacitor C tiende a comportarse como un corto-circuito (es decir, su reactancia tiende a cero), mientras que el inductor L tiende a comportarse como un circuito abierto (es decir, su reactancia tiende a un valor infinitamente grande). En base a lo dicho, y puesto que el capacitor C se encuentra conectado en paralelo con el generador, la impedancia total del circuito tiende a cero (o la admitancia tiende a infinito), dando origen a una corriente de corto-circuito I CC. Por lo tanto, y dentro del rango de las frecuencias muy altas (o tendientes a infinito) el circuito de la figura 29 posee como equivalente el circuito representado en la figura 34: Figura 34: Circuito equivalente del circuito de la figura 29 en el caso en que la frecuencia del generador tiende a infinito. Por otra parte, al comparar el circuito L-C Paralelo Ideal (figuras 26 y 27) con el circuito L-C Paralelo Real (figuras 29 y 35) podemos ver que, a pesar que ambos poseen los mismos valores de inductancia L y de capacidad C, se ha producido una modificación del valor de la frecuencia de resonancia. En efecto, de acuerdo con la expresión 77, la resistencia de pérdidas R L ha provocado una disminución del valor de la frecuencia de resonancia respecto de la del circuito L-C Paralelo Ideal. La disminución del valor de la frecuencia de resonancia está relacionada con el incremento de dicha resistencia de pérdidas

60 Frecuencia Módulo de la Admitancia Módulo de la Impedancia Hz S Ω 1 3,33 x ,33 x ,33 x ,26 x ,07 x ,30 x ,42 x ,50 x ,80 x ,77 x f O ,52 x 10-6 Mín Máx ,50 x ,86 x ,72 x ,13 x ,85 x ,70 x ,40 x ,50 x ,00 x Figura 35: Representación grafica del módulo de la admitancia y del módulo de la impedancia en función de la frecuencia correspondiente al circuito L-C paralelo real de la figura

61 EJEMPLOS Ejemplo N 1 : Para el circuito de la figura 11 correspondiente al capítulo Impedancia, Admitancia y Resonancia de un Circuito Eléctrico, y con los mismos datos proporcionados, se pide: a) Calcular el valor de la inductancia L que hace que el circuito entre en estado de resonancia. b) Calcular el valor de cada una de las reactancias. c) Calcular la impedancia del circuito y expresarla en forma exponencial. d) Dibujar, en escala, el diagrama de impedancias. e) Calcular la corriente que circula por el circuito y expresarla en forma exponencial. f) Calcular las caídas de tensión y expresarlas en forma exponencial. g) Dibujar, en escala, el diagrama de tensiones. h) Calcular las potencias activa, reactiva y aparente. i) Dibujar, en escala, el diagrama de potencias. j) Comparar los resultados con los obtenidos en el ejemplo desarrollado en la teoría. k) Obtener conclusiones. Ejemplo N 2 : Para el circuito de la figura 11 correspondiente al capítulo Impedancia, Admitancia y Resonancia de un Circuito Eléctrico, y con los mismos datos proporcionados, se pide: a) Calcular el valor de la capacidad C que hace que el circuito entre en estado de resonancia. b) Calcular el valor de cada una de las reactancias. c) Calcular la impedancia del circuito y expresarla en forma exponencial. d) Dibujar, en escala, el diagrama de impedancias. e) Calcular la corriente que circula por el circuito y expresarla en forma exponencial. f) Calcular las caídas de tensión y expresarlas en forma exponencial. g) Dibujar, en escala, el diagrama de tensiones. h) Calcular las potencias activa, reactiva y aparente. i) Dibujar, en escala, el diagrama de potencias. j) Comparar los resultados con los obtenidos en el ejemplo desarrollado en la teoría. k) Obtener conclusiones

62 Ejercicio Nº 1 ELECTRONICA ANALOGICA II 5 BTO ELECTRONICA GUIA DE EJERCICIOS DE CORRIENTE ALTERNA Para los siguientes circuitos halle la impedancia entre los puntos A y B y la frecuencia de resonancia: Nº CIRCUITO DATOS INCOGNITAS R = 20 Ω a. L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Z= f 0= b. R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Z= f 0= c. d. e. f. g. R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Z= f 0= Z= f 0= Z= f 0= Z= f 0= Z= f 0= 62-68

63 Ejercicio Nº 2 Para los siguientes circuitos halle las corrientes y tensiones en todos los componentes y verifique que se cumplen las leyes de Kirchoff. Indique el carácter inductivo, resistivo o capacitivo del circuito. Nº CIRCUITO DATOS INCOGNITAS a. b. c. d. e. f. g. V AB = 100V 40º R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Carácter: V AB = 100V 120º R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Carácter: V AB = 150V -120º R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Carácter: V AB = 200V 30º R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Carácter: V AB = 10V -60º R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf f= 50 Hz Carácter: V AB = 14,14 V sen (314.t) R = 20 Ω L = 63,7 mhy C=318,5 µf Carácter: V AB = 10V.sen (377.t 30 º) R 1 =R 2 = 20 Ω X L = j20 Ω X C = -j15 Ω Carácter: I = V R = V L = V C = V R +V L +V C = i TOTAL = I R = I L = I C = I R +I L +I C = i TOTAL = I RL = I C = V R = V L = V R +V L = i TOTAL = I RC = I L = V R = V C = V R +V C = I R = I C = I L = V R = V L = V R +V C = I R = I C = I L = V R = V C = V R +V C = V C = V L = V L +V C = I L = I R 1 = I C = I R 2 = I R1 +I L = 63-68

64 Ejercicio Nº 3 Para los siguientes circuitos grafique el diagrama fasorial de impedancias y admitancias: a. b. Ejercicio Nº 4 Para el siguiente circuito halle: a. La frecuencia de resonancia en radianes/seg b. Las corrientes I, I 1, I C c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor Q L, la potencia reactiva en el capacitor Q C y la potencia aparente S. Ejercicio Nº 5 Datos: R=50Ω L=100mHy C=10µF V AB =200V 90º f=50hz Para el siguiente circuito halle: a. A la frecuencia de resonancia Xc y C b. Las corrientes I, I 1, I C c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor Q L, la potencia reactiva en el capacitor Q C y la potencia aparente S. Datos: R=50Ω X L =50Ω V AB =100V 0º f=50hz 64-68

65 Ejercicio Nº 6 Para el siguiente circuito halle: a. A la frecuencia de resonancia X L y L b. Las corrientes I, I 1, I C c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor Q L, la potencia reactiva en el capacitor Q C y la potencia aparente S. Ejercicio Nº 7 Datos: R=80Ω X c =200Ω V AB =200V 120º f=50hz Para el siguiente circuito halle: a. La frecuencia de resonancia en radianes/seg b. Las corrientes I, I 1, I L c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor Q L, la potencia reactiva en el capacitor Q C y la potencia aparente S. Ejercicio Nº 8 Datos: R=50Ω L=100mHy C=10µF V AB =200V 150º f=50hz Para el siguiente circuito halle: a. A la frecuencia de resonancia X L y L b. Las corrientes I, I 1, I L c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor Q L, la potencia reactiva en el capacitor Q C y la potencia aparente S. Ejercicio Nº 9 Datos: R=50Ω X C =50Ω V AB =100V 60º f=50hz Para el siguiente circuito halle: a. A la frecuencia de resonancia X C y C b. Las corrientes I, I 1, I L c. La potencia activa P, la potencia reactiva en el inductor Q L, la potencia reactiva en el capacitor Q C y la potencia aparente S

66 Datos: R=20Ω X L =50Ω V AB =20V 90º f=50hz Ejercicio Nº 10 Para el siguiente circuito en resonancia se pide: a. Halle los valores de X C y C Datos 1: b. Halle I L, I R e I C R=100Ω c. P, Q L, Q C y S X L =40Ω f=50hz V AB =100V 0º Datos 2: R=100Ω X C =100Ω f=50hz V AB =200V 30º Ejercicio Nº 11 Para el siguiente circuito en resonancia se pide: a. Halle los valores de X C y C Datos 1: b. Halle I L, I R e I C R=50Ω c. P, Q L, Q C y S X C =20Ω f=50hz V AB =100V 90º Datos 2: R=80Ω X L =80Ω f=50hz V AB =240V 45º Ejercicio Nº 12 Para el siguiente circuito halle: a. La impedancia total b. La frecuencia de resonancia c. El factor de potencia d. Las tensiones y corrientes en cada componente e. Verifique si se cumplen las leyes de Kirchoff f. El carácter del circuito g. Grafique el diagrama fasorial de impedancias, tensión y corriente totales h. Potencia aparente, reactiva y activa 66-68

67 Ejercicio Nº 13 Para el siguiente circuito se pide: a. Calcule la impedancia del circuito b. Calcular la tensión V que alimenta al circuito c. Dibuje el diagrama de impedancias y de tensiones en escala d. Calcule la caída de tensiones en cada uno de los elementos del circuito. Verifique con el diagrama de tensiones. e. Calcule las potencias aparente, activa y reactiva del circuito. Dibuje el diagrama de potencias. f. Cuál es el valor del factor de potencia? g. Calcule cuánto hay que modificar el valor del inductor para que el circuito entre en estado de resonancia a una frecuencia de f = 50Hz Ejercicio Nº 14 Datos 1 R = 50 Ω L = 1Hy C = 10µF f = 50 Hz I = 1A e j0º El circuito encerrado en una línea de puntos representa un artefacto industrial. Mediante el uso de un Óhmetro se ha medido su componente resistiva que resultó de R = 100Ω Además se sabe que el factor de potencia de esta carga vale COS = 0,45 se pregunta: a. Cuánto vale la inductancia? b. Cuánto vale la impedancia equivalente serie? c. Dibuje el diagrama de impedancias d. Cuánto vale la corriente del circuito? e. Verifique la segunda LEY DE KIRCHOFF f. Calcule y grafique las potencias aparente, activa y reactiva. g. Se desea lograr que el factor de potencia del circuito valga aproximadamente 1. Indique a su criterio cuál el la solución técnica mas apropiada para conseguirlo, agregue el cálculo de los componentes necesarios para conseguirlo. h. Luego muestre mediante diagramas de admitancias y/o corrientes y tensiones el resultado esperado

68 Ejercicio Nº 15 En el circuito que se da a continuación la rama R-L encerrada en líneas de puntos representa un motor. El capacitor C fue conectado en paralelo con el motor con la intención de mejorar el factor de potencia en la línea, se pregunta: a. Cuánto vale la impedancia del motor? b. Cuánto vale la impedancia total del circuito? c. Cuánto vale el factor de potencia? d. Si el factor de potencia (COS φ ) no vale 1 Qué solución técnica adoptaría para lograrlo? Calcule el valor del componente necesario e. Calcule el valor de corriente de cada rama del circuito, la tensión sobre cada componente y el valor de la corriente total. f. Calcule y grafique las potencias aparente, activa y reactiva g. Dibuje en el caso que corresponda, los diagramas de impedancias, admitancia, corriente y potencias. h. Calcule el valor del capacitor para que el circuito resuene a 1MHz. Datos1 f = 50 Hz R = 50Ω L = 100mh C = 5µF Datos 2 f = 50 Hz R = 10Ω L = 10µHy C = 2000pF Ing. Rubén J. Bernardoni Ing. Oscar D. Novodvoretz 68-68