COMPONENTES PASIVOS DE UN CIRCUITO ELECTRICO

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1 COMPONENTES PASIVOS DE UN CIRCUITO ELECTRICO 1.- INTRODUCCION Los tres componentes pasivos que, en general, forman parte de los circuitos eléctricos son los resistores, los inductores y los capacitores. Independientemente de que un circuito eléctrico esté alimentado por una tensión continua, o una tensión alterna senoidal, o cualquier otra forma de señal, en él se manifestarán siempre efectos de carácter resistivo, inductivo y capacitivo. En efecto, esto es cierto toda vez que se tengan en cuenta las siguientes consideraciones RESISTOR Cuando una corriente eléctrica i(t) circula a lo largo de un conductor debe vencer la resistencia eléctrica R del mismo, dando lugar a una caída de tensión v(t). La relación entre la intensidad de la corriente y la caída de tensión en la resistencia está dada por la Ley de Ohm, y es: Expr. 1 La expresión 1 muestra que la caída de tensión que se produce en la resistencia es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que por ella circula. Así, el valor numérico de la resistencia eléctrica R se convierte en la constante de proporcionalidad entre la caída de tensión y la corriente. La resistencia eléctrica R es una propiedad de los materiales conductores de la electricidad, y los componentes eléctricos denominados resistores hacen uso de esa propiedad. Un resistor se presenta en la práctica en forma de arrollamiento de alambre, o bien en forma de cilindro cerámico recubierto de carbón, o bien como un cilindro recubierto por una película metálica. Cualquiera sea el caso, el valor numérico de la resistencia eléctrica R de un resistor se calcula en base a sus características físicas mediante la expresión: Expr donde se definen: R = Resistencia eléctrica, medida en Ω (ohm). ρ = (léase rho) Resistencia especifica o resistividad del material empleado para construir el resistor. Su unidad es Ω.mm 2 /m, o bien Ω.m. l = Longitud del material. Su unidad es el m. S = Sección transversal del material. Su unidad es el mm 2, o bien el m 2. Figura 1: Parámetros empleados para calcular el valor de la resistencia eléctrica R de un conductor con forma de alambre y de cualquier metal cuya resistividad ρ sea conocida. En la figura 2 se muestran las características constructivas de un resistor del tipo de carbón depositado, muy empleado en los circuitos electrónicos. Las cuatro bandas de colores que aparecen rodeando el cuerpo del resistor responden a un código, y permiten conocer el valor de la resistencia y la tolerancia dentro de la cual se encuentra dicho valor. Colocando el resistor tal como muestra la figura 2 y leyendo de izquierda a derecha, significan: Primera línea: Primera cifra significativa. Segunda línea: Segunda cifra significativa. Tercera línea: Cantidad de ceros. Cuarta línea: Tolerancia. 1-68

2 El código de colores es el siguiente: Figura 2: Aspecto de un resistor del tipo de carbón depositado. Negro = 0 (cero). Marrón = 1 (uno). Rojo = 2 (dos). Naranja = 3 (tres). Amarillo = 4 (cuatro). Verde = 5 (cinco). Azul = 6 (seis). Violeta = 7 (siete). Gris = 8 (ocho). Blanco = 9 (nueve). Dorado = Tolerancia del 5%. Plateado = Tolerancia del 10%. EJEMPLOS: 1.- Rojo, rojo, rojo, dorado = 2200 Ω al 5%, ó 2,2 KΩ al 5%. 2.- Rojo, violeta, naranja, dorado = Ω al 5%, ó 27 KΩ al 5%. 3.- Amarillo, violeta, amarillo, plateado = Ω al 10%, ó 470 KΩ al 10%. 4.- Marrón, negro, negro, dorado = 10 Ω al 5%. 5.- Marrón, dorado, negro, dorado = 1,0 Ω al 5% (el dorado significa coma ) INDUCTOR Una corriente eléctrica que circula a lo largo de un conductor genera un campo magnético que es externo al conductor. Este campo magnético se manifiesta en forma de líneas circulares cerradas y concéntricas con el conductor. Figura 3: La corriente I que circula por un conductor rectilíneo produce un campo magnético caracterizado por líneas cerradas circulares y concéntricas con el conductor. 2-68

3 A la totalidad de las líneas de campo magnético que rodean al conductor se la denomina flujo magnético Φ. Este flujo magnético posee una intensidad que es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que le dio origen. La relación entre la intensidad I de la corriente y el flujo magnético Φ es entonces:... donde es: L = inductancia del conductor, y se mide en Henry [H]. Por lo tanto, y desde un punto de vista matemático, la definición de la inductancia L es: Expr. 3 Expr. 4 Esto significa que si la intensidad de la corriente sufre una variación, el flujo magnético se modificará proporcionalmente. En conclusión, la inductancia L es una constante constructiva del inductor, o bien, es la constante de proporcionalidad entre el flujo magnético y la intensidad de la corriente que lo produce. Los inductores son componentes muy empleados en los circuitos eléctricos, y en la mayor parte de los casos se presentan en forma de arrollamientos de alambre conductor, conocidos vulgarmente como bobinas. Este tipo de arreglo resulta práctico para concentrar la mayor cantidad de líneas de campo magnético a partir de un componente (el inductor) del menor tamaño posible. Entonces, en un inductor como el descripto el valor numérico de la inductancia L depende de varios factores, a saber: La forma del arrollamiento (solenoide o circular, rectangular, sediforme, etc.). El número N de vueltas o espiras del arrollamiento. El diámetro D medio del arrollamiento. El diámetro d del conductor con que se construye el arrollamiento. La separación entre espiras contiguas, o paso P del arrollamiento. La longitud l del arrollamiento. La permeabilidad magnética relativa µ r del núcleo sobre el que se arrolla el conductor. Figura 4: Aspecto esquemático de un inductor de sección circular o tipo solenoide. Para un inductor del tipo solenoide monocapa como el que se muestra en la figura 4, y en el que la longitud l es al menos igual al diámetro D, la inductancia se calcula mediante la expresión: Expr siempre que se expresen: [D] = mm. [l] = mm. En la expresión 5, la permeabilidad magnética relativa µ r del núcleo del inductor se define en la siguiente forma: 3-68

4 ... donde son: µ [H/m] = Permeabilidad magnética absoluta del material magnético del núcleo. µ o [H/m] = Permeabilidad magnética absoluta del aire o del vacío. µ r [adimensional] = Permeabilidad magnética relativa del material del núcleo. Expr. 6 Dependiendo de la aplicación a que estén destinados, los inductores pueden construirse sobre núcleo de aire, o bien sobre núcleos de hierro o de ferrita. En el caso en que el núcleo sea el aire (o el vacío) el µ r resulta ser igual a 1 (uno). En cambio, los materiales magnéticos como el hierro y la ferrita poseen una permeabilidad magnética absoluta µ mucho mayor que la del aire µ o ; por lo tanto, en estos casos la permeabilidad magnética relativa µ r resulta ser un número mucho mayor que 1 (uno). Evidentemente, el uso de núcleos ferromagnéticos permite lograr el valor de inductancia L deseado empleando un número de espiras menor al que se debería emplear si el inductor tuviera núcleo de aire ANALISIS DE UN INDUCTOR FRENTE A UNA CORRIENTE VARIABLE A partir de la expresión 3, y asumiendo el caso bastante común en que la corriente que circula a través del inductor sufra una cierta variación I, la variación Φ del flujo magnético asociado será: Si ahora relacionamos las variaciones de corriente y flujo con el tiempo tendremos: Haciendo tender el tiempo a cero tendremos: Puesto que el primer miembro de la expresión anterior posee unidades de tensión, encontramos que: cuando a través de un conductor de inductancia L circula una corriente variable (o de derivada no nula), entre los extremos del mismo aparece una tensión auto-inducida v L (t), cuyo valor está dado por la expresión 7: Expr. 7 La expresión 7 es de carácter general, es decir que es aplicable a cualquier ley de variación de la corriente. Esto permite analizar el caso particular en el que se pretenda hacer circular una corriente de valor constante a través del inductor: obsérvese que en tal caso la derivada de la corriente respecto del tiempo será nula, razón por la cual la tensión auto-inducida entre los extremos del inductor también lo será. En otras palabras, frente a una corriente de valor constante un inductor se comporta como un corto-circuito CAPACITOR Cuando aplicamos una diferencia de potencial V entre dos conductores aparecerá entre ellos un campo eléctrico de intensidad E provocado por la acumulación de cargas eléctricas entre ambos 4-68

5 conductores. La cantidad total Q de cargas eléctricas acumuladas entre ambos conductores es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los mismos. Matemáticamente, la relación entre la cantidad de carga Q acumulada y la diferencia de potencial V que le dio origen se escribe: Expr donde es: C = capacidad eléctrica entre los conductores, y se mide en Faraday [F]. Figura 5: Aspecto esquemático de un capacitor. En la figura de la derecha se describen los parámetros correspondientes a la expresión 7. La capacidad eléctrica es igual a: Expr donde son: ε = Constante dieléctrica del material aislante que separa a ambos conductores. La unidad de ε es F/m. S = Área enfrentada de los conductores [m 2 ]. d = Distancia comprendida entre ambos conductores [m] ANALISIS DE UN CAPACITOR FRENTE A UNA TENSION VARIABLE Si la tensión V aplicada entre los conductores es variable, se producirá una variación proporcional de la cantidad de carga acumulada, de tal suerte que a partir de la expresión 8 podremos escribir: Si relacionamos las variaciones de tensión y carga eléctrica con el tiempo tendremos: Haciendo tender el tiempo a cero tendremos: 5-68

6 El primer miembro de la expresión anterior posee unidades de corriente [A=Coulomb/m]. Por lo tanto, es posible escribir que: Expr. 10 En conclusión: cuando se aplica una tensión variable entre dos conductores separados por un material dieléctrico, entre ellos circula una corriente eléctrica. En otras palabras, la corriente circula a través del dieléctrico que separa a los conductores (o, al menos, todo ocurre como si dicha corriente circulase. Recuérdese que una corriente eléctrica no puede circular a través de un material aislante). El valor de esta corriente está dado por la expresión 10. De la expresión 10 es posible despejar: Integrando llegamos a que: Expr. 11 La expresión 11 permite decir que: si se hace circular una corriente i(t) por un circuito formado simplemente por dos conductores enfrentados y separados por cualquier material dieléctrico, entre ambos conductores tendremos una diferencia de potencial v c (t). En la expresión 11 debe observarse que sin importar cuál sea la ley de variación de la corriente i(t) que se haga circular entre los conductores, o entre las placas del capacitor, siempre existirá una diferencia de potencial v c (t) entre los mismos. Inclusive, dicha corriente puede ser constante. En efecto, si consideramos un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante de valor genérico I, tal como se muestra a la izquierda de la figura 6, y aplicamos esta condición a la expresión 11, tendremos: La expresión anterior nos muestra que cuando la corriente que circula a través del capacitor es constante la diferencia de potencial v c (t) entre los extremos del capacitor crece linealmente con el tiempo, tal como se indica en el gráfico que se encuentra a la derecha de la figura 6: Figura 6: Comportamiento de un capacitor alimentado por una fuente de corriente constante. 6-68

7 CIRCUITOS EN REGIMEN ALTERNO SENOIDAL 1.- INTRODUCCION Cuando un circuito es alimentado por un generador de tensión alterna senoidal se dice que dicho circuito se encuentra operando en régimen alterno senoidal. En esta condición, analizaremos el funcionamiento de circuitos compuestos por cualquier combinación serie, paralelo o mixta de resistores, inductores y capacitores. 2.- CIRCUITO RESISTIVO PURO Decimos que un circuito es de carácter resistivo puro cuando el generador de tensión alimenta a una red compuesta solamente por resistores. Como sabemos, una tensión alterna senoidal se define matemáticamente en la forma: Expr donde son: Valor instantáneo de la tensión senoidal [V]. Valor máximo o valor pico de la tensión senoidal [V]. Pulsación o velocidad angular del vector Frecuencia de la señal senoidal [1/s = Hz]. [rad/s]. Figura 1: Circuito resistivo puro alimentado por un generador de tensión senoidal. De acuerdo con la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente i(t) que circula por el circuito estará dada por la expresión:... donde reemplazamos la expresión 1: En la expresión anterior se ve que: Por lo tanto, la expresión final de la corriente que circula por el circuito es: Expr

8 Si comparamos las expresiones 1 y 2 podemos concluir que cuando un circuito resistivo puro es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a lo largo del mismo también es senoidal. Dicho en otras palabras: En régimen alterno senoidal, en un circuito resistivo puro la tensión y la corriente están en fase. Figura 2: Diagramas vectorial y temporal representativos de la tensión y la corriente en un circuito resistivo puro. Los vectores armónicos V MAX e I MAX giran sobre el punto de aplicación O con una velocidad angular ω constante. La fase relativa entre ambos vectores es nula, por lo que se dice que están en fase. Sus respectivas proyecciones verticales (expresiones 1 y 2) describen a ambas ondas senoidales. Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 3 nos muestran dos vectores giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 0º. Estos diagramas describen el comportamiento general de un resistor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente válidas: 1. Cuando un resistor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a través del mismo está en fase con la tensión que la provoca. 2. Si a través de un resistor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una caída de tensión que está en fase con la corriente que le dio origen. Figura 3: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carácter resistivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensión y corriente en el que los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente. En los diagramas vectoriales de la figura 3 los vectores representan los valores máximos de tensión y de corriente. Pero en la práctica, los instrumentos destinados a la medición de tensión y corriente (voltímetros y amperímetros) indican los valores eficaces de los mismos, y no sus valores máximos. Por lo tanto, para efectuar los cálculos es más adecuado emplear los valores eficaces. Por otra parte, para indicar que entre la tensión y la corriente existe una cierta fase relativa se empleará la notación fasorial. De esta forma, cuando se trate de un circuito de carácter resistivo puro la notación fasorial de tensión y corriente correspondiente será: 8-68

9 ... donde son: Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos proporcionará la expresión compleja de la resistencia: Expr. 3 En conclusión, y de acuerdo con la expresión 3: La Resistencia se representa mediante un número real puro y de signo positivo. Figura 4: Obtención y representación gráfica del vector representativo de la resistencia POTENCIA EN UN CIRCUITO RESISTIVO PURO La potencia instantánea desarrollada en el circuito resistivo puro se calcula multiplicando las expresiones 1 y 2 entre sí. Entonces: Expr. 4 Tal como sabemos, el seno de un ángulo es una función que puede tener signo positivo o negativo dependiendo del cuadrante en que se encuentre el vector al que caracteriza. Por lo tanto, la expresión 4 es siempre positiva, salvo en los instantes para los que se cumpla que

10 ... lo cual ocurre para: Por otro lado, la potencia instantánea alcanzará su valor máximo cada vez que se cumpla:.... lo cual ocurre cuando se cumple que: El hecho de que en un circuito de carácter resistivo puro la potencia instantánea sea siempre positiva (cuando no nula) se interpreta, desde el punto de vista físico, como que la potencia entregada por el generador a la carga se convierte permanentemente en trabajo útil, disipándose en la resistencia en forma de calor. La figura 5 es la representación de la tensión aplicada al circuito resistivo, la intensidad de la corriente que por él circula, y la potencia instantánea disipada por la resistencia:. Figura 5: Tensión, corriente y potencia instantáneas en régimen alterno senoidal para un circuito de carácter resistivo puro. La función de la potencia instantánea p(t) es siempre positiva (expresión 3) y se observa que el área sombreada es igual al área que resulta de multiplicar P por T. Entonces, el valor medio P de la potencia es igual a la mitad de la potencia máxima P MAX, tal como se demuestra en el texto. Hallaremos el valor medio P de la potencia en un ciclo integrando la expresión 4. Esto significa encontrar el área comprendida debajo de la función p(t) a lo largo de un período y dividirla luego por el valor del período T. Así: Expr

11 Si tenemos en cuenta que:... y que para una señal senoidal los valores máximos de tensión y corriente se relacionan con sus respectivos valores eficaces V e I según las formas:... reemplazando en la expresión 5 tendremos: Expr. 6 En conclusión, la expresión 6 nos dice que: En todo circuito de carácter resistivo puro la potencia media desarrollada en la carga es igual al producto entre la tensión eficaz que la alimenta y la corriente eficaz que circula por ella. 3.- CIRCUITO INDUCTIVO PURO Figura 6: Circuito inductivo puro alimentado por un generador de tensión senoidal. A partir de la expresión 7 del capítulo Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico podemos determinar la corriente que circula por el circuito inductivo puro de la figura 6 sabiendo que la tensión que lo alimenta es una señal senoidal: 11-68

12 Expr. 7 Analicemos la expresión 7. En primer lugar, se observa que cuando se aplica una tensión alterna senoidal a un circuito inductivo puro, la corriente sigue a la función del coseno con signo negativo. Dicho en otras palabras: En un circuito de carácter inductivo puro, la corriente retrasa 90º respecto de la tensión que le dio origen. Figura 7: Diagramas vectorial y temporal de la tensión y la corriente en un circuito inductivo puro. La tensión adelanta 90º respecto de la corriente. En segundo lugar, se ve que la unidad de Por lo tanto, resulta que: no puede ser otra que el Ampère [A]. Expr. 8 Entonces, la expresión definitiva de la corriente es: Expr. 9 En consecuencia, en la expresión 8 el producto apartado 3.1.). tiene como unidad el Ohm [Ω] (véase el REACTANCIA INDUCTIVA El producto manera: recibe el nombre de reactancia inductiva, y se simboliza de la siguiente Expr. 10 En todo circuito que funcione dentro del régimen alterno senoidal, se denomina Reactancia Inductiva a la oposición que un inductor ofrece al paso de la corriente eléctrica

13 En la expresión 10 se ve que la reactancia inductiva es una función lineal de la frecuencia. En este sentido, la figura 8 representa gráficamente la relación entre la reactancia inductiva y la frecuencia para diversos valores de inductancia L. Figura 8: Representación gráfica de la reactancia inductiva en función de la frecuencia tomando a la inductancia L como parámetro. Este gráfico responde a la expresión 10. Los inductores son componentes ampliamente usados en circuitos eléctricos y electrónicos. Tal como hemos concluido en este mismo apartado, la reactancia que presenta un inductor es linealmente dependiente de la frecuencia. En este sentido, resulta de interés analizar brevemente el particular comportamiento de un inductor en función de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal: a. De acuerdo con la expresión 10, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la reactancia inductiva también es nula. En otras palabras, en un circuito de corriente continua un inductor se comporta como un corto-circuito. b. Por otro lado, y en base a la misma expresión, cuando la frecuencia del generador tiende a infinito la reactancia inductiva también tiende a infinito. Es decir que cuando la frecuencia tiende a infinito el inductor se comporta como un circuito abierto. Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 9 nos muestran dos vectores giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 90º, con el vector tensión adelantando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un inductor, y puede expresarse de dos maneras diferentes pero igualmente válidas: 1. Cuando un inductor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a través del mismo retrasa 90º respecto de la tensión que la provoca. 2. Si a través de un inductor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una caída de tensión que adelanta 90º respecto de la corriente que le dio origen

14 Figura 9: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carácter inductivo puro. A la derecha de la figura se observa el diagrama fasorial de tensión y corriente en el que los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente. En base al mismo análisis efectuado durante el estudio del circuito resistivo puro, el comportamiento del circuito inductivo puro quedará descripto matemáticamente por la notación fasorial de la tensión y la corriente. Por lo tanto, atendiendo al diagrama que se encuentra a la derecha de la figura 9, tendremos:... donde son: Entonces, de acuerdo con la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos proporcionará la expresión compleja de la reactancia inductiva: Expr donde son: En conclusión, y de acuerdo con la expresión 11: La Reactancia Inductiva Compleja se representa mediante un número imaginario puro y de signo positivo

15 Figura 10: Obtención y representación gráfica de la reactancia inductiva compleja POTENCIA EN UN CIRCUITO INDUCTIVO PURO La potencia instantánea puesta en juego en un circuito de carácter inductivo puro se obtiene al multiplicar entre sí las expresiones 1 y 9: Expr o bien: Expr donde V e I son los valores eficaces de la tensión y la corriente, respectivamente. En las expresiones 12 y 13 observamos que en el circuito inductivo puro alimentado por una tensión senoidal la potencia varía también en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aquélla. La figura 11 muestra, en un mismo gráfico, las funciones de la tensión, la corriente y la potencia instantáneas en un circuito inductivo puro. Figura 11: Tensión, corriente y potencia instantáneas en un circuito de carácter inductivo puro

16 A partir de la expresión 12 (o 13) podemos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito inductivo. Empleando la definición de potencia media dada oportunamente tendremos: Expr. 14 En todo circuito inductivo puro la potencia media P es nula. Este resultado es evidente. Si atendemos al gráfico de la figura 11, y en particular a la función de la potencia instantánea, veremos que dicha función está compuesta por semi-ciclos positivos y negativos. La interpretación física de este gráfico es la siguiente: Durante el semi-ciclo positivo el generador entrega potencia al inductor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el inductor le devuelve íntegramente dicha potencia al generador. El inductor no consume potencia alguna. Es por esta interpretación que un inductor pertenece a la categoría de los componentes reactivos. 4.- CIRCUITO CAPACITIVO PURO Figura 12: Circuito capacitivo puro alimentado por un generador de tensión senoidal. La expresión 10 del capítulo Componentes Pasivos de un Circuito Eléctrico nos permitirá hallar la corriente que circula por el capacitor cuando es alimentado por una tensión alterna senoidal: Expr. 15 El análisis de la expresión 15 arroja los siguientes resultados. En primer lugar vemos que mientras la tensión de alimentación sigue una función senoidal, la corriente está caracterizada por una función cosenoidal. Esto significa que: 16-68

17 En un circuito de carácter capacitivo puro, la corriente adelanta 90º respecto de la tensión que le dio origen. Figura 13: Diagramas vectorial y temporal de la tensión y la corriente en un circuito capacitivo puro. La corriente adelanta 90º respecto de la tensión. En segundo lugar vemos que la unidad del producto debe ser el Ampère [A]. Como consecuencia, y debido a la presencia de queda definido el valor de en la forma: Expr razón por la cual la expresión definitiva de la corriente es: Expr. 17 La expresión 16 nos permite hallar la relación entre la tensión y la corriente en un capacitor: Expr REACTANCIA CAPACITIVA A la relación entre tensión y corriente en un circuito de carácter capacitivo puro se la denomina reactancia capacitiva. Esta relación ha quedado definida por la expresión 18, y se la simboliza de la siguiente forma: Expr. 19 En todo circuito que funcione dentro del régimen alterno senoidal, se denomina Reactancia Capacitiva a la oposición que un capacitor ofrece al paso de la corriente eléctrica. En la expresión 19 podemos ver que la reactancia capacitiva es función inversa de la frecuencia. En este sentido, la figura 14 representa gráficamente la relación entre la reactancia capacitiva y la frecuencia para dos valores diferentes de capacidad C

18 Figura 14: Representación gráfica de la reactancia capacitiva en función de la frecuencia tomando a la capacidad C como parámetro. Este gráfico responde a la expresión 19. Al igual que los inductores, los capacitores son componentes muy empleados en circuitos eléctricos y electrónicos. En este mismo apartado hemos llegado a la conclusión de que la reactancia que presenta un capacitor al paso de una corriente eléctrica es inversamente proporcional a la frecuencia. Por esta razón resulta de interés analizar brevemente el particular comportamiento de un capacitor en función de la frecuencia en un circuito de corriente alterna senoidal: a. De acuerdo con la expresión 19, cuando la frecuencia del generador es nula (f = 0) la reactancia capacitiva tiende a infinito. En otras palabras, en un circuito de corriente continua constante un capacitor se comporta como un circuito abierto. b. Por otro lado, y en base a la misma expresión, cuando la frecuencia del generador tiende a infinito la reactancia capacitiva tiende a cero. Es decir que cuando la frecuencia tiende a infinito el capacitor se comporta como un corto-circuito. Los diagramas vectoriales de tensión y corriente de la figura 15 nos muestran dos vectores giratorios armónicos que siempre mantienen una relación de fase de 90º, con el vector tensión atrasando respecto del vector corriente. Esto describe el comportamiento general de un capacitor, del que se pueden efectuar dos lecturas igualmente válidas: 1. Cuando un capacitor es alimentado por una tensión alterna senoidal, la corriente que circula a través del mismo adelanta 90º respecto de la tensión que la provoca. 2. Si a través de un capacitor se hace circular una corriente alterna senoidal, entre los extremos del mismo se produce una caída de tensión que atrasa 90º respecto de la corriente que le dio origen. Figura 15: Diagramas vectoriales de tensión y de corriente en distintos instantes de tiempo para un circuito de carácter capacitivo puro. A la derecha de la figura se ve el diagrama fasorial de tensión y corriente; los módulos de los fasores V e I son iguales a los valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente

19 En base al mismo análisis efectuado en el estudio de los circuitos resistivo puro e inductivo puro, el comportamiento de un circuito capacitivo puro quedará descripto matemáticamente por la notación fasorial de la tensión y la corriente:... donde son: Por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm, la relación entre la tensión y la corriente nos proporcionará la expresión compleja de la reactancia capacitiva: Expr donde son: Entonces, y de acuerdo con la expresión 20 concluimos que: La Reactancia Capacitiva Compleja se representa mediante un número imaginario puro y de signo negativo. Figura 16: Obtención y representación gráfica de la reactancia capacitiva compleja POTENCIA EN UN CIRCUITO CAPACITIVO PURO La potencia instantánea puesta en juego en un circuito de carácter capacitivo puro se obtiene al multiplicar entre sí las expresiones 1 y 17: 19-68

20 Expr o también: Expr donde, nuevamente, V es el valor eficaz de la tensión aplicada al capacitor, e I es el valor eficaz de la corriente que circula a través del mismo. Al igual que en el caso del circuito inductivo puro, en las expresiones 21 y 22 observamos que en un circuito capacitivo puro alimentado por una tensión senoidal la potencia instantánea varía también en forma senoidal, pero con el doble de frecuencia que aquélla. La figura 17 muestra, en un mismo gráfico, las funciones de la tensión, la corriente y la potencia instantáneas en un circuito capacitivo puro. Figura 17: Tensión, corriente y potencia instantáneas en un circuito de carácter capacitivo puro. A partir de aquí podríamos calcular la potencia media P puesta en juego en el circuito capacitivo a partir de la expresión 21 (ó 22). Sin embargo, queda claro que obtendríamos el mismo resultado que en el caso del circuito inductivo puro dado por la expresión 15. En definitiva, podemos decir que: En todo circuito capacitivo puro la potencia media P es nula. Al igual que en el caso del circuito inductivo, la potencia instantánea en el capacitor (expresión 22) presenta semi-ciclos positivos y negativos. Nuevamente, durante el semi-ciclo positivo el generador entrega potencia al capacitor, mientras que durante el semi-ciclo negativo el capacitor le devuelve íntegramente dicha potencia al generador. El capacitor no consume potencia alguna, y por esta razón también pertenece a la categoría de los componentes reactivos

21 IMPEDANCIA, ADMITANCIA Y RESONANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO 1.- INTRODUCCION Un circuito eléctrico pasivo puede estar compuesto por cualquier combinación de resistores, inductores y capacitores. Tal como se ha visto en el capitulo anterior, cualquiera de estos tres componentes contribuye a limitar la corriente que circula por el circuito puesto que los resistores aportan su resistencia eléctrica mientras que los inductores y los capacitores aportan, respectivamente, su reactancia inductiva y su reactancia capacitiva. 2.- CARÁCTER Y TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Los diversos circuitos eléctricos que se pueden presentar en la práctica se diferencian entre sí por su carácter y por su topología. El carácter de un circuito eléctrico queda definido por los componentes que forman parte de él, mientras que su topología queda definida por la forma en que dichos componentes están conectados entre sí CARÁCTER DE UN CIRCUITO ELECTRICO Resistivo puro. Inductivo puro. Capacitivo puro. Resistivo-Inductivo (o R-L). Resistivo-Capacitivo (o R-C). Inductivo-Capacitivo (o L-C). Resistivo-Inductivo- Capacitivo (o R-L-C) TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Circuito Serie. Circuito Paralelo, Circuito Mixto (Combinación de componentes conectados en serie y en paralelo). 3.- IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO ELECTRICO Cualquiera sea el carácter y la topología del circuito que se trate, la combinación de los aportes que cada uno de los componentes haga a la limitación de la corriente que circula por el mismo recibe el nombre de IMPEDANCIA ELÉCTRICA, y se mide en Ω (Ohm). En definitiva: La impedancia es la oposición al paso de la corriente eléctrica que presenta un circuito formado por resistores y componentes reactivos en régimen alterno senoidal

22 4.- CIRCUITOS TIPO SERIE CIRCUITO R-L SERIE En la figura 1 se muestra un circuito del tipo R-L serie. A partir de los datos que se proporcionan a continuación, analizaremos inicialmente la resolución que nos permita calcular la impedancia del circuito y la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Los datos son: Figura 1: Circuito R-L serie. Se indican la corriente y las dos caídas de tensión que se producen en el mismo. Como ocurre en todo circuito serie, la corriente es el elemento común a los componentes del mismo. En nuestro caso, dicha corriente produce dos caídas de tensión que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir: Expr. 1 Hasta aquí desconocemos los valores de estas caídas de tensión puesto que no conocemos el valor de la corriente. Sin embargo, es posible plantear un principio de solución si aplicamos los conceptos adquiridos en el capítulo titulado Circuitos en Régimen Alterno Senoidal. En efecto, sabemos que: La caída de tensión en la resistencia (fasor V R ) está en fase con la corriente (fasor I). La caída de tensión en el inductor (fasor V L ) adelanta 90º respecto de la corriente (fasor I). Esto nos permitirá trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal como el que se observa en la figura 2: Figura 2: Diagrama vectorial de corriente y tensiones del circuito R-L serie. El diagrama de la figura 2 responde a la expresión 1. En el mismo se observa que el vector representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector representativo de la corriente I. Este ángulo representa el desfasaje resultante entre tensión y corriente, y se ve que la tensión adelanta respecto de la corriente. El valor del ángulo φ depende de los valores de los módulos de V R y V L pero, por tratarse de un circuito R-L serie, dicho ángulo será siempre positivo. En base al diagrama de la figura 2, la expresión 1 se puede reescribir en la forma: 22-68

23 Expr. 2 De la expresión 2 es posible obtener el módulo del vector V aplicando el Teorema de Pitágoras, y el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesivamente: Expr. 3 Expr. 4 En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y tensión del circuito R-L serán, en general: Expr. 5 Expr. 6 Si ahora dividimos cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 2 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama de impedancia correspondiente al circuito R-L, tal como se muestra en la figura 3: Figura 3: Obtención del diagrama de impedancias a partir del diagrama de tensiones. El diagrama (o triángulo) de impedancia de la figura 3 nos muestra que la impedancia Z de nuestro circuito es un vector que, en general, puede escribirse en la forma exponencial, o bien en la forma binómica; ambas formas se indican, respectivamente, en las expresiones 7 y 8: Expr. 7 Expr. 8 Mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras podremos calcular el módulo Z del vector impedancia, tal como indica la expresión 9, y mediante la expresión 10 calcularemos el ángulo de dicho vector: Expr. 9 Expr. 10 Ahora estamos en condiciones de calcular la impedancia del circuito. calcularemos la reactancia inductiva X L : En primer lugar, 23-68

24 Mediante la expresión 9 calculamos el módulo de la impedancia: Mediante la expresión 10 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia: En definitiva, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-L es:... o bien, expresada en su forma binómica: Esta última expresión es la que permite dibujar el diagrama o triangulo de impedancias del circuito que estamos analizando, y que se representa en la figura 4: Figura 4: Diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-L del ejemplo (en escala). Ahora, conociendo los valores de las componentes de la impedancia del circuito (R y X L ), podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo. Puesto que poseemos el dato de la tensión de alimentación, aplicaremos la Ley de Ohm: El resultado obtenido muestra que dado que el circuito es de carácter inductivo, la corriente debe estar atrasada respecto de la tensión de alimentación. A partir de aquí estamos en condiciones de calcular las caídas de tensión que se producen en el circuito. La caída de tensión en el resistor es: 24-68

25 Con este resultado vemos que, como no podía ser de otra manera, la caída de tensión en el resistor está en fase con la corriente. Por otra parte, la caída de tensión en el inductor vale: Como era previsible, este resultado nos confirma que la caída de tensión en el inductor adelanta 90º respecto de la corriente. Figura 5: Resumen gráfico de los resultados obtenidos del circuito R-L serie. Este diagrama recibe el nombre de triangulo de tensiones CIRCUITO R-C SERIE Figura 6: Circuito R-C serie. Se indican la corriente y las dos caídas de tensión que se producen en el mismo. Para el circuito de la figura 6 propondremos los siguientes datos: Nuevamente, y por tratarse de un circuito serie, la corriente es el elemento común a los componentes del mismo. Dicha corriente (hasta aquí de valor desconocido) produce dos caídas de tensión que sumadas deben verificar la Segunda Ley de Kirchoff; de esta manera, es posible escribir: 25-68

26 Expr. 11 Los valores de estas caídas de tensión también se desconocen. Pero, otra vez, es posible plantear una solución aplicando los conceptos resultantes del capítulo de Circuitos en Régimen Alterno Senoidal. Allí concluimos que: La caída de tensión en la resistencia (fasor V R ) está en fase con la corriente (fasor I). La caída de tensión en el capacitor (fasor V C ) atrasa 90º respecto de la corriente (fasor I).... en base a lo cual podremos trazar un diagrama vectorial cualitativo de corriente y tensión, tal como el que se representa en la figura 7: Figura 7: Diagrama vectorial de corriente y tensiones del circuito R-C serie. El diagrama de la figura 7 es la representación gráfica de la expresión 11. En él se ve que el vector representativo de la tensión V forma un ángulo φ con el vector representativo de la corriente I. Este ángulo representa el desfasaje resultante entre la tensión de alimentación del circuito y la corriente, y se aprecia que la tensión adelanta respecto de la corriente. El valor del ángulo φ depende de los valores de los módulos de V R y V C pero, por tratarse de un circuito R-C serie, dicho ángulo será siempre negativo. En base al diagrama de la figura 7, la expresión 11 se puede reescribir en la forma: Expr. 12 De la expresión 12 se obtiene el módulo del vector V aplicando el Teorema de Pitágoras, y también el ángulo del vector V empleando la trigonometría; entonces, sucesivamente: Expr. 13 Expr. 14 En resumen, si tomamos el vector de corriente como referencia, los fasores de corriente y tensión del circuito R-C serán, en general: Expr. 15 Expr. 16 Dividiendo cada uno de los fasores del diagrama de tensiones de la figura 7 por el fasor de la corriente, obtendremos el diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C, que se muestra en la figura 8: 26-68

27 Figura 8: Obtención del diagrama de impedancias a partir del diagrama de tensiones. La composición entre los vectores representativos de la resistencia y de la reactancia capacitiva nos ha dado como resultado el vector representativo de la impedancia. Este vector puede ser expresado en cualquiera de las dos formas siguientes, según la necesidad operativa: Expr. 17 Expr. 18 El Teorema de Pitágoras nos permitirá calcular el módulo Z del vector impedancia (expresión 19), mientras que la trigonometría nos permitirá calcular el ángulo φ de dicho vector (expresión 20): Expr. 19 Expr. 20 Para calcular la impedancia del circuito, en primer lugar, hallaremos el valor de la reactancia capacitiva X C : Mediante la expresión 19 calculamos el módulo de la impedancia: Mediante la expresión 20 calculamos el argumento (o ángulo) de la impedancia Z: Por lo tanto, el valor de la impedancia de nuestro circuito R-C es, expresado en forma exponencial:... mientras que expresado en forma binómica es: 27-68

28 Esta última expresión permite dibujar, en escala, el triángulo de impedancias correspondiente al circuito bajo análisis: Figura 9: Diagrama o triángulo de impedancias del circuito R-C del ejemplo (en escala). Conociendo el valor de la impedancia del circuito, podremos calcular la intensidad de la corriente que circula por el mismo aplicando la Ley de Ohm: Tal como era de esperar, el carácter capacitivo de la impedancia del circuito hace que la corriente esté adelantada un cierto ángulo respecto de la tensión de alimentación. Luego, el conocimiento del valor de la corriente permite calcular los valores de las caídas de tensión que se producen en el circuito. La caída de tensión en el resistor es: Nuevamente, la caída de tensión en el resistor está en fase con la corriente. Por otra parte, la caída de tensión en el capacitor vale: Se verifica que la caída de tensión en el capacitor retrasa 90º respecto de la corriente. Con los resultados obtenidos podemos construir el diagrama vectorial de tensiones, que también se denomina triángulo de tensiones. Este diagrama se encuentra representado en la figura 10, y en él se aprecia la relación de fase entre cada una de las caídas de tensión, la tensión de alimentación y la corriente que circula por el circuito

29 Figura 10: Diagrama vectorial de tensiones del circuito R-L serie CIRCUITO R-L-C SERIE Figura 11: Circuito R-L-C serie. Se indican la corriente y las tres caídas de tensión que se producen en el mismo. Para el circuito de la figura 11 propondremos los mismos valores de componentes empleados en los dos ejemplos anteriores. Así, los datos son los siguientes: Puesto que ya conocemos los valores de las reactancias inductiva y capacitiva, podemos dibujar en forma inmediata, y en escala, el diagrama de impedancias correspondiente a este circuito: Figura 12: Construcción del diagrama de impedancias del circuito R-L-C serie

30 El diagrama de impedancias de la figura 12 responde a la siguiente expresión matemática:... o bien: Expr. 21 El módulo Z del vector impedancia será calculado mediante el Teorema de Pitágoras:... mientras que el argumento de dicho vector se obtiene de la expresión: Expr. 22 Expr. 23 Luego, los resultados obtenidos a partir de las expresiones 22 y 23 nos permitirán escribir el valor del vector impedancia en su forma exponencial ya conocida, que es: Entonces, si reemplazamos los valores conocidos en la expresión 21 tendremos: Expr. 24 Este último resultado pone de manifiesto que el circuito R-L-C que hemos planteado posee una impedancia equivalente formada por una resistencia de 100 Ω conectada en serie con un inductor cuya reactancia es de 135,5 Ω cuando la frecuencia del generador es de 50 Hz. Aquí debe observarse que si el valor de la frecuencia fuese otro, la componente imaginaria X L -X C también poseería un valor diferente al actual, puesto que tanto X L como X C dependen de la frecuencia. Mediante la expresión 22 calcularemos el modulo Z de la impedancia: Mediante la expresión 23 calcularemos el argumento φ de la impedancia: Por lo tanto, la notación exponencial de la impedancia de este circuito es: La corriente que circula por el circuito es: 30-68

31 La caída de tensión en cada uno de los componentes es: Figura 13: Construcción en escala del diagrama fasorial de tensiones del circuito R-L-C serie. El diagrama de la izquierda representa a cada una de las caídas de tensión con su ángulo de fase respecto de la corriente. El diagrama central representa la suma vectorial de las caídas de tensión. El diagrama de la derecha es el resultado de dicha suma. Figura 14: Diagrama vectorial de tensiones y corriente del circuito R-L-C serie. A la derecha se observan las señales senoidales correspondientes a cada una de las caídas de tensión, la tensión de alimentación y la corriente. Estas señales son el resultado de los vectores giratorios armónicos

32 En este punto resulta de interés analizar qué ocurre a la hora de efectuar mediciones de tensión y corriente en los circuitos de corriente alterna senoidal que contienen componentes reactivos. Tal como hemos visto en el presente capítulo, tensiones y corrientes están caracterizadas por un módulo que equivale a su valor numérico, y por un argumento o ángulo que se mide respecto de un eje de referencia. En otras palabras, las tensiones y las corrientes son magnitudes vectoriales (rigurosamente, fasoriales). Pero la gran mayoría de los instrumentos de medición (voltímetros y amperímetros, tanto analógicos como digitales) que se emplean en la práctica sólo miden el módulo (el valor eficaz) de la tensión o de la corriente, pero no la fase. Con el fin de dejar en claro lo expresado, la figura 15 muestra el circuito R-L-C serie bajo análisis en el que se han incluido cinco voltímetros destinados a medir simultáneamente las caídas de tensión y la tensión de alimentación. El valor de tensión indicado por cada uno de los voltímetros será: El voltímetro V1 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el resistor R, es decir, el módulo del fasor V R. O sea: V R = 60,7 V. El voltímetro V2 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C, es decir, el módulo del fasor V C. O sea: V C = 60,7 V. El voltímetro V3 indica el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L, es decir, el módulo del fasor V L. O sea: V L = 143 V. El voltímetro V4 indica la sumatoria entre el valor eficaz de la caída de tensión en el capacitor C y el valor eficaz de la caída de tensión en el inductor L (la diferencia de potencial entre el borne izquierdo del capacitor y el borne derecho del inductor), es decir, el módulo del fasor V L - V C. O sea: V L -V C = 82,3 V. El voltímetro V5 indica el valor eficaz de la tensión de alimentación, es decir, el módulo del fasor V. O sea: V = 100 V. Figura 15: Medición de tensiones en el circuito R-L-C serie. (Ver texto) POTENCIA EN EL CIRCUITO R-L-C SERIE Luego de haberse calculado la impedancia, la corriente y las caídas de tensión del circuito, resulta de interés determinar cuál es la potencia eléctrica puesta en juego en el mismo. Teniendo en cuenta que los circuitos analizados en el apartado 4 del presente capítulo están conformados por componentes disipativos (los resistores) y por componentes reactivos (los inductores y/o los capacitores), será necesario evaluar qué cantidad de potencia es disipada en forma de calor (trabajo útil) y qué cantidad de potencia es devuelta por los componentes reactivos al generador (trabajo no útil). Para dar continuidad al análisis que venimos desarrollando, y sin desmedro de los circuitos R-L y R-C serie, adoptaremos el caso del circuito R-L-C serie por ser el de carácter más general. Para ello haremos uso de la figura 16. A la izquierda de dicha figura se reitera el diagrama de tensiones de la figura 13, y que da lugar al triangulo de tensiones que se observa en el centro de la 32-68

33 figura 16. Entre los catetos e hipotenusa de este triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas:... de la que se obtiene que: Expr de la que se obtiene que: Expr. 26 Figura 16: Triángulo de tensiones y obtención del triángulo de potencias del circuito R-L-C serie. Es sabido que si se multiplican los lados de un triángulo por un mismo número se obtiene como resultado un triángulo semejante (con idénticos ángulos internos que el primero). En este sentido, si multiplicamos cada uno de los lados del triángulo rectángulo de las tensiones por el módulo de la corriente obtendremos el triángulo de potencias, que se observa a la derecha de la figura 16. En efecto, si multiplicamos la expresión 25 por la corriente I obtendremos: Expr. 27 La expresión 27 representa la Potencia Activa P, que se desarrolla en la resistencia R y que, por lo tanto, se disipa en forma de calor. En otras palabras, es la potencia eficaz o útil, y se mide en Watt [W]. Por otra parte, si multiplicamos la expresión 26 por la corriente I tendremos: Expr. 28 La expresión 28 representa la Potencia Reactiva Q, que es la potencia que, alternativamente, el generador entrega a los componentes reactivos del circuito y que éstos devuelven íntegramente al generador. Por lo tanto, ésta es una potencia que se genera pero que no se aprovecha. La potencia reactiva se mide en una unidad denominada Volt-Ampère-Reactivo, y se simboliza [V.A.R]. Por último, si multiplicamos la tensión de alimentación V del circuito (la hipotenusa del triángulo rectángulo) por la corriente I tendremos: Expr

34 La expresión 29 representa la Potencia Aparente S, que es la potencia total que el generador entrega al circuito. La unidad en que se mide la potencia aparente es el Volt-Ampère, que se simboliza [V.A]. Así, estamos en condiciones de calcular los valores de las potencias del circuito R-L-C serie. Aplicando la expresión 27, la Potencia Activa P vale: Empleando la expresión 28, la Potencia Reactiva Q es: Con la expresión 29 obtenemos la Potencia Aparente S: RESONANCIA DEL CIRCUITO R-L-C SERIE En el análisis de la impedancia del circuito R-L-C serie (apartado 4.3 de este capítulo) se concluyó que el carácter de la componente imaginaria X L -X C depende exclusivamente de la frecuencia una vez que se han fijado los valores de L y C. Es decir que, según sea el valor de la frecuencia, la serie L-C se podrá comportar como un inductor equivalente, o bien como un capacitor equivalente. Pero también puede ocurrir que la componente imaginaria de la impedancia sea nula. Expr o bien:... o bien: Expr. 31 Expr. 32 La igualdad de la expresión 32 puede cumplirse en las siguientes tres condiciones: Cuando la inductancia posea el valor particular L=L O dado por la expresión: Expr. 33 Cuando la capacidad posea el valor particular C=C O dado por la expresión: Expr

35 Cuando la frecuencia posea el valor particular f=f O, denominada frecuencia de resonancia, que está dado por la expresión: Expr. 35 Se dice que un circuito tipo serie se encuentra en estado de resonancia cuando la componente imaginaria de su impedancia es nula. En definitiva, el cumplimiento de cualquiera de las tres condiciones analizadas hace que la componente imaginaria de la impedancia se anule, razón por la cual la expresión 21 se convierte en: La expresión 36 permite adelantar algunas conclusiones iniciales de suma importancia: Expr Cuando el circuito R-L-C serie se encuentra en estado de resonancia la impedancia del mismo alcanza su valor mínimo, y éste coincide con el valor de la resistencia R. 2. Puesto que la impedancia alcanza su valor mínimo, el valor de la corriente del circuito es el máximo posible. 3. Puesto que la impedancia del circuito es de carácter resistivo puro, la corriente del circuito está en fase con la tensión de alimentación, es decir que φ=0. 4. La potencia reactiva Q es nula. 5. La potencia activa P es igual a la potencia aparente S. Entonces, continuando con nuestro ejemplo de circuito R-L-C serie, calcularemos el valor de la frecuencia que debería tener el generador de tensión para que el circuito entre en estado de resonancia. Posteriormente determinaremos las consecuencias mediatas que se desprenden de dicho estado. Reemplazando los valores conocidos de L y C en la expresión 35 tendremos: Por lo tanto, y de acuerdo con la expresión 36, la impedancia en estado de resonancia es: En consecuencia, el nuevo valor de la corriente, que es la corriente de resonancia, será: Puesto que la frecuencia de funcionamiento del generador ha sido modificada, será necesario calcular los nuevos valores de las reactancias inductiva y capacitiva (XL O y XC O 35-68

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