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19 Convolución y Convolución Discreta Definición de convolución Cuando hemos aplicado, en el apartado anterior, una función ventana o hemos muestreado una función dada, implícitamente hemos estado efectuando una operación de convolución que ha sido denotada con un símbolo (*) en las figuras 4.3, 4.4 y 4.5. Esta operación se produce de forma inevitable en el dominio tiempo, cuando tenemos un producto de espectros en el dominio frecuencia, o viceversa, cuando tenemos un producto de funciones en el dominio tiempo, ocurriendo una convolución en el dominio frecuencia. Por eso, llegados a este punto es necesario definir la operación convolución y conocer cuáles son sus principales propiedades. En consecuencia, definimos la convolución de dos funciones temporales como (Brigham, 1988) h 2 = = τ (t) f1 (t)*f2(t) f1( )f (t τ)dτ esta operación puede llevarse a cabo mediante la transformada de Fourier, cuando notamos que (Bath, 1974) f1(t) F 1( ω) f (t) F ( ω) 2 2 f 2 1(t)*f2(t) F1 ( ω)f ( ω) = H( ω) h(t) donde H(ω) es el espectro de Fourier de la función h(t) resultante de la convolución. Entonces si quiero conocer la convolución de dos funciones, en lugar de resolver la integral correspondiente, es más rápido obtener los espectros de Fourier de cada una de ellas y luego multiplicarlos. Análogamente hubiéramos podido definir la convolución en el dominio frecuencia, pues esta propiedad es igualmente cierta para dicha operación (Bath, 1974; Brigham, 1988). Así, notamos que la transformada de Fourier es una herramienta muy útil, para realizar multitud de operaciones habituales en el análisis de datos.

20 Teorema de Parseval Este importante teorema nos permite relacionar lo que se llama energía total de una función f(t), definida como 2 f (t) dt con el espectro de potencia de dicha función f(t) definido como mediante la expresión (Bath, 1974) f (t) 2 1 dt = 2π F( ω ) F( ω) dω = π 0 F( ω) donde debemos notar que el espectro de fase no juega ningún papel, para obtener la energía total de una función, pues ella se obtiene a través del espectro de potencia, que se escribe únicamente en función del espectro de amplitud. Esta propiedad será importante en el análisis de señales digitales, pues en muchas aplicaciones nos interesa determinar y conocer la potencia o energía asociada con una señal, más que esa señal propiamente dicha. 2 dω Convolución discreta Dado que las funciones empleadas en la operación de convolución deben ser discretizadas, como se indicó en el apartado anterior, puesto que para computar esta operación con un ordenador no tenemos otra forma de actuar, es necesario saber cómo actúa la transformada de Fourier, cuando realiza una convolución discreta. Para ello, vamos a considerar como ejemplo las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a). El resultado teórico de realizar la convolución de dichas funciones es la función y(t), representada también en la figura 5.1(a). En primer, lugar muestreamos las funciones x(t) y h(t), tal como indica la figura 5.1(b), considerando un valor N (= 9) de muestreo total menor que la suma de P (= 6) y Q (= 6), siendo éstos últimos valores el número de muestras de la forma de onda de las funciones consideradas. Vemos entonces que se produce una distorsión del resultado, en comparación con el resultado que tendría que producirse teóricamente (figura 5.1(a)), si la convolución discreta estuviera bien realizada. Vemos que la función y(t) producida por la convolución discreta está truncada al final (figura 5.1(b)), parece que ha faltado espacio de muestreo para que se reproduzca el resultado completo esperado, a la vista de la figura 5.1(a). Puede comprobarse que este problema sucederá siempre que N < P + Q 1 (Brigham, 1988).

21 Fig Convolución continua y discreta: forma correcta de muestrear las funciones. En consecuencia, la regla de oro que debe respetarse en cualquier operación de convolución discreta, es que el muestreo total N de las funciones a considerar en la convolución, debe ser como mínimo N = P + Q 1, pues con valores de N más pequeños tenemos un problema como el mostrado en la figura 5.1(b). Esto puede comprobarse en la figura 5.1(c), en la cual se ha considerado N = = 11, obteniéndose buenos resultados.

22 En la figura 5.1(d) podemos ver que valores de N mayores que P + Q 1, también son posibles y dan buenos resultados, pero la realidad es que no mejoran en nada el resultado obtenido en la figura 5.1(c), siendo estos procedimientos más costosos en tiempo de computación, pues el ordenador debe calcular los valores de puntos que realmente no tienen ninguna información. Por ello, debemos quedarnos con el número mínimo de puntos N, que sea necesario para realizar bien la computación (N = P + Q 1), ya que, en caso contrario estamos desperdiciando recursos de computación. En este sentido, si queremos utilizar un gran número de puntos N, como en la convolución ilustrada en la figura 5.1(e), debemos disminuir la razón de muestreo de tal forma que incrementemos también los valores de P y Q, para que siempre se mantenga que Ν = P + Q 1. Observando ahora que los resultados de la convolución mostrados en la figura 5.1(e), son más parecidos al resultado teórico mostrado en la figura 5.1(a), que el resultado mostrado en la figura 5.1(c).

23 Correlación y Correlación Discreta Definición de correlación Otra importante aplicación de usar el análisis espectral, es la posibilidad de calcular la correlación de dos funciones, definida como la integral (Brigham, 1988) = = τ + τ τ z (t) x(t) h(t) x( )h(t )d esta operación puede llevarse a cabo mediante la transformada de Fourier, cuando notamos que (Bath, 1974) x(t) X( ω) * x(t) h(t) H( ω)x ( ω) = Z( ω) z(t) h(t) H( ω) donde Z(ω) es el espectro de Fourier de la función z(t) resultante de la correlación. Entonces si quiero conocer la correlación de dos funciones, en lugar de resolver la integral correspondiente, es más rápido obtener los espectros de Fourier de cada una de ellas y luego multiplicarlos, teniendo en cuenta que el segundo espectro es el complejo conjugado del original. Correlación discreta Dado que las funciones empleadas en la operación de correlación deben ser discretizadas, como se indicó en el apartado anterior, puesto que para computar esta operación con un ordenador no tenemos otra forma de actuar, es necesario saber cómo actúa la transformada de Fourier, cuando realiza una correlación discreta. Para ello, vamos a considerar como ejemplo las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a), discretizadas en la forma en la que aparecen en la figura 6.1(a). En esta operación tendremos también en cuenta la regla de oro descubierta en el apartado anterior, cuando estudiábamos los resultados de la convolución discreta. Esta regla nos dice que N = P + Q 1. No obstante, en la correlación vemos que el orden en el que llevemos a cabo esta operación afecta al resultado final (Brigham, 1988), tal y como puede verse en las figuras 6.1(b) y 6.1(c). Por otra parte, el poner un gran número de ceros nos obliga a consumir recursos de computación, para calcular valores de puntos que no tienen ninguna información.

24 Fig Correlación discreta: efecto del cambio de orden en la correlación. Fig Correlación discreta con reestructuración de datos.

25 En consecuencia, debemos encontrar una forma más adecuada para realizar esta operación, sin desperdiciar recursos de computación en calcular valores para puntos que no tienen ninguna información. En este sentido, si volvemos a muestrear las funciones x(t) y h(t), representadas en la figura 5.1(a), en la forma en la que aparecen en la figura 6.2(a). Notamos que el resultado no sale como esperábamos (figura 6.1(b) o 6.1(c)). En la figura 6.2(b) el resultado aparece partido en dos trozos. Para evitar este problema, sin tener que incorporar muchos puntos adicionales sin información, podemos reestructurar los datos de la función x(t), muestreándola como indica la figura 6.2(c). Obteniendo ahora el resultado correcto, mostrado en la figura 6.2(d), en la que vemos que se han considerado el menor número posible de espacio vacío, para utilizar del modo más eficiente los recursos de computación. Prof. Dr. Víctor Corchete Department of Applied Physics Higher Polytechnic School - CITE II(A) UNIVERSITY OF ALMERIA ALMERIA. SPAIN FAX: corchete@ual.es