Ecuación Solución o raíces de una ecuación.

Transcripción

1

2 Euaión Igualdad que ontiene una o más inógnitas Soluión o raíes de una euaión. Valores de las inógnitas que umplen la igualdad. 15 = 3x = 3x 9 = 3x 3 = x on

3 Existen diversos métodos de hallar la soluión de euaiones en una variable entre las uales se tienen: o o o Método analítio. Método grafio. Método numério.

4 Hallar la soluión. Apliamos la formula uadrátia Como resultado se obtiene x = 2 x = 3

5 % Definir polinomio >>p=[ ]; % Soluión o Raíes >>R=roots(p) % Definir polinomio >>syms x; >>p=2*x^2 + 10*x + 12 %Soluión o Raíes >>R=solve(p) Manejo vetorial Matemátia simbólia

6 Enontrar de la región omprendida entre las grafias f(x) y g(x) on

7

8 Considerando iniialmente, el problema de enontrar una raíz de una funión no-lineal on dominio y valores reales, es deir, se resuelve la euaión: on f:[a,b] R f (x) = 0

9 f(x) Suponiendo que f es ontinua, on una sola raíz la ual pertenee al intervalo [a, b] Trabajaremos los métodos de: Biseión, Newton y Seante x

10

11 Aplia si f(x) es una funión ontinua en el intervalo [a, b] on f(a) y f(b) on signos opuestos. f(a) 0 a b f(b)

12 De auerdo on el teorema del valor medio, existe α [a,b] tal que f (α) = 0. El método onsiste en dividir a la mitad el intervalo y loalizar la mitad que ontiene a α. El proesos se repite hasta la lograr la preisión deseada.

13 Primera iteraión del algoritmo y f (a) Mitad del intervalo que ontiene a α y = f (x) f( 1 ) b a α f (b) x 1 =(a+b)/2

14 y Segunda iteraión del algoritmo Mitad del intervalo que ontiene a α f (a) a = 1 α y = f (x) f ( 2 ) b f (b) x 2 =(a+b)/2

15 1. Sea f(x) ontinua 2. Enontrar valores iníiales [a, b] tales que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, es deir: f(a) f(b) < 0 3. La primera aproximaión a la raíz se toma igual al punto medio entre a y b : = a + b 2

16 4. Al evaluar f se puede aer en uno de los siguientes asos Para poder seleionar uno de los intervalos se debe tener en uenta en ual de ellos se enuentra la raíz

17 4. para ello evaluamos f (a) f () < 0 Si f(a) y f() tienen signos opuestos la raíz se enuentra en el intervalo [a, ] Por otra parte si f(a) y f() tienen el mismo signo, entones la raíz se enuentra en el intervalo [, b]. Pero si f (a) f () = 0 este aso se tiene que f() = 0, y por lo tanto ya enontramos la raíz.

18 El proeso se vuelve a repetir on el nuevo intervalo, hasta que: es deir, e a Tol b Tol

19 o Se aplia a funiones analítias o Robusto o Deteta singularidades o El método siempre onverge

20 o Lento o No usa toda la informaión de la funión o No deteta eros en mín. o máx. loales o No deteta un número par de eros

21 a b f(x) x f(a) f(b) f() 2 b a 0 ) ( ) ( b f a f? 0 ) ( ) ( f a f Tol b a noo b sii

22 b a f(x) x f(b) f(a) 2 b a 0 ) ( ) ( b f a f? 0 ) ( ) ( f a f Tol b a noo b sii

23 Hallar la raíz de la expresión f x = e x x Con un error aproximado menor al 1% Soluión: se toma el intervalo [0,0.5] [0,1] [0,10]

24 f x = e x x fa f < 0? = a + b 2 Ea = a 100 Iteraión a b f(a) f(b) f() e a % α=

25 f x = e x x % Definir funión >>syms x; >>y=exp(-x)-x; % evaluar op1 >>a=1; >>yl=inline(y); >>ya=yl(a); % evaluar op2 >>b=0; >>yb=vpa(subs(y,b),6)

26 Resolver y 10x 3 61x 2 86x 8 Con una tolerania de 2 ifras signifiativas exatas.

27 Primero grafiamos la funión para ver la raíz el intervalo que vamos seleionar

28 Para este ejeriio se toma el intervalo [-1,0] y se verifia que la validez del intervalo mediante y( a) y( b) 0 Entones y1 27 y0 8 por tanto el intervalo es válido. y 1 y

29 Analizamos la tolerania on la formula donde k=2 entones Tol= Ahora llenamos la tabla utilizando para este ejeriio las formulas

30 Y un error absoluto a b Y a Y Y b e a Reuerda se debe validar el nuevo intervalo y( a) y( ) 0 sii noo b a

31

32 La onentraión (t) de una bateria ontaminante en un lago deree según la expresión: t = 80e 2t + 20e 0.5t Siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se neesita para que el número de baterias se reduza a siete.

33 ASMAR, Ivan. MÉTODOS NUMÉRICOS, UN PRIMER CURSO. Universidad Naional, VELÁZQUEZ Z. Jorge y OBESO, Virgilio. ANÁLISIS NUMÉRICO, NOTAS DE CLASE. Ediiones Uninorte,2007. CHAPRA,Steven C. y CANALE, Raymond P. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS. Méxio: MGraw-Hill