Si R=1.00 [kω] y ε=250 [V] en la figura 1, determine la dirección y magnitud de la corriente en el alambre horizontal entre a y e.

Transcripción

1 0.1. Ciruito. Si R=1.00 [kω] y ε=250 [V] en la figura 1, determine la direión y magnitud de la orriente en el alambre horizontal entre a y e. b R 2R d ε 4R 3R 2ε a e Soluión: Dibujemos las orrientes Figura 1: Bosquejo del iruito. I 1 I 2 b R 2R d ε I 4 4R 3R I 3 2ε a I 5 e Las euaiones de Kirhhoff Figura 2: El iruito on las orrientes. I 1 + I 2 = I 4 + I 3 I 4 = I 1 + I 5 ε = I 1 R + 4RI 4 2ε = 2I 2 R + 3I 3 R 0 = 3I 3 R 4I 4 R Esribiendo las euaiones on las orrientes omo inognitas I 1 +I 2 I 3 I 4 = 0 I 1 I 4 +I 5 = 0 RI 1 +4RI 4 = ε 2RI 2 +3RI 3 = 2ε +3RI 3 4RI 4 = 0 despejando I 3 = 4I 4 /3 e I 1 = I 4 I 5 reemplazando I 2 4I 4 /3 I 5 = 0 +5RI 4 RI 5 = ε 2RI 2 +4RI 4 = 2ε

2 despejando I 2 = 4I 4 /3 + I 5 tenemos 5RI 4 RI 5 = ε 20RI 4 /3 2RI 5 = 2ε Multipliamos la última euaión por -3/4 y sumamos El sentido es de a e. 5 2 RI 5 = 1 2 ε = I 5 = ε 5R = 0.05 [A]

3 0.2. Potenia máxima. Demostrar que si una batería de fem ε fija y resistenia interna R i se oneta a una resistenia exterior R, se suministra la máxima potenia a la resistenia exterior uando R = R i. Soluión: La potenia disipada en R es P = I 2 R La orriente en el iruito es I = ε/(r + R i ), luego Difereniando Igualando a ero la derivada P = ε 2 R (R + R i ) 2 dp dr = ε2 (R + R i ) 2 2ε 2 R(R + R i ) = ε 2 (R + R i) 2R (R + R i ) 4 (R + R i ) 3 dp dr = (R ε2 i R (R + R i ) = 0 = R = R 3 i

4 0.3. Campo magnétio de un ondutor on hueos en el diámetro. Un largo ondutor ilíndrio de radio a tiene dos avidades ilíndrias de diámetro a lo largo de toda su longitud, ver figura 3. Una orriente I se dirige haia fuera de la página y es uniforme por toda la seión transversal del ondutor. Enuentre la magnitud y la direión del ampo magnétio en los puntos P 1 y P 2. P 1 r a/2 P 2 a/2 r Figura 3: Condutor on dos hueos en el diametro. Soluión: Evaluemos la densidad uniforme de orriente ] I = J d a = JA = J [πa 2 2π a2 4 Por lo tanto, J = 2I πa 2 Luego el able ompleto de radio a lleva una orriente 2I y ada able de radio a/2 lleva una orriente I/2. la suma de los tres ables orresponde a la figura 3. Campo en el punto P 1 es B = [ 4I r ] I (r a/2) I ( ˆx) (r + a/2) sumando simplifiando En el punto P 2 B = I(16r2 4a 2 4r 2 2ar 4r 2 + 2ar) ( ˆx) (4r 2 a 2 )r B = 4I(a2 2r 2 ) (4r 2 a 2 )r ˆx [ B 4I = r I r d d I ] r (ŷ) d d

5 donde d 2 = r 2 + a 2 /4. Sumando B = I(16r2 + 4a 2 4r 2 4r 2 ) ŷ (4r 2 + a 2 )r simplifiando B = 4I(2r2 + a 2 ) (4r 2 + a 2 )r ŷ

6 0.4. Campo magnétio de una espira mitad uadrada mitad irular. La espira en la figura 4 ondue una orriente I. Determine el ampo magnétio en el punto A en funión de I y R. R L_ 2 A L I Figura 4: Espira. Soluión: Separemos la espira en un semiírulo superior de radio R y la mitad de un uadrado de ara L. Comenzemos por el semiírulo Ahora los segmentos retos B si = I π 0 Rdθ R 2 ẑ = πi Rẑ B su = I R R dx R R 2 + x 2 R2 + x ẑ 2 luego usando: tenemos B su = 2IRẑ B su = 2IRẑ R 0 dx (R 2 + x 2 ) 3/2 dx (x 2 + a 2 ) = x 3/2 a 2 x 2 + a 2 x R 2 x 2 + R 2 R 0 = 2IRẑ R R 3 2 = 2Iẑ R 2 Multipliamos por dos para obtener toda la ontribuión de la parte uadrada. Sumando ambas ontribuiones [ B A = πi R 4I ] R ẑ 2 finalmente B A = I R [ 2 ] 2 + π ẑ

7 0.5. Induión en espira semiirular. Un ondutor semiirular de radio R se hae girar en torno al eje a una rapidez angular onstante ω (ver figura 5). Un ampo magnétio uniforme en toda la mitad inferior de la figura se dirige haia fuera del plano de rotaión y tiene una magnitud de B.Soluión: i) Calule el valor máximo de la fem induida en el ondutor. ii) Cuál es el valor de la fem induida promedio para ada rotaión ompleta? ω R Figura 5: Espira semiirular girando en un ampo magnétio. Soluión: El flujo depende de la posiión instantanea de la espira. Supongamos que a tiempo ero la espira está perpendiular al ampo, luego el flujo Φ(t) = B d a = B πr2 2 os(ωt) donde ω = 2π/T Evaluamos la fem ε(t) = Bω πr2 sen ωt 2 La fem máxima será uando sen ωt = 1, es deir Si promediamos ε = 1 T E máx = BωπR2 2 T 0 BωπR 2 sen ωtdt 2 Sólo entre π/2 y π/2 el flujo es distinto de ero el flujo por lo tanto ε = bωπr2 2T π/2 π/2 sen ωtdt = 0

8 0.6. Espira que varía en tamaño en ampo que varía en intensidad. Considere una espira irular uyo radio ree linealmente en el tiempo. La espira está en una región en la ual hay un ampo magnétio uniforme perpendiular a ésta. Calule la fem induida en los siguientes asos: i) La intensidad del ampo magnétio ree en forma uadrátia en el tiempo. ii) La intensidad del ampo magnétio es onstante en el tiempo. iii) La intensidad del ampo magnétio deree proporional a 1/t 2. Soluión: Supongamos que el radio es nulo a tiempo ero y luego ree linealmente r = vt omo el ampo es uniforme, el flujo será Φ(t) = B(t)A(t) = B(t)πv 2 t 2. i) Si B(t) = bt 2, luego el flujo es Φ(t) = bπv 2 t 4 luego la fem en este aso será ε = 1 dφ dt = t 3 4bπv2 ii) Si B(t) = B 0, luego el flujo es Φ(t) = B 0 πv 2 t 2 luego la fem en este aso será ε = 1 dφ dt = 2B 0πv 2 t iii) Si B(t) = b t 2, luego el flujo es Φ(t) = b πv 2 luego la fem en este aso será ε = 1 dφ dt = 0