Aplicaciones de ED de segundo orden

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1 CAPÍTULO 5 Apliaiones de ED de segundo orden 5.. Vibraiones amoriguadas libres Coninuando el desarrollo del esudio de las vibraiones, supongamos que se agrega ahora un disposiivo meánio (amoriguador) al sisema masa-resore que iene el efeo de reduir la veloidad de la masa uando el sisema se enuenra vibrando (véase la figura a oninuaión). k x 0 m El amoriguador ejere una fuerza dependiene de la veloidad de la masa; enre mayor sea la veloidad, mayor es la fuerza que ejere. Por simpliidad supondremos que esa fuerza en magniud es proporional a la rapidez, es deir: j F A j D j v./ j, donde > 0 es la onsane de proporionalidad. Enones, la fuerza que ejere el amoriguador es F A D v./ D dx d ; donde el signo negaivo india que la fuerza de amoriguaión va en senido onrario a la veloidad del uerpo. La fuerza oal ejerida sobre la masa es, enones: lo que se puede esribir omo: 1. anek.az.uam.mx: 3/ 9/ 010 F D F R C F A D kx dx d ; donde F R es la fuerza del resore, m d x d C dx d C kx D 0 o bien omo mx 00./ C x 0./ C kx./ D 0: (5.1) 1

2 Euaiones difereniales ordinarias La euaión (5.1) modela el movimieno amoriguado de la masa. En ese aso, la fuerza de amoriguaión produe una pérdida de energía en el sisema masa-resore, pues ahora no se saisfae la euaión de onservaión de la energía (??) en la página (??). Es de noar que odos los parámeros del modelo (m, y k) son anidades posiivas. La misma euaión diferenial modela al sisema masa-resore oloado verialmene. La euaión araerísia de la euaión diferenial es Las dos soluiones de esa euaión uadráia son mr C r C k D 0: r 1 D C p 4mk m & r D p 4mk : (5.) m El signo del radiando 4mk deermina el ipo de movimieno del sisema. Tenemos res posibilidades: que el radiando en uesión sea posiivo, negaivo o ero. Analizemos a oninuaión ada uno de esos asos. Movimieno sobreamoriguado 4mk > 0, es deir > p 4mk En el aso 4mk > 0 las dos raíes que apareen en (5.) son diferenes y ambas son negaivas, eso implia direamene que la soluión de la ED lineal homogénea es x./ D 1 e r 1 C e r ; on r 1 D C p 4mk m & r D p 4mk : (5.3) m Las dos funiones exponeniales que apareen en (5.3) son dereienes, en onseuenia, no se espera vibraión alguna y el sisema iende rápidamene a regresar a su posiión de equilibrio, por esa razón deimos que el movimieno es sobreamoriguado. La forma explíia del movimieno depende de las ondiiones iniiales, que además sirven para deerminar las onsanes 1,. Por ejemplo, onsideremos el aso de un sisema masa-resore-amoriguador on ondiiones iniiales x.0/ D x 0, v.0/ D 0. La primera ondiión x.0/ D x 0 se obiene evaluando la expresión (5.3) en el iempo D 0. Así obenemos: Derivando la euaión (5.3), obenemos: x 0 D x.0/ D 1 C : (5.4) v./ D 1 r 1 e r 1 C r e r : Evaluando en D 0, obenemos la segunda euaión a onsiderar, es deir, 0 D v.0/ D 1 r 1 C r : (5.5) El sisema de euaiones lineales (5.4) y (5.5) para 1, se puede resolver de diferenes formas; en ese aso, si seleionamos la regla de Cramer, obenemos: x r 1 D 1 1 D x 0r 1 x 0 r 1 0 I D r r 1 r 1 r 1 1 D x 0r 1 : r r 1 r 1 r Finalmene, susiuyendo en (5.3) obenemos la siguiene expresión para la posiión x0 r x./ D r 1 r e r 1 x0 r 1 e r D r 1 r r x0 r 1.r e r 1 r 1 e r /: (5.6)

3 Euaiones difereniales ordinarias 5 3 De la euaión (5.), enemos que p 4mk r r 1 D : m Eso nos permie simplifiar la euaión (5.6) de forma que x 0 m x./ D p 4mk.r e r 1 r 1 e r / D x 0 m p 4mk.r 1e r r e r 1 /: Ejemplo 5..1 Considere un sisema masa-resore-amoriguador on las onsanes siguienes: D 5 N s/mi m D kgi k D N/mI x 0 D 1 mi v 0 D 0 m/s: Resuelva la euaión diferenial y grafique la posiión en el iempo. H En ese aso la euaión diferenial por resolver es uya euaión araerísia es Como las dos raíes de esa euaión uadráia son d x d C 5dx C x D 0; d r C 5r C D 0: r 1; D /././ la soluión general de la euaión diferenial es D I 1 : x./ D 1 e C e 1 : Para deerminar las onsanes, neesiamos alular la veloidad y uilizar las ondiiones iniiales. La veloidad se obiene derivando la posiión y esá dada por v./ D 1 e 1 e : Si ahora uilizamos las ondiiones iniiales x 0 D 1 & v 0 D 0, obenemos el sisema de euaiones siguiene: 1 D 1 C I 0 D 1 1 : De la segunda euaión se iene D 4 1. Susiuyendo en la primera resula 1 D 1 3. Finalmene D 4. Así se obiene que la posiión en odo iempo esá dada por la expresión 3 x./ D 1 3 e C 4 3 e m; de donde es posible deerminar ano la veloidad omo la aeleraión, derivando una y dos vees: v./ D 3 e 3 e m/s & a./ D 4 3 e C 1 3 e m/s : Algunas observaiones ineresanes son las siguienes:

4 4 Euaiones difereniales ordinarias 1. Pasa m por la posiión de equilibrio? Para responder la preguna enonremos, si exise, el iempo en el que x./ D 0: x./ D 0 ) 1 3 e C 4 3 e D 0 ) 4 3 e D 1 3 e ) ) 4e e D 1 ) e 3 D 1 4 ) 3 ( ) 1 D ln 4 ) ) D 3. ln 4/ D.ln 4/I vemos que < 0: 3 Eso nos india que no hay 0 para el ual x./ D 0. Enones, m no pasa por la posiión de equilibrio.. Hay insanes en que la veloidad de m sea ero? Eso ourre si v./ D 0: v./ D 0 ) 3 e 3 e D 0 ) 3 e D 3 e ) ) e D e ) e e D 1 ) e 3 D 1 ) ) 3 D 0 ) D 0: Eso nos india que v./ D 0 solamene al iniio del movimieno. 3 Aún más, v./ < 0 uando < 0, lo que ourre uando > 0. Enones, en odo insane > 0 suede que v./ < 0, o sea, x 0./ < 0; lo que nos permie afirmar que la posiión x./ deree al paso del iempo. 3. Qué ourre on la posiión x./ y la veloidad v./ al paso del iempo? ( 1 lím x./ D lím!1!1 3 e C 4 ) 3 e D lím!1 D 1 ( ) ( ) 1 3 lím C 4!1 e 3 lím 1!1 ( ) lím v./ D lím!1!1 3 e 3 e D ( ) ( 1 3 lím!1 e 3 lím!1 e D lím!1 ) 1 e ( 1 3e C 4 3e D 0: ( 3e D 0: Eso es, al paso del iempo, la masa m iende a deenerse en la posiión de equilibrio. 3e ) ) D D 4. Las gráfias de x./ y v./ son las siguienes: x./ v./ 1

5 Euaiones difereniales ordinarias Por ora pare, la energía obenida on la suma de la energía inéia más la energía poenial esá dada por E D E C E p D 1 mv C 1 kx D D 1 9 D 1 9 4e 4 5e 4 3 e 3 e 1 C 3 e C 4 3 e D 8e 5 C 4e C e 4 8e 5 C 16e D 16e 5 C 0e : Claramene, esa energía no permanee onsane en el iempo y se va reduiendo hasa desapareer. Podemos afirmar que el amoriguador, en efeo, disipa energía del sisema masa-resore. Ejemplo 5.. Una masa de 5 kg se une a un resore de onsane k D 5 N/m y a un amoriguador de onsane D 6 Ns/m. La masa se suela del puno x 0 D 0:1 m, on veloidad v 0 D 1:94 m/s; deermine: 1. La posiión, veloidad y aeleraión de la masa en el iempo 0.. El iempo en que la masa ruza por la posiión de equilibrio y la veloidad en ese insane. 3. El iempo en que la veloidad de la masa es 0 m/s, así omo la posiión y aeleraión en ese insane. H La posiión x./ de m, on respeo a la posiión de equilibrio, esá dada por la soluión del PVI 5 d x d C 6dx d C 5x D 0; on x.0/ D 0:1 & x 0.0/ D 1:94: Proponiendo omo soluión x D e r, obenemos la euaión araerísia 5r C 6r C 5 D 0; uyas soluiones son r 1; D /.5/.5/ D D 5I 1 5 ; de donde inferimos que la posiión de la masa es y su veloidad esá dada por: Como en el iempo D 0 s, se iene que x 0 D susiuyendo en las dos euaiones previas que x./ D 1 e 5 C e 5 I v./ D 5 1 e e 5 : 0:1 m, on veloidad v 0 D 1:94 m/s, enones enemos 0:1 D 1 C I 1:94 D 5 1 0: :

6 6 Euaiones difereniales ordinarias Para resolver ese sisema usamos el méodo de Cramer: 0:1 1 1:94 0: 0:0 1:94 1 D 1 1 D 0: C 5 D 1:9 4:8 D 0:4I 5 0: 1 0:1 5 1:94 D 1 1 D 5 0: 1:94 0:5 0: C 5 D 1:44 4:8 D 0:3: 1. Con esos resulados, obenemos la posiión, y derivando la veloidad y la aeleraión de la masa en el iempo 0, x./ D 0:4e 5 C 0:3e 5 mi v./ D e 5 0:06e 5 m/si a./ D 10e 5 C 0:01e 5 m/s :. Observe que la masa ruza por la posiión de equilibrio uando x./ D 0 ) 0 D 0:4e 5 C 0:3e 5 ) 0:4e 5 D 0:3e 5 ) ) 0:4 0:3 D e5 5 D e 4 5 ) 4 ( ) 4 5 D ln ) 3 ) D 5 ( ) 4 4 ln 0:0599 s: 3 La veloidad en ese iempo es v.0:0599/ D e 5.0:0599/ 0:06e 0: :48 m/s: 3. La máxima separaión de la posiión de equilibrio se obiene uando la veloidad es ero; eso ourre uando v./ D 0 ) 0 D e 5 0:06e 5 ) e 5 D 0:06e 5 ) ) 0:06 D e 4 5 ) 4 ( ) ( ) D ln D ln ) 0:06 3 ) D 5 ( ) ln 0:7305 s. 3 En ese iempo, la posiión esá dada por Y la aeleraión es x.0:7305/ D 0:4e 5.0:7305/ C 0:3e 0: :489 m. a.0:7305/ D 10e 5.0:7305/ C 0:01e 0: :489 m/s : En efeo, omo la aeleraión es negaiva, se iene un máximo en la posiión.

7 Euaiones difereniales ordinarias 5 7 Por ora pare la aeleraión se anula uando 0 D 10e 5 C 0:01e 5 ) e 4 5 D 10 0:01 D 833:333 ) ) D 5 ln.833:333/ 1:4011 s. 4 Anes y después de ese iempo, el signo de la aeleraión es diferene, eso implia que la posiión iene en D 1:4011 un puno de inflexión. La posiión en ese iempo es x.1:4011/ D 0:4e 5.1:4011/ C 0:3e 1: D 0:63 m. Esos resulados nos permien onsruir la gráfia de la posiión, que podemos observar en la figura siguiene: x 0:48 0:7305 1:4011 Movimieno ríiamene amoriguado D p 4mk En ese aso las dos raíes de la euaión araerísia son iguales a r D soluión de la euaión diferenial homogénea es, ver (5.), página. La m x./ D. 1 C / e r 1 D. 1 C / e m : (5.7) La funión posiión oniene un érmino exponenial dereiene, ahora mulipliado por una funión lineal del iempo. Se espera que la posiión dereza haia la posiión de equilibrio sin vibrar. La manera en que lo haga dependerá de las ondiiones iniiales. Eso suede pueso que lím x./ D 0. Para ver eso!1 apliaremos la regla de L Hôpial: lím x./ D lím. 1 C /e!1!1 m 1 C D lím!1 e m D lím!1 m e m D 0: Ahora onsideremos, por ejemplo, que las ondiiones iniiales de un sisema masa-resore-amoriguador son x.0/ D x 0 ; v.0/ D v 0. Derivando la euaión (5.7), se obiene la veloidad. [ ] v./ D e m D e m : (5.8) ( ) m. 1 C / e m. 1 C / m Las ondiiones iniiales x.0/ D x 0 ; v.0/ D v 0 se aplian evaluando en D 0 las euaiones (5.7) y (5.8): x 0 D x.0/ D 1 I v 0 D v.0/ D 1 m : (5.9)

8 8 Euaiones difereniales ordinarias Resolviendo el sisema se obiene: 1 D x 0 & D v 0 C x 0 m : Susiuyendo en la euaión (5.7), obenemos finalmene que [ ( x./ D x 0 C v 0 C x 0 m ) ] e m : (5.10) Ejemplo 5..3 Considere un sisema masa-resore-amoriguador on las onsanes siguienes: D 4 Ns/m; m D kg; k D N/m; x 0 D 1 m; v 0 D 0 m/s: Enuenre la posiión en el iempo y elabore una grafia de ese movimieno. H La euaión diferenial del movimieno es d x d C 4dx C x D 0: d Cuya euaión araerísia es r C 4r C D 0, o sea, r C r C 1 D.r C 1/ D 0. Las dos soluiones de esa euaión son iguales a r D 1, de forma que la soluión de la euaión diferenial es Derivando obenemos la veloidad: x./ D 1 e C e D. 1 C /e : v./ D 1 e C e e D. 1 / e e : Las onsanes se deerminan uilizando las ondiiones iniiales x.0/ D 1 & v.0/ D 0. Tenemos en ese aso el sisema de euaiones x.0/ D x 0 D 1 ) 1 D 1 I v.0/ D v 0 D 0 ) 0 D de donde 1 D D 1. Susiuyendo en las expresiones de posiión y veloidad obenemos: Derivando la veloidad obenemos la aeleraión: 1 I x./ D.1 C / e mi & v./ D e m/s: a./ D e C e D. 1/ e m/s : Observe que en odo iempo > 0 la posiión es posiiva y la veloidad es negaiva. Eso signifia que la posiión es una funión dereiene del iempo. Por ora pare, la aeleraión es negaiva uando 0 < < 1 y posiiva uando > 1. Eso es, la gráfia de la funión posiión iene un puno de inflexión en D 1 y la gráfia de la veloidad iene un mínimo en D 1. También enemos que lím x./ D 0, por lo ano, la rea!1 x D 0 es una asínoa horizonal de x./. En las figuras siguienes se muesran las gráfias de la posiión y de la veloidad de la masa: x v 1 1

9 Euaiones difereniales ordinarias 5 9 Al iniio del movimieno, la veloidad es ero y poseriormene siempre es negaiva, on un valor mínimo en D 1 s, uando la aeleraión se anula; en ese momeno la veloidad es v.1/ D e 1 D 0:3679 m/s. También se observa que lím v./ D 0.!1 Ejemplo 5..4 Una masa de 8 kg se une a un resore de onsane k D N/m y a un amoriguador de onsane D 8 Ns/m. Si la masa se suela del puno x 0 D 0:1 m, on veloidad v 0 D 1:94 m/s, deermine: H 1. La posiión y la veloidad de la masa en el iempo.. El iempo en que la masa ruza por la posiión de equilibrio. 3. El iempo en que la veloidad de la masa es 0 m/s. La euaión diferenial que modela ese sisema masa-resore-amoriguador es 8 d x d C 8dx C x D 0: d Proponiendo omo soluión x D e r, obenemos la euaión araerísia: uyas soluiones son 8r C 8r C D 0; r 1; D /./ D 1.8/ ; de donde inferimos que la posiión de la masa es x./ D. 1 C / e ; y su veloidad v./ D e 1. 1 C / e D 1. 1 / e : Como en el iempo D 0 s se iene x 0 D 0:1 y veloidad v 0 D 1:94, susiuyendo en las dos euaiones previas enemos que 0:1 D 1 I 1:94 D 1. 1 / : La soluión de ese sisema es 1 D 0:1 & D 1: Con esos resulados hallamos la posiión y la veloidad de la masa en el iempo: x./ D.0:1 C 1:99/ e m & v./ D. 1:94 C 0:995/ e m/s:. En ese aso la masa no ruza por la posiión de equilibrio ya que x./ < 0 para > 0. Aún más, x./ D 0 ).0:1 C 1:99/e D 0 ) 0:1 C 1:99 D 0 ) D 0:1 1:99 ) < 0; lo ual no iene senido. 3. Por ora pare, la máxima separaión de la posiión de equilibrio se obiene uando la veloidad es ero, eso ourre uando v./ D 0 ) 0 D. 1:94 C 0:995/ e ) D 1:94 1:9498 s. 0:995 En ese iempo la posiión es x.1:9498/ D Œ0:1 C 1:99.1:9498/ e 1:9498 D 1:5014 m. Se observa que lím!1 x./ D 0, así que la posiión iende asinóiamene a la rea x D 0.

10 10 Euaiones difereniales ordinarias Esos resulados nos permien esbozar la gráfia de la posiión: x 1:9498 1:5 Ejemplo 5..5 Un sisema masa-resore-amoriguador esá oloado en forma verial. La masa del uerpo es de 0: kg, la onsane del resore es de 5 N/m y la onsane del amoriguador es de Ns/m. Al iniio la masa se libera desde un puno que esá 4 m abajo de la posiión de equilibrio, on una veloidad haia abajo de 0:1 m/s. Uilie la expresión (5.10) para deerminar: 1. La posiión, veloidad y aeleraión insanáneas.. El iempo en que la masa alanza su disania más alejada de la posiión de equilibrio. H Aún uando el sisema esá oloado en forma verial la euaión diferenial del movimieno es la misma: mx 00./ C x 0./ C kx./ D 0: Por lo ano, la posiión x./ de m, on respeo a la posiión de equilibrio esa dada por la ED 0: d x d C dx C 5x D 0; d on ondiiones iniiales x.0/ D 0:04 & v.0/ D 0:1. En ese aso enemos que m D 0:; k D 5 & D I de donde 4mk D 4 4.0:/.5/ D 0; en onseuenia, enemos un movimieno ríiamene amoriguado. 1. Uilizando la euaión (5.10): x./ D [ ( x 0 C v 0 C x 0 m ) ] e [ ( m D 0:04 C 0:1 C 0:04 ) ] e 0: 0: D.0:04 C 0:3/ e 5 : La veloidad y aeleraión insanáneas se obienen derivando la posiión una y dos vees, respeivamene, on respeo al iempo. Derivando y simplifiando hallamos que v./ D.0:1 1:5/ e 5 m/s & a./ D. C 7:5/ e 5 m/s :. Para deerminar el puno más alejado, basa on alular el iempo donde la veloidad se anula. v./ D 0 ).0:1 1:5/e 5 D 0 ) 0:1 1:5 D 0 ) D 0:1 1:5 0:0667 : La posiión en ese insane es x.0:0667/ D Œ0:04 C 0:3.0:0667/ e 5.0:0667/ 0:043 m.

11 Euaiones difereniales ordinarias 5 11 Ejemplo 5..6 Considere una masa de 10 kg que esá unida a una pared por medio de un resore de onsane k D 40 N/m y un amoriguador de onsane D 40 Ns/m. El sisema se enuenra sobre una mesa horizonal y no exise friión enre la masa y la mesa. La masa se oloa en una posiión x 0 D 0:03 m y se suela on veloidad v 0 D 0:1 m/s. Deermine la posiión de la masa y las energías inéia y poenial en el iempo. m H En ese aso el modelo que desribe el sisema es 10x 00./ C 40x 0./ C 40x./ D 0 o bien x 00./ C 4x 0./ C 4x./ D 0I on las ondiiones x 0 D 0:03 & v 0 D 0:1 : Tenemos un movimieno ríiamene amoriguado ya que 4mk D.40/ 4.10/.40/ D 0: Proedamos a deerminar la soluión, para ello empezamos on la euaión araerísia asoiada. Ésa es r C 4r C 4 D 0; o sea,.r C / D 0: Las dos raíes de esa euaión son iguales: r 1; D, así que la soluión de la euaión diferenial es x./ D 1 e C e D. 1 C /e : Derivando enemos la veloidad v./ D 1 e C e e D. 1 / e e : Apliando las ondiiones iniiales, obenemos un sisema de euaiones: x.0/ D x 0 D 0:03 ) 0:03 D 1 I v.0/ D v 0 D 0:1 ) 0:1 D 1 : De donde se obiene: 1 D 0:03I & D 0:16. Finalmene la posiión y la veloidad esán dadas por x./ D 0:03e C 0:16e D.0:03 C 0:16/ e mi v./ D 0:1e 0:3e D.0:1 0:3/e m/s: Las energías inéia y poenial del sisema en el iempo esán dadas por E C D 1 mv D 1.10/.0:1 0:3/ e 4 D 5.0:1 0:3/ e 4 joules (J)I E P D 1 kx D 1.40/.0:03 C 0:16/ e 4 D 0.0:03 C 0:16/ e 4 J: Sumando esas dos energías y simplifiando, se obiene la energía oal E oal./ D ( 1:04 0:18 C 0:068 ) e 4 J: Observe que la energía oal no se onserva ya que se va reduiendo en el iempo debido al faor exponenial, eso signifia que el amoriguador disipa energía del sisema y lo hae hasa que el sisema se deiene oalmene en la posiión de equilibrio.

12 1 Euaiones difereniales ordinarias Por ora pare, observe que en el iempo D 0:1 D 0:315 s, la veloidad de la masa se anula; es en ese 0:3 iempo uando la masa alanza su máximo desplazamieno: x.0:315/ D Œ0:03 C 0:16.0:315/ e.0:315/ D 0:048 m. Al paso del iempo la posiión se aera a la posiión de equilibrio. En la gráfia siguiene se muesra la posiión de la masa en el iempo x 0:04 0:31 Movimieno subamoriguado 4mk < 0, es deir, < p 4mk En ese aso las dos raíes (5.) de la euaión araerísia son omplejas y esán dadas por: r 1 D C ip 4mk m & r D ip 4mk : m Un onjuno de soluiones linealmene independienes de esa ED esá formado por las funiones (p ) (p ) 4mk x 1./ D e m 4mk os & x./ D e m sen : m m La soluión general se obiene onsiderando una ombinaión lineal de esas dos funiones. (p ) (p )] 4mk x./ D e m [ 4mk 1 os C sen : (5.11) m m Los érminos sinusoidales que apareen en (5.11) nos indian que el sisema osilará alrededor de la posiión de equilibrio. Sin embargo, omo el faor exponenial es dereiene, se espera que la ampliud de vibraión sea ada vez más pequeña. Nuevamene, las ondiiones iniiales deerminarán en gran medida la forma de la vibraión. Por ejemplo, analiemos qué ourre si el sisema iene las ondiiones iniiales Definamos primero D Enones la posiión y la veloidad esán dadas por x./ D e Œ 1 os ˇ C sen ˇ I x.0/ D x 0 & v.0/ D 0: p 4mk m & ˇ D : (5.1) m v./ D e Œ 1 os ˇ C sen ˇ C ˇe Œ 1 sen ˇ C os ˇ D D. 1 C ˇ / e os ˇ C. ˇ 1 / e sen ˇ: (5.13)

13 Euaiones difereniales ordinarias 5 13 Considerando las ondiiones iniiales, obenemos el sisema de euaiones uya soluión es x 0 D x 0 ) 1 D x 0 I v.0/ D 0 ) 1 C ˇ D 0; 1 D x 0 & D x 0 ˇ : Susiuyendo en la euaión (5.13), obenemos la funión posiión ] x./ D [x e x 0 0 os ˇ sen ˇ D x 0 e Œˇ os ˇ sen ˇ : ˇ ˇ Usando la relaión (5.1) en la soluión anerior: [p (p ) (p )] mx 0 x./ D p e 4mk m 4mk os C 4mk 4mk m m m sen D m [ (p ) (p )] x 0 D p e p4mk 4mk m 4mk os C sen : (5.14) 4mk m m Ejemplo 5..7 Considere un sisema masa-resore-amoriguador on las onsanes siguienes: Enuenre la funión posiión. D Ns/m; m D 10 kg; k D 5 N/m; x 0 D 1 m; v 0 D 0 m/s. H En ese aso la euaión diferenial que modela la posiión x./ de la masa es La euaión araerísia asoiada es uyas soluiones esán dadas por 10 d x d C dx C 5x D 0: d 10r C r C 5 D 0; r 1 D C 4.10/.5/.10/ D 1 10 C 7 10 ii r D 4.10/.5/.10/ D i: Dos soluiones linealmene independienes son enones x 1./ D e 10 os 7 10 & x./ D e 10 sen 7 10 : Finalmene, la soluión general de la euaión diferenial se obiene onsiderando una ombinaión lineal de las dos soluiones previas: x./ D 1 e 10 os 7 10 C e La veloidad insanánea se obiene derivando la posiión 10 sen 7 10 : v./ D 1 10 e 10 os e 10 sen e 10 sen 7 10 C 7 10 e ( 1 D 10 C 7 ) ( e 10 os C ) e 10 sen : 10 os 7 10 D

14 14 Euaiones difereniales ordinarias Para deerminar el valor de las onsanes 1 &, uilizamos las ondiiones iniiales x.0/ D 1 & v.0/ D 0. Tenemos enones el sisema de euaiones x.0/ D x 0 D 1 ) 1 D 1I v.0/ D v 0 D 0 ) 1 10 C 7 10 D 0; uya soluión es 1 D 1 & D 1. Susiuyendo en la posiión y la veloidad: 7 x./ D e v./ D 10 os 7 ( 7 10 C C 1 7 e 10 sen 7 10 I ) e 10 sen 7 10 D 5 7 e 10 sen 7 10 : La posiión x./ se puede reesribir en la forma: x./ D Be 7 10 sen 10 C : En efeo, si se desarrolla la expresión anerior, obenemos: [ x./ D Be 10 sen 7 10 os C os Si omparamos on la expresión de x./ obenida previamene: ] 7 10 sen : B os D 1 7 & B sen D 1: Enones: y el ángulo fase esa dado por: B D B os C B sen D 1 p C 1 D 7 ; an D B sen B os D 7 ) D D aran.7/ 1:489 rad. Finalmene: x./ D p ( ) 50 7 e 7 10 sen 10 C 1:489 m: La pare sinusoidal de esa expresión iene freuenia naural! D 7 10 rad/s. En onseuenia su periodo es T D! D 0 7 s: Además sus punos máximos se obienen uando: ) 7 10 C 1:489 D ( ) 7 sen 10 C 1:489 n C 1 D 1 ) 7 10 C 1:489 D C n ) ) D 10 7 [ n C 1 Por ejemplo, el primer iempo donde se obiene un máximo ourre uando: 7 10 C 1:489 D ) D 10 [ 7 ] 1:489 ; on n D 0; 1; ; ] 1:489 0:07 s:

15 Euaiones difereniales ordinarias 5 15 De forma similar, los punos mínimos se obienen uando: 7 10 C 1:489 D n C 3 ) D 10 7 Por ejemplo, el primer iempo donde se obiene un mínimo es ( ) :489 D 4:6907 s. 7 [n C 3 1:489 ] ; on n D 0; 1; ; Por ora pare, la ampliud ambia y deree en el iempo de forma exponenial: p 50 A./ D 7 e 10 : Para elaborar la gráfia de la posiión, primero se grafian la ampliud y su negaivo. Poseriormene, denro de esas dos urvas, se oloan los punos que orresponden a los máximos y mínimos de la pare sinusoidal empezando en D 0:07 s. En la figura siguiene se muesra la gráfia de la posiión de la masa en el iempo. x A./ D p 50 7 e A./ D p 50 7 e 10 Ejemplo 5..8 Un sisema masa-resore-amoriguador, on onsanes m D 6:5 kg, D 1 Ns/m & k D 6:5 N/m, se suela del reposo desde una disania x 0 D 0:1 m. Deerminar: H 1. La posiión y la veloidad de la masa en el iempo D segundos.. Los iempos donde la masa alanza sus valores máximos y mínimos. 3. La ampliud variable de las osilaiones. 1. La posiión x./ de m, on respeo a la posiión de equilibrio, en el insane 0, esá dada por la soluión del PVI: mx 00./ C x 0./ C kx./ D 0; on x.0/ D x 0 & v.0/ D v 0 I 6:5x 00./ C 1x 0./ C 6:5x./ D 0; on x.0/ D 0:1 & v.0/ D 0: La euaión araerísia asoiada a la euaión diferenial es 6:5r C 1r C 6:5 D 0

16 16 Euaiones difereniales ordinarias uyas soluiones son r D 1.1/ 4.6:5/.6:5/ D 1 p Enones la soluión general de la euaión diferenial es D 1 p 5 13 x./ D e 1 13 ( 1 os 5 13 C sen 5 13 ) I D 1 5i 13 D i: de donde se iene que v./ D x 0./ D 1 [ 13 e / sen 5 13 C / os 5 ] : 13 Apliando las ondiiones iniiales: x.0/ D 0:1 ) e 0. 1 os 0 C sen 0/ D 0:1 ) 1 D 0:1 : v.0/ D 0 ) 1 13 e0 Œ / sen 0 C / os 0 D 0 ) Por lo ano la posiión de la masa es y su veloidad es ) D 0 ) D D 1 5.0:1/ ) D 0:4 : x./ D e 1 13 ( 0:1 os 5 13 C 0:4 sen 5 13 ) mi v./ D 1 [ 13 e :1 os 5 13 C 0:4 sen 5 ] 13 C e 1 13 D 1 13 e :38/ sen 5 1 D 0:6e 13 sen m/s: Luego, en D seg se iene que x./ D e 4 13 [ 0:5 13 sen 5 13 C 1: 13 os 5 ] 13 D ( 0:1 os 10 ) 10 C 0:4 sen m 0:04 m: v./ D 0:6e 4 13 sen 10 m/s 0:09 m/s: 13. Para deerminar los iempos donde la masa alanza sus valores exremos, neesiamos alular los insanes en los que la veloidad se anula. Eso suede uando, v./ D 0 ) 0:6e 1 13 sen 5 5 D 0 ) sen D 0 ) ) 5 D n; on n-enero 13 Para esos insanes la posiión esá dada por x./ D e 1 13 [ 13 5 n 0:1 os ) D 13 n; on n D 0; 1; ; 3; : : : 5 ( n D e 1 5 n Œ0:1 os n C 0:4 sen n D D.0:1/e 1 5 n os ni on n D 0; 1; ; 3; : : : Algunos de los valores exremos de la posiión son los siguienes: ) ( 5 C 0:4 sen )] 5 n D

17 Euaiones difereniales ordinarias 5 17 n x./ 0 0 0: :1e :1e :1e :1e :1e 1 3. Para deerminar la ampliud variable de las osilaiones es neesario expresar la posiión ( x./ D e :1 os 5 ) 5 C 0:4 sen en la forma ( ) x./ D e B sen 13 C : Para eso se debe umplir que 0:1 os C 0:4 sen D.B sen / os C.B os / sen : Es deir: B sen D 0:1 & B os D 0:4. De donde: B D.0:1/ C.0:4/ D 0:6. Además: an D 0:1 0:4 D 0:4167 ) D aran.0:4167/ D 0:3948. Y debido a que os > 0, enones D D 0:3948. Por lo ano, la posiión insanánea es ( ) ( ) x./ D Be sen 13 C m ) x./ D 0:6e sen 13 C 0:3948 m: De aquí que la ampliud variable es A./ D 0:6e 1 13 m: Para onluir esa seión, es perinene sineizar, para eoría y ejemplos, que los sisemas masa-resoreamoriguador, on onsanes m-k-, respeivamene, presenan alguna de las siguienes onduas (deerminadas por la relaión enre las onsanes): 1. Si > 4mk, el movimieno es sobreamoriguado. En ese aso no hay osilaión.. Si < 4mk, el movimieno es subamoriguado y habrá osilaiones que se desvaneerán uando! 1.

18 18 Euaiones difereniales ordinarias 3. Si D 4mk, el movimieno es ríiamene amoriguado. Ésa es una ondua límie enre los oros dos asos. Adviera que, si las onsanes m y k de la masa y resore esán dadas, enones, al inluir un amoriguador, on onsane en el sisema, suederá uno de los asos aneriores, de auerdo al diagrama siguiene: < p 4mk Subamoriguado > p 4mk Sobreamoriguado D 0 No amoriguado D p 4mk Críiamene amoriguado Ejeriios 5.. Vibraiones amoriguadas libres. Soluiones en la página 1 1. Un resore de onsane k y un amoriguador de onsane esán oneados, en uno de sus exremos, a un uerpo de masa m y en el oro a una pared. El sisema desansa sobre una mesa horizonal sin friión. Deermine la posiión y veloidad del uerpo on las ondiiones iniiales x.0/ D x 0 & v.0/ D v 0. a. m D 1 kg, D 3 N s/m, k D 4 N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D m/s. b. m D 4 kg, D 16 N s/m, k D 16 N/m, x.0/ D 1 m, v.0/ D 1 m/s.. m D 1 kg, D 5 N s/m, k D 169 N/m, x.0/ D 0 m, v.0/ D 16 m/s. 4. Un uerpo de masa igual a 1 kg esá unido a un resore de onsane k D 5 N/m y a un amoriguador, on onsane D Ns/m. Se alarga el resore una disania de 0:3 m y se suela del reposo. Deermine los iempos en que se obienen los dos primeros desplazamienos máximos y los dos primeros desplazamienos mínimos. Calule ambién la ampliud y el ángulo fase del movimieno. 3. A un sisema masa-resore, on masa igual a 5 kg y onsane del resore igual a 5 N/m, se le onea un amoriguador de onsane. Deermine la posiión y veloidad del uerpo on las ondiiones iniiales x.0/ D 0 m, v.0/ D m/s para los siguienes valores de la onsane de amoriguamieno: D 6; 8; 10; 1 y 14 Ns/m. 4. A un sisema masa-resore, on masa igual a 0:5 kg y onsane del resore igual a 1:5 N/m, se le onea un amoriguador de onsane D 4 Ns/m. Deermine la posiión y veloidad del uerpo uando las ondiiones iniiales son x.0/ D 0 m, v.0/ D 0: m/s; qué ourre si las ondiiones iniiales se modifian a x.0/ D 0 m, v.0/ D 0: m/s? 5. Una masa de 1 kg se une a un resore de onsane k D 4 N/m. El medio ofree una fuerza de amoriguamieno que es numériamene igual a ino vees la veloidad insanánea. La masa se libera desde un puno siuado 0:3 m arriba de la posiión de equilibrio, on una veloidad desendene de :4 m/s. Deermine el iempo en el que la masa pasa por la posiión de equilibrio. Enuenre el iempo en el que la masa alanza su desplazamieno exremo. Cuál es la posiión de la masa en ese insane? 6. Un resore de 1 m alanza 30:8 m después de olgarle una masa de 1=4 de kilogramo. El medio por el que se mueve la masa ofree una fuerza de amoriguamieno igual a 3 vees la veloidad insanánea. Enuenre la euaión de movimieno, si la masa se libera de la posiión de equilibrio, on una veloidad desendene de m/s. Calule el iempo en el que la masa alanza su desplazamieno exremo, uál es la posiión de la masa en ese insane?

19 Euaiones difereniales ordinarias Una masa de 1 kg se fija a un resore uya onsane es 16 N/m y luego el sisema ompleo se sumerge en un líquido que ofree una fuerza amoriguadora igual a 10 vees la veloidad insanánea. Deermine la posiión de la masa, si a. La masa se libera del reposo desde un puno siuado 0.1 m debajo de la posiión de equilibrio. b. La masa se libera desde un puno 0.1 m debajo de la posiión de equilibrio, on una veloidad asendene de 1: m/s. 8. Una fuerza de N alarga un resore 10 m. Una masa de 0: kg se une al resore y luego se sumerge el sisema en un medio que ofree una fuerza de amoriguamieno igual a 4 vees la veloidad insanánea. Enuenre la euaión de movimieno, si en el iempo D 0 se libera la masa desde el reposo en un puno siuado a 5 m por enima de la posiión de equilibrio. Pasará la masa por la posiión de equilibrio? 9. De un resore de 1:5 m se sujea una masa de 0:15 kg y el resore se elonga hasa medir 1:598 m. Se reira la masa y se susiuye on ora de 0:5 kg. Después se oloa el sisema en un medio que ofree una fuerza de amoriguamieno igual a 3 vees la veloidad insanánea. a. Obenga la euaión de movimieno, si en el iempo D 0 se libera la masa desde el reposo en un puno siuado a 0 m por enima de la posiión de equilibrio. b. Obenga el iempo en el ual la masa pasa por primera vez a ravés de la posiión de equilibrio en direión haia arriba.. Deermine los iempos en los que la masa pasa por la posiión de equilibrio on direión haia abajo. d. Calule los iempos en los que la masa iene veloidad igual a ero y los punos donde eso ourre. 10. Una masa de 3 kg se sujea a un resore y se desliza horizonalmene on oefiiene de amoriguamieno. La onsane del resore es k D 1 N/m y el movimieno omienza en la posiión de equilibrio x 0 D 0 m, on una veloidad iniial diferene de ero. a. Suponiendo que no exise amoriguamieno, qué iempo omará al objeo para regresar a la posiión de reposo por primera vez? b. Qué valor de es neesario para que el sisema presene amoriguamieno ríio?. Qué ourre en el iempo que se enonró en el iniso a. uando aumena, aproximándose al valor del amoriguamieno ríio? 11. Una masa de 1 kg se sujea a un resore que se enuenra en un medio que posee un oefiiene de amoriguamieno. La onsane del resore es k D 169 N/m y el movimieno omienza en la posiión de equilibrio on una veloidad iniial posiiva de :4 m/s. a. Deermine el ipo de movimieno que se iene para D 13. b. Calular la posiión y la veloidad de la masa para D 13.. Deermine la posiión y la veloidad de la masa para D 1. d. Obener la posiión y la veloidad de la masa para D 16:5. 1. Una masa de 1 kg alarga un resore en 0: m. La masa se oloa a 0:1 m por arriba del puno de 7 equilibrio y luego iniia el desenso on una veloidad posiiva de 0:5 m/s. El movimieno se efeúa en un medio que ofree una fuerza de amoriguamieno igual a 8 vees la veloidad insanánea en 5 odo momeno. Enuenre la euaión que desribe la posiión de la masa en el insane.

20 0 Euaiones difereniales ordinarias 13. Considere un resore al que una masa de 0:5 kg alarga en 9:8 m. La masa esá sujea al resore y se mueve en un medio que imprime una fuerza de amoriguamieno igual a 5 vees la veloidad insanánea. La masa se oloa a 0:15 m por arriba del puno de equilibrio y se libera on una veloidad negaiva de 1:5 m/s. Enuenre la posiión de la masa en el iempo. 14. Un resore de onsane k D 8 N/m se oloa en forma verial y olgada de él se iene una masa de kg. Poseriormene se oloa la masa a una alura de 0:1 m arriba del puno de equilibrio y se suela on una veloidad posiiva de 1:7 m/s. Si el medio ofree una resisenia igual a 4 vees la 5 veloidad insanánea, deermine: a. Los res primeros iempos en que la masa pasa por la posiión de equilibrio. b. Los res primeros iempos en que la masa se deiene. 15. Un resore de onsane k D 8 N/m se oloa en forma verial y olgada de él se oloa una masa de kg. Poseriormene se oloa la masa a una alura de 0:1 m arriba del puno de equilibrio y se suela on una veloidad negaiva de 1:48 m/s. Si el medio ofree una resisenia igual a 4 vees la 5 veloidad insanánea, deermine: a. Los res primeros iempos en que la masa pasa por la posiión de equilibrio. b. Los res primeros iempos en que la masa se deiene.

21 Euaiones difereniales ordinarias 5 1 Ejeriios 5.. Vibraiones amoriguadas libres. Página: a. x./ D e 4 C e mi v./ D 4e 4 e m/s; b. x./ D. C 1/e m; v./ D. C 1/e m/s;. x./ D» 0 3 e 10 sen 4 m; v./ D e 10 sen 4 C 16 os 4 m/s. 3. Ampliud: A./ D 0:3354e m; ángulo de fase: D 1:107 rad; x máx en W 1 D 0:318 s & 3 D 3:3734 s; x mín en W D 1:806 s & 4 D 4:944 s. 3. x./ en m v./ en m/s 6 :5e 0:6 sen.0:8/ Œ os.0:8/ 1:5 sen.0:8/ e 0:6 8 3:333e 0:8 sen.0:6/ Œ os.0:6/ :667 sen.0:6/ e 0:8 10 e.1 /e 1 1:508. e 1:863 C e 0:537 / :809e 1:863 0:81e 0: :0. e :38 C e 0:4 / :48e :38 0:48e 0:4 4. x./ D v 0 3 e 4 sen 3 m; v./ D v 0 e 4 os 3 4 sen x./ D 0 uando D 0:1865 s; x./ D x máx uando D 0:6487 s; x máx D x.0:6487/ D 0:1568 m. «m/s. 6. x./ D 1 4 e 6 sen 8 m & v./ D e 6 os 8 x./ D x máx uando D 0:1159 s; x máx D x.0:1159/ D 0:0998 m. 3 e 6 sen 8 m/s; 7. a. x./ D 1 30 e 8 C 15 e m; b. x./ D 1 6 e e m. 8. x./ D. 0:05 0:5/e 10 m; la masa no pasa por la posiión de equilibrio. 9. a. x./ D.0: os 4 C 0:15 sen 4/e 3 m & v./ D 1:5e 3 sen 4 m/s; b. D 1:339 s & v D 0:018 m/s;. D 0:7854n 1:017, on n D ; 4; 6; ; d. D n a. D s;, on n D 1; ; 3; ; la posiión es x./ D b. D 1; 0:e 3n 4.. No se regresará al puno de equilibrio. 11. a. Movimieno ríiamene amoriguado; b. x./ D :4e 13 m & v./ D :4.1 13/e 13 m/s;

22 Euaiones difereniales ordinarias. x./ D 0:48e 1 sen 5 m & v./ D.:4 os 5 5:76 sen 5/e 1 m/s; d. x./ D 8 65 e 6: e 6 m & v./ D 4 5 e 6:5 C 16 5 e 6 m/s. 1. x./ D 1» 1 os C sen e 8 5 m x./ D.0:15 C 3/e 10 m. 14. a. D 0:063I :058I 3:9893 s; b. D 0:6419I 3:7835I 6:950 s. 15. a. D 1:901I 3:8647I 5:88 s; b. D 0:5173I 3:6589I 6:8 s.